Geometria spazio-temporale di un buco nero

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Gli antichi pensavano che lo spazio e il tempo fossero entità preesistenti su cui si verifica il movimento. Certo, questa è anche la nostra ingenua intuizione. Secondo la teoria della relatività generale di Einstein, sappiamo che questo non è vero. Lo spazio e il tempo sono oggetti dinamici la cui forma è modificata dai corpi che vi si muovono. La normale forza di gravità è dovuta a questa deformazione dello spaziotempo. Lo spaziotempo è un’entità fisica che influenza il movimento delle particelle e, a sua volta, è influenzato dal movimento delle stesse particelle. Ad esempio, la Terra deforma lo spaziotempo in modo tale che gli orologi a diverse altitudini corrano a velocità diverse. Per la Terra, questo è un effetto molto piccolo (ma misurabile). Per un oggetto molto massiccio e molto compatto la deformazione (o la deformazione) dello spaziotempo può avere un grande effetto. 

In effetti, puoi avere un oggetto così enorme che il tempo si ferma completamente. Questi sono buchi neri. La relatività generale prevede che un oggetto che è molto massiccio e sufficientemente compatto collasserà in un buco nero. Un buco nero è una previsione così sorprendente della relatività generale che ci sono voluti molti anni per essere correttamente riconosciuta come una previsione. Lo stesso Einstein pensava che non fosse una vera predizione, ma una semplicistica semplificazione matematica. Ora sappiamo che sono chiare previsioni della teoria. Inoltre, ci sono alcuni oggetti nel cielo che sono probabilmente buchi neri.  

In un documento scritto nel 1939, Albert Einstein tentò di respingere la nozione di buchi neri che la sua teoria della relatività generale e della gravità, pubblicata più di due decenni prima, sembrava prevedere. “Il risultato essenziale di questa indagine”, ha affermato Einstein, che all’epoca aveva sei anni nella sua nomina come professore all’Istituto, “è una chiara comprensione del motivo per cui le” singolarità di Schwarzschild “non esistono nella realtà fisica”.

I buchi neri sono grandi fori nello spaziotempo. Hanno una superficie che si chiama “orizzonte”. È una superficie che segna un punto di non ritorno. Una persona che lo attraversa non potrà mai tornare indietro. Tuttavia, non sentirà nulla di speciale quando attraverserà l’orizzonte. Solo un po ‘più tardi si sentirà molto a disagio quando sarà schiacciato in una “singolarità”, una regione con campi gravitazionali molto alti. L’orizzonte è ciò che rende i buchi neri “neri”; nulla può sfuggire all’orizzonte, nemmeno la luce. Fortunatamente, se rimani fuori dall’orizzonte, non ti succede niente di male. La singolarità rimane nascosta dietro l’orizzonte.

Questo documento descrive la natura dello spaziotempo dentro e attorno ai buchi neri.  Il lettore viene portato in un viaggio immaginario all’interno di un buco nero. Ma prima, introdurremo una teoria molto elegante di spazio, tempo e gravità: la teoria della relatività generale di Einstein. La relatività generale ci fornisce gli strumenti di cui abbiamo bisogno per comprendere i buchi neri. In questo articolo, presumo che il lettore abbia familiarità con il calcolo e la relatività speciale. Iniziamo esaminando la teoria della relatività speciale, introducendo un approccio geometrico che conduce naturalmente alla teoria generale.

Teoria speciale della relatività

La relatività speciale è chiamata “speciale” perché descrive un tipo speciale di movimento: movimento uniforme, rettilineo senza alcuna accelerazione. Due osservatori che sono in uniforme, movimento rettilineo l’uno rispetto all’altro sono chiamati osservatori inerziali. I loro frame di riferimento sono chiamati frame di riferimento inerziali. Se due osservatori stanno accelerando l’uno rispetto all’altro, non sono osservatori inerziali e la loro situazione non può essere gestita dalla relatività speciale. Einstein sviluppò la relatività speciale nell’anno 1905, concentrandosi sugli osservatori inerziali e ignorando l’accelerazione. Nei successivi dieci anni, è stato in grado di generalizzare la sua teoria per includere tutti i tipi di movimento, inclusa l’accelerazione e la gravità. Einstein pubblicò la sua teoria generale della relatività nel 1916. (Pubblicò il suo primo articolo sull’argomento nel novembre 1915.

La relatività speciale si basa su due principi. Il primo è il principio speciale della relatività, che afferma che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ciò significa che non esiste un frame di riposo assoluto. Il punto di vista di un osservatore è valido quanto quello di un altro. Il secondo principio è il postulato della luce di Einstein, che afferma che la velocità della luce nel vuoto è costante e ha lo stesso valore per tutti gli osservatori inerziali. Questo postulato è stato verificato da innumerevoli esperimenti. Questi esperimenti hanno sempre trovato lo stesso valore per la velocità della luce nello spazio vuoto, indipendentemente dai movimenti (uniformi) dei dispositivi di misurazione. La velocità della luce nel vuoto è di circa 300.000 km (chilometri) al secondo. Questa velocità è rappresentata dalla lettera c, che sta per celeritas (in latino per “swift”).

La costanza della velocità della luce è in contrasto con la nostra ordinaria esperienza quotidiana di movimento. Normalmente quando misuriamo la velocità di un oggetto, misuriamo quella velocità rispetto a qualcosa. Ad esempio, se sto camminando a 3 miglia all’ora, si comprende che la mia velocità è misurata rispetto al terreno su cui sto camminando. Se cammino a 3 mph su un treno in movimento, un osservatore in piedi vicino alle piste potrebbe misurare la velocità del treno a 60 miglia orarie, e la mia velocità a 63 mph. Un passeggero seduto sul treno avrebbe comunque misurato la mia velocità a 3 miglia orarie. Diciamo che il movimento è relativo. La luce non si comporta in questo modo, comunque. Se mi trovo in una nave spaziale che vola lontano dal Sole a 100.000 km / sec e misuro la velocità dei raggi di luce del Sole che mi passano davanti, non otterrò un valore di 200.000 km / sec, come ci si aspetterebbe. Per comprendere questo risultato curioso, dobbiamo dare un’occhiata più da vicino a ciò che stiamo misurando quando misuriamo la velocità di un oggetto. Per misurare la velocità di qualsiasi cosa, dividiamo la distanza nello spazio per il tempo impiegato per percorrere quella distanza. In altre parole, misuriamo la velocità in unità di spazio divise per il tempo. Quindi se la velocità della luce è veramente costante per tutti gli osservatori indipendentemente dai loro movimenti relativi, deve essere l’unità di spazio e tempo che cambia. L’intuizione di Einstein era di rendersi conto che lo spazio e il tempo non sono assoluti e immutabili, come si pensava in precedenza. Invece, lo spazio e il tempo sono relativi e dipendono dal movimento dell’osservatore.

