L’equazione di campo di Einstein

L’equazione di campo di Einstein della relatività generale può essere compresa in un modo relativamente semplice.

  • Einstein costruì un oggetto matematico che è una generalizzazione della densità di energia che chiamò T .
  • In secondo luogo costruì un oggetto matematico che era una generalizzazione della curvatura dello spazio. Chiamiamolo oggetto G.

Quindi l’equazione di campo di Einstein dice fondamentalmente che la curvatura dello spazio è proporzionale alla densità di energia.

Si inserisce una costante di proporzionalità K e la sua equazione diventa T = k G.

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Ecco, l’equazione della relatività generale. La costante k può essere correlata alla costante gravitazionale e alla velocità della luce. Ci sono ancora alcuni dettagli da considerare. Ma questa è la fisica dell’equazione.

*Esiste un modo simile per comprendere le equazioni classiche dell’elettromagnetismo: ad esempio, l’equazione di Poisson può essere pensata come “la curvatura del potenziale elettrico è proporzionale alla densità di carica”.

** Poiché l’energia nella teoria della relatività diventa energia-momento e la densità deve tener conto della densità del tempo e dello spazio, questa generalizzazione della densità di energia è un tensore 4D.

*** Einstein considerano il tempo come una dimensione, l’oggetto G rappresenta la curvatura dello spazio-tempo 4D.

L’equazione di campo dice:

Lo spazio-tempo curvo (curvo) è il risultato di energia (densità), più è curvilineo maggiore è l’attrazione (gravità), ergo la gravità influenza la materia barionica all’interno del campo gravitazionale.

In termini di fisica e materia barionica, ciò significa che il barione attrae “naturalmente” anche altra materia barionica, più grande è l’oggetto (materia barionica), maggiore è l’attrazione (o maggiore è la gravità). Poiché la materia barionica è la fonte della gravità e la fonte di energia vale E = mc ^ 2.

Le equazioni originali indicano che la gravità o l’Universo della materia barionica si contrae diventando sempre più denso: più denso della densità della materia barionica o densità di energia.

Per controbilanciare questa intuizione Einstein inserì la Costante Cosmologica nell’equazione del campo.

Questa costante fu inserita per opporsi alla gravità, in modo da risolvere il problema per un  universo “statico”. Un universo statico è ciò che Einstein pensò di aver osservato fino a quando Hubble osservò il redshift del 1929.

In breve, l’equazione descrive le dinamiche di attrazione della materia barionica cioè la dinamica di attrazione dell’Universo. L’intuizione dietro l’equazione di Einstein si divide in tre parti:

  1. Supponiamo che il movimento degli oggetti in caduta sia governato da cambiamenti nel tempo di spazio e che segua quella che viene chiamata geodetica.
  2. Supponiamo che il tensore di massa-energia produca la curvatura (o addirittura crei lo spazio-tempo).
  3. Supponiamo che nello spazio vuoto (l’equazione del vuoto), senza la presenza di energia di massa, il campo sia conservato in modo che, lo spazio di coordinate, sia coerente con l’equazione di Poisson per la gravità (o la forma differenziale della legge di Gauss).

In relatività generale, i tensori si per rappresentare la curvatura dello spaziotempo e il contenuto energetico del tensore spazio-tempo, cioè la materia, energia e pressione. Con questa linea di ragionamento, ora possiamo finalmente introdurre 3 forme equivalenti dell’equazione di campo di Einstein per la relatività generale sulla lavagna, che riflettono semplicemente i diversi livelli di abbreviazione:

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Concentriamoci sui tensori [G αβ ] e [T αβ] che rappresentano la curvatura e il contenuto di energia dello tensore dello spaziotempo. Tuttavia, va notato che questa equazione non ha una sola soluzione, poiché ogni soluzione dipende dalle condizioni iniziali e dalle condizioni iniziali incorporate nei tensori per qualsiasi interpretazione successivamente estrapolata dalla matematica. Nel caso dello spaziotempo piatto, cioè la relatività speciale, l’accelerazione zero o nessun campo gravitazionale è un’ipotesi, che conduce alla metrica di Minkowski.

