Geometria e Natura: Perchè studiamo la geometria?

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Cos’è la geometria? Molti la considerano semplicemente un corso che hanno frequentato al liceo: una raccolta di tecniche per misurare gli angoli tra le linee, calcolare l’area di triangoli, cerchi e rettangoli e forse stabilire una certa misura di equivalenza tra gli oggetti disparati. Anche con una definizione così limitata, non c’è dubbio che la geometria è uno strumento utile, che gli architetti, ad esempio, utilizzano ogni giorno. La geometria è queste cose, naturalmente, e molto, molto di più, perché in realtà riguarda l’architettura nel senso più ampio del termine, dalle scale più piccole al più grande. E per uno ossessionato dalla comprensione della dimensione, della forma, della curvatura e della struttura dello spazio, è lo strumento essenziale.

Durante la maggior parte degli ultimi duemila e cinquecento anni nella tradizione europea o occidentale, la geometria è stata studiata perché ritenuta la verità più squisita, perfetta e paradigmatica a nostra disposizione al di fuori della rivelazione divina. Studiare la geometria rivela, in qualche modo, la più profonda vera essenza del mondo fisico.

PIERS BURSILL-HALL, “PERCHÉ STUDIAMO LA GEOMETRIA? ”

La parola  geometria , che proviene da  geo  (“terra”) e  metry  (“misura”), originariamente significava “misurare la terra”. Ma ora lo si usa in termini più generali per indicare la misurazione dello spazio, dove lo spazio stesso non è particolarmente concetto ben definito. Come disse una volta Georg Friedrich Bernhard Riemann, “la geometria presuppone il concetto di spazio, oltre ad assumere i principi di base per le costruzioni nello spazio”, pur dando “solo definizioni nominali di queste cose”.

Per quanto possa sembrare strano, riteniamo utile mantenere il concetto di spazio piuttosto confuso perché può implicare molte cose per le quali non abbiamo altri termini. Quindi c’è un po ‘di convenienza in quella vaghezza. Ad esempio, quando contempliamo quante dimensioni ci sono nello spazio o meditate sulla forma dello spazio nel suo insieme, potremmo anche fare riferimento all’intero universo. Uno spazio potrebbe anche essere definito più strettamente per indicare un semplice costrutto geometrico come un punto, una linea, un piano, una sfera o una ciambella: il tipo di figure che uno studente di scuola elementare potrebbe disegnare, oppure potrebbe essere più astratto, più complesso e immensamente più difficile da immaginare.

Supponiamo, per esempio, di avere un mucchio di punti sparsi in qualche complicato e casuale arrangiamento con assolutamente nessun modo di determinare la distanza tra loro. Per quanto riguarda i matematici, quello spazio non ha geometria; è solo un assortimento casuale di punti. Ma una volta inserita una sorta di funzione di misurazione, tecnicamente chiamata metrica, che ti dice come calcolare la distanza tra due punti qualsiasi, il tuo spazio diventa improvvisamente navigabile. Ha una geometria ben definita. La metrica per uno spazio, in altre parole, ti fornisce tutte le informazioni necessarie per divinarne la forma. Armato di quella capacità di misura, ora è possibile determinare la sua planarità con grande precisione, così come la sua deviazione dalla planarità, o curvatura, che è la cosa che trovo più interessante di tutti.

Per non concludere che la geometria è poco più di un sovrano ben calibrato – e questo non è un colpo contro il sovrano, che sembra essere una tecnologia che ammiro – la geometria è una delle strade principali a nostra disposizione per sondare l’universo. La fisica e la cosmologia sono state, quasi per definizione, assolutamente cruciali per dare un senso all’universo. Il ruolo della geometria in tutto questo potrebbe essere meno ovvio, ma è ugualmente vitale. Direi che la geometria non solo merita un posto al tavolo accanto alla fisica e alla cosmologia, ma per molti versi  è  il tavolo.

Per voi, questo intero dramma cosmico – una danza complessa di particelle, atomi, stelle e altre entità, che si spostano, si muovono, interagiscono continuamente – viene giocato su un palcoscenico, all’interno di uno “spazio”, se volete, e può mai essere veramente capito senza cogliere le caratteristiche dettagliate di quello spazio. Più che uno sfondo passivo, lo spazio in realtà infonde ai suoi componenti proprietà intrinsecamente vitali. Infatti, mentre osserviamo le cose, la materia o le particelle sedute (o in movimento) in uno spazio sono in realtà parte di quello spazio o, più precisamente, dello spazio-tempo. La geometria può imporre vincoli sullo spaziotempo e sui sistemi fisici in generale – vincoli che possiamo dedurre esclusivamente dai principi della matematica e della logica.