Nella sua teoria della relatività speciale, Einstein ha elaborato esattamente come le unità di spazio e tempo devono variare in modo che la velocità della luce rimanga costante per tutti gli osservatori inerziali. Ad esempio, supponiamo che due osservatori, Alice e Bob, decidano entrambi di misurare la velocità di un raggio di luce che passa dal Sole. Alice si trova in una navicella spaziale che sfreccia via dalla Terra e dal Sole a 150.000 km / s (metà della velocità della luce), mentre Bob è a riposo nel suo osservatorio sulla Terra. Sia Alice che Bob arrivano con la stessa velocità per il raggio di luce, ovvero 300.000 km / s. Entrambi hanno misurato la distanza percorsa dal raggio di luce per un certo periodo di tempo. Affinché la misurazione di Alice a bordo della sua astronave in movimento risulti uguale a quella di Bob, Bob conclude che il misurino di Alice deve essere più corto del suo, e il suo cronometro deve essere più lento del suo. Dal punto di vista di Bob, lo spazio si è contratto nella direzione del movimento di Alice e il tempo per Alice è rallentato o dilatato. I contratti spaziali e il tempo si dilatano esattamente della quantità necessaria in modo che quando Alice misura la velocità di un raggio di luce che passa, ottiene lo stesso valore che fa Bob. Due utili mnemonici per ricordare come lo spazio e il tempo cambiano con il movimento sono: “i bastoni mobili si accorciano” e “gli orologi mobili si muovono lentamente”. Per quantificare la quantità di spazio e tempo che cambia con il movimento uniforme, Einstein ha introdotto un fattore chiamato γ (gamma). In unità SI (standard internazionali) di metri (m) e secondi (s), γ è dato da

equazione

Per esempio, se l’astronave di Alice viaggia a metà della velocità della luce, allora v = 150.000.000 m / s, quindi 1 – v / c 2 = 1 – (150.000.000 m / s) / (300.000.000 m / s) 2 = 0,75, e quindi γ = 1 / √ (0,75) ≈ 1,15. Per determinare la lunghezza del misurino di Alice rispetto a Bob, dividiamo per γ . Se il suo metro è lungo un metro quando è a riposo, allora la lunghezza del bastoncino di Alice quando si muove a metà della velocità della luce è, secondo Bob, 1 m / 1,15 = 0,87 m. Secondo Alice, tuttavia, il suo bastone è ancora lungo esattamente un metro. Per determinare quanto più lento è il suo orologio rispetto a Bob, moltiplichiamo per γ . Da 1 s × 1,15 = 1,15 s, Bob scopre che l’orologio di Alice corre circa il 15% più lentamente del suo.

Nella relatività generale, le unità SI non sono molto comode con cui lavorare. Invece, usiamo quelle che sono conosciute come “unità geometrizzate”. Con unità geometriche, misuriamo sia la distanza che il tempo in metri. Per convertire il tempo da secondi a metri, chiediamo quanto tempo impiega la luce a percorrere una distanza di un metro? Poiché la luce percorre 300 milioni di metri in un secondo, la luce viaggia per un metro in un solo 300 milioni di secondi. Un metro di tempo è pari a 1 /300.000.000 di s. Nelle unità geometrizzate, la velocità della luce è 1 e senza dimensioni, poiché la luce percorre 1 metro di distanza in 1 metro di tempo (c = 1 m /1 m = 1). Le unità geometriche sono molto più convenienti con cui lavorare nella teoria della relatività. Inoltre, come vedremo presto, la relatività tratta lo spazio e il tempo in modo molto simile, quindi è appropriato usare le stesse unità per entrambi. Se sostituiamo c = 1 nella formula per γ sopra riportata, otteniamo γ in unità geometrizzate:

equazione

Tornando al nostro esempio di Alice e Bob, ora possiamo calcolare γ usando unità geometrizzate. Poiché l’astronave viaggia a metà della velocità della luce, v = 0,5, quindi 1 – v 2  = 1 – (0,5) 2 = 0,75 e γ = 1 / √ (0,75) ≈ 1,15, lo stesso risultato che abbiamo ottenuto in precedenza. Nella teoria della relatività, lavoriamo spesso con due sistemi di coordinate (fotogrammi di riferimento) che sono in movimento l’uno rispetto all’altro. Ogni sistema di coordinate rappresenta lo spaziotempo come sperimentato da uno degli osservatori. Poiché lo spaziotempo ha quattro dimensioni (tre di spazio e una di tempo), è necessario specificare quattro coordinate. Se conosciamo le coordinate di un punto in un sistema di coordinate, diciamo (t, x, y, z), potremmo voler conoscere le coordinate di quel punto nell’altro sistema di coordinate. Nella meccanica newtoniana, possiamo trovare queste altre coordinate, diciamo (t ‘, x’, y ‘, z’), usando la trasformazione galileiana. Consideriamo due osservatori O e O ‘, dove O’ si muove con velocità costante v lungo l’asse x positivo di un sistema di coordinate cartesiane, e le posizioni di O e O ‘coincidono con l’origine nel tempo t = 0. Vedi figura 1.

t ‘= t, x’ = x – vt, y ‘= y, z’ = z.

Cornici inerziali

Nella relatività speciale, la trasformazione galileiana non funzionerà. Ciò è dovuto alla dilatazione del tempo e alla contrazione spaziale. Si noti, ad esempio, come la coordinata temporale non cambia nella trasformazione galileiana, anche se i due sistemi di coordinate sono in movimento l’uno rispetto all’altro. Ciò riflette la visione del mondo newtoniano, in cui il tempo è assoluto e immutabile. Nella relatività speciale, la trasformazione galileiana è sostituita dalla trasformazione di Lorentz. Nelle unità geometrizzate, la trasformazione di Lorentz è data da

t ‘= γ (t – vx), x’ = γ (x – vt), y ‘= y, z’ = z. (1)

La trasformazione di Lorentz può essere derivata applicando lo speciale principio di relatività e il postulato di luce a due sistemi di coordinate nella configurazione standard sopra descritta. Nella geometria euclidea, misuriamo la distanza spaziale Δd tra due oggetti o eventi usando il teorema di Pitagora: 

Δd 2   = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 ,

dove Δx, per esempio, è il cambiamento in x, cioè la differenza tra le coordinate x di due eventi. Supponiamo, ad esempio, che Alice e Bob giochino. Bob lancia la palla ad Alice. Facciamo riferimento al luogo e al momento in cui Bob lancia la palla come evento P e il luogo e il momento in cui Alice lo cattura come evento Q. Possiamo designare la coordinata x dell’evento P come x P e la coordinata x dell’evento Q come x Q . Poi Ax = x Q – x P . Analogamente, Ay = y Q – y P e Az = z Q – z P . Usando il teorema di Pitagora, possiamo calcolare Δd, la distanza tra questi due eventi. Nella meccanica newtoniana il teorema di Pitagora viene usato per misurare la distanza o la separazione spaziale tra due eventi. La distanza Δd è frame-invariant, il che significa che due osservatori newtoniani in moto relativo tra loro otterranno sempre lo stesso valore quando misurano la distanza tra due eventi. Per dimostrare che la distanza pitagorica è invariante rispetto alla trasformazione galileiana, iniziamo con

equazione

e sostituisci x ‘, y’ e z ‘usando la trasformazione galileiana. Per esempio,

equazione

Dopo aver completato queste manipolazioni algebriche, il lettore può verificarlo

equazione

che mostra che la distanza è invariante rispetto alla trasformazione galileiana. La distanza pitagorica non è tuttavia invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz. Questo perché nella relatività speciale, le distanze spaziali possono variare per gli osservatori che si muovono l’uno rispetto all’altro. Sebbene Einstein abbia scoperto che le misure spaziali e temporali possono variare in diversi fotogrammi di riferimento, il suo insegnante di matematica Minkowski ha trovato un modo per misurare lo spazio e il tempo insieme in modo tale che la misurazione non vari. Questa scoperta fu di fondamentale importanza per il successivo sviluppo della relatività generale. Minkowski sostituì la distanza euclidea con l’ intervallo spaziotempo . L’intervallo dello spazio-tempo invariante alla trama Δs tra due eventi è definito da

Δs 2 = -Δt 2 + Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 .

