Kaluza, Klein e la storia di una quinta dimensione

Cosa intendiamo per “dimensione”? Una descrizione intuitiva delle dimensioni è che sono i modi in cui possiamo muoverci – su e giù, sinistra e destra, avanti e indietro – il che ci porta a credere che viviamo in un mondo tridimensionale. La nostra percezione umana delle dimensioni è limitata. Noi percepiamo solo tre dimensioni. Possiamo capire che il tempo è una dimensione extra, una posizione extra per ogni evento, ma non vediamo il tempo. Matematicamente il numero di dimensioni è solo il numero di coordinate necessarie per specificare un punto. Siamo abituati a specificare i punti nello spaziotempo quadridimensionale.

Einstein ha saputo combinare le tre dimensioni spaziali con una dimensione aggiuntiva del tempo nello spaziotempo quadridimensionale. Ma intorno allo stesso tempo il matematico tedesco Theodor Kaluza e il fisico svedese Oskar Klein cominciarono a chiedersi se ci fossero più di tre dimensioni spaziali. La relatività generale, che era la grande idea di Einstein, diceva che le dimensioni potevano essere curvate. La superficie della Terra è bidimensionale ed è curva. Specifichiamo una posizione sulla superficie della Terra usando due coordinate: longitudine e latitudine. Ma queste coordinate sono periodiche: si può tornare al punto di partenza se viaggiamo a 360 gradi intorno alla Terra. La superficie della Terra è una superficie bidimensionale all’interno di uno spazio tridimensionale.

Kaluza e Klein si chiedevano se lo spazio fisico potesse essere curvato in modo simile. Le dimensioni non vanno avanti all’infinito nello spazio, ma tali dimensioni potrebbero essere curve in modo che lo spazio ritorna su se stesso come in un cerchio. Sembra un po ‘strano: si potrebbe andare in una navicella spaziale in una direzione particolare e poi tornare al punto di partenza, proprio come girare intorno alla terra su un aereo? Noteremmo queste dimensioni curve?

Ciò dipenderebbe dalla raggio del cerchio attorno al quale si curva la dimensione. Se il cerchio fosse, diciamo un centesimo o un millesimo della dimensione di un atomo, allora è così piccolo che probabilmente non noteresti nemmeno la presenza di quella dimensione. Immaginiamo di arrotolare un pezzo di carta strettamente in un cilindro con un minuscolo diametro – da una distanza tale da non accorgerci che si tratta di un cilindro …. sembrerebbe proprio una linea. Kaluza e Klein proposero una dimensione spaziale in più raggomitolata in un cerchio con un raggio molto piccolo da non essere notata.

dimensioni_compatte.jpg

Una dimensione  extra tale
che esse siano così compatte che ci sfuggono, 
così come un tubo da lontano sembra avere una dimensione sola; 
oggi vi sono anche altri studi che evidenziano come tali dimensioni potrebbero,
invece, essere enormi!

Gravità nella quinta dimensione

Perché dovremmo preoccuparci di una dimensione extra se non riusciamo nemmeno a notarla? Kaluza e Klein dimostrarono per mezzo della relatività generale, che questa dimensione extra avrebbe comunque un effetto sullo spazio intorno a noi. In particolare hanno mostrato che l’effetto della gravità in quella quinta dimensione molto piccola ci apparirebbe, in effetti, dalla nostra prospettiva su larga scala, come elettromagnetismo.

La teoria di Kaluza-Klein ha avuto molte conseguenze affascinanti. Le cose che hanno carica per l’elettromagnetismo sarebbero solo cose che si stanno muovendo in questa quinta dimensione circolare. Il raggio di questa dimensione extra sarebbe correlato alla carica elettrica delle particelle. Una particella carica si muove in una direzione nella quinta dimensione, e una particella di caricata opposta si muoverà in senso opposto. Poiché la quantità di moto di due particelle di carica opposta si annullerebbe quando si scontrano, non si sposterebbero più nella quinta dimensione, rendendo la loro carica neutra. Sebbene la teoria di Kaluza e Klein sembrasse unificare le forze dell’elettromagnetismo e della gravità, non fu ampiamente accettata quando fu pubblicata nel 1921. Era matematicamente vera, ma il concetto di dimensioni spaziale aggiuntiva sembrava molto strano. Tuttavia, circa 60 anni dopo, questa stranezza matematica forniva un pezzo mancante nella ricerca della gravità quantistica e nella teoria delle stringhe.

