Cos’è la topologia

La topologia a volte indicata come “geometria del foglio di gomma”, in cui due oggetti sono considerati equivalenti se possono essere continuamente deformati l’uno con l’altro attraverso tali movimenti nello spazio come piegarsi, torcersi, allungarsi e restringersi mentre si disallineano lacerando o incollando le parti. I principali argomenti di interesse nella topologia sono le proprietà che rimangono invariate da tali continue deformazioni. La topologia, sebbene simile alla geometria , differisce dalla geometria in quanto oggetti geometricamente equivalenti condividono spesso quantità numericamente misurate, come lunghezze o angoli, mentre oggetti topologicamente equivalenti si assomigliano l’un l’altro in un senso più qualitativo.

Camminare lungo la banda di Möbius consente di raggiungere entrambi i lati della bottiglia di Klein.

Concetti base di topologia generale

Semplicemente connesso

In alcuni casi, gli oggetti considerati in topologia sono oggetti ordinari che risiedono in uno spazio tridimensionale (o inferiore). Ad esempio, un semplice loop in un piano e il limite di un quadrato in un piano sono topologicamente equivalenti, come si può osservare immaginando il loop come un elastico che può essere allungato per adattarsi strettamente al quadrato. D’altra parte, la superficie di una sfera non è topologicamente equivalente a un toro, la superficie di un solido anello a ciambella. Per vedere questo, si noti che ogni piccolo anello che giace su una sfera fissa può essere continuamente ridotto, pur essendo tenuto sulla sfera, a qualsiasi diametro arbitrariamente piccolo. Si dice che un oggetto che possiede questa proprietà sia semplicemente connesso, e la proprietà di essere semplicemente connessi è in effetti una proprietà mantenuta sotto una deformazione continua. Tuttavia, alcuni loop su un toroide non possono essere ridotti, come mostrato nella figura .

Equivalenza topologica

I movimenti associati a una deformazione continua da un oggetto a un altro si verificano nel contesto di uno spazio circostante, chiamato spazio ambientale della deformazione. Quando una deformazione continua da un oggetto a un altro può essere eseguita in un particolare spazio ambientale, i due oggetti sono detti isotopici rispetto a quello spazio. Ad esempio, considera un oggetto costituito da un cerchio e un punto isolato all’interno del cerchio. Lascia che un secondo oggetto sia costituito da un cerchio e un punto isolato fuori dal cerchio, ma nello stesso piano del cerchio. In uno spazio ambientale bidimensionale questi due oggetti non possono essere continuamente deformati l’uno nell’altro perché richiederebbero il taglio dei cerchi aperti per consentire il passaggio dei punti isolati. Tuttavia, se lo spazio tridimensionale serve come spazio ambientale, è possibile eseguire una deformazione continua: basta sollevare il punto isolato dal piano e reinserirlo sull’altro lato del cerchio per eseguire l’operazione. Pertanto, questi due oggetti sono isotopici rispetto allo spazio tridimensionale, ma non sono isotopici rispetto allo spazio bidimensionale. La nozione di oggetti isotopici rispetto a uno spazio ambiente più ampio fornisce una definizione di equivalenza topologica estrinseca, nel senso che lo spazio in cui gli oggetti sono incorporati gioca un ruolo. L’esempio sopra motiva alcune estensioni interessanti e divertenti. Si potrebbe immaginare un ciottolo intrappolato all’interno di un guscio sferico. Nello spazio tridimensionale il ciottolo non può essere rimosso senza tagliare un buco attraverso il guscio, ma aggiungendo un la quarta dimensione astratta può essere rimossa senza tali interventi chirurgici. Analogamente, un circuito chiuso di corda che è legato come trilobata, o overhand, nodo ( vedi figura ) nello spazio tridimensionale può essere sciolto in un astratto spazio quadridimensionale.

Omeomorfismo

Una definizione intrinseca di equivalenza topologica (indipendente da qualsiasi spazio ambiente più grande) comporta un tipo speciale di funzione noto come un omeomorfismo. Una funzione h è un omeomorfismo, e gli oggetti X e Y sono detti omeomorfi, se e solo se la funzione soddisfa le seguenti condizioni.

  •  h è una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi di X e Y ;
  •  h è continuo: i punti X vicini sono mappati ai punti vicini di Y e i punti distanti di X sono mappati a punti distanti di Y -in altre parole, i “quartieri” sono preservati;
  •  esiste una funzione inversa continua h -1 : quindi, h -1 h ( x ) = x per tutti x ε X e h h -1 ( y ) = y per tutti y ε Y – in altre parole, lì esiste una funzione che “annulla” (è l’inverso di) l’omeomorfismo, così che per ogni x in X o qualsiasi y in Y il valore originale può essere ripristinato combinando le due funzioni nell’ordine corretto.

La nozione di due oggetti essendo omeomorfi fornisce la definizione di equivalenza topologica intrinseca ed è il significato generalmente accettato di equivalenza topologica. Anche due oggetti che sono isotopici in qualche spazio ambientale devono essere omeomorfi. Quindi, l’equivalenza topologica estrinseca implica l’equivalenza topologica intrinseca.

