Tensori e basi della relatività per studenti del corso di laurea in fisica

In matematica, la nozione di tensore generalizza tutte le strutture definite usualmente in algebra lineare a partire da un singolo spazio vettoriale. Sono particolari tensori i vettori, gli endomorfismi, i funzionali lineari e i prodotti scalari. Il primo utilizzo del concetto e del termine tensore avviene nell’ambito della meccanica dei continui, in connessione con l’esigenza di descrivere le sollecitazioni e le deformazioni subite dai corpi estesi, da cui la formalizzazione della meccanica razionale.

I tensori sono ampiamente utilizzati in relatività generale, per descrivere rigorosamente lo spaziotempo come varietà 4-dimensionale curva. I tensori sono utilizzati in molti altri ambiti della fisica, fra cui in particolare l’elettromagnetismo, la meccanica dei fluidi e la meccanica dei solidi. In particolare il tensore degli sforzi e il tensore delle deformazioni sono usati nella scienza delle costruzioni per definire lo stato tensione deformativa in ogni punto di una determinata struttura.

I tensori sono altresì usati in geometria differenziale per definire su una varietà differenziabile le nozioni geometriche di distanza, angolo e volume. Questo viene fatto tramite la scelta di un tensore metrico, cioè di un prodotto scalare definito sullo spazio tangente di ogni punto. Tramite questa nozione, vengono quindi definiti e studiati gli aspetti inerenti alla curvatura della varietà. Altri tensori, come il tensore di Riemann e il tensore di Ricci, sono strumenti importanti per questo studio.

Introduzione

Da un punto di vista fisico, un tensore è un oggetto molto generale, definito a partire da uno spazio vettoriale  (che può essere ad esempio lo spazio euclideo 3-dimensionale, oppure lo spaziotempo 4-dimensionale), e quindi non dipendente da un particolare sistema di riferimento.

Rispetto a un fissato sistema di riferimento, un vettore dello spazio è espresso come una sequenza di componenti numeriche (le sue coordinate), cioè una ennupla ordinata. Cambiando sistema di riferimento, lo stesso vettore è espresso con una sequenza diversa. La nuova sequenza è ottenuta dalla precedente secondo delle leggi precise.

Un tensore, espresso rispetto a un particolare sistema di riferimento, è una più generale “tabella di numeri -dimensionale” che generalizza i casi  (una sequenza) e  (una matrice). Al mutare del sistema di riferimento le componenti di un tensore, come quelle di un vettore, sono anch’esse modificate da leggi precise.

La nozione fisica di tensore come oggetto le cui coordinate dipendono dal sistema di riferimento secondo leggi fissate (chiamate covarianza e controvarianza), è utile a esprimere molte leggi fisiche.

La nozione matematica di tensore è realizzata in modo più rigoroso tramite l’algebra lineare. Innanzitutto, nel linguaggio dell’algebra lineare un sistema di riferimento è una base e la legge di trasformazione è fornita dalla matrice di cambiamento di base. Inoltre, la definizione di tensore può essere data senza fare uso di sistemi di riferimento (cioè di basi), usando le nozioni più astratte di applicazione multilineare e di spazio vettoriale duale.

Definizione

La definizione di tensore che segue è quella più intrinseca, perché non fa uso di basi, ed è la più usata in matematica. Una definizione alternativa, ampiamente usata in fisica, necessita di una base fissata.
Sia  uno spazio vettoriale di dimensione  su un campo . Lo spazio duale  è lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari

Lo spazio  ha anch’esso dimensione . Gli elementi di  e  sono chiamati rispettivamente vettori e covettori.

Un tensore è una applicazione multilineare

Un tensore  associa quindi a  vettori  e  covettori  uno scalare

La multilinearità garantisce che la funzione sia lineare in ogni componente.

L’ordine o tipo del tensore è la coppia . L’insieme di tutti i tensori di tipo  è munito di una naturale struttura di spazio vettoriale avente dimensione .

Coordinate

Un vettore può essere descritto da una colonna di numeri, cioè da una disposizione ordinata 1-dimensionale. Una trasformazione lineare è descritta tramite una matrice, detta matrice associata: una griglia bidimensionale. Più in generale, un tensore di tipo  è descritto da una griglia di dimensione . Per fare ciò, è però necessario fissare una base: scelte di basi differenti danno griglie contenenti numeri differenti.

Coordinate rispetto ad una base

Sia  una base di . Questa base induce la base duale  per , definita da

Un tensore  di tipo  è determinato dai valori

che assume sugli elementi della base. Ciascuno dei  indici in  può variare tra  e . In totale sono quindi valori. Questi formano le coordinate del tensore rispetto alla base .

Facendo uso del prodotto fra tensori, il simbolo

indica il tensore che vale 1 in  e zero su tutte le altre combinazioni di elementi delle basi. Questo tensore ha quindi coordinata 1 in  e zero per tutte le altre combinazioni.

Il tensore generico  può essere espresso come combinazione lineare degli  prodotti tensoriali:

e tale rappresentazione è unica.