Quando la relatività generale viene applicata alla geometria dello spaziotempo curvo in prossimità di una grande massa gravitazionale, ad esempio un buco nero, il risultato è la forma più complessa della metrica di Schwarzschild. Tuttavia, l’equazione di campo di Einstein non solo sostiene la relatività generale, ma per molti aspetti a come siamo arrivati ​​a modellare l’universo. [Gαβ] corrisponde al tensore di Einstein e [Tαβ] corrisponde a un tensore di energia, che insieme tentano di mettere in relazione la presenza di materia, ovvero densità di energia e pressione, alla curvatura dello spaziotempo.

Come spiegato, il tensore di Einstein [Gαβ] è in realtà una forma di scrittura che rappresenta una descrizione specifica della curvatura dello spaziotempo.     einstein-field-equation.jpg

Come tale, l’equazione mostra che il tensore di Einstein [Gαβ] può essere espanso come tensore di Ricci [Rαβ], Ricci scalare [R] e il tensore metrico [gαβ]. Collettivamente, questi termini rappresentano la descrizione della curvatura dello spaziotempo, che viene quindi equiparata al tensore Impulso-Energia [Tαβ].

Naturalmente, uno degli scopi dell’introduzione del concetto di tensori era il fatto che esso potesse rappresentare un insieme di attributi associati ad un certo punto nello spaziotempo. Come generalizzazione, il tensore di Impulso-Energy [Tαβ] può descrivere collettivamente la densità di energia, il momento, il flusso, la pressione e lo sforzo di taglio associati a qualsiasi unità di volume dello spaziotempo. Il seguente schema rappresenta il tensore energia di tensione:

2

Come il tensore di Ricci, il tensore energia di tensione è un tensore di rango (0,2) e quindi può essere espresso sotto forma di matrice 4×4 associata alle componenti [t, x, y, z] dello spaziotempo.

3

  • Isolamento, la matrice 3×3 [T 11 -T 33 ] viene talvolta definita come il tensore di stress poiché ogni elemento corrisponde allo stress, ovvero forza per unità di area, nella direzione [a] che agisce su una superficie normale al [ b] direzione.
  • Con riferimento alla tabella sopra, il suffisso [1,2 o 3] potrebbe essere liberamente associato alle direzioni [x, y, z], dove [T 13 ] è lo stress che agisce nella direzione [x] e [T 33 ] è lo stress che agisce su di esso nella direzione [z] rispetto ad una superficie nel piano [xy].
  • Gli elementi diagonali di questa matrice 3×3, cioè [ 11 , 22 , 33 ], sono tensioni che possono essere interpretate come pressione, ovvero forza per unità di area. Gli elementi rimanenti sono stress di taglio, che per semplicità possono essere impostati su zero per lo scopo della maggior parte delle discussioni.
  • Al contrario, l’elemento [ 00 ] è la densità di energia, ossia l’energia per unità di volume, in un dato punto nello spaziotempo.
  • Mentre gli elementi [ 01 , 02 , 03 ] corrispondono al momento di densità, ad es. [ 01 ] è il momento di densità nella direzione [x] per volume unitario.
  • In alternativa, l’elemento [ 10 , 20 , 30 ] corrisponde al flusso di energia attraverso una superficie normale a una data area unitaria per unità di tempo.

Inizialmente, questo può portare a una descrizione molto complicata dello spaziotempo, ma nel contesto della cosmologia, lo spaziotempo è spesso modellato sull’idea di un fluido prefetto, in cui la complessità della tabella precedente si riduce a:

4

In questo caso, il tensore dell’energia di tensione è definito dalla densità di energia [ρ] e dalla pressione [P] di un volume unitario di spaziotempo che può essere correlato a una soluzione specifica dell’equazione di campo di Einstein nota come soluzione di Friedmann.