I tentativi di fondare una teoria di unificazione consistente hanno dato luogo a un lungo lavoro teorico ancora lontano dal concludersi. Tra i percorsi teorici esplorati, nessuno coronato dal successo, vi è la Teoria delle stringhe che, fattasi strada dagli anni ’60, ha inaspettatamente recuperato la congettura delle dimensioni aggiuntive “nascoste” dell’universo facendo tornare in auge i pionieristici lavori precedenti. Nella moderna teoria delle stringhe e nella contigua M-teoria si ipotizza l’esistenza di sei dimensioni spaziali aggiuntive, compattificate non in semplici cerchi, sfere o ipersfere, ma nell’infinita varietà di forme topologicamente più esotiche e polimorfiche degli Spazi di Calabi – Yau compatti.

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Uno spazio 2-D con l’aggiunta di 6 dimensioni compattificate in Varietà di Calabi – Yau

Ipotesi di Kaluza

Nel suo articolo del 1921,  Kaluza stabilì tutti gli elementi della classica teoria a cinque dimensioni: la metrica, le equazioni di campo, le equazioni del moto, il tensore dell’energia di tensione e la condizione del cilindro. Senza parametri liberi , si limita ad estendere la relatività generale a cinque dimensioni. Si inizia ipotizzando una forma della metrica a cinque dimensioni , dove gli indici latini si estendono su cinque dimensioni. Si introduca anche la metrica spazio-temporale quadridimensionale , dove gli indici greci coprono le consuete quattro dimensioni dello spazio e del tempo; un 4-vettore identificato con il potenziale del vettore elettromagnetico; e un campo scalare . Quindi scomponiamo la metrica 5D in modo che la metrica 4D sia definita dal potenziale elettromagnetico vettoriale, con il campo scalare alla quinta diagonale. Questo può essere visualizzato come:

.

Si può scrivere con più precisione

dove l’indice 5 indica la quinta coordinata per convenzione, anche se le prime quattro coordinate sono indicizzate con 0, 1, 2 e 3. La metrica inversa associata è

.

Questa decomposizione è abbastanza generale e tutti i termini sono privi di dimensioni. Kaluza applica quindi il meccanismo della relatività generale standard a questa metrica. Le equazioni di campo sono ottenute da equazioni di Einstein a cinque dimensioni e le equazioni di moto dall’ipotesi geodetica a cinque dimensioni. Le equazioni di campo risultanti forniscono sia le equazioni della relatività generale che dell’elettrodinamica; le equazioni del moto forniscono l’equazione geodetica quadridimensionale e la legge della forza di Lorentz e si scopre che la carica elettrica è identificata con il movimento nella quinta dimensione.

L’ipotesi per la metrica implica un elemento di lunghezza bidimensionale invariante :

 

Equazioni di campo dall’ipotesi di Kaluza

Le equazioni di campo della teoria a 5 dimensioni non sono mai state fornite adeguatamente da Kaluza o Klein, principalmente per quanto riguarda il campo scalare. Le equazioni complete del campo di Kaluza sono generalmente attribuite a Thiry, che ha ottenuto equazioni di campo del vuoto, sebbene Kaluza originariamente fornisse un tensore di energia da sforzo per la sua teoria e Thiry includeva un tensore di energia da sforzo nella sua tesi. Ma come descritto da Gonner,  diversi gruppi indipendenti lavorarono sulle equazioni di campo negli anni ’40 e precedenti. Thiry è forse meglio conosciuto solo perché una traduzione inglese è stata fornita da Applequist, Chodos e Freund nel loro libro di recensioni. Applequist  ha anche fornito una traduzione in inglese del documento di Kaluza. Non ci sono traduzioni inglesi dei documenti giordani. 

Per ottenere le equazioni di campo 5D, le connessioni 5D  sono calcolati dalla metrica 5D  e il tensore 5D di Ricci  è calcolato dalle connessioni 5D. I risultati classici di Thiry e di altri autori presuppongono la condizione del cilindro:

Senza questa ipotesi, le equazioni di campo diventano molto più complesse, fornendo molti più gradi di libertà che possono essere identificati con vari nuovi campi. Paul Wesson e colleghi hanno perseguito il rilassamento della condizione del cilindro per ottenere termini aggiuntivi che possono essere identificati con i campi della materia, per i quali Kaluza altrimenti inseriva un tensore dell’energia di stress a mano.

È stata un’obiezione all’ipotesi Kaluza originale di invocare la quinta dimensione solo per negare la sua dinamica. Ma Thiry argomentò che l’interpretazione della legge della forza di Lorentz in termini di una geodetica 5-dimensionale milita fortemente per una quinta dimensione indipendentemente dalla condizione del cilindro. La maggior parte degli autori ha quindi impiegato la condizione del cilindro nel derivare le equazioni di campo. Inoltre, le equazioni del vuoto sono generalmente assunte per il quale

dove

e

Le equazioni del campo del vuoto ottenute in questo modo da Thiry e il gruppo di Jordan sono le seguenti. L’equazione di campo per  viene ottenuta da

dove , dove  , e dove  è una derivata covariante standard 4D. Mostra che il campo elettromagnetico è una fonte per il campo scalare. Si nota che il campo scalare non può essere impostato su una costante senza vincolare il campo elettromagnetico. I precedenti trattamenti di Kaluza e Klein non avevano una descrizione adeguata del campo scalare e non si rendevano conto del vincolo implicito sul campo elettromagnetico assumendo che il campo scalare fosse costante.