A differenza della normale distanza, l’intervallo dello spaziotempo misura la separazione tra due eventi nello spazio e nel tempo . Per dimostrare che l’intervallo dello spaziotempo è invariante rispetto alla trasformazione di Lorentz, iniziamo con

equazione

e sostituire t ‘, x’, ecc. usando la trasformazione di Lorentz, come indicato sopra (1). Dopo alcune manipolazioni algebriche, il lettore può verificarlo

equazione

che mostra che l’intervallo è invariante di frame. La scoperta di Minkowski ci consente di usare l’intervallo spaziotemporale al posto del teorema di Pitagora per misurare la “distanza” (separazione spazio-temporale) nella geometria non-euclidea della relatività speciale. Che cosa significa in realtà l’invarianza del frame dell’intervallo dello spaziotempo? Minkowski disse: “D’ora in poi, lo spazio da solo, e il tempo da solo, sono svaniti nelle più piccole ombre e solo una specie di miscela dei due esiste di per sé.” Considera un oggetto tridimensionale, ad esempio un bastone. Getta un’ombra bidimensionale contro un muro. Mentre giriamo il bastone, la lunghezza dell’ombra cambia, anche se il bastone stesso rimane della stessa lunghezza. In modo analogo, possiamo immaginare un “oggetto” dello spazio-tempo quadridimensionale. Tutti gli osservatori inerziali concordano sul fatto che questo oggetto abbia la stessa “lunghezza” (intervallo) nello spaziotempo. Tuttavia, osservatori diversi vedono diverse lunghezze per l'”ombra” tridimensionale dell’oggetto nello spazio. Usando l’intervallo dello spaziotempo e le unità geometrizzate, possiamo classificare la separazione tra due eventi in uno dei tre modi seguenti:

1. Se Δs 2 <0, si dice che gli eventi hanno una separazione temporale . Per ogni due eventi con separazione temporale, la separazione nello spazio è inferiore alla separazione nel tempo. Per vedere questo, considera quanto segue:

equazione

che mostra che Δd <Δt. In questo caso, è possibile per un osservatore inerziale sperimentare entrambi gli eventi. Diciamo che gli eventi si trovano sulla linea di mondo di un tale osservatore. L’osservatore viaggia più lentamente della velocità della luce, poiché Δd / Δt <1.

2. Se Δs 2 = 0, si dice che gli eventi hanno una separazione nullo o leggera . In questo caso gli eventi si trovano sulla linea del mondo di un raggio di luce. La separazione nello spazio e la separazione nel tempo sono uguali. (Δd = Δt, o Δd / Δt = 1, la velocità della luce nelle unità geometrizzate.)

3. Se Δs 2 > 0, si dice che gli eventi hanno una separazione spaziale . Due eventi con separazione spaziale non possono trovarsi sulla stessa linea del mondo, poiché Δd / Δt> 1 (maggiore della velocità della luce). In questo caso esiste sempre un riferimento di riferimento inerziale in cui gli eventi sono simultanei (separati nello spazio ma non nel tempo).

Nella relatività speciale, i percorsi delle particelle materiali sono limitati alle linee del mondo timeliche, e i percorsi dei fotoni (raggi di luce) sono limitati a linee del mondo nulle o leggere. Le linee del mondo astratte sono escluse. (Le linee del mondo astratte corrispondono a percorsi che sono più veloci della velocità della luce, o che vanno indietro nel tempo.) Vedi figura 2. In questo diagramma, l’asse verticale t rappresenta il tempo e l’asse orizzontale x rappresenta una dimensione dello spazio. L’origine O rappresenta il momento presente per alcuni osservatori. Il futuro dell’osservatore giace da qualche parte tra le due linee del mondo di luce, con t> 0. Il passato dell’osservatore giace da qualche parte tra queste due linee del mondo, con t <0. Se dovessimo aggiungere una dimensione aggiungendo un asse perpendicolare alla xe t assi, le linee di luce del mondo formerebbero due coni che si incontrano all’origine. Questi sono chiamati “coni di luce”. Quando due eventi hanno una separazione temporale (Δs 2 <0), definiamo l’ intervallo di tempo appropriato tra gli eventi da Δ τ (delta tau), dove

equazione

Diagramma dello spaziotempo

Il momento giusto, noto anche come orologio da polso, è il tempo misurato da un osservatore che fa esperienza di entrambi gli eventi. Poiché il momento giusto per le linee del mondo leggere è zero, possiamo dire che i fotoni non sperimentano il passare del tempo. (Δ τ = | Δs | = 0 per i fotoni.) Consideriamo l’intervallo spazio-temporale di un fotone che viaggia nella direzione x. Per questo fotone, Δy e Δz sono zero. Impostando Δs 2 = 0, otteniamo

0 = -Δt 2 + Δx o

 equazione

così che

equazione

quale è il risultato da aspettarsi. In tutti i fotogrammi inerziali di riferimento, la velocità della luce è costante e pari a uno in unità geometrizzate. Come altro esempio, consideriamo il caso delle sorelle gemelle, Mary e Jane. Jane decide di viaggiare verso la stella più vicina, Alpha Centauri. Ha a disposizione un’astronave molto veloce, una che può viaggiare quasi alla velocità della luce. Sua sorella Mary è una casalinga e preferisce rimanere sulla Terra. Confrontiamo i tempi giusti delle due sorelle, usando la cornice di riferimento di Maria per i nostri calcoli. Ignoriamo l’accelerazione in questo esempio, per il quale avremmo bisogno di usare la relatività generale. Inoltre, al posto dei metri, usiamo anni per t e anni luce per x. Mary dice addio a Jane e aspetta 12 anni. Dopo 12 anni, Jane torna dal suo viaggio verso Alpha Centauri, a 4,5 anni luce di distanza. Mary calcola il proprio intervallo di tempo come segue:

equazione

Dal momento che è rimasta a casa, ha usato Δx = 0 nel suo calcolo. Mary è sorpresa di scoprire che Jane non è invecchiata quanto lei, comunque. Non è così sorpresa dopo aver calcolato l’intervallo di tempo appropriato di Jane. Usando Δx = 9 anni luce, ottiene:

equazione

Una curiosa scorciatoia

Vedere la figura 3. Anche in questo caso, questo calcolo è approssimativamente corretto, poiché non è stato effettuato alcun aggiustamento per il tempo impiegato da Jane per accelerare e decelerare. Tuttavia, questo esempio illustra un fatto interessante: il percorso più lungo attraverso lo spaziotempo di Minkowski è in realtà quello che non implica alcun movimento attraverso lo spazio, solo il tempo. Questo perché sottraiamo le componenti spaziali del percorso per calcolare l’intervallo. Lo spazio-tempo di Minkowski (il nostro tempo-spazio!) Ha un carattere veramente non euclideo.

Un disco di accrescimento moderatamente realistico, creato da artisti

La relatività generale

La relatività speciale non tiene conto dell’accelerazione. L’accelerazione si verifica ogni volta che un osservatore cambia la sua velocità o la direzione del movimento. Nel 1907, Einstein ebbe quello che chiamò “il pensiero più felice della mia vita”, che gli effetti dell’accelerazione non possono essere distinti dagli effetti della gravità. Einstein chiamava questo il principio di equivalenza. Ad esempio, supponiamo di viaggiare in un’astronave lontana da qualsiasi pianeta. Supponiamo che i razzi scoccino, facendo accelerare l’astronave in avanti ad una velocità di 10 m / s 2 . Ti ritroverai presto sul “pavimento” dell’astronave (la paratia posteriore). Sperimenterai una forza che non potrebbe essere distinta dalla gravità. Potresti alzarti e camminare intorno alla paratia posteriore, Una volta che Einstein si rese conto che gli effetti della gravità e dell’accelerazione sono equivalenti, fu in grado di estendere il principio di relatività dai fotogrammi di riferimento inerziali a tutti ifotogrammi di riferimento. Lo ha fatto dimostrando che le leggi della fisica che descrivono l’accelerazione potrebbero anche essere usate per descrivere la gravità.