Un tensore è quindi rappresentato tramite le sue coordinate rispetto a una base, ma la base è omessa, e questa scrittura risulta essere conveniente in molti contesti in cui la scelta della base risulta essere di fatto ininfluente. A volte è inoltre utile rimarcare l’ordine esistente fra i  indici e si antepone quindi uno spazio agli indici inferiori:

Cambiamento di base

Lo stesso argomento in dettaglio: Covarianza e controvarianza.

Date due basi  e , esse sono collegate da una matrice di cambiamento di base , definita dalle relazioni

dove  è la matrice inversa di , valide per ogni . L’indice in alto descrive la riga e quello in basso la colonna della matrice. Essendo il tensore un oggetto indipendente dalla base scelta, si ha:

dove  sono le componenti del tensore  espresse nella base .
Le coordinate del tensore rispetto alle due basi sono quindi collegate tramite la relazione

La somma è effettuata su tutti gli indici , ciascuno di questi da  a : è quindi una somma di termini.
A ogni base  di V è dunque possibile associare  numeri reali : tali numeri sono le componenti di un tensore se e solo se quando si effettua un cambio di base la trasformazione è descritta dalle due precedenti relazioni. Esse costituiscono dunque una definizione alternativa di tensore, spesso usata in fisica.

  • Per gli h indici in alto la trasformazione alla quale sono soggette le relative componenti corrisponde alla trasformazione inversa rispetto a quella del cambiamento di base: gli indici in alto sono quindi detti di controvarianza.
  • Per i k indici in basso la trasformazione alla quale sono soggette le relative componenti corrisponde alla stessa trasformazione subita dai vettori di base: gli indici in basso sono quindi detti di covarianza.

Dalla proprietà di covarianza o controvarianza, cioè di “mutare secondo una certa legge” al cambiamento di base, tali tensori vengono chiamati h-volte controvarianti e k-volte covarianti. Inoltre, un tensore avente solo indici in basso, è detto tensore covariante, un tensore avente indici soltanto in alto è invece detto tensore controvariante, mentre un tensore avente indici sia in alto sia in basso è detto tensore misto.

Notazione di Einstein

Lo stesso argomento in dettaglio: Notazione di Einstein.
 
Nel libro "La teoria della relatività" Albert Einstein introduce una notazione che rende le formule della relatività generale più concise. "Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto a esso, salvo il caso in cui sia esplicitamente indicato il contrario."
 
Nel libro “La teoria della relatività” Albert Einsteinintroduce una notazione che rende le formule della relatività generale più concise. “Quando un indice si presenta due volte in un termine d’una espressione, occorre sommare rispetto a esso, salvo il caso in cui sia esplicitamente indicato il contrario.

I tensori sono quantità complicate da maneggiare: molte operazioni con i tensori sono descritte usando le coordinate, ed è facile trovare espressioni con molti indici e simboli. Per semplificare la scrittura è spesso utile usare la notazione di Einstein: secondo questa notazione, gli indici ripetuti, cioè che compaiono almeno due volte nell’espressione, vanno sommati da 1 a (la dimensione dello spazio vettoriale originario ). Il simbolo di sommatoria per questi indici è escluso.

Ad esempio, la relazione che descrive il mutamento delle coordinate al cambiamento di una base può essere scritta in modo più sintetico senza scrivere le sommatorie, nel modo seguente:

Calcolo tensoriale

Lo stesso argomento in dettaglio: calcolo tensoriale.

Due tensori dello stesso tipo  possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare, secondo le regole usate normalmente per funzioni a valori in un campo. Con queste operazioni, i tensori di tipo  formano uno spazio vettoriale di dimensione , pari al numero di coordinate di un tensore, dove  è la dimensione di .

Contrazione di un tensore

Lo stesso argomento in dettaglio: Contrazione di un tensore.

La contrazione di un tensore è una operazione che trasforma un tensore misto di tipo  in un tensore di tipo . È definita nel modo seguente: si scrive il tensore iniziale usando la notazione con indici, quindi se ne prendono due, uno superiore e l’altro inferiore, si indicano con la stessa lettera, e si interpreta il tensore risultante secondo la notazione di Einstein.
Ad esempio, dato , il tensore ottenuto contraendo gli indici  e  è il seguente:

Il risultato di questa operazione è effettivamente un tensore. Questo fatto non è banale: ad esempio, ciò non accade in generale se si contraggono due indici superiori o inferiori.

Prodotto fra tensori

Lo stesso argomento in dettaglio:
 
Prodotto fra tensori. Due tensori S e T possono essere moltiplicati tramite un’operazione detta prodotto tensoriale, e il risultato è un tensore il cui ordine è la somma degli ordini dei tensori di partenza.
Se definiti come applicazioni multilineari, il prodotto tensoriale è definito semplicemente come:

che produce un’ulteriore applicazione multilineare. Per quanto riguarda le componenti, esse si moltiplicano:

Se dunque S è del tipo (k,l) e T è del tipo (n,m), il prodotto tensoriale S ⊗ T è del tipo (k+n,l+m).