Considera il clima della terra. Sebbene possa non essere ovvio, il clima può essere profondamente influenzato dalla geometria, in questo caso dalla forma essenzialmente sferica del nostro pianeta ospite. Se vivessimo su un toro bidimensionale o su una ciambella, invece, la vita, così come il nostro clima, sarebbe sostanzialmente diversa. Su una sfera, i venti non possono soffiare nella stessa direzione (ad esempio, a est), né le acque dell’oceano possono fluire nella stessa direzione (come menzionato nel capitolo finale). Ci saranno inevitabilmente luoghi, come i poli nord e sud, dove la direzione del vento o della corrente non punta più verso est, dove l’intera nozione di “est” scompare e tutto il movimento si ferma. Questo non è il caso sulla superficie di una ciambella a un solo foro, dove non ci sono tali impasse e tutto può fluire nella stessa direzione senza mai colpire un intoppo.

L’ambito della geometria è ancora più ampio. In accordo con la teoria della relatività generale di Einstein, ad esempio, la geometria ha dimostrato che la massa e l’energia dell’universo sono positive e quindi che lo spazio-tempo, il regno a quattro dimensioni che abitiamo, è stabile. I principi della geometria ci dicono anche che da qualche parte nell’universo, ci devono essere strani luoghi noti come  singolarità-pensato di mentire, ad esempio, nel centro dei buchi neri, dove le densità si avvicinano all’infinito e la fisica nota si rompe. Nella teoria delle stringhe, per fare un altro esempio, la geometria di strani spazi a sei dimensioni chiamati varietà di Calabi-Yau – dove si presume che la fisica molto importante abbia luogo – può spiegare perché abbiamo l’assortimento di particelle elementari che facciamo, dettando non solo le loro masse ma le forze tra di loro. Lo studio di questi spazi di dimensione superiore, inoltre, ha offerto possibili intuizioni sul perché la gravità sembra essere molto più debole rispetto alle altre forze della natura, fornendo allo stesso tempo indizi sui meccanismi alla base dell’espansione inflazionaria dell’universo primordiale e dell’energia oscura questo sta ora allontanando il cosmo.

Quindi non è solo vanteria quando dico che la geometria è stata uno strumento inestimabile per sbloccare i segreti dell’universo, proprio lì con la fisica e la cosmologia. Inoltre, con i progressi della matematica che descriveremo qui, insieme al progresso nella cosmologia osservativa e all’avvento della teoria delle stringhe, che sta tentando una grande sintesi che non è mai stata realizzata prima, tutte e tre queste discipline sembrano convergere allo stesso tempo. Di conseguenza, la conoscenza umana ora è pronta e rara per andare, sulla soglia di intuizioni straordinarie, con la geometria, in molti modi, che guida la carica.

È importante ricordare che qualunque cosa facciamo in geometria, e ovunque andiamo, non partiamo mai da zero. Stiamo sempre attingendo a ciò che è venuto prima, sia che si tratti di congetture (che sono ipotesi non provate), di prove, di teoremi o di assiomi, che si fondano su una fondazione che, in molti casi, è stata depositata migliaia di anni prima. In questo senso, la geometria, insieme ad altre scienze, è come un elaborato progetto di costruzione. Le fondamenta vengono deposte per prime e, se costruite correttamente, poste su un terreno solido, per così dire, dureranno, così come le strutture costruite su di esso, purché anch’esse siano progettate secondo sani principi.

Questo, in sostanza, è la bellezza e la forza della mia chiamata eletta. Quando si tratta di matematica, ci aspettiamo sempre una dichiarazione completamente vera. Un teorema matematico è un’espressione esatta che rimarrà una verità eterna ed è indipendente dallo spazio, dal tempo, dalle opinioni delle persone e dall’autorità. Questa qualità lo distingue dalla scienza empirica, dove fai esperimenti e, se un risultato sembra buono, lo accetti dopo un periodo di prova soddisfacente. Ma i risultati sono sempre soggetti a cambiamenti; non puoi mai aspettarti che una scoperta sia al 100 percento, assolutamente vera.

Naturalmente, spesso troviamo versioni più ampie e migliori di un teorema matematico che non invalida l’originale. Il fondamento dell’edificio è ancora valido, per continuare la nostra analogia costruttiva; l’abbiamo mantenuto intatto durante l’espansione e il rimodellamento. A volte dobbiamo andare oltre il semplice rimodellamento, forse anche “sventrare” l’interno e ricominciare da capo. Anche se i vecchi teoremi sono ancora veri, potremmo aver bisogno di sviluppi completamente nuovi e di una nuova serie di materiali, per creare il quadro generale che cerchiamo di raggiungere.

I teoremi più importanti sono di solito controllati e ricontrollati molte volte e in molti modi, lasciando sostanzialmente nessuna possibilità di errore. Ci possono essere problemi, tuttavia, in teoremi oscuri che non hanno ricevuto un esame così attento. Quando viene scoperto un errore, una stanza dell’edificio – o forse un’intera ala – potrebbe dover essere demolita e rimontata. Nel frattempo, il resto della struttura – un robusto edificio che ha superato la prova del tempo – rimane inalterato.