Per capire come Einstein ha usato il suo principio di equivalenza, immagina una giostra per il parco giochi (il tipo che i bambini afferrano e corrono accanto per aumentare la velocità e poi saltare). Quando la giostra gira intorno, qualsiasi bambino a bordo sperimenterà una forza diretta verso l’esterno, chiamata forza centrifuga. Ora immagina di mettere centinaia di stuzzicadenti sulla giostra, formando una serie di anelli concentrici, alcuni vicino al centro della giostra, alcuni vicino al bordo, e alcuni in mezzo. Immagina che gli stuzzicadenti siano incollati e disposti in modo che puntino tutti nella direzione della rotazione della giostra. Ora immagina di stare in piedi vicino alla giostra e guardarlo girare intorno, con gli anelli concentrici di stuzzicadenti che girano intorno con esso. Per relatività speciale, poiché gli stuzzicadenti sono in movimento rispetto a te, diventeranno più corti (“i bastoncini mobili si accorciano”). Gli stuzzicadenti vicino alla parte esterna della giostra muovono più velocemente, quindi si contraggono di più. Proprio come gli stuzzicadenti sono accorciati, così lo spazio stesso viene accorciato o deformato. Quindi, sostituisci gli stuzzicadenti con piccoli orologi, centinaia di essi su tutta la giostra. Ora, quando la giostra gira intorno agli orologi, rallenta, con quelli vicini all’esterno che corrono più lentamente di quelli vicini al centro. Il tempo rallenta sulla giostra, specialmente vicino al bordo esterno. Esperimenti di pensiero come questo hanno mostrato a Einstein che lo spaziotempo deve essere deformato in presenza di accelerazione. E poiché credeva che l’accelerazione equivalesse alla gravità, Einstein vide che lo spaziotempo doveva anche essere deformato in presenza della gravità. Presto arrivò a credere che la materia e l’energia causassero la distorsione dello spazio-tempo, e questa deformazione dello spazio-tempo è ciò che sperimentiamo come gravità. Secondo Einstein, un bambino su una giostra sta viaggiando attraverso uno spazio-tempo deformato, che lei sperimenta come forza centrifuga. Sta tentando di seguire un percorso attraverso lo spazio-tempo deformato che porta via dalla giostra. Allo stesso modo, i nostri viaggi attraverso lo spazio-tempo deformato vicino al pianeta Terra ci fanno sperimentare la forza che chiamiamo gravità. (E notate che anche quando siamo fermi, stiamo ancora viaggiando nel tempo, quindi sentiamo ancora la forza di gravità. Ci muoviamo sempre attraverso lo spaziotempo.) Con queste intuizioni per guidarlo, Einstein sviluppò la sua teoria generale della relatività.

La relatività generale è la teoria della gravità di Einstein. È basato su due principi fondamentali: (1) Il principio di equivalenza: gli effetti dell’accelerazione e gli effetti della gravità sono essenzialmente equivalenti. (2) Il principio generale della relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tuttofotogrammi di riferimento, compresi i fotogrammi di accelerazione. Una cornice di riferimento accelerata senza gravità è equivalente a un telaio non accelerante con gravità. Ad esempio, l’occupante di un’auto in accelerazione viene premuto contro il sedile. In alternativa, l’occupante potrebbe scegliere di considerarsi stazionario mentre il resto dell’universo accelera davanti a lui. Da questo punto di vista alternativo, il campo gravitazionale del resto dell’universo spiega la forza che prova facendolo schiacciare contro il suo posto. La relatività generale ci dice che questi due punti di vista sono equivalenti. La relatività generale è una teoria geometrica. La gravità non è più considerata una forza di attrazione tra due corpi. Invece, la gravità è associata alla deformazione dello spazio e del tempo. La deformazione o la curvatura dello spaziotempo è causata da oggetti massicci come stelle o pianeti. In effetti, secondo la relatività generale, la materia, l’energia e la pressione causano tutti lo spazio-tempo alla deformazione.

In che modo lo spazio-tempo deformato attorno alla Terra fa cadere oggetti verso di esso? Gli oggetti a caduta libera in un campo gravitazionale seguono le geodetiche, che sono percorsi di lunghezza estrema. Sono i percorsi più lunghi o più brevi possibili tra due punti nello spaziotempo. Secondo la relatività generale, gli oggetti a caduta libera percorrono il percorso più lungo possibile attraverso lo spaziotempo, quindi seguono le geodetiche. Riteniamo che gli oggetti a caduta libera in un campo gravitazionale cadano perché stanno seguendo le geodetiche attraverso lo spaziotempo curvo. I raggi di luce seguono anche le geodetiche, ma queste geodetiche non possono essere definite in termini di lunghezza, poiché tutti i percorsi leggeri hanno la stessa lunghezza (intervallo di spaziotempo), vale a dire zero. Invece, definiamo queste geodetiche come i percorsi più dritti possibili attraverso lo spaziotempo curvo. Questa definizione è resa precisa attraverso le tecniche della geometria differenziale, la geometria generalizzata non euclidea sviluppata nel XIX secolo dai grandi matematici Gauss e Riemann e utilizzata da Einstein nella relatività generale.

Geometria differenziale

Nella geometria differenziale, una superficie curva è divisa in un numero infinito di pezzi infinitamente piccoli. Ogni pezzo è misurato dal “metrico” o “elemento di linea” ds, un differenziale che dà la distanza tra due punti che sono infinitamente vicini tra loro sulla superficie. Vedere la figura 4. Le tecniche della geometria differenziale possono essere utilizzate per trovare un’equazione per la metrica valida in qualsiasi punto della superficie curva. A differenza della geometria convenzionale, le distanze geometriche differenziali possono essere determinate su una superficie curva senza riferimento a nulla al di fuori della superficie. Ad esempio, se consideriamo una sfera come una superficie curva bidimensionale, la circonferenza della sfera può essere determinata senza conoscere il suo raggio, che si trova al di fuori della superficie della sfera. Le tecniche della geometria differenziale funzioneranno in generale, per qualsiasi superficie curva continua qualunque, in qualsiasi numero di dimensioni. Proprio quello di cui Einstein aveva bisogno per la sua teoria della gravità. In generale, nelle quattro dimensioni dello spaziotempo, l’equazione per la metrica assume la seguente forma:

ds 2 = g 11 dt 2 + g 22 dx 2 + g 33 dy 2 + g 44 dz 2

+ 2 g 12 dt dx + 2 g 13 dt dy + 2 g 14 dt dz + 2 g 23 dx dy + 2 g 24 dx dz + 2 g 34 dy dz. (3)

I dieci coefficienti g αβ sono, in generale, funzioni di t, x, y e z. Nello spazio euclideo tridimensionale, abbiamo impostato

22 = g 33 = g 44 = 1,

e gli altri coefficienti pari a zero. Otteniamo quindi la formula pitagorica convenzionale

ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ,

che misura la distanza tra due punti infinitamente vicini nello spazio euclideo. Per trovare la distanza Δs tra due punti distanti una distanza finita, sommiamo i differenziali integrando la metrica lungo la geodetica che collega i due punti. Naturalmente, nello spazio euclideo sappiamo che la geodetica è solo la linea retta che collega i due punti, e non dobbiamo usare l’integrazione per trovare la distanza. Tuttavia, la tecnica di prendere la linea integrale della metrica lungo la geodetica tra due punti per trovare la distanza tra loro funzionerà in qualsiasi geometria, euclidea o non euclidea, piana o curva.