Permutazione degli indici

Permutando gli indici inferiori o superiori di un tensore, si ottiene un altro tensore dello stesso ordine del precedente. Ad esempio, se  è un tensore,  è un altro tensore. Questa operazione corrisponde alla permutazione delle variabili nel dominio del tensore, definito originariamente come una applicazione multilineare. Non è possibile permutare indici superiori con indici inferiori. La permutazione degli indici caratterizza inoltre la simmetria di un tensore:

  • Un tensore è simmetrico se non cambia dopo qualsiasi permutazione degli indici in alto o in basso. Un tensore di ordine  oppure  è simmetrico se e solo se le sue coordinate formano una matrice simmetrica. Questa proprietà delle matrici non dipende in effetti dalla base scelta (è cioè preservata dalla congruenza fra matrici).
  • Un tensore è antisimmetrico o emisimmetrico se, dopo una qualsiasi permutazione degli indici, cambia soltanto per un segno, pari al segno della permutazione. Un tensore di ordine  oppure  è antisimmetrico se e solo se le sue coordinate formano una matrice antisimmetrica.

In un tensore antisimmetrico, le coordinate in cui un indice si ripete almeno due volte sono tutti nulli. Nel caso delle matrici, questo equivale al fatto che i valori sulla diagonale principale sono tutti nulli. Ad esempio, in un tensore antisimmetrico ogni valore  è nullo.

Da questo fatto segue che un tensore antisimmetrico di tipo  con  k>n ” aria-hidden=”true” data-original=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e81682bf174c978e9008ffb557ba4da2cf7478″></span> oppure <span class=h>n” aria-hidden=”true” data-original=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce165b5f33c2e2b05b1cef2f46a4cc285def3cb”></span> è necessariamente nullo, perché non può avere <span class= (oppure ) valori differenti nell’insieme . Inoltre esiste, a meno di moltiplicazione per scalare, un solo tensore antisimmetrico di ordine : il determinante, ovvero il tensore di Levi-Civita.

I tensori antisimmetrici sono utilizzati nella costruzione di forme differenziali.

Calcolo differenziale

La derivata covariante estende il concetto usuale di derivata direzionale presente nell’ordinario spazio euclideo a una varietà differenziabile arbitraria. Tramite la derivata covariante è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale o di un più generale campo tensoriale in un punto, lungo una direzione fissata. A differenza di quanto accade nell’usuale calcolo differenziale per aperti di , nel contesto più generale delle varietà differenziabili per definire univocamente una derivata è però necessario fissare un’ulteriore struttura, detta connessione. Una connessione può essere descritta concretamente dai suoi simboli di Christoffel.
La derivata covariante di un tensore di tipo  è un tensore di tipo . In presenza di una varietà riemanniana(cioè dotata di un tensore metrico definito positivo), esiste una connessione canonica, detta connessione di Levi-Civita: in questo caso è quindi possibile usare la nozione di derivata senza fissare nessuna struttura ulteriore.
Tramite la derivata covariante si definiscono vari tensori che misurano la curvatura della varietà, fra i quali il tensore di Riemann e il tensore di Ricci.

Campo tensoriale

In diverse discipline fisiche e matematiche, le componenti di un tensore sono funzioni, ed esso prende così il nome di campo tensoriale. Similmente al campo vettoriale, un campo tensoriale è ottenuto associando a ogni punto di una varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo , un tensore definito sullo spazio tangente nel punto. Si richiede inoltre che questo tensore vari con continuità, più precisamente in modo differenziabile al variare del punto nella varietà. Questa condizione può essere espressa chiedendo che le coordinate del tensore espresse in una carta, cioè in un sistema di riferimento locale, varino con continuità (o in modo differenziabile) al variare del punto, e questa condizione non dipende dalla carta scelta.

Le componenti di un campo tensoriale rispetto a due carte diverse sono collegate da opportune leggi di trasformazione, espresse in termini di derivate parziali delle funzioni coordinate  nel modo seguente:

Tensore metrico

I campi tensoriali sono uno strumento fondamentale in geometria differenziale: sono ampiamente usati per definire su una varietà differenziabile le nozioni di distanza fra punti, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura, volume, ecc. Lo strumento che permette di definire questi concetti è il tensore metrico: si tratta di un tensore di tipo  che misura il prodotto scalare di due vettori dello spazio tangente in un punto.

A partire dal tensore metrico si definiscono altri tensori, spesso più complicati, che catturano la curvatura della varietà. Tra questi, il tensore di Riemann e il tensore di Ricci. Quest’ultimo è essenziale nella formulazione della relatività generale, poiché è presente nell’equazione di campo di Einstein.

Forme differenziali

Le forme differenziali sono campi tensoriali in cui il tensore associato a ogni punto è antisimmetrico e di tipo . Sono uno strumento utile essenzialmente per un motivo: una forma differenziale di tipo  può essere integrata su una sottovarietà di dimensione . Le forme differenziali sono inoltre utili per definire la coomologia di de Rham, uno strumento importante in topologia algebrica, e sono alla base della definizione di struttura simplettica.

Esempi

Il tensore generalizza molte nozioni definite in algebra lineare a partire da uno spazio vettoriale .

