Leonardo Fibonacci e la natura del numero

Leonardo Fibonacci, (nato intorno al 1170, Pisa – dopo il 1240), matematico italiano medievale che scrisse Liber abaci (1202; “Libro dell’Abaco”), il primo lavoro europeo su Matematica indiana e araba . Durante la fanciullezza di Leonardo, suo padre Guglielmo, un mercante pisano, fu nominato console sulla comunità di mercanti pisani nel porto nordafricano di Bugia (ora Bejaïa , Algeria.). Leonardo fu mandato a studiare calcoli con un maestro arabo. In seguito si recò in Egitto, in Siria, in Grecia, in Sicilia e in Provenza, dove studiò diversi sistemi numerici e metodi di calcolo.

Quando è Leonardo Liber Abraci apparve per la prima volta, i numeri arabi indù erano conosciuti solo da pochi intellettuali europei attraverso le traduzioni degli scritti del matematico arabo del IX secolo al-Khwārizmī. I primi sette capitoli riguardavano la notazione, spiegando il principio del valore del luogo, in base al quale la posizione di una figura determina se si tratta di un’unità, 10, 100 e così via, e dimostrando l’uso dei numeri nelle operazioni aritmetiche. Le tecniche sono state quindi applicate a problemi pratici come il margine di profitto, il baratto, il cambio di valuta, la conversione di pesi e misure , le partnership e gli interessi. La maggior parte del lavoro è stata dedicata alla matematica speculativa-proporzione (rappresentata da tali tecniche medievali popolari come la Regola del Tre e la Regola del Cinque, che sono metodi regola-di-pollice per trovare le proporzioni), la Regola della Posizione False (un metodo mediante il quale un problema viene risolto da un falso assunzione, quindi corretta in base alle proporzioni), estrazione delle radici e proprietà dei numeri, conclusione con alcune geometrie e algebre. Nel 1220 Leonardo produsse un breve lavoro, il Practica geometriae(“Practice of Geometry”), che comprendeva otto capitoli di teoremi basati sugli Elementi di Euclide e sulle Divisioni.

Il vero nome di Fibonacci era Leonardo Pisano Bogollo. Nacque a Pisa, in Italia, nel 1170. La storia afferma che Fibonacci era il suo soprannome che si traduce approssimativamente come “Figlio di Bonacci”. Suo padre era un mercante di nome Guglielmo Bonaccio.

Il Liber abaci, che fu ampiamente copiato e imitato, attirò l’attenzione dell’imperatore del Sacro Romano Impero Federico II . Nel 1220 Leonardo fu invitato a comparire davanti all’imperatore a Pisa , e lì Giovanni di Palermo, membro dell’entourage scientifico di Federico, proponeva una serie di problemi, tre dei quali presentati da Leonardo nei suoi libri. I primi due appartenevano ad un tipo arabo preferito, l’indeterminato, che era stato sviluppato dal matematico greco del 3 ° secolo Diofante. Questo era un’equazione con due o più incognite per le quali la soluzione deve essere in numeri razionali (numeri interi o frazioni comuni). Il terzo problema era un’equazione di terzo grado ( cioè contenente un cubo), 3 + 2 2 + 10 x = 20 (espressa in moderna notazione algebrica), che Leonardo risolse con un metodo di prova ed errore noto come approssimazione; è arrivato alla risposta

frazioni sessagesimali

in frazioni sessagesimali (una frazione che utilizza il sistema di numeri babilonese che aveva una base di 60), che, quando tradotto in decimali moderni (1.3688081075), è corretta a nove cifre decimali.

Il Liber Abaci

Soffermiamoci sul titolo: perché Libro dell’abaco? Sfogliando l’opera ci si accorge che in realtà non si parla di abaco. Agli inizi del XIII secolo i numeri in Europa erano scritti usando la numerazione romana e i calcoli erano eseguiti usando una tavola, chiamata abaco, con delle righe tracciate e dei gettoni di diverso colore e spessore detti “quarteruoli” Il nuovo algoritmo costituisce un modo alternativo all’abaco per eseguire i calcoli. Gradualmente il nuovo metodo si diffonde nel mondo latino anche se per ancora due secoli abaco e algoritmo convissero (vedi figura), e abaco viene spesso usato come sinonimo di “ far di conto”.

Introduzione: Nell’introduzione del Liber abaci Fibonacci stesso racconta di quando, raggiunto il padre alla dogana di Bugia, volle imparare l’arte dell’abaco, cioè del far di conto, e là fosse stato introdotto a quest’arte per mezzo delle nove figure degli indiani, e aggiunge che fu così impressionato da questa scienza che ovunque si fosse recato in seguito per affari ne studiò i diversi modi e le varianti usate. Dopo di che

amplectens strictius ipsum modum indorum, et attentius studens in eo, ex proprio sensu quedam addens et quedam etiam ex subtilitatibus euclidis geometrice artis apponens summam huius libri quam intelligibilius potui in XV capitulis distinctam componere laboravi

(abbracciando più da vicino il metodo degli indiani e studiandolo più attentamente, aggiungendo qualcosa di mio proprio e qualcosa anche delle raffinatezze dell’arte di Euclide, mi adoperai per raccogliere il complesso di questo libro, più chiaramente che ho potuto, distinto in quindici [in numeri romani!] capitoli)