La formula generale per la metrica data sopra (3) può essere chiamata il teorema pitagorico generalizzato per lo spaziotempo quadridimensionale. Nello spazio-tempo piatto di Minkowski della relatività speciale, abbiamo impostato

11 = -1, g 22 = g 33 = g 44 = 1,

e gli altri coefficienti pari a zero. Otteniamo quindi la metrica di Minkowski

ds 2 = -dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 . (4)

Integrando questa metrica lungo la linea del mondo che collega due eventi nello spaziotempo piatto (Minkowski), possiamo trovare l’intervallo Δs tra gli eventi. Ancora, ci sono modi più semplici per trovare l’intervallo nello spaziotempo piatto, ma nello spazio-tempo curvo della relatività generale, prendere l’integrale della metrica è l’unico modo che funzionerà sempre. Quando è presente la gravità o l’accelerazione, lo spazio-tempo diventa deformato, quindi la formula per la metrica diventa più complessa di quella usata per lo spazio Euclideo o Minkowski. Vedremo un esempio di tale metrica in breve, quando discuteremo di buchi neri.Secondo la relatività generale, la metrica ds è frame-invariant. Possiamo usarlo per trovare l’intervallo tra due eventi in qualsiasi frame di riferimento, indipendentemente dal movimento o dall’accelerazione. Tuttavia, per cambiare da un frame di riferimento all’altro, i coefficienti g αβ devono essere trasformati (usando una formula di trasformazione appropriata). Il valore di ds non viene modificato da questa trasformazione, anche se cambiano i coefficienti della metrica.

Insieme alla geometria differenziale, la relatività generale utilizza uno strumento matematico chiamato analisi del tensore. I tensori sono funzioni multidimensionali di valori reali. Sono utili perché sono frame-invariant. In altre parole, un tensore darà lo stesso numero reale indipendentemente dal fotogramma di riferimento in cui vengono calcolati i componenti vettoriali. Questa proprietà rende i tensori una utile scorciatoia per rappresentare le metriche invarianti alla trama della relatività generale. Nella relatività generale, un tensore che rappresenta la curvatura dello spaziotempo è impostato su un tensore che rappresenta il contenuto di energia dello stress dello spaziotempo (la materia, l’energia e la pressione presenti). Questo è il modo in cui la relatività generale modella matematicamente il concetto che materia, energia e pressione causano lo spazio-tempo alla deformazione, che sperimentiamo come gravità. Questa equazione del tensore può essere scritta come

αβ = 8π T αβ ,

dove G e T sono i tensori che rappresentano rispettivamente la curvatura e il contenuto di energia di stress dello spaziotempo. Questa equazione è il risultato più importante della relatività generale. Può essere usato per costruire modelli matematici dell’universo, nonché di stelle e buchi neri. L’espansione di questa equazione del tensore fornisce le “equazioni di campo di Einstein”, un sistema di dieci equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari. Questi non possono essere risolti in generale. Invece, le condizioni iniziali e le assunzioni semplificative, come la simmetria sferica, vengono utilizzate per ottenere un insieme di equazioni più semplice e risolvibile. Quando queste equazioni sono risolte, il risultato è il tensore metrico, che contiene i dieci coefficienti g αβ della metrica (3). La metrica risultante descrive la geometria dello spaziotempo da modellare (ad esempio una stella, un buco nero o l’universo). (Con ipotesi semplificative, alcuni dei dieci coefficienti saranno pari a zero).

Nel caso più semplice, quello dello spazio-tempo piatto (senza accelerazione o campo gravitazionale), il tensore metrico si espande per fornire la metrica Minkowski (4). Quando i metodi della relatività generale sono applicati a una geometria dello spaziotempo curvo (come troviamo all’interno o vicino a una stella), il risultato è una metrica più complessa.

Timelike World Line

In generale, l’intervallo di tempo appropriato tra due eventi infinitamente vicini su una linea del mondo a tempo può essere ottenuto dalla metrica trovando d τ = | ds |. L’intervallo di tempo appropriato Δ τ tra due eventi P e Q che giacciono su una linea del mondo W è definito come l’integrale di riga di d τ lungo W da P a Q. Vedi figura 5. Nella relatività generale, le linee del mondo possono essere curve a causa dell’accelerazione o della gravità, ma la pendenza deve rimanere inferiore a 45 gradi (in unità geometriche). Il tempo corretto Δ τ da P a Q è uguale al tempo misurato su un orologio che si muove lungo W da P a Q. (Questo è noto come Ipotesi dell’Orologio). La nostra esperienza della realtà fisica ci dice che il tempo ha una direzione. Supponiamo che non sia possibile per un osservatore viaggiare lungo la linea del mondo W da Q a P (indietro nel tempo).

Metrica di Schwarzschild

Nel 1915, il fisico tedesco Karl Schwarzschild risolse le equazioni di campo di Einstein per il caso speciale di una massa sferica, non rotante (come una stella o un buco nero). La cosiddetta metrica di Schwarzschild può essere utilizzata per descrivere la curvatura dello spaziotempo causata da un buco nero non rotante. La metrica di Schwarzschild è stata derivata utilizzando la cornice di riferimento in cui l’oggetto sferico è stazionario. Ciò significa che i coefficienti della metrica di Schwarzschild sono validi solo per gli osservatori che sono “a riposo” o immobili rispetto all’oggetto. “A riposo” significa che le coordinate spaziali di questi osservatori non cambiano nel tempo. La metrica di Schwarzschild può essere applicata solo ai buchi neri non rotanti. Una soluzione per la rotazione dei buchi neri è stata trovata da Kerr. Poiché la metrica di Kerr è più complessa, questo documento prenderà in considerazione solo la metrica di Schwarzschild. (Anche la maggior parte dei risultati qui riportati sono validi per la soluzione di Kerr). Considera un buco nero di massa M (in unità geometrizzate), centrato in un punto r = 0. Per r> 2M, la metrica di Schwarzschild è data in coordinate sferiche (t, r, θ, φ) di

equazione

Ci sono molte caratteristiche interessanti e sorprendenti della geometria descritta da questa metrica. Innanzitutto dico che il “raggio” r = 2M è chiamato raggio di Schwarzschild o orizzonte degli eventi del buco nero. L’orizzonte degli eventi può essere pensato come il confine che separa l’interno dall’esterno di un buco nero.

Quando r si avvicina a 2M, il coefficiente di dt 2  si avvicina a zero e il coefficiente di dr 2  si avvicina all’infinito (poiché 1 – 2M / 2M = 1 – 1 = 0). Per molto tempo non era noto se l’infinita “singolarità” in r = 2M fosse una singolarità fisica reale, che non poteva essere attraversata da un osservatore in collisione, o solo da una singolarità di coordinate. (Un esempio familiare di singolarità di coordinate è quello in r = 0 in coordinate polari, dove θ può assumere qualsiasi valore ed è quindi indeterminato.Una trasformazione in coordinate cartesiane (rettangolari) elimina questa singolarità.) In generale, una singolarità di coordinate indica un problema matematico, non un problema fisico reale, e può essere eliminato da una trasformazione di coordinate. Sebbene la singolarità di r = 2M fosse a lungo sospettata di essere una singolarità delle coordinate, ciò non è stato dimostrato fino alla fine degli anni ’50, quando fu trovata una trasformazione coordinata che eliminava la singolarità. Da allora sono state scoperte ulteriori trasformazioni di coordinate. Questi non saranno considerati qui, poiché sono matematicamente complessi.