  • Un tensore di tipo  è uno scalare.
  • Un tensore di tipo  è un vettore di .
  • Un tensore di tipo  è un covettore, cioè un elemento dello spazio duale .
  • Un tensore di tipo  rappresenta un endomorfismo  tramite la relazione L’endomorfismo può essere descritto come , e l’immagine è il risultato di un prodotto di due tensori e di una contrazione.
  • Un tensore di tipo  è un bivettore.
  • Un tensore di tipo  è una forma bilineare, come ad esempio i prodotti scalari. Essa associa a due vettori  e  lo scalare , ottenuto contraendo due coppie di indici. La forma bilineare è simmetrica se  lo è, e cioè se per ogni .
  • Un tensore di tipo  definisce il prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale . Esso può essere definito come un tensore  le cui componenti rispetto alla base canonica sono le stesse del simbolo di Levi-Civita. Il prodotto vettoriale di due vettori  e  è dato quindi da 
  • Un tensore di tipo  è una forma trilineare, come ad esempio il prodotto misto.

Delta di Kronecker

Lo stesso argomento in dettaglio: Delta di Kronecker.

La delta di Kronecker

è un tensore di tipo (1,1) che rappresenta l’endomorfismo autoaggiunto identità di . Le sue coordinate sono le stesse in qualunque base.

Tensore di Levi-Civita

Lo stesso argomento in dettaglio: Simbolo di Levi-Civita e Determinante.

Sia  lo spazio euclideo di dimensione . Il simbolo di Levi-Civita

definisce un tensore, se interpretato rispetto alla base canonica di . Il tensore di Levi-Civita è un tensore di tipo  e coincide con il determinante valutato sulle colonne di una matrice quadrata: il determinante è infatti un’applicazione multilineare sulle  colonne di una matrice. Rispetto a un cambiamento di base, le coordinate del tensore cambiano per una costante moltiplicativa.

Derivata tensoriale

Sia φ uno scalare, ad esempio una funzione scalare invariante estesa nel continuum a quattro dimensioni. Consideriamo ora una curva S qualunque, su cui stabiliamo una metrica per cui la distanza da un punto fisso misurata sulla curva sia s: allora anche  è invariante, essendo invarianti sia ds che . Poiché vale la relazione

anche il secondo membro è un invariante (ometteremo nel seguito il simbolo di somma, con le solite convenzioni). Dunque il quadrivettore

ossia il gradiente di φ, è covariante. Se definiamo un nuovo invariante

per quanto visto prima,  è un invariante. Sostituendo a ψ la sua espressione, otteniamo

Ricordando che l’equazione generale di una geodetica per lo spaziotempo, utilizzando i simboli di Christoffel di seconda specie, ha la forma

ricaviamo il valore di , che sostituiamo. Otteniamo dunque la relazione

Il teorema di Schwarz ci garantisce che l’ordine di derivazione rispetto a ν e μ è invertibile, e il simbolo di Christoffel di seconda specie è simmetrico rispetto a ν e μ, dunque la relazione tra parentesi quadre data sopra è simmetrica anch’essa. Per la generalità delle xν, il quadrivettore  è arbitrario. Ricordando l’invarianza di Χ, otteniamo dunque che la relazione

rappresenta un tensore covariante del secondo ordine.

Ricapitolando, dal quadrivettore covariante

abbiamo ricavato il tensore covariante del secondo ordine

Chiameremo questo tensore la derivata tensoriale del tensore Aμ. È facile vedere che tale risultato vale non solo partendo da un gradiente, ma da qualsiasi vettore covariante. Basta infatti notare che, dati due scalari φ e ψ, per quanto visto prima  è un tensore del primo ordine covariante. Altrettanto potrà dirsi di una somma di quattro di questi vettori qualsiasi . Ora, un qualunque vettore Aμ può esprimersi nella forma di Sμ (il come è lasciato per esercizio al lettore). Per quanto riguarda il resto della dimostrazione, basta ripercorrere il cammino partendo da , e si ricava esattamente la stessa formula, che è quanto ci attendevamo.

Esaminiamo ora il caso di un tensore del secondo ordine Aμν, abbiamo già visto che è possibile esprimerlo come somma di prodotti del tipo AμBν. Ricordando la regola di derivazione del prodotto, deriviamo singolarmente i due tensori, ottenendo

e

Queste espressioni sono tensori. Moltiplicando poi la prima per Bν e la seconda per Aμ, otteniamo comunque sei tensori del terzo ordine. Sommandoli e ponendo

otteniamo

Analogamente a quanto visto prima, è possibile estendere il risultato ad un tensore del secondo ordine qualunque, e utilizzando le normali regole per la moltiplicazione dei tensori, si ricavano facilmente le espressioni per le derivate tensoriali per qualunque ordine di tensori.

Esempi

Molte delle usuali operazioni svolte in algebra lineare possono essere descritte usando dei tensori, scritti in coordinate, e manipolandoli tramite prodotti e contrazioni.

Funzionali lineari

Un funzionale lineare  è un covettore , cioè un tensore di tipo . Un vettore  è descritto da un tensore  di tipo . Lo scalare  è quindi

ottenuto prima facendo il prodotto dei due tensori, e poi contraendo gli indici.

Endomorfismi

Un endomorfismo  può essere descritto come un tensore  di tipo . Un vettore  come un tensore  di tipo . Il vettore  è quindi

Forme bilineari

Una forma bilineare  può essere descritta come un tensore . Dati due vettori  e , lo scalare  è dato da

 

Tensore di Riemann 

In geometria differenziale, il tensore di Riemann è un tensore di tipo (1,3) che codifica nel modo più completo la curvatura di una varietà riemanniana. Prende il nome da Bernhard Riemann ed è generalmente indicato (nella notazione con indici) tramite il simbolo:

Tutte le altre entità che descrivono la curvatura di una varietà possono essere dedotte dal tensore di Riemann, ad esempio il tensore di Ricci (un tensore di tipo (0,2)), la curvatura scalare e la curvatura sezionale.