L’equazione di campo per:

ha la forma delle equazioni di Maxwell del vuoto se il campo scalare è costante. L’equazione di campo per il tensore 4D Ricci  viene ottenuta da

dove  è lo scalare 4D di Ricci standard.

Questa equazione mostra un notevole risultato, chiamato “miracolo di Kaluza”, che la forma precisa del tensore di energia-stress elettromagnetico emerge dalle equazioni del vuoto 5D come una fonte nelle equazioni 4D: campo dal vuoto.

Questa relazione consente l’identificazione definitiva di con il potenziale del vettore elettromagnetico. Pertanto, il campo deve essere ridimensionato con una costante di conversione .

La relazione sopra mostra che dobbiamo avere

dove  è la costante gravitazionale e  è la permeabilità magnetica del vuoto . Nella teoria di Kaluza, la costante gravitazionale può essere intesa come una costante di accoppiamento elettromagnetico nella metrica. C’è anche un tensore di energia da sforzo per il campo scalare. Il campo scalare si comporta come una costante gravitazionale variabile, in termini di modulazione dell’accoppiamento di energia dello stress elettromagnetico con la curvatura dello spazio-tempo. Il segno di nella metrica è fissato per corrispondenza con la teoria 4D in modo che le densità di energia elettromagnetica siano positive. Ciò risulta implicito per il fatto che la quinta coordinata sia simile a quella nella metrica.

In presenza di materia, la condizione di vuoto 5D non può essere assunta. Effettivamente, Kaluza non l’ha assunto. Le equazioni di campo completo richiedono la valutazione del tensore di Einstein 5D

come si vede nel recupero del tensore di energia-stress elettromagnetico sopra.

Equazioni del moto dall’ipotesi di Kaluza

Le equazioni del moto sono ottenute dall’ipotesi geodetica tridimensionale  in termini di una 5 velocità :

Questa equazione può essere riformulata in vari modi, ed è stata studiata in varie forme da autori tra cui Kaluza, Pauli,  Gross & Perry,  Gegenberg & Kunstatter e Wesson & Ponce de Leon ma è istruttivo convertirlo ritorna alle consuete elemento lunghezza 4 – dimensionale , che è correlato all’elemento di lunghezza 5-dimensionale ds come indicato sopra:

Quindi l’equazione geodetica 5D può essere scritta per le componenti dello spazio-tempo della 4velocity, :

Il termine quadratico in fornisce l’ equazione geodetica 4D più alcuni termini elettromagnetici:

Il termine lineare in fornisce la legge della forza di Lorentz :

Questa è un’altra espressione del “miracolo di Kaluza”. La stessa ipotesi per la metrica 5D che fornisce energia di stress elettromagnetico nelle equazioni di Einstein, fornisce anche la legge della forza di Lorentz nell’equazione dei moti insieme all’equazione geodetica 4D. Tuttavia, la corrispondenza con la legge della forza di Lorentz richiede che identifichiamo la componente di 5-velocità lungo la 5a dimensione con la carica elettrica:

dove  è la massa delle particelle e  è la carica elettrica delle particelle. Quindi, la carica elettrica è intesa come movimento lungo la 5a dimensione. Il fatto che la legge della forza di Lorentz potesse essere intesa come una geodetica in 5 dimensioni era per Kaluza una motivazione primaria per considerare l’ipotesi 5-dimensionale, anche in presenza della condizione di cilindro esteticamente sgradevole.

Eppure c’è un problema: il termine quadratico in .

Se non c’è gradiente nel campo scalare, il termine quadratico in svanisce. Ma altrimenti l’espressione sopra implica

Per particelle elementari, . Il termine quadratico in dovrebbe dominare l’equazione, forse in contraddizione con l’esperienza. Questo è stato il principale difetto della teoria a 5 dimensioni, come ha visto Kaluza e gli dà qualche discussione nel suo articolo originale.