Nella successiva analisi, considereremo spesso la prospettiva di un osservatore che è a riposo a “infinito”, cioè molto lontano dal buco nero. Per un osservatore del genere, il tempo corretto e il tempo di coordinazione sono quasi uguali. Per vedere questo, si consideri la metrica di Schwarzschild, data sopra. Quando r si avvicina all’infinito, il coefficiente di dt 2 si avvicina a -1. Le coordinate spaziali r, θ e φ per un osservatore a riposo sono costanti nel tempo, quindi i differenziali dr, dθ e dφ sono zero. Pertanto, d τ = | ds | ≈ dt. Quindi, il tempo corretto Δ τ di un osservatore a riposo lontano da un buco nero è approssimativamente uguale al tempo di coordinata Δt.  Impostando ds 2 = 0 nella metrica di Schwarzschild, possiamo studiare il comportamento di un raggio di luce vicino all’orizzonte degli eventi, come visto da un osservatore a riposo a “infinito”. Possiamo semplificare l’analisi assumendo che il raggio viaggi lungo una geodetica radiale nulla, direttamente verso il buco nero o direttamente lontano da esso. Quindi le coordinate θ e φ del raggio di luce non cambiano. Ciò implica che dθ e dφ sono zero, quindi possiamo eliminare il termine della mano destra nella metrica di Schwarzschild. Impostando ds 2 = 0, abbiamo

equazione

così che

equazione o equazione

Ora come r si avvicina a 2M, dt /dr si avvicina all’infinito. Questo è un effetto di dilatazione del tempo. Qualsiasi messaggio inviato tramite segnale luminoso da vicino all’orizzonte degli eventi (r = 2M) a un osservatore lontano dal buco nero sarà allungato o dilatato. Quanto più l’emettitore del segnale luminoso è vicino all’orizzonte degli eventi, tanto più il messaggio apparirà all’osservatore lontano. La frequenza del segnale luminoso diminuisce o si sposta verso il rosso, poiché la luce a frequenza più bassa trasmette meno informazioni per unità di tempo (il tempo dell’orologio da polso dell’osservatore remoto). Più vicino all’orizzonte degli eventi viene inviato il segnale luminoso, maggiore è il redshift osservato da lontano. Quando l’emettitore è molto vicino all’orizzonte degli eventi, il redshift osservato è così grande che il segnale luminoso scompare del tutto. Per questo motivo, l’orizzonte degli eventi è talvolta chiamato orizzonte di spostamento verso il rosso infinito. Prendendo il reciproco, vediamo che dr / dt si avvicina a 0 mentre r si avvicina a 2M. Da quando abbiamo risolto la metrica di Schwarzschild per una geodetica radiale simile alla luce (impostando ds 2 = 0), dr / dt corrisponde alla velocità della luce. Quindi la velocità della luce si avvicina a 0 quando r si avvicina a 2M, rispetto a un osservatore lontano dal buco nero. A r = 2M, un raggio di luce diretto verso l’esterno viene congelato nel tempo e nello spazio e non raggiunge mai un osservatore a r> 2M.

Poiché abbiamo detto che la velocità della luce è costante nella relatività speciale, ci si potrebbe chiedere come la velocità della luce possa variare nella relatività generale. La risposta è che i campi gravitazionali cambiano la geometria dello spaziotempo, e la velocità della luce è fondamentalmente legata alla natura della geometria dello spaziotempo attraverso cui passa la luce. Secondo la relatività generale, materia, energia e pressione fanno sì che lo spaziotempo si pieghi, si estenda o si comprima. I raggi luminosi seguono le geodetiche attraverso questo spazio-tempo piegato, allungato o compresso. La deformazione dello spazio-tempo deforma i percorsi dei raggi di luce. Rispetto ad un osservatore a riposo lontano da un buco nero, lo spazio è compresso (contratto) vicino all’orizzonte degli eventi e il tempo è allungato (dilatato). Ogni metro di spazio è più corto rispetto allo spazio lontano da un buco nero e ogni metro di tempo è più lungo. Relativo all’osservatore lontano, un raggio di luce, viaggiando attraverso un metro di spazio in un metro di tempo, percorre una breve distanza a lungo. All’osservatore lontano, il raggio di luce è rallentato. Sebbene la velocità della luce possa variare nella relatività generale, è sempre il caso che gli oggetti materiali non possano raggiungere o superare questa velocità.

Dentro il buco nero

Consideriamo ora la soluzione di Schwarzschild per 0 <r <2M (all’interno di un buco nero). Per questo caso, è necessario apportare una modifica piccola ma molto importante. Quando r> 2M, il coefficiente (1 – 2M / r) è positivo. Tuttavia, per 0 <r <2M, questo coefficiente è negativo. Per lavorare con coefficienti positivi per questo caso, usiamo

equazione

La metrica diventa quindi

equazione

Si noti come il segno meno si è spostato dalla coordinata t alla coordinata r. Ciò significa che all’interno dell’orizzonte degli eventi, r è la coordinata del tempo, non t. Nella relatività, i percorsi delle particelle materiali sono limitati alle linee del mondo a tempo. Ricordiamo la discussione sulla separazione temporale in questo articolo (2). È la coordinata con il segno meno che determina il significato di “timelike”. Secondo la relatività, all’interno di un buco nero il tempo è definito dalla coordinata r, non dalla coordinata t. Ne consegue che l’inevitabilità di andare avanti nel tempo diventa, all’interno di un buco nero, l’inevitabilità di muoversi verso r = 0. Questo scambio di spazio e tempo avviene a r = 2M. Quindi, r = 2M segna un confine, il punto in cui lo spazio e il tempo cambiano i ruoli. Per l’osservatore all’interno di questo confine, l’inevitabilità di andare avanti nel tempo significa che deve sempre muoversi verso l’interno verso il centro del buco nero a r = 0. Tutte le linee del mondo simili a quelle di un tempo dentro r = 2M portano inevitabilmente a r = 0 (la fine del tempo!) Perché non è possibile per qualsiasi particella o fotone all’interno di r = 2M prendere un percorso dove r rimane costante o aumenta, il limite r = 2M è chiamato l’orizzonte degli eventi del buco nero. Nessun osservatore all’interno dell’orizzonte degli eventi può comunicare con qualsiasi osservatore al di fuori dell’orizzonte degli eventi. L’orizzonte degli eventi può essere pensato come un confine a senso unico. ) Poiché non è possibile per qualsiasi particella o fotone all’interno di r = 2M prendere un percorso in cui r rimane costante o aumenta, il limite r = 2M è chiamato l’orizzonte degli eventi del buco nero. Nessun osservatore all’interno dell’orizzonte degli eventi può comunicare con qualsiasi osservatore al di fuori dell’orizzonte degli eventi. L’orizzonte degli eventi può essere pensato come un confine a senso unico. ) Poiché non è possibile per qualsiasi particella o fotone all’interno di r = 2M prendere un percorso in cui r rimane costante o aumenta, il limite r = 2M è chiamato l’orizzonte degli eventi del buco nero. Nessun osservatore all’interno dell’orizzonte degli eventi può comunicare con qualsiasi osservatore al di fuori dell’orizzonte degli eventi. L’orizzonte degli eventi può essere pensato come un confine a senso unico.

In precedenza, abbiamo mostrato che la velocità della luce si avvicina a zero vicino all’orizzonte degli eventi, rispetto a un osservatore lontano dal buco nero. Ciò significa che l’osservatore remoto non può mai vedere un osservatore in collisione raggiungere o attraversare l’orizzonte degli eventi, perché qualsiasi luce che irradia dall’osservatore calante rallenta e si sposta verso il rosso, con il redshift che si avvicina all’infinito mentre l’osservatore in collisione si avvicina all’orizzonte degli eventi. Questo significa che l’osservatore in collisione non raggiunge o attraversa effettivamente l’orizzonte degli eventi? No. L’osservatore incallito attraversa di fatto l’orizzonte degli eventi. Ricorda che la singolarità a r = 2M (l’orizzonte degli eventi) è stata mostrata come una singolarità delle coordinate, non una singolarità fisica reale. Usando le coordinate trasformate, può essere mostrato che l’osservatore in caduta passa da r). Inoltre, si può dimostrare che la quantità massima di tempo da r = 2M a r = 0 disponibile per un osservatore che è caduto attraverso l’orizzonte degli eventi, anche se ha a disposizione un razzo di potenza illimitata, è data da

Δ τ   ≤  π M metri,

dove M è la massa geometrizzata utilizzata nella metrica di Schwarzschild. M è legato alla massa newtoniana m

M = Gm / c 2 ,

dove G è la costante gravitazionale nelle unità SI. La massa del Sole è di 1.477 metri in unità geometrizzate.

