Teoria delle superstringhe: l’azione relativistica di Nambu-Goto (parte terza)

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Un ometto vestito in modo ordinato, disegnava tubi lunghi e serpeggianti sulla lavagna. A volte diceva che erano linee di vortice, trovate nei superconduttori; altre volte le chiamava archi, collegando i quark. Confuso e tuttavia affascinato da un ponte tra regni così diversi. Nambu era ancora difficile da capire. Bruno Zumino dell’Università della California a Berkeley ha raccontato una volta i suoi stessi tentativi: “Avevo l’idea che se riuscissi a scoprire a cosa sta pensando Nambu ora, avrò 10 anni di anticipo, quindi ho parlato con lui per molto tempo, ma quando ho scoperto cosa aveva detto, erano passati 10 anni. ” Edward Witten dell’Institute for Advanced Study di Princeton, NJ, spiega: “La gente non lo capisce, perché è così lungimirante”.

Nambu è stato il primo a vedere che quando un sistema fisico come un superconduttore  o un oceano di quark  sfida la simmetria imposta dalle leggi fisiche, nasce una nuova particella. Insieme a Moo-Young Han, allora studente laureato all’Università di Syracuse, propose l’esistenza dei gluoni, gli oggetti che tengono insieme i quark. Ha anche capito che i quark agiscono come se fossero collegati da stringhe, un’idea che divenne il fondamento della teoria delle stringhe. “Nel corso degli anni”, osserva Murray Gell-Mann del Santa Fe Institute, “puoi contare su Yoichiro per fornire approfondimenti penetranti a moltissime domande”.

Yōichirō Nambu (Tokyo, 18 gennaio 1921 – Osaka, 5 luglio 2015) è stato un fisico giapponese naturalizzato statunitense, premio Nobel per la fisica nel 2008.

Ha dato il nome all’azione di Nambu-Goto nella teoria delle stringhe e ai bosoni di Nambu-Goldstone che si presentano nella rottura spontanea di simmetria

Dato che tutti parlano del suo meraviglioso lavoro sulla rottura della simmetria (e giustamente), mettiamo in scena l’azione di Nambu-Goto che governa il movimento di una stringa relativistica. Questa azione, e le sue generalizzazioni, è una pietra angolare della teoria delle stringhe e possiamo trolarla praticamente in ogni testo sull’argomento.

Azione di Nambu Goto di un’area di spazio infinitesimo sullo spazio immagine

Azione di Nambu – Goto

L’azione Nambu-Goto è l’ azione invariante più semplice nella teoria delle stringhe bosoniche , ed è anche usata in altre teorie che investigano oggetti simili a una stringa (per esempio, stringhe cosmiche). È il punto di partenza dell’analisi del comportamento di stringa a spessore zero (infinitamente sottile), utilizzando i principi della meccanica lagrangiana. Proprio come l’azione per una particella punto libero è proporzionale al suo tempo proprio – cioè , la “lunghezza” della sua linea del mondo – l’azione di una corda relativistica è proporzionale all’area del foglio che la corda traccia mentre viaggia nello spaziotempo. Prende il nome dai fisici giapponesi Yoichiro Nambu e Tetsuo Goto.

Il principio base della meccanica lagrangiana, il principio dell’azione stazionaria, è che un oggetto sottoposto a influenze esterne “sceglierà” un percorso che rende una certa quantità, l’ azione , un estremo. L’azione è una relazione funzionale , una relazione matematica che prende un intero percorso e produce un singolo numero. Il percorso fisico, ciò che segue effettivamente l’oggetto, è il percorso per cui l’azione è “stazionaria” (o estremista): qualsiasi piccola variazione del percorso da quella fisica non modifica in modo significativo l’azione. (Spesso, questo equivale a dire che il percorso fisico è quello per cui l’azione è minima). Le azioni sono tipicamente scritte usando i Lagrangiani, formule che dipendono dallo stato dell’oggetto in un punto particolare nello spazio e / o nel tempo. Nella meccanica non relativistica, per esempio, la Lagrangiana di una particella puntiforme è la differenza tra energia cinetica e potenziale: . L’azione, spesso scritta , è quindi l’integrale di questa quantità da un orario di inizio a un orario di fine:

(Tipicamente, quando si usano i Lagrangiani, assumiamo che conosciamo le posizioni iniziali e finali della particella e ci preoccupiamo del percorso che la particella viaggia tra quelle posizioni.)