Uno dei grandi architetti della geometria è Pitagora, con la famosa formula che gli è stata riconosciuta come uno dei più robusti edifici mai costruiti in matematica. Il teorema di Pitagora, come viene chiamato, afferma che per un triangolo rettangolo (un triangolo, cioè con un angolo di 90 gradi), la lunghezza del lato più lungo (o ipotenusa) squadrata è uguale alla somma dei quadrati dei due più corti i lati. O come gli scolari, ex e presenti, possono ricordare:  2  + b 2  = c 2. È una dichiarazione semplice, ma molto potente, che sorprendentemente è rilevante ora come era stata formulata circa 2500 anni fa. Il teorema non è solo limitato alla matematica della scuola elementare. In effetti, uso il teorema quasi ogni giorno, quasi senza pensarci, perché è diventato così centrale e così radicato.

Il teorema di Pitagora è l’affermazione più importante della geometria, cruciale per la matematica avanzata e di più dimensioni, ad esempio per calcolare le distanze negli spazi di Calabi-Yau e risolvere le equazioni di moto di Einstein, come lo è per i calcoli su una piano bidimensionale (come il foglio di un compito a casa) o in un’aula scolastica di classe tridimensionale. L’importanza del teorema deriva dal fatto che possiamo usarlo per calcolare le distanze tra due punti in spazi di  qualsiasi  dimensione. E, come ho detto all’inizio di questo capitolo, la geometria ha molto a che fare con la distanza, motivo per cui questa formula è fondamentale per praticamente tutto ciò che facciamo.

Il teorema è estremamente bello, sebbene la bellezza, certamente, sia negli occhi di chi guarda. Tendiamo ad apprezzare le cose che conosciamo, cose che sono diventate così familiari, così naturali, che le diamo per scontate, proprio come il sorgere e il tramontare del sole. Poi c’è la grande economia di tutto, solo tre semplici lettere innalzate alla seconda potenza,  una 2  + b 2 = c 2 , quasi altrettanto concisa delle altre famose leggi come  F = ma  o  E = mc 2 . La bellezza nasce dall’eleganza di una semplice affermazione che si trova così comodamente nella natura.

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2.1-Il teorema di Pitagora è spesso raffigurato in due dimensioni in termini di un triangolo rettangolo con la somma delle lunghezze dei lati squadrate pari alla lunghezza dell’ipotenusa al quadrato:  a 2  +  b 2 =  c 2 . Ma, come mostrato qui, il teorema funziona anche in tre dimensioni ( a 2  +  b 2  +  c 2  =  d 2 ) e più in alto.

Oltre al teorema stesso, che è senza dubbio una pietra miliare della geometria, altrettanto importante è il fatto che è stato  dimostrato  essere vero e sembra essere la prima prova documentata in tutta la matematica. I matematici egiziani e babilonesi avevano usato la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo e la sua ipotenusa molto prima che Pitagora fosse nato. Ma né gli egiziani né i babilonesi hanno mai  dimostrato  l’idea, né sembrano aver considerato la nozione astratta di una prova. Questo, secondo il matematico ET Bell, era il luogo in cui Pitagora ha dato il suo più grande contributo:

Prima di lui, la geometria era stata in gran parte una raccolta di regole empiriche, senza alcuna chiara indicazione delle reciproche connessioni delle regole. La dimostrazione è ora così comunemente data per scontata come lo spirito stesso della matematica che troviamo difficile immaginare la cosa primitiva che deve aver preceduto il ragionamento matematico.

Forse Pitagora è responsabile della dimostrazione, anche se potresti aver notato che ho detto che il teorema è stato “attribuito” a lui, come se ci fosse qualche dubbio sulla paternità. C’è. Pitagora era una figura di culto, e molti dei contributi dei suoi discepoli impazziti di matematica, i cosiddetti Pitagorici, furono attribuiti a lui retroattivamente. Quindi è possibile che la dimostrazione del teorema di Pitagora abbia avuto origine con uno dei suoi seguaci una o due generazioni dopo. Le probabilità sono che non sapremo mai: Pitagora visse principalmente nel sesto secolo aC e lasciò dietro di sé, se non altro, il modo di scrivere documenti.

Fortunatamente, non è questo il caso di Euclide, uno dei geometri più famosi di tutti i tempi e l’uomo più responsabile nel trasformare la geometria in una disciplina precisa e rigorosa. In netto contrasto con Pitagora, Euclide lasciò delle risme di documenti, il più illustre dei quali era  The Elements  (pubblicato intorno al 300 aC), un trattato di tredici volumi, di cui otto volumi dedicati alla geometria delle due e tre dimensioni. The Elements  è stato definito uno dei più influenti libri di testo mai scritti, “un’opera di bellezza il cui impatto ha eguagliato quello della Bibbia” 

Nel suo celebre volume, Euclide ha gettato le basi non solo per la geometria ma anche per tutta la matematica, che dipende inestricabilmente da un modo di ragionare che ora chiamiamo euclidee: a partire da termini chiaramente definiti e da un insieme di assiomi o postulati esplicitamente due parole sono sinonimi), si può quindi utilizzare una logica interessante per dimostrare teoremi che, a loro volta, possono essere utilizzati per dimostrare altre asserzioni. Euclide fece proprio questo, dimostrando più di quattrocento teoremi in tutto, incapsulando così virtualmente tutte le conoscenze geometriche della sua era.