La soluzione punto-massa, ” metrica di Schwarzschild “

Nel nominare questa sezione la soluzione ‘punto-massa ‘, l’intenzione è di riflettere la natura delle ipotesi che sono alla base di questa soluzione dell’equazione di campo di Einstein. Tuttavia, è spesso meglio conosciuto come la ” metrica di Schwarzschild ” in onore di Karl Schwarzschild, che per primo propose la soluzione entro un anno di Einstein pubblicando la sua teoria della relatività generale nel 1915.

1

Mentre qualsiasi soluzione dell’equazione di campo di Einstein può apparire piuttosto scoraggiante in termini di tutti i simboli matematici, molte delle idee su cui si fonda sono sostanzialmente analoghi al concetto newtoniano di un centro di massa.

[1]      1

Dato che abbiamo già introdotto e discusso molte delle principali implicazioni di [1], il focus di questa discussione è più orientato su come [1] si evolve dalla forma matematica:

[2]     2

Come le precedenti discussioni hanno delineato, [2] è una forma di stenografia matematica, in cui [g αβ ] rappresenta i coefficienti metrici del tensore metrico [g]. Tuttavia, è stato dimostrato che questa stenografia potrebbe essere espansa sotto forma di una serie di matrici, che restituisce semplicemente un valore scalare corrispondente alla separazione di 2 eventi nello spaziotempo 4 dimensionale [ds]:

[3]      3

Mentre [1] è presentato in coordinate sferiche, i valori [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] possono ancora essere correlati alle coordinate cartesiane [t, x, y, z], dove [3] si espande nella forma :

[4]      4

La forma di [4] può essere riscritta nella forma seguente nel caso di spaziotempo piatto:

[5]      5

Tuttavia, a questo punto, dobbiamo riportare [5] in coordinate sferiche usate per definire la metrica di Schwarzschild in [1] e presentare entrambe le forme della metrica di Schwarzschild per il confronto in [6]:

[6]      6

Confrontando le equazioni in [6], potremmo vedere immediatamente i valori richiesti dei coefficienti metrici per soddisfare la metrica di Schwarzschild. Tuttavia, si tratta semplicemente di tornare indietro dalla risposta e potrebbe essere più istruttivo vedere se è possibile eseguire una derivazione di base dei coefficienti metrici, anche se ricorriamo ad alcune approssimazioni newtoniane. Per ottenere una comprensione iniziale dei coefficienti metrici, possiamo razionalizzare la forma della metrica di Schwarzschild in [6] considerando solo la curvatura dello spaziotempo lungo il percorso radiale equatoriale, cioè [φ = 0, θ = π / 2]:

[7]      7

In quanto tale, [7] ci consente di concentrarci sul termine aggiuntivo che la relatività generale impone oltre i requisiti dello spazio-tempo piatto assunto dalla relatività speciale. A questo riguardo [8] di seguito racchiude la curvatura dello spaziotempo definita dalla metrica di Schwarzschild oltre la metrica di Minkowski dello spaziotempo piatto:

[8]      8

Come tale, potremmo riconoscere che i coefficienti metrici [g φφ ] e [g θθ ] non hanno alcun ruolo diretto nella curvatura dello spaziotempo e possiamo immediatamente stabilire i loro valori mediante il confronto diretto in [6] e aggiornare la metrica generica sviluppata:

[9]      9

A questo punto, potremmo tornare a [6] e invocare l’argomento secondo cui un’orbita circolare intorno alla massa [M] deve essere allineata a un percorso geodetico in relatività generale. In tal caso, un’orbita circolare imposterà sia [dr] e [dθ] a zero e ridurrà la metrica generica al seguente modulo:

[10]    10

Potremmo ora dividere [10] per [c 2 dτ ]:

[11]    11

Riorganizzazione [11] in termini di [g tt ] e moltiplicando per (dτ / dt) 2 :

[12]    12

Tuttavia, siamo davvero interessati a come [g tt ] cambia in funzione dei diversi raggi orbitali, che possiamo dedurre differenziando parzialmente [12] rispetto a [∂r]:

[13]    13

Per definizione, [dφ / dt] corrisponde alla velocità angolare orbitale [ω], che dovremmo solo approssimare usando i requisiti newtoniani per un’orbita stabile:

[14]    14

Ora possiamo sostituire [ω] in [14] in [13]:

[15]    15

Tuttavia, il nostro obiettivo è ancora [g tt ], che ora richiede l’integrazione di [15]:

[16]    16

L’equazione [16] introduce una costante di integrazione [k]. Tuttavia, possiamo dedurre che [g tt = 1] quando la massa [M] è zero e / o come [r] si avvicina all’infinito, perché in queste condizioni, la metrica di Schwarzschild deve avvicinarsi alla metrica dello spaziotempo piatto della relatività speciale. Pertanto, possiamo scrivere:

[17]    17

Quindi, considerando solo un’orbita circolare-geodetica, abbiamo fatto una derivazione, del tipo, del coefficiente temporale [g tt ] del tensore metrico. Tuttavia, ora vogliamo determinare il coefficiente radiale [g rr ] del tensore metrico, che comporta il cambiamento di raggio rispetto alla massa [M]. Tuttavia, potremmo essere in grado di utilizzare un approccio simile, ma ora limitando [6] a un percorso radiale, cioè senza velocità orbitale:

[18]    18

In questo caso, potremmo procedere dividendo [18] per [c 2 dτ ]:

[19]    19

A questo punto, potrebbe essere utile da una prospettiva generale prendere una piccola deviazione nella relatività speciale. Se si semplifica ulteriormente [19] considerando un punto statico nello spazio al raggio [r] dalla massa [M], i termini [dr] devono andare a zero.

[20]    20

Dato che ora abbiamo un’espressione per [g tt ], potremmo assumere che abbiamo un’espressione per la dilatazione del tempo implicitamente associata ai termini [dτ / dt].

Mentre questo è corretto, è limitato alla dilatazione del tempo dovuta alla sola gravità, cioè non c’è movimento, e sappiamo dalla relatività speciale che si verifica anche la dilatazione del tempo, in assenza di una massa [M], a causa della velocità relativa [v] rispetto alla velocità della luce [c]:

[21]    21

L’equazione sopra implica che il tempo corretto [dτ] sarà più lento di [dt] a causa degli effetti della velocità indipendentemente da eventuali effetti aggiuntivi causati dalla gravità. Tuttavia,  possiamo trasporre la forma di questa espressione, nel caso di un osservatore a caduta libera [C], poiché questa velocità è sempre proporzionale al raggio [r]. Sostituendo la velocità in [21] si ottiene la seguente equivalenza tra gli effetti relativistici causati dalla gravità e dalla velocità:

[22]    22

Pertanto, quando si considera il valore di [dr / dτ] soggetto a dilatazione del tempo per massa [M] e velocità [v] per il caso speciale a caduta libera, possiamo combinare gli effetti in termini dello stesso rapporto, cioè [Rs / r]:

[23]    23

Invertendo il risultato in [23] di nuovo in [19] insieme al valore di [g tt ] in [17] e il valore di [v = dr / dt] in [22] si ottiene:

[24]    24

Risolvere [24] in termini di [ grr ] è un po ‘disordinato, dato che dobbiamo moltiplicare per (1-Rs / r), ma probabilmente vale la pena farlo per completezza:

[25]    25

Quindi abbiamo tutti i vari valori dei coefficienti associati al tensore metrico [g] richiesto dalla metrica punto-massa o Schwarzschild. Come tale, potremmo desiderare di ritornare alla forma matriciale di [3]

[26]    26

Naturalmente, replicare e manipolare la forma di [26] diventa presto molto ingombrante, ed è per questo che Einstein ha adottato la sua convenzione di sommatoria.

[27]    27

Quindi, anche se la forma di [27] potrebbe non aver trasmesso nulla di significativo quando è stata introdotta per la prima volta, si spera che questa panoramica abbia fornito alcune indicazioni sulla sua logica.