Il tensore di Riemann è definito per ogni varietà riemanniana, cioè differenziabile e dotata di un tensore metrico definito positivo, e più generalmente per ogni varietà dotata di connessione.

Definizione generale

Sia  una varietà differenziabile dotata di una connessione. Il tensore di Riemann è il campo tensoriale  di tipo (1,3) che soddisfa l’uguaglianza

per ogni terna  di campi vettoriali su . Il teorema di Schwarz asserisce che nello spazio euclideo le derivate parzialicommutano: questo fatto non è vero in una varietà con connessione arbitraria, e il tensore di Riemann tiene conto in un certo senso di questo fenomeno. I primi due termini della formula sono infatti proprio le derivazioni commutate applicate ad un campo ; la presenza del terzo termine, che fa uso della parentesi di Lie , è necessaria affinché  sia effettivamente un tensore.

Simboli di Christoffel

Una connessione è pienamente individuata dai suoi simboli di Christoffel. Il tensore di Riemann può essere quindi rappresentato usando questi simboli in una qualsiasi carta, nel modo seguente.

Commutatori e indici

Una definizione intermedia fra quelle date precedentemente può essere la seguente, espressa usando la notazione con indici. Come è già stato detto, le derivate covarianti lungo due direzioni non commutano. Il loro commutatore, applicato ad un vettore , risulta però avere una forma relativamente semplice; è la somma di una parte lineare in  e di una parte lineare nella derivata covariante di :

I coefficienti di entrambi gli addendi sono tensori: il tensore di Riemann e la torsione.

Versione covariante

Se  è una varietà riemanniana, il tensore di Riemann è definito in base alla sua connessione di Levi-Civita. Il tensore metrico  può inoltre essere usato per innalzare o abbassare gli indici di un tensore: in particolare, la versione completamente covariante del tensore di Riemann è il tensore di tipo (0,4) dato da

Proprietà algebriche

Simmetrie di base

Nella sua forma completamente covariante, il tensore di Riemann è antisimmetrico rispetto allo scambio dei primi due o degli ultimi due indici:

ed è simmetrico rispetto allo scambio delle due coppie di indici:

Prima identità di Bianchi

Il tensore di Riemann soddisfa la prima identità di Bianchi. In assenza di torsione, l’identità assume la forma seguente:

Questa relazione può essere anche descritta più stringatamente nel modo seguente:

In questa espressione,  indica che si deve effettuare una somma su tutte le permutazioni dei tre indici, con un segno corrispondente alla parità della permutazione. Risultano quindi 6 termini, che però possono essere accoppiati in virtù delle proprietà di base descritte prima.

Componenti indipendenti

Il tensore di Riemann ha  componenti, dove  è la dimensione della varietà su cui è definito. Le relazioni appena descritte riducono questo numero a

componenti indipendenti. In dimensione 1, 2, 3 e 4 il numero di componenti indipendenti è quindi rispettivamente 0, 1, 6, 20.

Seconda identità di Bianchi

La seconda identità di Bianchi è simile alla prima, ma tiene conto della derivata covariante del tensore di Riemann. In assenza di torsione, l’identità ha la forma seguente:

Come sopra, questa uguaglianza può essere scritta più concisamente:

Dalla seconda identità di Bianchi segue che il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Esempi

Superficie

Il tensore di Riemann di una superficie è dato da

dove  è la curvatura gaussiana e  è il tensore metrico.

Spazio euclideo

In uno spazio euclideo, il tensore di Riemann è nullo. Una varietà riemanniana con tensore di Riemann nullo è detta piatta.

Proprietà geometriche

Curvatura sezionale

La curvatura sezionale è definita a partire dal tensore di Riemann. D’altra parte, il tensore di Riemann è completamente determinato dalla curvatura sezionale, tramite la formula

Varietà piatta

Una varietà riemanniana, o più generalmente pseudo-riemanniana, è piatta se ogni punto ha una carta in cui il tensore metrico  è costante. Questa definizione risulta essere equivalente a varie altre: tra queste, vi è l’annullarsi del tensore di Riemann.

Una varietà (pseudo-)riemanniana è quindi piatta se e solo se il tensore di Riemann è ovunque nullo:

Questa proprietà non è soddisfatta dal tensore di Ricci, né dalla curvatura scalare: esistono varietà con tensore di Ricci nullo che non sono piatte.

Geodetiche

Il tensore di Riemann è utile a misurare l’avvicinamento o allontanamento delle geodetiche, fenomeno tipico degli spazi curvi. Nello spazio euclideo, due punti che si muovono nella stessa direzione alla stessa velocità rimangono a distanza costante. Questo non avviene in una più generale varietà (pseudo-)riemanniana. In una varietà non ha neppure senso parlare di “stessa direzione” di partenza: l’unico strumento per comparare vettori tangenti a punti diversi è infatti il trasporto parallelo lungo un cammino che unisce i due punti; il trasporto parallelo dipende però fortemente dal cammino scelto!