Il matematico di Stanford, Robert Osserman, ha spiegato il fascino duraturo del manifesto di Euclide in questo modo: “Prima c’è il senso della certezza – che in un mondo pieno di credenze irrazionali e speculazioni traballanti, le affermazioni trovate in  The Elements si  sono dimostrate vere al di là di un’ombra di dubbio “Edna St. Vincent Millay ha espresso un apprezzamento simile nel suo poema” Euclide da solo ha guardato bellezza nuda “.

Il prossimo contributo cruciale ai fini della nostra narrativa – senza alcuna intenzione destinata ai molti degni matematici il cui contributo viene trascurato – viene da René Descartes. Come discusso nel capitolo precedente, Descartes ha notevolmente ampliato l’ambito della geometria introducendo un sistema di coordinate che consentiva ai matematici di pensare a spazi di qualsiasi dimensione e di portare l’algebra a problemi geometrici. Prima di riscrivere il campo, la geometria era praticamente limitata a linee rette, cerchi e  sezioni coniche-le forme e le curve, come parabole e iperboli, che si ottengono tagliando un cono infinitamente lungo a diverse angolazioni. Con un sistema di coordinate in atto, potremmo improvvisamente descrivere figure molto complicate, che altrimenti non sapremmo come disegnare, per mezzo di equazioni. Prendi l’equazione  n + y n =  1, per esempio. Usando le coordinate cartesiane, si può risolvere l’equazione e tracciare una curva. Prima di avere un sistema di coordinate, non sapevamo come disegnare una figura del genere. Dove eravamo rimasti bloccati, Descartes ci ha offerto un modo per procedere.

E quella via divenne ancora più forte quando, circa cinquanta anni dopo che Cartesio condivise le sue idee sulla geometria analitica, Isaac Newton e Gottfried Leibniz inventarono il calcolo. Nei decenni e nei decenni a venire, gli strumenti di calcolo furono alla fine incorporati nella geometria da matematici come Leonhard Euler, Joseph Lagrange, Gaspard Monge e forse soprattutto Carl Friedrich Gauss, sotto la cui guida il campo della  geometria differenziale raggiunse finalmente la maggiore età nel 1820. L’approccio ha utilizzato il sistema di coordinate Descartes per descrivere le superfici che potrebbero poi essere analizzate in dettaglio applicando le tecniche di differenziazione differenziale del calcolo come una tecnica per trovare la pendenza di qualsiasi curva liscia.

Lo sviluppo della geometria differenziale, che ha continuato ad evolversi dall’era di Gauss, è stato un risultato importante. Con gli strumenti di calcolo a portata di mano, i geometri potrebbero caratterizzare le proprietà di curve e superfici con maggiore chiarezza rispetto a prima. I geometri ottengono tali informazioni attraverso la differenziazione o, equivalentemente, assumendo  derivati , che misurano il modo in cui le funzioni cambiano in risposta a cambiamenti di input. Si può pensare ad una funzione come un algoritmo o una formula che prende un numero come input e produce un numero come output:  y  =  2  è un esempio, dove i valori per  x  vanno dentro e valori per  y Vieni fuori. Una funzione è coerente: se la si nutre dello stesso input, produrrà sempre lo stesso risultato; se inseriamo 2 nel nostro esempio, otterrete sempre 4. Una derivata è il modo in cui descriviamo i cambiamenti nell’output date le modifiche incrementali in input; il valore della derivata riflette la sensibilità dell’output a lievi variazioni nell’input.

Il derivato non è solo una nozione astratta; è un numero reale che può essere calcolato e indica la pendenza di una curva o di una superficie in un dato punto. Nell’esempio sopra, ad esempio, possiamo determinare la derivata in un punto ( x  = 2) sulla nostra funzione, che in questo caso sembra essere una parabola. Se ci allontaniamo un po ‘da quel punto per dire  x  = 2.001, cosa succede all’output,  y ? Qui,  y  (se calcolato a tre punti decimali) risulta essere 4.004. La derivata qui è il rapporto tra il cambiamento di output (0,004) e il cambiamento di input (0,001), che è solo 4. E questo è, in effetti, la derivata esatta di questa funzione in  x = 2, che è un altro modo per dire che c’è anche la pendenza della curva (una parabola).

I calcoli, ovviamente, possono essere molto più complicati di quanto sopra quando selezioniamo funzioni più complicate e ci spostiamo in dimensioni più elevate. Ma ritornando, per un momento, allo stesso esempio, abbiamo ottenuto la derivata di  y  =  2  dal  rapporto  tra la variazione di  y  e la variazione in  x  perché la derivata di questa funzione ci dice la sua  pendenza,  o ripidezza, ad un dato punto-con la pendenza essendo una misura diretta di come  y  cambia rispetto a  x .