Questo approccio alla meccanica ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Ad esempio, possiamo scrivere una lagrangiana per una particella relativistica , che sarà valida anche se la particella viaggia vicino alla velocità della luce. Per preservare l’invarianza di Lorentz , l’azione dovrebbe dipendere solo da quantità uguali per tutti gli osservatori (Lorentz), cioè l’azione dovrebbe essere uno scalare di Lorentz . La più semplice di tale quantità è il tempo proprio, il tempo misurato da un orologio trasportato dalla particella. Secondo la relatività speciale, tutti gli osservatori di Lorentz che osservano una particella in moto calcoleranno lo stesso valore per la quantità

e   è quindi un tempo proprio infinitesimale. Per una particella puntiforme non soggetta a forze esterne ( cioè a un movimento inerziale), l’azione relativistica è

World-sheets

Proprio come un punto zero-dimensionale traccia una linea del mondo su un diagramma spazio-temporale, una stringa unidimensionale è rappresentata da un foglio del mondo . Tutti i fogli del mondo sono superfici bidimensionali, quindi abbiamo bisogno di due parametri per specificare un punto su un foglio del mondo. I teorici delle stringhe usano i simboli  e per questi parametri. A quanto pare, le teorie delle stringhe coinvolgono spazi di dimensioni superiori rispetto al mondo 3D con cui siamo familiari; La teoria delle stringhe bosoniche richiede 25 dimensioni spaziali e un asse temporale. Se  è il numero di dimensioni spaziali, possiamo rappresentare un punto con il vettore

Descriviamo una stringa usando funzioni che mappano una posizione nello spazio dei parametri  a un punto nello spaziotempo. Per ogni valore di  e , queste funzioni specificano un vettore spazio-tempo unico:

Le funzioni  determinare la forma che prende il foglio del mondo. Diversi osservatori di Lorentz non saranno d’accordo sulle coordinate che assegnano a determinati punti sulla carta del mondo, ma devono essere tutti d’accordo sull’area totale corretta che il foglio del mondo ha. L’azione Nambu-Goto viene scelta per essere proporzionale a questa area totale.

Consideriamo   essere la metrica sul  spazio-tempo dimensionale. Poi,

è la metrica indotta sul foglio del mondo, dove  e  .

Per la zona  del foglio del mondo vale quanto segue:

dove   e   

Usando la notazione:

e

si può riscrivere la metrica :

l’azione   Nambu-Goto è definita come

 

dove . I fattori prima dell’integrale danno all’azione le unità corrette, l’energia moltiplicata per il tempo.  è la tensione nella stringa, e  è la velocità della luce. In genere, i teorici delle stringhe lavorano in “unità naturali” dove  è impostato su 1 (insieme alla costante di Planck  e la costante di Newton  ). Inoltre, in parte per ragioni storiche, usano il “parametro slope”  invece di  . Con questi cambiamenti, l’azione Nambu-Goto diventa

Queste due forme sono, ovviamente, del tutto equivalenti: la scelta dell’una sull’altra è una questione di convenzione e convenienza.

Altre due forme equivalenti sono

e

In genere, l’azione Nambu-Goto non ha ancora la forma appropriata per studiare la fisica quantistica delle stringhe. Per questo deve essere modificato in modo simile all’azione di una particella puntiforme. Questo è classicamente uguale a meno la massa moltiplicando la lunghezza invariante nello spaziotempo, ma deve essere sostituito da un’espressione quadratica con lo stesso valore classico. Per le stringhe la correzione analogica è fornita dall’azione Polyakov , che è classicamente equivalente all’azione Nambu-Goto, ma fornisce la teoria quantistica “corretta”. È, tuttavia, possibile sviluppare una teoria quantistica dall’azione Nambu-Goto nel cono di luce . 

Concludiamo con una citazione del discorso di Nambu alla cerimonia di presentazione del Nobel all’Università di Chicago il 10 dicembre 2008, che mostra chiaramente la sua visione della natura:

“Oggi il principio della rottura spontanea della simmetria è il concetto chiave per capire perché il mondo è così complesso, nonostante le molte proprietà di simmetria nelle leggi fondamentali che dovrebbero governarlo, le leggi di base sono molto semplici, eppure questo mondo non è noioso, cioè, penso, una combinazione ideale. “

 

Referenze

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