Si può comunque caratterizzare la proprietà di avvicinamento o allontanamento delle geodetiche, considerando una famiglia di geodetiche

disgiunte, dipendente (in modo liscio) da un parametro reale . Ciascuna geodetica è parametrizzata dalla sua lunghezza d’arco. Questa famiglia definisce quindi una superficie parametrica dentro . I due parametri  e  determinano due campi vettoriali  e  tangenti alla superficie. Il primo misura la deviazione fra le varie geodetiche, il secondo è costituito dai vettori tangenti a quelle. Si può quindi definire la velocità relativa e l’accelerazione relativa fra geodetiche come i campi vettoriali:

Se la connessione è senza torsione, vale la relazione seguente, nota come equazione della deviazione geodetica:

Con gli indici:

Tensore di curvatura di Ricci 

In geometria differenziale il tensore di Ricci è un tensore che misura la curvatura di una varietà riemanniana. Si ottiene contraendo due indici del tensore di Riemann. Il tensore di Ricci, che deve il suo nome a Gregorio Ricci Curbastro, è un ingrediente dell’equazione di campo di Einstein ed è quindi importante per la formulazione della relatività generale.

Il tensore di Ricci è un tensore simmetrico di tipo (0,2), come il tensore metrico. Il tensore misura il modo in cui il volume varia localmente rispetto all’usuale volume di uno spazio euclideo.

Definizione

Sia  una varietà riemanniana o una più generale varietà differenziabile dotata di una connessione .

Definizione come contrazione

Il tensore di Ricci è il campo tensoriale definito contraendo due indici del tensore di Riemann nel modo seguente:

Si tratta dell’unica contrazione che può dare un tensore non-nullo (altre possibilità danno un tensore nullo a causa delle simmetrie del tensore di Riemann). Per distinguerlo dal tensore di Riemann, nella notazione senza indici è a volte indicato con il simbolo .

Con i simboli di Christoffel

In termini dei simboli di Christoffel, il tensore di curvatura di Ricci ha la forma seguente:

Proprietà algebriche

Tensore simmetrico

Il tensore di Ricci di una varietà riemanniana, pseudoriemanniana o di una più generale connessione senza torsione è un tensore simmetrico:

La simmetria è una conseguenza della prima identità di Bianchi.

Il tensore di Ricci di una varietà (pseudo-)riemanniana è quindi simmetrico di ordine (0,2), come il tensore metrico . Si tratta quindi di una forma bilineare simmetrica definita su ogni spazio tangente. Confrontare il tensore di Ricci con il tensore metrico è quindi un’operazione naturale, che ha dato luogo (fra le altre cose) in fisica alla formulazione dell’equazione di campo di Einstein e in matematica alla soluzione della congettura di Poincaré.

Come tutte le forme bilineari simmetriche, il tensore di Ricci è determinato dalla forma quadratica associata, e quindi dai valori che la funzione

assume sulla sfera dei vettori di norma unitaria dello spazio tangente.

Varietà di Einstein

In una varietà riemanniana, se la funzione

è costante su tutti i vettori di lunghezza unitaria, allora il tensore di Ricci è un multiplo del tensore metrico

e la varietà è detta varietà di Einstein.

Ricci e Riemann

Il tensore di Ricci determina il tensore di Riemann di una varietà riemanniana avente dimensione 2 o 3. In dimensione più alta questo non è più vero: ad esempio, esistono varietà Ricci-piatte (cioè con tensore di Ricci nullo) che non sono però Riemann-piatte (il tensore di Riemann non si annulla).

Proprietà geometriche

Media delle curvature sezionali

Le curvature sezionali di una varietà riemanniana determinano il tensore di Riemann e conseguentemente anche il tensore di Ricci. D’altra parte, il tensore di Ricci fornisce una media delle curvature sezionali lungo rette. Più precisamente, sia  un vettore tangente di lunghezza unitaria. Il numero

è la media delle curvature sezionali dei piani passanti per , moltiplicata per .

Distorsione del volume

Il tensore di Ricci misura il modo in cui la forma volume della varietà differisce localmente dall’usuale forma volume euclidea. In una carta determinata da coordinate geodetiche intorno ad un punto, il tensore metrico è bene approssimato dalla metrica Euclidea, nel senso che vale la formula

In queste coordinate, la forma volume ha la forma seguente.

Quindi nelle direzioni  in cui il tensore di Ricci è positivo (cioè \operatorname {Ric}(v,v)>0″ aria-hidden=”true” data-original=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3805d8dacc34e30312a97c75d9c67292d0e111″></span>) il volume è contratto rispetto al volume euclideo. In altre parole, la mappa esponenziale contrae il volume in queste direzioni.</p>
</section>
<section id=

Definizioni correlate

Curvatura di Ricci positiva o negativa

Se la funzione

è positiva, negativa, non-negativa, ecc. per tutti i vettori di lunghezza unitaria, allora la varietà è detta a curvatura di Ricci positiva, negativa, non-negativa, etc. Se la funzione è nulla, allora il tensore di Ricci è ovunque nullo, e la varietà è detta Ricci-piatta.