Per immaginare in un altro modo, consideriamo una palla su una superficie. Se lo spingiamo leggermente di lato, come influirà sulla sua altezza? Se la superficie è più o meno piatta, ci saranno poche variazioni in altezza. Ma se la palla è sul bordo di un grado ripido, il cambio di altezza è più consistente. I derivati ​​possono quindi rivelare la pendenza della superficie nelle immediate vicinanze della palla.

Non c’è motivo di limitarci a un solo punto in superficie. Prendendo dei derivati ​​che rivelano variazioni nella geometria (o forma) in diversi punti sulla superficie, possiamo calcolare la curvatura precisa dell’oggetto nel suo insieme. Sebbene la pendenza in un dato punto fornisca informazioni locali riguardanti solo il “vicinato” attorno a quel punto, possiamo riunire le informazioni raccolte in punti diversi per dedurre una funzione generale che descrive la pendenza dell’oggetto in qualsiasi punto. Quindi, tramite l’ integrazione, che è un modo di aggiungere e calcolare la media nel calcolo, possiamo dedurre la funzione che descrive l’oggetto nel suo complesso. Così facendo, si può conoscere la struttura di tutto l’oggetto. Questa è, in effetti, l’idea centrale della geometria differenziale, cioè che è possibile ottenere un’immagine globale di un’intera superficie, o varietà, rigorosamente da informazioni locali, tratte da derivati, che rivela la geometria (o metrica) in ogni punto .

Gauss apportò molti altri contributi degni di nota in matematica e fisica oltre al suo lavoro sulla geometria differenziale. Forse il contributo più significativo per i nostri scopi si riferisce alla sua sorprendente affermazione che gli oggetti all’interno di uno spazio non sono le uniche cose che possono essere curvate; lo spazio stesso può essere curvato. La visione di Gauss sfidava direttamente il concetto euclideo di spazio piatto – una nozione che si applicava non solo al piano bidimensionale intuitivamente piatto ma anche allo spazio tridimensionale, dove la planarità significa (tra le altre cose) che su scale molto grandi, linee parallele mai croce e la somma degli angoli di un triangolo aggiungono sempre fino a 180 gradi.

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2.2-Si può calcolare l’area delimitata da una curva mediante una tecnica di calcolo, l’ integrazione , che divide le regioni delimitate in rettangoli infinitamente sottili e somma l’area di tutti i rettangoli. Man mano che i rettangoli si restringono e si restringono, l’approssimazione migliora sempre di più. Portato al limite dell’infinitesimamente piccolo, l’approssimazione diventa il meglio che puoi ottenere.

Questi principi, che sono caratteristiche essenziali della geometria euclidea, non reggono negli spazi curvi. Prendi uno spazio sferico come la superficie di un globo. Se visti dall’equatore, le linee longitudinali sembrano essere parallele perché sono entrambe perpendicolari all’equatore. Ma se li segui in entrambe le direzioni, alla fine convergono ai poli nord e sud. Ciò non avviene nello spazio euclideo (piatto), come in una mappa di proiezione di Mercatore, in cui due linee che sono perpendicolari alla stessa linea sono veramente parallele e mai intersecate.

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2.3-Su una superficie con curvatura positiva come una sfera, la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180 gradi e le linee che sembrano essere parallele (come le linee longitudinali) possono intersecare (ai poli nord e sud, per esempio). Su una superficie piana piana (di curvatura zero), che è l’impostazione principale della geometria euclidea, la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180 gradi e le linee parallele non si intersecano mai. Su una superficie con curvatura negativa come una sella, la somma degli angoli di un triangolo è inferiore a 180 gradi e le linee apparentemente parallele divergono.

Nello spazio non euclideo, gli angoli di un triangolo possono aggiungere fino a più di 180 gradi o meno di 180 gradi a seconda di come lo spazio è curvo. Se è   curvo positivamente come una sfera, gli angoli di un triangolo si sommano sempre a più di 180 gradi. Viceversa, se lo spazio ha  una  curvatura negativa , come la parte centrale della sella di un cavallo, gli angoli di un triangolo si sommano sempre a meno di 180 gradi. Si può ottenere una misura della curvatura dello spazio determinando la misura in cui gli angoli di un triangolo si sommano a più, meno o uguale a 180 gradi.

