Teoria delle superstringhe: l’azione di Poljakov e la quantizzazione (parte quarta)

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Aleksandr Poljakov è conosciuto per una serie di contributi fondamentali alla teoria dei campi quantistici, compreso il lavoro sul monopolo di Hooft-Polyakov nella teoria di Yang-Mills. Indipendentemente da Gerard ‘t Hooft, Polyakov realizzò l’applicabilità delle idee topologiche nella teoria dei campi attraverso la scoperta di soluzioni monopolari e istantanee nella teoria di Yang-Mills. Fu uno dei primi a rivelare il significato dell’invarianza di scala nella teoria dei campi quantistici, specialmente in connessione con la teoria dei fenomeni critici. La sua riformulazione della teoria delle stringhe in termini di integrale del cammino covariante, la classificazione delle teorie di campo conformali bidimensionali nell’articolo “Simmetria conforme infinita nella teoria dei campi quantici bidimensionale” congiuntamente con AA Belavin e AB Zamolodchikov, pubblicato nel 1984, divenne i classici della fisica teorica. Nel 2011 hanno ricevuto un premio congiunto da Lars Onsager.

Aleksandr Markovič Poljakov  Mosca, 27 settembre 1945) è un fisico russo, precedentemente al Landau Institute di Mosca ed in questo momento all’università di Princeton. Poljakov è conosciuto per i suoi contributi fondamentali nella teoria quantistica dei campi, incluso il lavoro su ciò che è adesso chiamato monopolo di ‘t Hooft-Polyakov nella teoria di gauge non-abeliana, realizzato indipentemente anche da Gerardus ‘t Hooft

Aleksandr Poljakov è stato premiato con la medaglia Dirac ed il premio Dannie Heineman per la fisica matematica (Dannie Heineman Prize for Mathematical Physics) nel 1986, la medaglia Lorentz nel 1994 e la medaglia Oskar Klein (Oskar Klein Medal) nel 1996. È stato eletto membro dell’Accademia russa delle scienze nel 1984 e dell’Accademia Nazionale delle Scienze degli Stati Uniti d’America nel 2005.

Azione di Poljacov

L’ azione di Polyakov è un’azione della teoria di campo conforme bidimensionale che descrive il foglio del mondo di una stringa nella teoria delle stringhe . Fu introdotto da Stanley Deser e Bruno Zumino e indipendentemente da L. Brink, P. Di Vecchia e PS Howe (in “Un’azione invariante localmente supersimmetrica e riparametrizzazione per la corda rotante”, Physics Letters B , 65 , pp. 369 e 471 rispettivamente), ed è diventato associata ad Alexander Polyakov dopo che ne ha fatto uso nella quantizzazione della stringa (in “Geometria quantistica della corda bosonica”,Physics Letters B , 103 , 1981, p. 207). L’azione si Poljakov è:

dove

  •   è la tensione delle corde 
  •  è la metrica dellla varietà immagine
  •   è la metrica del foglio del mondo
  •   il suo inverso 
  •   è il determinante di 

La metrica viene scelta in modo tale che le direzioni del tempo siano + e le direzioni dello spazio siano – . Viene chiamata  la coordinata del foglio di mondo dello spazio  mentre  rappresenta la coordinata del foglio di mondo nel tempo  

Questo è anche conosciuto come modello sigma non lineare . L’azione Nambu-Goto rappresenta la metrica introdotta come  generalizzazione naturale dell’azione per una particella puntiforme relativistica, che a sua volta è  un’azione corretta in quanto produce le corrette equazioni del moto (e una bella interpretazione geometrica).

Dimostrazione: L’azione di Polyakov si ricava scrivendo l’ equazione di Eulero-Lagrange per il tensore metrico   si ottiene che:

Sapendo anche che:

Si può scrivere la derivata variazionale dell’azione:

dove

  

che conduce a:

Il tensore metrico ausiliario del foglio di mondo   si può calcolare dalle equazioni del moto:

e sostituito all’azione, otteniamo l’azione Nambu-Goto :

L’azione di Polyakov può essere quantizzata pcon maggiore  facilità perché è lineare. Usando i diffeomorfismi e la trasformazione di Weyl , con uno spazio immagine di Minkowski , si può fare la trasformazione fisicamente insignificante , scrivendo così l’azione invariante per  calibro conforme :

Tenendo presente che   si possono ottenere i vincoli:

.

sostituendo   si ottiene:

E infine le equazioni del moto:

Referenze

 

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