Struttura topologica

Nella sua impostazione più generale, la topologia coinvolge oggetti che sono insiemi di elementi astratti. Per discutere di proprietà come la continuità delle funzioni tra insiemi astratti, è necessario imporre loro una struttura aggiuntiva.

Spazio topologico

Uno dei più concetti strutturali di base in topologia è quello di trasformare un insieme X in uno spazio topologico specificando una collezione di sottoinsiemi T di X . Tale raccolta deve soddisfare tre assiomi: (1) l’insieme X stesso e il set vuoto sono membri di T , (2) l’intersezione di qualsiasi numero finito di insiemi in T è in T , e (3) l’unione di qualsiasi raccolta di insiemi in T è in T . I set in T sono chiamati insiemi aperti e T è detta topologia su X . Ad esempio, la linea del numero reale diventa uno spazio topologico quando la sua topologia è specificata come la raccolta di tutte le possibili unioni di intervalli aperti, come (-5, 2), (1/2, π), (0, radice quadrata di√ 2 ), …. (Un processo analogo produce una topologia su spazio metrico .) Altri esempi di topologie sugli insiemi si verificano puramente in termini di teoria degli insiemi . Ad esempio, la raccolta di tutti i sottoinsiemi di un insieme X è chiamata la topologia discreta su X , e la raccolta portanti soltanto dell’insieme vuoto e X si forma il indiscreto, o banale, topologia su X . Un dato spazio topologico dà origine ad altri spazi topologici correlati. Ad esempio, un sottoinsieme A di uno spazio topologico X eredita una topologia, chiamata topologia relativa, da X quando gli insiemi aperti di A sono considerati come intersezioni di A con insiemi aperti di X. L’enorme varietà di spazi topologici fornisce una ricca fonte di esempi per motivare teoremi generali, oltre a controesempi per dimostrare false congetture. Inoltre, la generalità degli assiomi per uno spazio topologico permette ai matematici di vedere molti tipi di strutture matematiche, come raccolte di funzioni in analisi , come spazi topologici e quindi spiegare i fenomeni associati in modi nuovi.

Uno spazio topologico può anche essere definito da un insieme alternativo di assiomi che coinvolgono insiemi chiusi, che sono complementi di insiemi aperti. Nella prima considerazione delle idee topologiche, specialmente per gli oggetti in n- dimensioni lo spazio euclideo , insiemi chiusi erano sorti naturalmente nell’indagine sulla convergenza di sequenze infinite ( vedi serie infinite ). Spesso è conveniente o utile assumere assiomi aggiuntivi per una topologia al fine di stabilire risultati validi per una classe significativa di spazi topologici ma non per tutti gli spazi topologici. Uno di questi assiomi richiede che due distinti punti debbano appartenere a insiemi aperti disgiunti. Uno spazio topologico che soddisfa questo assioma è stato chiamato Spazio Hausdorff.

Continuità

Un attributo importante degli spazi topologici generali è la facilità di definire la continuità delle funzioni. Una funzione f mappare uno spazio topologico X in uno spazio topologico Y è definito per essere continua se, per ogni insieme aperto V di Y , il sottoinsieme di X costituito da tutti i punti p per cui f ( p ) appartiene V è un aperto di X . Un’altra versione di questa definizione è più semplice da visualizzare, come mostrato nella figura . Una funzione f da uno spazio topologico Xa uno spazio topologico Y è continua in p ε X se, per qualsiasi quartiere Vdi f ( p ), esiste un intorno U di p tale che f ( U ) ⊆ V . Queste definizioni forniscono importanti generalizzazioni della nozione usuale di continuità studiata in analisi e consentono anche una generalizzazione diretta della nozione di omeomorfismo al caso di spazi topologici generali. Quindi, per gli spazi topologici generali,le proprietà invarianti sono quelle preservate dagli omeomorfismi.

Topologia Algebrica

L’idea di associare oggetti algebrici o strutture con spazi topologici è sorto all’inizio della storia della topologia. L’incentivo di base a questo proposito era di trovare invarianti topologici associati a diverse strutture. L’esempio più semplice è la caratteristica di Eulero , che è un numero associato a a superficie . Nel 1750 il matematico svizzero Leonhard Euler dimostrò la formula poliedrica V – E + F = 2, o caratteristica di Eulero, che collega i numeri V ed E di vertici e spigoli, rispettivamente, di una rete che divide la superficie di un poliedro (essendo topologicamente equivalente a una sfera) in F volti semplicemente collegati. Questa semplice formula ha motivato molti risultati topologici una volta che è stata generalizzata all’analoga caratteristica di Eulero-Poincaré χ = V – E + F = 2 – 2 g per reti simili sulla superficie di un toro g- alato. Due superfici homeomorfe avranno la stessa caratteristica di Eulero-Poincaré, quindi due superfici con caratteristiche Eulero-Poincaré diverse non possono essere equivalenti topologicamente. Tuttavia, gli oggetti algebrici primari utilizzati nella topologia algebrica sono più complessi e includono strutture come gruppi astratti , spazi vettorialie sequenze di gruppi. Inoltre, il linguaggio della topologia algebrica è stato potenziato dall’introduzione della teoria delle categorie , in cui le mappature molto generali traducono spazi topologici e funzioni continue tra loro e gli oggetti algebrici associati e le loro mappature naturali, che sono chiamati omomorfismi.