Diamo un’occhiata ad un esempio di vita reale. Gli astronomi credono che ci sia un buco nero supermassiccio al centro della nostra galassia, con una massa di circa 4,3 milioni di volte la massa del Sole. La forza di marea vicino all’orizzonte degli eventi di un buco nero così grande è debole. (La forza di marea, o gradiente di accelerazione di marea, è la differenza nell’accelerazione gravitazionale tra due punti in un campo gravitazionale non uniforme: più piccolo è il buco nero, più grande è questo gradiente vicino all’orizzonte degli eventi, poiché la curvatura dello spazio-tempo è Un astronauta che si avvicina a un buco nero di dimensioni stellari solo poche volte la massa del Sole verrebbe squarciato dalla forza di marea prima di raggiungere l’orizzonte degli eventi.) Poiché la forza di marea vicino al buco nero supermassiccio è debole, è possibile che un astronauta, se ben protetto dalle radiazioni, potrebbe sopravvivere per attraversare l’orizzonte degli eventi e continuare verso l’interno. Calcoliamo il tempo massimo che questo astronauta potrebbe evitare di raggiungere il centro del buco nero. (Per semplicità, supponiamo che il buco nero non stia ruotando, quindi è possibile utilizzare la formula precedente.)

Δ τ   ≤  π M =  π × 4.300.000 × 1.477 metri = 2.0 × 10 10 metri = 67 secondi.

Il nostro intrepido astronauta ha solo un minuto per esplorare il buco nero! Il raggio di Schwarzschild di questo buco nero è

r = 2 M = 2 × 4.300.000 × 1.477 m = 12.7 milioni di km.

Il centro del buco nero

Cosa succede a r = 0? Nella metrica di Schwarzschild, le espressioni 2M / r si avvicinano all’infinito quando r si avvicina a 0. Questa è una singolarità fisica reale, non una singolarità di coordinate. Tutta la massa di un buco nero di Schwarzschild è concentrata a r = 0, un punto di densità infinita, dove spazio e tempo finiscono. La presenza di reali singolarità nelle soluzioni delle equazioni di campo di Einstein suggerisce che la relatività generale sia una teoria incompleta della gravità. I fisici sono diffidenti di teorie che predicono gli infiniti. Nessuno dei quadranti sui loro indicatori può registrare valori infiniti! Sembra probabile che la relatività generale non descriva accuratamente cosa succede a r = 0.

Dove potrebbe esserci un problema con la relatività generale? Uno degli assunti alla base della relatività generale è che lo spaziotempo è continuo. Questo può essere visto nell’uso della geometria differenziale come base matematica della teoria. I differenziali misurano distanze infinitamente piccole, il che ha senso solo se lo spaziotempo è continuo. Può essere che lo spaziotempo sia in realtà discreto, o quantizzato, con una dimensione minima possibile. I fisici stanno esplorando questa idea mentre lavorano su nuove teorie della gravità quantistica. Se questa idea è corretta, allora le equazioni differenziali della relatività generale sono solo approssimazioni della realtà. Queste approssimazioni sono valide nel grande, anche fino al livello atomico, ma ad un certo punto si rompono. Si pensa che la più piccola unità di spazio-tempo sia vicina alla lunghezza di Planck, un incredibilmente piccolo 10 -35 m. Questo è venti ordini di grandezza più piccoli del nucleo di un atomo. Tali dimensioni ridotte non sono attualmente accessibili alla scienza. Per la precisione che ora i nostri strumenti possono misurare, la relatività generale è stata giudicata accurata.

Una teoria valida della gravità quantistica deve combinare la relatività generale con la meccanica quantistica. Tale teoria deve corrispondere alle predizioni della relatività generale su grandi scale, dal momento che queste previsioni si sono dimostrate accurate. La gravità quantistica può discostarsi significativamente dalla relatività generale solo sulla più piccola scala. Il concetto centrale della relatività generale è che la gravità ècurvatura dello spaziotempo. Una futura teoria della gravità quantistica deve onorare questo concetto. In qualche modo, un quanto di gravità (un gravitone) deve essere correlato a un quanto di spazio-tempo. Una teoria di successo della gravità quantistica sarà una teoria di successo dello spaziotempo quantizzato (o viceversa). L’unione armoniosa della meccanica quantistica con la relatività generale è forse il più grande problema che affliggono oggi i fisici teorici. Se e quando viene trovato un modo per portare a termine questo compito, possiamo imparare cosa succede realmente al centro del buco nero!

I veri buchi neri ruotano quasi certamente. Tali buchi neri possono essere modellati dalla metrica di Kerr, una metrica più complessa la cui analisi dettagliata non rientra nell’ambito di questo documento. Il lettore interessato dovrebbe consultare il bel libro di Taylor e Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Il buco nero di Kerr non ha una singolarità puntuale a r = 0. Invece, la singolarità ha una struttura ad anello e può essere evitata dalla maggior parte delle traiettorie. In teoria, una particella che eviti la singolarità dell’anello può passare attraverso r = 0 in una regione in cui r <0. È improbabile che una regione del genere esista fisicamente. È più probabile che la relatività generale non descriva correttamente la natura dei buchi neri reali a r = 0. Una teoria futura della gravità quantistica dovrebbe fornirci una descrizione più realistica del centro del buco nero rotante.

Interpretazione fisica dell’evento

Abbiamo scoperto prima che la metrica di Schwarzschild ha una singolarità di coordinate nell’orizzonte degli eventi, dove il tempo di coordinata t diventa infinito. Tuttavia, un calcolo usando le coordinate trasformate mostra che un osservatore in collisione raggiunge e passa attraverso l’orizzonte degli eventi in un tempo limitato (il suo tempo opportuno). Come possiamo comprendere la natura di un luogo in cui il tempo sembra essere finito e infinito? 

Lontano dall’orizzonte degli eventi, la coordinata t si avvicina al tempo corretto di un osservatore o all’orologio da polso. Questo ci porta a pensare alla coordinata come a rappresentare il tempo. Questo non è vero all’orizzonte degli eventi, comunque. Mentre un osservatore in collisione si avvicina all’orizzonte degli eventi, la coordinata t ha sempre meno a che fare con il tempo che percepisce, cioè il suo tempo appropriato. Per capire come il tempo viene percepito dall’osservatore in collisione, dobbiamo concentrarci sul suo tempo giusto e ignorare la coordinata t.

Anche se non possiamo mai realmente vedere qualcuno cadere attraverso l’orizzonte degli eventi (a causa del redshift infinito), lo fa davvero. Mentre l’osservatore che cade liberamente attraversa l’orizzonte degli eventi, qualsiasi fotone diretto verso l’interno emesso da lui continua verso l’interno verso il centro del buco nero. I fotoni diretti verso l’esterno emessi da lui in quell’istante sono congelati per sempre all’orizzonte degli eventi. Quindi l’osservatore remoto non può rilevare nessuno di questi fotoni, se diretto verso l’interno o l’esterno.