La soluzione omogenea, la metrica ` Friedmann-Lemaître-Robertson-Walkermet

La soluzione omogenea intende riflettere la natura delle ipotesi che sono alla base di questa prossima soluzione dell’equazione di campo di Einstein. Tuttavia, è anche meglio conosciuto con un altro nome, vale a dire la metrica ` Friedmann-Lemaître-Robertson-Walkermet (FLRW), in onore di coloro che hanno sviluppato collettivamente l’idea. Tuttavia, la maggior parte del lavoro originale è normalmente attribuita ad Alexander Friedmann che, nel 1922, suggerì che non esisteva una soluzione unica all’equazione di campo di Einstein in termini di universo, solo un insieme di possibili soluzioni dipendenti dall’assunzione di un dato modello.

1

L’ipotesi o premessa alla base della soluzione da discutere è che sulla più grande scala dell’universo, possiamo ignorare le differenze localizzate nella densità della materia, vale a dire le galassie e i sistemi stellari, e modellare l’universo come un fluido perfetto. L’essenza di questa premessa viene spesso definita come il principio cosmologico e afferma che l’universo è:

  • Omogeneo: tutto è uguale in ogni punto dell’universo.
  • Isotropico: tutto sembra uguale in tutte le direzioni in ogni punto dell’universo.

Per quanto è noto, queste ipotesi sono state ampiamente verificate da osservazioni entro i limiti dell’universo ‘ osservabile ‘, ma l’estensione dell’universo oltre l’orizzonte osservabile deve essere classificata come speculazione. Il modello in questione si basa anche sul presupposto che la densità di energia dell’universo può cambiare nel tempo a causa dell’espansione. La proprietà chiave di un universo omogeneo e isotropico è che possiamo scegliere qualsiasi punto come origine e utilizzare le coordinate sferiche come una struttura di riferimento. In questo contesto, la metrica per tale universo è chiamata metrica FLRW:

[1]      1

Chiaramente, ci sono somiglianze con la metrica di Schwarzschild, almeno, rispetto alla forma delle coordinate sferiche, ma ci sono alcune differenze ugualmente distinte che devono essere spiegate. Innanzitutto, quello che era stato precedentemente chiamato coefficiente di curvatura [C] non sembra essere presente, sebbene ci siano 2 nuove variabili che potrebbero alludere a qualche forma di curvatura:

  • Il primo è il ` fattore di scala a (t)` che corrisponde all’espansione dell’universo in funzione del tempo.
  • Il secondo si riferisce alla “curvatura spaziale (k)” e corrisponde alla geometria generale dell’universo in termini di apertura, piatta o chiusa.

Alcuni dettagli di questi concetti non saranno discussi in questo punto. Tuttavia, potrebbe valere la pena sottolineare che la geometria dell’universo viene essenzialmente definita in termini di rapporto tra la velocità di espansione a (t) e la densità di energia [ρ]. Per una data velocità di espansione c’è una densità critica [ρ C ] per cui la geometria dell’universo è detta spazialmente piatta, cioè k = 0. Una densità inferiore alla soglia critica provocherà una curvatura negativa o un universo aperto, mentre una densità superiore alla soglia critica produrrà una curvatura positiva o un universo chiuso. Pertanto, la geometria in questi termini determinerebbe anche il futuro dell’universo. 

  • Un universo aperto continua ad espandersi per sempre.
  • Un universo chiuso smette di espandersi e quindi subisce una contrazione.

Allo stato attuale, le osservazioni sembrano supportare un universo spazialmente piatto, anche se questo è ancora soggetto a molte speculazioni. Tuttavia, ai fini di questa discussione, potremmo inizialmente considerare solo un’espansione lungo un percorso radiale equatoriale e impostare [k = 0]. Pertanto, possiamo semplificare l’equazione [1] per:

[2]      2

Nel contesto di [2], la relatività generale sta semplicemente descrivendo un universo che si sta espandendo nello spazio, cioè non c’è alcun effetto implicito sul tempo, sebbene l’espansione spaziale sia una funzione del tempo. Naturalmente, quando Einstein sviluppò per la prima volta la sua teoria della relatività generale, assunse che l’universo doveva essere statico, cioè essenzialmente infinito nel tempo e nello spazio. Dopo che la metrica FLRW fu accettata, principalmente sulla base del lavoro osservazionale di Edwin Hubble, la maggior parte degli scienziati arrivò ad accettare l’espansione dello spazio e l’inferenza che l’universo era finito nello spazio e nel tempo. Tuttavia, mentre i modelli cosmologici hanno posto un’era nell’universo, c’è solo un limite inferiore per le dimensioni dell’universo. Fino al 1998, la maggior parte degli scienziati, pur accettando l’espansione dello spazio, avrebbe generalmente accettato che l’espansione dell’universo stesse rallentando sotto l’influenza della gravità. Tuttavia, le osservazioni abbastanza recenti delle supernove di tipo 1A hanno suggerito che l’espansione dell’universo in realtà sta accelerando a causa dell’influenza di ciò che viene comunemente definito come `energia oscura `. Detto questo, torneremo ora ai dettagli della metrica FLRW:

[3]      3

La forma dell’equazione sopra è il punto di partenza più appropriato in quanto contiene tutti gli elementi essenziali da discutere. Possiamo spiegare il concetto del fattore di scala a (t) senza ricorrere necessariamente a nessuna matematica, sebbene implichi l’idea matematica delle coordinate di comating`. Se immaginate un volume molto grande di spazio, come definito dagli angoli di un cubo enorme, in cui si trovano 8 galassie. Se queste 8 galassie sono a riposo rispetto a se stesse, e ciò che è noto come il frame Cosmic Microwave Background (CMB), il cubo non cambierà forma, ma all’interno di un universo in espansione il cubo deve ancora espandersi. Tuttavia, questo cubo può essere considerato come un quadro di riferimento, in cui qualsiasi variazione di distanza [dr] è direttamente attribuibile all’espansione in funzione del tempo, cioè a (t). In pratica, il fattore di scala è una quantità misurabile perché è direttamente correlato al redshift degli eventi chiave nella timeline dell’universo, ad esempio CMB redshift z = 1089:

[4]      4

Come tale, ora rivolgere la nostra attenzione al termine rimanente all’interno della metrica FLRW che potrebbe suggerire una qualche forma di curvatura che la relatività generale deve spiegare:

[5]      5

Come riferimento, inizieremo semplicemente riassumendo gli effetti dei tre valori di [k] introdotti e gli effetti sull’incremento radiale [dr]:

Geometria [K] Denominatore [Dr]
Piatto k = 0 = 1 immutato
Chiuso k = +1 <1 allargato
Aperto k = -1 > 1 contratto

Sebbene siano stati stabiliti alcuni degli attributi di base in discussione, non è stata effettuata alcuna giustificazione matematica di questo aspetto della metrica FLRW. Pertanto, ora cercheremo di affrontare questo problema, anche se con un approccio leggermente generalizzato. Come spiegato, [k] corrisponde alla curvatura dello spazio 3D, anche se è molto difficile effettivamente visualizzare ciò che questo significa. Pertanto, proveremo a tracciare un’analogia con un’entità 1-dimensionale esistente su una linea curva come illustrato nel diagramma a destra. La nostra entità percepisce questo universo solo come una linea e non ha percezione della curvatura definita da [r]. Pertanto, le coordinate cartesiane [x, y] ci permettono semplicemente di definire matematicamente [r] sulla base del teorema di Pitagora:

2[6]      6

Pertanto, qualsiasi misura di distanza [dl] lungo l’universo del cerchio non sottoposto ad espansione, cioè [r] è costante, può essere trasposta al sistema di coordinate esterno [x, y] differenziando l’equazione [6]:

[7]      7

Riorganizzazione e sostituzione per [y]:

[8]      8

Pertanto, la misura di qualsiasi lunghezza [ds] lungo il cerchio dalla nostra entità 1-dimensionale può ora essere espressa in termini del nostro sistema di coordinate esterno, superiore, cioè [xy]

[9]      9

Quest’ultima espressione può essere ridotta alla seguente forma semplificata:

[10]    10

Senza aver spiegato il perché, si potrebbe vedere che stiamo iniziando a definire un meccanismo mediante il quale la curvatura in un universo 1-dimensionale può essere espressa in termini di un sistema di coordinate dimensionali più elevato. In linea di principio, ciò potrebbe consentire di esprimere la curvatura spaziale tridimensionale in termini di un sistema di coordinate a 4 dimensioni più elevato.