Gauss ha anche avanzato il concetto di  geometria intrinseca – l’idea che un oggetto o una superficie abbia la propria curvatura (la cosiddetta curvatura di Gauss) che è indipendente da come potrebbe essere seduta nello spazio. Iniziamo, per esempio, con un pezzo di carta. Ci si aspetterebbe che la sua curvatura complessiva fosse pari a zero, e lo è. Ma ora arrotoliamo quel foglio in un cilindro. Una superficie bidimensionale come questa, secondo Gauss, ha due principali curvature che corrono in direzioni che sono ortogonali tra loro: una curvatura si riferisce al cerchio e ha il valore di 1 / r , dove  r  è il raggio. Se  r è 1, quindi questa curvatura è 1. L’altra curvatura corre lungo la lunghezza del cilindro, che sembra essere una linea retta. La curvatura di una linea retta è ovviamente zero, poiché non curva affatto. La curvatura di Gauss di questo oggetto – o qualsiasi oggetto bidimensionale – è uguale al prodotto di queste due curvature, che in questo caso è 1 ╳ 0 = 0. Quindi, in termini di curvatura intrinseca, il cilindro è lo stesso del foglio di carta può essere costruita da: perfettamente piana. La curvatura intrinseca zero del cilindro è il risultato del fatto che uno può formarlo da un foglio di carta senza alcun allungamento o distorsione. Per dirla in altro modo, le misure della distanza tra due punti qualsiasi sulla superficie di un foglio, indipendentemente dal fatto che il foglio sia piatto su un tavolo o arrotolato in un tubo, rimangono invariati. Ciò significa che la geometria,

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2.4-Un toro, o una superficie a forma di ciambella, può essere interamente “piatto” (curvatura Gauss zero), perché può essere realizzato, in linea di principio, arrotolando un pezzo di carta in un tubo o cilindro e quindi attaccando le estremità di il tubo l’un l’altro.

Allo stesso modo, se potessimo creare una ciambella o un toro collegando le estremità circolari di un cilindro insieme – sempre facendo così senza alcun allungamento o distorsione – il toro avrebbe la stessa curvatura intrinseca del cilindro, vale a dire zero. In pratica, tuttavia, non possiamo realmente costruire questo cosiddetto toro piatto, almeno non in due dimensioni in cui inevitabilmente si presenteranno pieghe o rughe alle cuciture. Ma possiamo costruire un tale oggetto (noto come superficie astratta) in teoria, e ha altrettanto importanza per la matematica degli oggetti che chiamiamo reali.

Una sfera, d’altra parte, è abbastanza diversa da un cilindro o da un toro piatto. Si consideri, ad esempio, la curvatura di una sfera di raggio  r . È definito dall’equazione 1 / 2  ed è lo stesso ovunque sulla superficie della sfera. Di conseguenza, ogni direzione appare uguale sulla superficie di una sfera, mentre ovviamente non è il caso di un cilindro o di una ciambella. E ciò non cambia, indipendentemente da come la sfera sia orientata nello spazio tridimensionale, proprio come un piccolo insetto che vive su quella superficie è presumibilmente ignaro di come la superficie è allineata nello spazio tridimensionale; tutto ciò di cui si preoccupa, ed esperienze, è la geometria della sua dimora locale bidimensionale.

Gauss-in concerto con Nikolai Lobachevsky e János Bolyai-ha dato un grande contributo alla nostra comprensione dello spazio astratto, in particolare il caso bidimensionale, anche se ha ammesso personalmente di avere una certa confusione in questo campo. E alla fine, né Gauss né i suoi pari furono in grado di liberare interamente la nostra concezione dello spazio dalla struttura euclidea. Ha espresso la sua perplessità in una lettera del 1817 all’astronomo Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers: “Sto diventando sempre più convinto che la necessità della nostra geometria non può essere dimostrata, almeno dalla ragione umana e dalla ragione umana. Può darsi che nella prossima vita arriveremo a punti di vista sulla natura dello spazio che ora sono inaccessibili per noi. “

Alcune risposte non arrivarono nella “prossima vita”, come aveva scritto Gauss, ma nella generazione successiva attraverso gli sforzi e la brillantezza del suo studente Georg Friedrich Bernhard Riemann. Riemann soffriva di cattiva salute e morì giovane, ma nei suoi quaranta anni su questo pianeta, aiutò a ribaltare le nozioni convenzionali di geometria e, nel processo, rovesciò anche la nostra immagine dell’universo. Riemann ha introdotto un tipo speciale di campo, un insieme di numeri assegnati a ciascun punto nello spazio che potrebbe rivelare la distanza lungo qualsiasi percorso che collega due punti: informazioni che potrebbero essere utilizzate, a sua volta, per determinare la misura in cui tale spazio è stato curvato.

Misurare lo spazio è più semplice in una dimensione. Per misurare uno spazio unidimensionale, ad esempio una linea retta, tutto ciò di cui abbiamo bisogno è un righello. In uno spazio bidimensionale, come il pavimento di una grande sala da ballo, normalmente prendiamo due righelli perpendicolari – uno chiamato l’  asse X e l’altro l’  asse y – e calcoliamo le distanze tra due punti creando triangoli rettangoli e quindi usando il teorema di Pitagora. Analogamente, in tre dimensioni, avremmo bisogno tre capi perpendicolari,  x ,  y , e  z .