Curvatura scalare

Il tensore di Ricci è l’unico tensore non nullo ottenuto contraendo due indici del tensore di Riemann. A loro volta, i due indici del tensore di Ricci possono essere contratti ed il risultato è la curvatura scalare

La curvatura scalare è quindi la traccia del tensore di Ricci.

A volte è utile una versione del tensore di Ricci avente traccia nulla. Si tratta del tensore seguente

ottenuto togliendo al tensore di Ricci la sua traccia, divisa per la dimensione . Questo tensore è effettivamente a traccia nulla, vale cioè la relazione

In dimensione  maggiore o uguale a tre, il tensore  è ovunque nullo se e solo se , cioè se la varietà è una varietà di Einstein.

Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein è definito come

Dove R è la curvatura scalare. Il tensore di Einstein è uno degli ingredienti principali dell’equazione di campo di Einstein. La proprietà cruciale di questo tensore è l’identità

conseguenza della seconda identità di Bianchi.

Curvatura scalare 

In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione

Sia  una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di  un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo , ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico , presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo , ovvero una funzione.

Proprietà

Simboli di Christoffel

In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

Volume

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto  della varietà riemanniana  ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D’altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio  è dato da

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in , è esattamente

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle -sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

Oggetto riemanniano

A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

Esempi

Superficie

In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana  moltiplicata per due:

Sfera

La curvatura scalare di una ipersfera  di raggio  è costante in ogni punto, ed è pari a

Tensore di Einstein

Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell’equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Definizione

Il tensore di Einstein è definito come

In questa espressione  è il tensore di Ricci,  è il tensore metrico e  è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

Contraendo gli indici e tenendo conto dell’antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

Contraendo l’indice , assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

Facendo uso della relazione , possiamo riscrivere l’equazione precedente come[1][2]

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per  abbiamo

ovvero

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di  data sopra.

Proprietà

Derivata covariante

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l’identità

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

e otteniamo

In altre parole:

L’ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:

che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880[3].

Traccia

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare . La traccia  del tensore di Einstein in dimensione  può essere calcolata nel modo seguente:

In dimensione  il tensore di Einstein ha quindi traccia , opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione  (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

 

Tensore energia impulso 

 
Le componenti del tensore energia impulso.
 
Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia impulso , anche detto tensore energia , è un tensore definito dalla teoria della relatività . Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associato a un campo .

Definizione

Il tensore energia Impulso E Il tensore del Secondo Ordine Che fornisce il Flusso della Componente -esima della quantita di motoAttraverso Una ipersuperficie con coordinate Costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso , e dunque: [1] 

dove è un termine costante. Eseguendo l’ integrale sull’iperpiano si ha l’ impulso in tre dimensioni: 

con l’elemento di spazio tridimensionale e il volume contenuto in . 

Le Componenti spaziali del tensore Sono quindi le Componenti Tridimensionali dell’impulso Classico, MENTRE la Componente temporale E L’energia divisa per la velocità della luce : Esso rappresenta il Vettore Energia-Momento totale della Regione di spazio a cui E Esteso L’Integrale.

Il tensore è occupato per esprimere la conservazione del quadrante, disposto dall’equazione di continuità :

Infatti, esso è alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo , e nella relatività generale this quantita agisce venire Sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziootempo curvo l’integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c’è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziootempo curvo generale.

Il tensore è anche simmetrico: [2]

e il componente temporale è la densità di massa relativistica , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato: 

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie è equivalente alla densità dell’i-esima componente della quantità di moto: [2]

Le componenti spaziali di conseguenza è il flusso della quantità di moto che passa attraverso la superficie . In Particolare, rappresenta la Componente normale della Tensione interna , detta Pressione QUANDO E indipendente Dalla Direzione, MENTRE rappresenta lo Sforzo di taglio . 

Derivazione

Lo specifico argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri un sistema in cui l’ azione ha la forma data dall ‘ integrale quadridimensionale:

dove è la densità di lagrangiana relativa all’elemento di volume , funzione delle coordinate generali , della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton è il modo in cui è stato concepito in relazione con la moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero , e quindi: [3]

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l’integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L’ equazione del moto assume poi la forma delle equazioni di Eulero-Lagrange :

dove l’indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein . Estrarre racconto espressione all’interno di:

si lascia:

Dato che , si apre il tensore energia impulso vieni: 

in modo che l’espressione assume la forma:

Il teorema della divergenza consente di misurare l’intero volume di un derivato in un flusso attraverso l’ipersuperficie che delimita il volume: [4]

colomba e Il quadrimpulso del Sistema e un Termine Costante Che Si pone solitamente pari a : La Relazione stabilisce Che si conserva. 

Conservazione dell’energia

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell’equazione di continuità si hanno le espressioni: [2]

Integrando l’equazione e il volume sul teorema della divergenza: [5]

Il Primo Termine e La Variazione dell’Energia contenuta nel volume di , Il Terzo rappresenta quindi la quantita di energia Che fuoriesce Dalla superficie Che delimita il volume quantificata venire l’integrale su Tutta la superficie del Flussoinfinitesimo Attraverso l’Elemento di superficie . In elettrodinamica , la densità del flusso di energia è il campo elettromagnetico è dati dal vettore di Poynting . 