La vita dentro un buco nero

Alcuni hanno ipotizzato che il nostro universo potrebbe esistere all’interno di un gigantesco buco nero. Esploriamo ulteriormente questa idea, per avere più informazioni su come è realmente l’interno di un buco nero (e per il gusto di farlo). Se il nostro universo si trova all’interno di un gigantesco buco nero, si potrebbe chiedere dov’è l’orizzonte degli eventi. C’è un percorso che possiamo seguire per avvicinarci all’orizzonte degli eventi? Secondo la relatività generale, se il nostro universo si trova all’interno di un buco nero, ogni punto del nostro universo si sta avvicinando al centro di questo buco nero e lontano dall’orizzonte degli eventi. Non c’è una direzione (spaziale) che ci avvicini all’orizzonte degli eventi. Poiché è difficile visualizzare una superficie curva quadridimensionale, sottrarre una dimensione o due rende più semplice. Immagina una sfera gigante e un punto sulla superficie interna di questa sfera. Questo punto si stacca dalla superficie interna e si muove verso il centro, espandendosi nello stesso tempo in un disco. Questo disco in espansione rappresenta il nostro universo che si espande nello spazio mentre si muove nel tempo. In questo modello supponiamo che il nostro universo si sia formato sull’orizzonte degli eventi del buco nero gigante, rappresentato dalla superficie della sfera. Supponiamo che il Big Bang si sia verificato nell’orizzonte degli eventi del buco nero. Vedi figura 6. Il disco espandibile è una rappresentazione bidimensionale delle tre dimensioni spaziali del nostro universo. (Potremmo etichettare queste dimensioni spaziali θ, φ e t.) Ogni punto nel nostro universo (il disco) si sta allontanando dalla superficie interna della sfera (l’orizzonte degli eventi) verso il centro della sfera (la singolarità del buco nero gigante). La dimensione attraverso cui questo disco si muove è una dimensione timbrica (che potremmo etichettare r). Per ogni punto del disco (il nostro universo in un determinato momento), l’orizzonte degli eventi si trova nel passato e la singolarità del buco nero non si vede nel futuro. Tutte le linee del mondo simili al tempo e alla luce del nostro universo conducono dall’orizzonte degli eventi alla singolarità del buco nero. Viaggiare verso l’orizzonte degli eventi sarebbe viaggiare indietro nel tempo. Pertanto, non esiste un percorso che possiamo intraprendere per avvicinarci all’orizzonte degli eventi. Viaggiare verso l’orizzonte degli eventi sarebbe viaggiare indietro nel tempo. Pertanto, non esiste un percorso che possiamo intraprendere per avvicinarci all’orizzonte degli eventi. Viaggiare verso l’orizzonte degli eventi sarebbe viaggiare indietro nel tempo. Pertanto, non esiste un percorso che possiamo intraprendere per avvicinarci all’orizzonte degli eventi.

Dentro il buco nero

In questo modello immaginario, l’unico punto dello spazio-tempo del nostro universo che è collegato all’orizzonte degli eventi del buco nero gigante è il punto nello spazio e nel tempo in cui si è verificato il Big Bang. Con un telescopio abbastanza potente, in teoria, si può guardare in qualsiasi direzione e vedere il Big Bang (o almeno 380.000 anni dopo il Big Bang, quando l’universo divenne trasparente). Si può guardare in qualsiasi direzione e vedere il Big Bang, ma non si può viaggiare verso di esso, perché si trova nel passato. Questa è la via delle cose dentro ogni buco nero. Perfino un razzo superpotente non può prevalere contro l’accelerazione delicata del tempo verso la singolarità al centro di un buco nero. L’orizzonte degli eventi si trova nel passato di qualsiasi osservatore all’interno di un buco nero, e la singolarità centrale sta nel suo futuro.

Se vivessimo all’interno di un gigantesco buco nero, potremmo rilevarlo? Se avessimo strumenti abbastanza sensibili, potrebbe essere possibile rilevare il gradiente di accelerazione di marea, almeno su distanze astronomiche. Questo potrebbe essere scambiato per una leggera variazione della forza di gravità su distanze molto grandi. Inoltre, l’espansione dell’universo potrebbe eventualmente rallentare e invertire, mentre ci avviciniamo alla singolarità centrale del buco nero. In questo modello, il nostro universo alla fine si ridurrebbe in un unico punto (il Big Crunch).

equation49

 

I buchi neri rotanti di Kerr

Cerchiamo di generalizzare alcune delle formule usate nel caso statico di Schwarzschild, nel caso di rotazione dei buchi neri. La metrica di Kerr è scritta nelle coordinate di Boyer-Lindquist:

equation39

dove vengono date le funzioni di coordinate (con G = c = 1):

equation41

il momento angolare specifico è:

equation43

Il valore fisico di J è per una stella come il sole: tex2html_wrap_inline71 corrispondente ad un = 0,185 M . Se a = 0 abbiamo il caso Schwarzschild per un Black Hole (o stella) non rotante.

Definiamo gli osservatori Fiducial (FIDO) come pochi (sperimentali) fisici localizzati in ciascun punto dello spaziotempo che misurano tutte le possibili quantità fisiche nelle loro unità locali appropriate. Avranno un duro lavoro nella geometria di Kerr. Per mantenere il loro lavoro, devono seguire la geometria che ruota effettivamente con l’aumentare della velocità verso il centro. Come può essere? Tutti gli oggetti fisici sono trascinati in movimento circolare dalla rotazione del buco nero. I nostri FIDO (che dovrebbero essere a riposo) seguiranno lo spazio (assoluto) attorno al foro rotante. Le coordinate di Boyer-Lindquist includono naturalmente questo sistema di coordinate rotanti, quindi nel frame di riferimento di Kerr, la geometria effettivamente vortica come l’aria di un tornado. La velocità angolare di un FIDO visto dall’infinito è:

equation45

Questa velocità angolare dipende da a e r. Più grande è, più grande tex2html_wrap_inline63.

Il sistema di coordinate ruota con il foro (a causa di ). Un raggio rettilineo viene deformato in una spirale dopo un po ‘di tempo. Da sinistra a destra: a = 0,0 e a = 1,0.

 

Altre proprietà della metrica di Kerr:

Il fattore redshift tex2html_wrap_inline83 è generalizzato con le funzioni coordinate per:

equation47

La metrica di Kerr ha due orizzonti invece di uno e un limite statico all’interno del quale nulla può rimanere a riposo (c’è solo un modo per aggirare: con la rotazione):

  • L’orizzonte interiore: tex2html_wrap_inline85 
  • L’orizzonte esterno: tex2html_wrap_inline87 
  • Il limite statico: tex2html_wrap_inline89 

Il volume tra l’orizzonte tex2html_wrap_inline91 e il limite statico è chiamato ergosfera .

La curvatura cambierà solo con tex2html_wrap_inline79 :

equation49

Ora possiamo mostrare la rotazione angolare (dipendente dal tempo) con la curvatura.

Visualizzazione delle coordinate rotanti:

E’ possibile dividere il piano polare in strisce, dove ciascun mini-raggio (un elemento discreto) ruota con l’aumentare della velocità angolare verso l’interno. Quando cresce, l’orizzonte diventa più piccolo e la curvatura maggiore. Quindi il caso estremo di Kerr (a = 1) ha una superficie di curvatura piuttosto grande rispetto al caso di Schwarzschild statico.

 

Rotazione: a = 0,0


Il cerchio rosso segna l’orizzonte di Schwarzschild a r = 2M.

 

Rotazione: a = 1.0

Il cerchio rosso è l’estremo orizzonte di Kerr a r = 1M.

 


 

Rotazione da 0.0 a 1.0

 
 
 

Immagini da una serie di sistemi di coordinate curve con 
rotazione “congelata” . Maggiore è il valore di a, più le 
linee radiali diventano malvagie . È come l’acqua in un vortice o l’aria in un tornado 

 

Referenze

  • Teoria della relatività di Einstein : M. Born (Dover, 1965).
  • A History of Mathematics : CB Boyer (Wiley, 1991).
  • Relatività: The Special e The General Theory : A. Einstein (Crown, 1952).
  • The Fabric of the Cosmos : B. Greene (Random House, 2004).
  • Quantum Non Locality and Relativity (Third Edition) : T. Maudlin (Wiley-Blackwell, 2011).
  • Un primo corso di relatività generale : BF Schutz (Cambridge, 1990).
  • Exploring Black Holes: Introduzione alla relatività generale : EF Taylor e JA Wheeler (Addison Wesley Longman, 2000).
  • Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy : K. Thorne (WW Norton, 1995).
  • The Institute Letter Summer 2011 www.ias.edu

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