Le cose diventano più complicate e interessanti, tuttavia, nello spazio curvo, non euclideo, dove i registri perpendicolarmente etichettati correttamente non sono più disponibili. Possiamo contare sulla geometria di Riemann, invece, per calcolare le distanze in spazi come questi. L’approccio che utilizzeremo nel calcolo della lunghezza di una curva, che è esso stesso seduto su una varietà curva, sembrerà familiare: suddividiamo la curva in vettori tangenti di dimensioni infinitesimali e integreremo l’intera curva per ottenere la lunghezza totale.

La parte difficile deriva dal fatto che nello spazio curvo, la misurazione dei singoli vettori tangenti può cambiare mentre ci spostiamo da un punto all’altro del collettore. Per gestire questa variabilità, Riemann ha introdotto un dispositivo, noto come  tensore metrico , che fornisce un algoritmo per calcolare la lunghezza di un vettore tangente in ciascun punto. In due dimensioni, il tensore metrico è una matrice due per due; a  n  dimensioni, tensore metrico è un  n -by- n  matrice. (Vale la pena notare che questo nuovo metodo di misurazione, nonostante la grande innovazione di Riemann, si basa ancora fortemente sul teorema di Pitagora, adattato a un contesto non euclideo).

Uno spazio dotato di una metrica Riemanniana è chiamato una  varietà Riemanniana . Equipaggiato con la metrica, possiamo misurare la lunghezza di qualsiasi curva in una varietà di dimensione arbitraria. Ma non siamo limitati a misurare la lunghezza delle curve; possiamo anche misurare l’area di una superficie in quello spazio, e una “superficie” in questo caso non è limitata alle solite due dimensioni.

Con l’invenzione della metrica, Riemann ha mostrato come uno spazio che fosse solo vagamente definito potesse invece essere concesso una geometria ben descritta, e come la curvatura, piuttosto che essere un concetto impreciso, potesse essere incapsulata in un numero preciso associato a ciascun punto in spazio. E questo approccio, ha dimostrato, potrebbe applicarsi a spazi di tutte le dimensioni.

Prima di Riemann, un oggetto curvo poteva essere studiato solo dall’esterno, come per esempio osservare una catena montuosa da lontano o osservare la superficie della Terra da una nave spaziale. Da vicino, tutto sembrerebbe piatto. Riemann ha mostrato come potremmo ancora scoprire il fatto che stessimo vivendo in uno spazio curvo, anche senza nulla per confrontare quello spazio con. 6 Questo pone una domanda enorme per fisici e astronomi: se Riemann avesse ragione, e che uno spazio fosse tutto quello che c’è, senza una struttura più grande per il ripiegamento, significava che dovevamo riadattare la nostra immagine di quasi tutto. Significava che sulle scale più grandi, l’universo non doveva essere confinato dalle restrizioni di Euclide. Lo spazio era libero di vagare, libero di curvare, libero di fare qualsiasi cosa. È per questo motivo che astronomi e cosmologi stanno facendo misurazioni meticolose nella speranza di scoprire se il nostro universo è curvo o meno. Grazie a Riemann, ora sappiamo che non dobbiamo andare fuori dal nostro universo per effettuare queste misurazioni, il che sarebbe un’impresa difficile da realizzare. Invece, dovremmo essere in grado di capire da dove siamo seduti, un fatto che potrebbe offrire conforto a entrambi i cosmologi e ai pantofolai.

Questi, in ogni caso, furono alcune delle nuove idee geometriche che circolavano quando Einstein cominciò a disegnare insieme i suoi pensieri sulla gravità. All’inizio del ventesimo secolo, Einstein aveva lottato per la parte migliore di un decennio per combinare la sua teoria della relatività speciale con i principi della gravità newtoniana. Sospettava che la risposta potesse trovarsi da qualche parte nella geometria e si rivolse a un amico, il geometra Marcel Grossman, per assistenza. Grossman, che in precedenza aveva aiutato Einstein a superare i corsi di laurea che aveva trovato poco interessanti, presentò il suo amico alla geometria di Riemann, che all’epoca era sconosciuto alla fisica, anche se il geometra lo fece con un avvertimento, definendolo “un disastro terribile che i fisici non dovrebbero essere coinvolti con “

La geometria di Riemann era la chiave per risolvere il puzzle che Einstein aveva lottato con tutti quegli anni. Come abbiamo visto nel capitolo precedente, Einstein era alle prese con l’idea di uno spazio-tempo curvo e quadridimensionale (altrimenti noto come il nostro universo) che non faceva parte di uno spazio più grande. Fortunatamente per lui, Riemann aveva già fornito un tale quadro definendo lo spazio esattamente in quel modo. “Il genio di Einstein consisteva nel riconoscere che questo corpo di matematica era fatto su misura per implementare la sua nuova visione della forza gravitazionale”, sostiene Brian Greene. “Ha audacemente dichiarato che la matematica della geometria di Riemann si allinea perfettamente con la fisica della gravità.”