Gruppo fondamentale

Una struttura algebrica molto basilare chiamata gruppo fondamentale di uno spazio topologico era tra le idee algebriche studiate dal matematico francese Henri Poincaré alla fine del XIX secolo. Questo gruppo consiste essenzialmente di curve nello spazio che sono combinate da un’operazione che si manifesta in modo geometrico. Sebbene questo gruppo sia stato ben compreso anche nei primi giorni della topologia algebrica per superfici bidimensionali compatte, alcune domande ad esso relative rimangono senza risposta, soprattutto per alcuni aspetti compatti.varietà , che generalizzano le superfici a dimensioni superiori.

La più famosa di queste domande, chiamata Poincaré congettura , chiede se un tridimensionale compatto collettore con banali gruppo fondamentale è necessariamente omeomorfo alla sfera tridimensionale (l’insieme di punti nello spazio quadridimensionale equidistanti dall’origine), come è noto per essere vero per la caso bidimensionale. Gran parte della ricerca sulla topologia algebrica è stata in qualche modo collegata a questa congettura poiché fu posta da Poincaré nel 1904. Uno di questi studi di ricerca riguardava una congettura sulla geometrizzazione delle varietà tridimensionali che era stata posta negli anni ’70 dal matematico americano William Thurston. .La congettura di Thurston implica la congettura di Poincaré e, in riconoscimento del suo lavoro per dimostrare queste congetture, il matematico russo Grigori Perelman ha ricevuto una medaglia Fields al Congresso internazionale dei matematici del 2006.

Il gruppo fondamentale è il primo di quelli che sono conosciuti come il gruppi di omotopia di uno spazio topologico. Questi gruppi, così come un’altra classe di gruppi chiamati gruppi di omologia, sono in realtà invarianti sotto mappature chiamate retrazioni di omotopia, che includono gli omeomorfismi. Teoria dell’omotopia e teoria dell’omologia sono tra le molte specializzazioni all’interno della topologia algebrica.

Topologia differenziale

Molti strumenti di topologia algebrica sono adatti allo studio delle varietà. Nel campo della topologia differenziale una struttura addizionale che implica “levigatezza”, nel senso della differenziabilità, è imposta sulle varietà. Poiché le prime indagini sulla topologia sono nate da problemi di analisi, molte delle prime idee di topologia algebrica hanno implicato nozioni di scorrevolezza. I risultati della topologia differenziale e della geometria hanno trovato applicazione nella fisica moderna.

Teoria dei nodi

Un altro ramo della topologia algebrica che è coinvolto nello studio delle varietà tridimensionali è la teoria dei nodi , lo studio dei modi in cui le copie annodate di un cerchio possono essere incorporate nello spazio tridimensionale. La teoria dei nodi, che risale alla fine del XIX secolo, ha ottenuto maggiore attenzione negli ultimi due decenni del 20 ° secolo, quando sono state riconosciute le sue potenziali applicazioni in fisica, chimica e ingegneria biomedica.

Referenze

  1. COLIN C. ADAMS , The Knot Book: Un’introduzione elementare alla teoria matematica dei nodi (1994, ristampato nel 2001), è un’introduzione accessibile, divertente e meravigliosamente illustrata alle idee topologiche e ai metodi moderni della teoria dei nodi.
  2. STEPHAN C. CARLSON , Topologia delle superfici, nodi e collettori: Un primo corso universitario (2001), fornisce un libro di testo facile da leggere che copre la topologia combinatoria elementare, la teoria dei grafi e la teoria dei nodi. 
  3. JEFFREY R. WEEKS , The Shape of Space , 2a ed. (2002), è un’intrigante dose di stretching mentale di geometria e topologia bidimensionale e tridimensionale che include applicazioni della topologia alla cosmologia. 
  4. IM JAMES (ed.),History of Topology (1999), contiene 40 articoli informativi, alcuni scritti da noti topologi del passato e altri da esperti attuali. Gli articoli spaziano dalla topologia dai suoi inizi ai giorni moderni, evidenziando le persone coinvolte e includendo ampie bibliografie. 
  5. STEPHEN WILLARD , General Topology(1970, ristampato nel 2004), sebbene datato, è una vivace introduzione alla topologia dei point-set e contiene approfondite note storiche. 
  6. WILLIAM S. MASSEY , Algebraic Topology: An Introduction (1967, ristampato con correzioni 1989), fornisce un primo corso ben bilanciato in topologia algebrica, con un buon uso della motivazione geometrica. JAMES R. MUNKRES , Topologia, 2 ° ed. (2000), offre un testo di topologia in due parti ben progettato che copre sia la topologia point-set che quella algebrica. 
  7. LYNN A. STEEN e J. ARTHUR SEEBACH, JR. , Counterexamples in Topology , 2a ed. (1978, ristampato nel 1995), è il compagno perfetto per qualsiasi libro sulla topologia, offrendo quasi 150 esempi categorizzati.

 

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