Applicando il medesimo procedimento alle Componenti spaziali del tensore si ottiene l’Analoga Equazione di continuità per l’Impulso: per storia Motivo le Componenti spaziali del tensore energia-Impulso costituiscono il tensore degli Sforzi .

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Lo specifico argomento in dettaglio: Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia Impulso associato al campo elettromagnetico , Detto tensore degli Sforzi elettromagnetico, E Definito nel Sistema Internazionale di Unità di Misura e Nello spaziotempo piatto venire: [6]

dove è il tensore elettromagnetico . La forma matriciale esplicita è: 

dove è il vettore di Poynting , il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski : 

e il tensore degli sforzi di Maxwell : [7]

Equazione di campo di Einstein 

L’equazione di campo di Einstein è l’equazione fondamentale della teoria della relatività generale.

Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell’energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.

L’equazione di campo è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.

Equazione

L’equazione di campo originale è

Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico. Nella forma con la costante cosmologica, l’equazione di campo è

dove:

  •  è il tensore di curvatura di Ricci;
  •  la curvatura scalare, ossia la traccia di ;
  •  il tensore metrico;
  •  la costante cosmologica;
  •  il tensore stress-energia;
  •  la velocità della luce nel vuoto;
  •  la costante di gravitazione universale.

Il tensore  descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4×4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le identità di Bianchi, le equazioni indipendenti si riducono a 6. Definendo il tensore di Einstein  come segue :

possiamo riscrivere l’equazione di campo come

Altre equazioni di campo

L’equazione di campo indicata da Einstein non è l’unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell’accoppiamento tra materia/energia e curvatura.

I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker, o FLRW. L’assunto che l’universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.

Contrazione o espansione dell’universo

Trascurando temporaneamente la costante cosmologica  e utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l’universo a grande scala sia isotropo ed omogeneo, è possibile ridurre l’equazione tensoriale all’equazione differenziale:

dove  è il fattore di scala (che se l’universo è chiuso ne rappresenta il raggio),  la sua velocità di variazione,  la densità media dell’universo e  la curvatura (positiva, negativa o nulla). Risulta dunque facile, ponendo , calcolare la densità critica dell’universo, per cui risulta:

dove si è fatto utilizzo della relazione  che lega il parametro di Hubble al fattore di scala. Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare , la curvatura dell’universo potrebbe essere diversa da 0. Se la curvatura è maggiore di 0, l’universo si ricontrarrà, se pari o inferiore si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Robertson – Walker. Sempre con , l’equazione , che assume la forma

può essere risolta ponendo , e ha come soluzione :

dove  è una costante. Questa soluzione ci dice che, per un universo spazialmente piatto e con costante cosmologica nulla, il fattore di scala è proporzionale al tempo alla due terzi .

Reintroducendo la costante cosmologica, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio, di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: l’una rappresentata dalla materia, osservabile ed oscura; l’altra da una forma di energia “non visibile”, identificabile con la costante cosmologica. Infatti in tal caso l’equazione diventa

Dove  è densità della materia, mentre  la densità di energia associata alla costante cosmologica, e definita come , che ha proprio le dimensioni di una densità energetica.

Il termine  venne introdotto ad hoc da Einstein per permettere un universo statico, in quanto la sua teoria prevedeva un universo dinamico (o in contrazione o in espansione), inconcepibile per quei tempi. Nei dieci anni successivi, le osservazioni di Edwin Hubble confermarono l’espansione dell’universo, ed il termine venne omesso (lo stesso Einstein ne giudicò l’introduzione il suo più grande errore).[3] Sembra però che egli fosse “condannato” ad avere in qualche modo ragione. Infatti, così come per la teoria dei quanti, che contribuì a fondare, ma ritenne sempre non soddisfacente, anche la costante cosmologica si è riaffermata: nel 1998 l’osservazione dello spostamento verso il rosso di supernovæ lontane ha spinto gli astronomi a introdurre l’idea di una costante cosmologica per spiegare l’accelerazione dell’espansione dell’universo.[4][5]Come quella individuata da Einstein, anche la versione aggiornata svolge il ruolo di forza antigravitazionale su larga scala, rappresentata dall’energia oscura, per la quale le ipotesi più accreditate sono l’energia del vuoto e la quintessenza.

Dal momento che le più recenti osservazioni[6] indicano che la densità dell’universo è molto vicina alla densità critica e che la densità di energia della materia globalmente intesa è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore, la costante cosmologica, qualora dimostrata e quantificata, permetterà di prevedere il destino ultimo dell’universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d’indagine per la cosmologia.

Soluzioni delle equazioni di campo

Le soluzioni particolari dell’equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:

  • l’universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
  • il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell’universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
  • la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall’esplosione di un “atomo primordiale” da cui ha avuto origine l’universo.

Licenza Creative Commons
Quest’opera è distribuita con Licenza Creative Commons Attribuzione 4.0 Internazionale.

Sei libero di:

  • Adattare – remixare, trasformare e costruire sul materiale
  • per qualsiasi scopo, anche commercialmente.

Nota: La libertà di divulgazione collettiva di questo sito è stata contestata se non diffamata da alcuni gruppi Facebook. La lotta a culturalizzare la società con ogni mezzo non si fermerà a ristretti gruppi di ignoranti. 

Referenze e Bibliografia

 

You may also like...