Einstein riconobbe non solo che lo spazio-tempo poteva essere descritto dalla geometria di Riemann, ma anche che la geometria dello spaziotempo avrebbe influenzato la sua fisica. Mentre la relatività speciale aveva già unificato spazio e tempo attraverso la nozione di spaziotempo, la successiva teoria della relatività generale di Einstein univa lo spazio e il tempo con la materia e la gravità. Questa è stata una svolta concettuale. La fisica newtoniana aveva trattato lo spazio come un passato passivo, non come un partecipante attivo nel procedimento. L’innovazione è stata tanto più spettacolare considerando che non esisteva alcuna motivazione sperimentale per questa teoria. L’idea è nata letteralmente dalla testa di una persona (il che non vuol dire, ovviamente, che potrebbe essere scaturita dalla testa di qualcuno).

Il fisico CN Yang definì la formulazione della relatività generale di Einstein un atto di “pura creazione” che era “unico nella storia umana”. . . Einstein non stava cercando di cogliere un’opportunità che si era presentata. Ha creato l’opportunità lui stesso. E poi lo ha soddisfatto da solo, attraverso una profonda intuizione e un grande progetto. “

Fu un risultato straordinario che avrebbe potuto persino sorprendere Einstein, che non sempre aveva riconosciuto che la fisica e la matematica di base potevano essere intrecciate così strettamente. Concluderebbe anni dopo, tuttavia, che “il principio creativo risiede in matematica. In un certo senso, quindi, ritengo sia vero che il pensiero puro può afferrare la realtà, come sognavano gli antichi. ” La teoria della gravitazione di Einstein era arrivata da un tale processo di puro pensiero realizzato attraverso la matematica senza alcun suggerimento dal mondo esterno .

Equipaggiato con il tensore metrico di Riemann, Einstein elaborò la forma e altre proprietà – la geometria, in altre parole – del suo spazio-tempo appena concepito. E la risultante sintesi di geometria e fisica, culminata nella famosa equazione di campo di Einstein, illustra che la gravità – la forza che plasma il cosmo sulle più grandi scale – può essere considerata una sorta di illusione causata dalla curvatura dello spazio e del tempo. Il tensore metrico della geometria di Riemann non solo descriveva la curvatura dello spaziotempo, ma descriveva anche il campo gravitazionale nella nuova teoria di Einstein. Quindi, un corpo massiccio come il sole deforma il tessuto dello spaziotempo nello stesso modo in cui un grande uomo deforma un trampolino. E, proprio come un piccolo marmo gettato sul trampolino si muoverà a spirale attorno all’uomo più pesante, finendo per cadere nel tuffo che crea, la geometria dello spazio-tempo deformato fa sì che la Terra orbita intorno al sole. La gravità, in altre parole, è la geometria. Il fisico John Wheeler una volta spiegò la figura di gravità di Einstein in questo modo: “La massa afferra lo spazio dicendogli come curvare; lo spazio afferra la massa dicendogli come muoversi. “

Un altro esempio potrebbe aiutare a riportare questo punto a casa: supponiamo che due persone inizino in punti diversi dell’equatore e si dirigano alla stessa velocità verso il polo nord, muovendosi lungo linee longitudinali. Col passare del tempo, si avvicinano sempre di più. Potrebbero pensare di essere influenzati da una forza invisibile che li sta attirando insieme. Ma un altro modo di pensarci è che la forza assunta è in realtà una conseguenza della geometria della terra e che in realtà non esiste alcuna forza. E questo, in breve, ti dà un’idea della forza della geometria stessa.

Referenze

  • The Shape of Inner Space: String Theory e la geometria delle dimensioni nascoste dell’universo – Shing-Tung Yau, Steve Nadis (2010)
  • STEVE NADIS, CAMBRIDGE, MASSACHUSETTS, MARZO 2010
  • Georg Friedrich Bernhard Riemann, “Sulle ipotesi che giacciono alle fondamenta della geometria”, conferenza dell’Osservatorio di Göttingen, 10 giugno 1854.
  •  ET Bell,  Men of Mathematics  (New York: Simon & Schuster, 1965), p. 21.
  • Leonard Mlodinow,  Euclid’s Window  (New York: Simon & Schuster, 2002), p. xi.
  • St. Vincent Millay, “Euclide da solo ha guardato su Beauty Bare”, citato in Robert Osserman,  Poetry of the Universe  (New York: Anchor Books, 1995), p. 6.
  • Andre Nikolaevich Kolmogorov,  Matematica del XIX secolo  (Boston, Birkhauser, 1998).
  •  Deane Yang (Politecnico di New York University), lettera e-mail all’autore, 20 aprile 2009.
  • Mlodinow,  Euclid’s Window,  p. 205.
  • Brian Greene,  The Elegant Universe  (New York: Vintage Books, 2000), p. 231.
  • CN Yang, “Albert Einstein: opportunità e percezione”, discorso, 22 ° Conferenza internazionale sulla storia della scienza, Pechino, Cina, 2005.
  • Chen Ning Yang, “L’impatto di Einstein sulla fisica teorica nel 21 ° secolo”,  Bollettino AAPPS  15 (febbraio 2005).
  • Greene,  The Elegant Universe,  p. 72.

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