L’equazione del movimento per è particolarmente semplice sotto la condizione del cilindro. Inizia con la forma alternativa dell’equazione geodetica, scritta per la 5-velocità covariante:

Questo significa che sotto la condizione del cilindro  è una costante del movimento a 5 dimensioni:

Interpretazione quantistica di Klein

L’ipotesi originale di Kaluza era puramente classica ed estese scoperte della relatività generale. Al tempo del contributo di Klein, le scoperte di Heisenberg, Schrödinger e de Broglie stavano ricevendo molta attenzione. Il documento di natura di Klein ha suggerito che la quinta dimensione è chiusa e periodica e che l’identificazione della carica elettrica con il movimento nella quinta dimensione deve essere interpretata come onde stazionarie di lunghezza d’onda , proprio come gli elettroni attorno a un nucleo nel modello di Bohr dell’atomo. La quantizzazione della carica elettrica potrebbe quindi essere ben intesa in termini di multipli interi del momento tridimensionale. Combinando il precedente risultato di Kaluza per  in termini di carica elettrica, e una relazione di de Broglie per la quantità di moto , Klein ottenuto un’espressione per la modalità 0 di tali onde:

dove  cm, e quindi una spiegazione per la condizione del cilindro in questo piccolo valore.

L’articolo Klein Zeitschrift für Physik dello stesso anno ha dato un trattamento più dettagliato che ha esplicitamente invocato le tecniche di Schroedinger e de Broglie. Ricapitolò gran parte della teoria classica di Kaluza descritta sopra, e quindi si discostò dall’interpretazione quantistica di Klein. Klein ha risolto un’equazione d’onda simile a quella di Schroedinger usando un’espansione in termini di onde di quinta dimensione che risuonano nella quinta dimensione chiusa e compatta.

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Come è possibile rilevare le dimensioni Extra con l’LHC

Gli esperimenti di collisione ricostruiscono attentamente tutte le particelle che emergono da una collisione. Un possibile segno di dimensioni extra sarebbe una collisione in cui una particella – e quindi energia – “scomparirà”, forse indicando un gravitone che lascia il nostro universo visibile e che entra in dimensioni spaziali aggiuntive. Finora non abbiamo trovato alcun segno di dimensioni extra.

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Nell’ambito delle teorie che conosciamo esiste un paradigma che recita così “tutto ciò che può succedere in una teoria, se non è protetto da una simmetria, accade”. Ciò vuol dire che se un parametro in una teoria è piccolo, gli effetti quantistici perturbano la sua “piccolezza” rendendolo grande a piacere. Per esempio oggigiorno sappiamo che la struttura dell’universo presuppone l’esistenza di una piccolissima constante non nulla che si chiama Costante Cosmologica che dà origine all’energia oscura dell’universo e contribuisce alla curvatura globale e quindi all’evoluzione. Ed è semplice mostrare con un calcolo che, a  livello quantistico, tale costante non può rimanere così piccola e quindi è necessario inventare un “meccanismo”, per proteggere la costante cosmologica da grandi correzioni. La supersimmetria fornisce tale strumento, ma in realtà non è così potente da garantire la protezione necessaria ed essere compatibile con i risultati noti fino ad oggi. Si deve supporre che tale simmetria non sia una simmetria esatta, ma una simmetria rotta (ciò significa che certi fenomeni fisici vengono influenzati e altri no). E questo lascia aperta la possibilità di risolvere il problema della “piccolezza” di certe quantità fisiche con altri meccanismi. Uno di questo, ideato negli anni ’00, è noto come extra dimensioni. Cioè lo spaziotempo come lo abbiamo compreso a partire dalla relatività di Einstein, non è solamente quadridimensionale, ma contiene delle dimensioni extra, cioè delle dimensioni supplementari (fino a 6 dimensioni aggiuntive nell’ambito della teoria delle stringhe, fino a 7 nella teoria M). Tali dimensioni sono però “arrotolate” a formare degli spazi compatti di dimensione estremamente piccola e quindi la nostra percerzione non può avvertirle.

Tuttavia, compiendo degli esperimenti ad altissime energie (come appunto LHC), possiamo addentrarci nel mondo di queste extra dimensioni e studiarne la geometria. Il modo più immediato di sondarne l’esistenza a LHC e agli acceleratori in generale è quello di verificare se negli eventi energetici visti negli esperimenti al Cern, la quantità totale dell’energia depositata nei rivelatori corrisponde esattamente all’enegia iniziale (grazie al teorema noto come della conservazione dell’energia, e immortalato dall’adagio popolare: “niente si crea, niente si distrugge, ma tutto si conserva”) corrisponde esattamente all’energia delle particelle emesse e viste dai rivelatori. Se tuttavia il bilancio energetico fosse carente, ciò potrebbe voler dire che una parte dell’energia è mancante (Missing Energy) e quindi potrebbe indicare che alcune particelle hanno transito dallo spaziotempo che conosciamo alle misteriose extra dimensioni. Tutto questo, sebbene risulti al limite del fantastico, è supportato da diverse teorie matematiche e da calcoli relativi. Quindi anche questa situazione sarebbe verificabile a LHC.

 

Referenze
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