[11]    11

Naturalmente, possiamo definire qualsiasi sottoinsieme dei vettori dell’equazione precedente per semplificare la forma:

[12]    12

Di nuovo, qualsiasi misura di distanza [ds] nello spazio 3D non in espansione, cioè [R] è costante, può essere trasposta al sistema di coordinate 4D [x, y, z, w] differenziando [12]:

[13]    13

Riorganizzazione e sostituzione per [w]:

[14]    14

Pertanto, la misura di qualsiasi lunghezza [ds] nello spazio 3D può ora essere espressa in termini di sistema di coordinate 4D, ovvero [x, y, z, w].

[15]    15

In parte, l’equazione [15] può essere semplicemente vista come in coordinate polari dove [θ, φ] sono entrambi zero, come abbiamo fatto nelle derivazioni precedenti per semplificare la forma delle equazioni.

[16]    16

Quindi abbiamo finito con un’espressione che definisce una misura [ds] nello spazio 3D che tiene conto della curvatura spaziale in termini di un raggio 4D [R]. Possiamo [16] avvicinarci un po ‘al nostro obiettivo, ovvero la metrica FLRW, apportando le seguenti sostituzioni:

[17]    17

A questo punto, potrebbe essere utile sostituire [17] nella forma della metrica spazio-temporale generale:

[18]    18

Ora possiamo fare un confronto di equazioni [3] e [18] e notare le somiglianze con l’unica eccezione della costante [k], che potrebbe semplicemente essere pensata come un indice con un valore nell’intervallo [1..3 ]:

Geometria [K]
Piatto k = 0
Chiuso k = +1
Aperto k = -1

Pertanto, potremmo aggiungerlo a [18] e descriverlo come indice del modello geometrico, mentre allo stesso tempo semplicemente cambiando la notazione R (t) in a (t):

[19]    19

Tuttavia, se andiamo insieme all’assunzione attuale che l’universo debba essere essenzialmente spazialmente piatto, cioè k = 0, la metrica FLRW semplificherebbe la forma:

[20]    20

In sostanza, questa equazione è ora analoga allo spazio-tempo piatto della relatività speciale, tranne per il fatto che lo spazio definito da [dr] è soggetto ad espansione. In questo contesto, si può dire che lo spaziotempo è curvo perché due fotoni iniziali che si muovono in parallelo tra loro divergono a causa dell’espansione dello spazio tra di loro. Tuttavia, per completezza, torneremo alla forma completa della metrica FLRW:

[21]    21

Di nuovo, potremmo voler riassumere i vari valori dei componenti del tensore metrico richiesto dalla metrica omogenea dello spaziotempo in espansione. Possiamo tradurre [21] nella sua forma espansa come segue:

[22]  22

In quanto tale, questa forma definisce la separazione [ds] in 4-spazio, che possiamo ridurre usando la seguente notazione di matrice in cui possiamo sostituire il valore dei coefficienti del tensore metrico:

[23]     23

Di nuovo, possiamo anche ridurre la notazione in [23] alla forma del tensore di stenografia integrata con la convenzione di somma di Einstein.

[24]     24

Mentre è accettato che né la soluzione punto-massa né quella omogenea si allineano alla derivazione accettata, che normalmente sarebbe associata alla matematica della relatività generale, si spera che forniscano un punto di partenza per ancorare a concetti più classici, che inizialmente potrebbero essere più facilmente comprensibile. La discussione finale “Note conclusive” riassumerà ora alcuni dei problemi percepiti con la relatività speciale e generale.

Referenze

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