Indice: I quindici capitoli del Liber abaci sono i seguenti:

  • De cognitione novem figurarum indorum et qualiter cum eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus abbaci
  • De multiplicatione integrorum numerorum
  • De additione ipsorum
  • De extractione minorum numerum ex maioribus
  • De divisione integrarum numerorum per integros
  • De multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis
  • De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque partium numerorum in singulis partis reductione
  • De emptione et venditione rerum venalium et similium
  • De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie et quibusdam regulis similibus
  • De societatibus factis inter consocios
  • De consolamine monetarum atque eorum regulis que ad consolamen pertinent
  • De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus
  • De regula elcatayam qualiter per ipsam fere omnes erratices questiones solvantur
  • De reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu extractione earum in se et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum
  • De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et amulchabale

Incipit del primo capitolo

Novem figure indorum he sunt

 

\begin{displaymath}9 \qquad 8\qquad 7\qquad 6\qquad 5\qquad 4\qquad 3\qquad 2\qquad 1\end{displaymath}

 

Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo $0$, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.

(I nove segni degli indiani sono questi

 

\begin{displaymath}9 \qquad 8\qquad 7\qquad 6\qquad 5\qquad 4\qquad 3\qquad 2\qquad 1\end{displaymath}

 

Con questi nove segni e con questo segno $0$ che gli arabi chiamano zefiro [vedi Lo zero: qualche osservazione], si scrive qualunque numero, come si mostra qui di seguito.)

Tavole per addizioni e moltiplicazioni: Poco più avanti si trova la seguente tabella per il calcolo di addizioni e moltiplicazioni ad una cifra o per decine, alla base degli algoritmi più complessi. Si tratta delle prime tavole pitagoriche comparse con la nostra notazione

Contributi alla teoria dei numeri

Per diversi anni Leonardo corrispondeva con Federico II e i suoi studiosi, scambiandosi problemi con loro. Ha dedicato il suo Liber quadratorum (1225; “Book of Square Numbers”) a Frederick. Destinato interamente alle equazioni diofantee di secondo grado ( cioè contenenti quadrati), il Liber quadratorum è considerato il capolavoro di Leonardo. Si tratta di una raccolta sistematica di teoremi, molti inventati dall’autore, che ha usato le sue prove per elaborare soluzioni generali. Probabilmente il suo lavoro più creativo era innumeri congruenti : numeri che danno lo stesso resto quando sono divisi per un dato numero. Ha elaborato una soluzione originale per trovare un numero che, aggiunto o sottratto da un numero quadrato, lascia un numero quadrato. La sua affermazione che 2 + 2 e 2 – 2 non potevano essere entrambi quadrati era di grande importanza per la determinazione dell’area dei triangoli razionali retti. Sebbene il Liber abaci fosse più influente e più ampio, il Liber quadratorum classifica Leonardo come il principale contributore teoria dei numeri tra Diofante e il matematico francese del XVII secolo Pierre de Fermat . Fatta eccezione per il suo ruolo nel diffondere l’uso dei numeri indù-arabi, il contributo di Leonardo alla matematica è stato ampiamente trascurato. Il suo nome è noto ai matematici moderni principalmente a causa del Sequenza di Fibonacci (vedi sotto) derivata da un problema nel Liber abaci:

Un certo uomo ha messo un paio di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno se si suppone che ogni mese ogni coppia generi una nuova coppia che dal secondo mese diventa produttiva?

La sequenza numerica risultante, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (Leonardo stesso ha omesso il primo termine), in cui ogni numero è la somma dei due numeri precedenti, è il primo sequenza numerica ricorsiva (in cui la relazione tra due o più termini successivi può essere espressa da una formula) nota in Europa. I termini nella sequenza erano indicati in una formula dal matematico francese Albert Girard nel 1634: n + 2 = n + 1 + n , in cui u rappresenta il termine e il pedice il suo rango nella sequenza. Il matematico Robert Simson all’Università di Glasgow nel 1753 notò che, man mano che i numeri aumentavano di magnitudine, il rapporto tra numeri successivi si avvicinava al numero α,il golden ratio , il cui valore è 1,6180. . ., o (1 + radice quadrata di√ 5 ) / 2. Nel 19 ° secolo il termine sequenza di Fibonacci fu coniato dal matematico francese Edouard Lucas e gli scienziati hanno iniziato a scoprire tali sequenze in natura; per esempio, nelle spirali delle teste di girasole, nelle pigne, nella discesa regolare (genealogia) dell’ape maschio, nella relativa spirale logaritmica (equiangolare) nei gusci delle lumache, nella disposizione delle gemme su uno stelo e in corna di animali.

Numeri di Fibonacci

Nel 1202 Leonardo Fibonacci, pubblicò, Liber abaci. Conteneva il seguente problema ricreativo:

“Quante coppie di conigli possono essere prodotte da una singola coppia in un anno se si presume che ogni mese ogni coppia generi una nuova coppia che dal secondo mese diventa produttiva?”

Il calcolo semplice genera il seguente sequenza:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 ..

Questa sequenza in cui ogni termine (tranne i primi due) viene trovato aggiungendo i due termini immediatamente precedenti; in generale, n = n – 1 + n – 2 , una relazione che non è stata riconosciuta fino a circa 1600. Nel corso degli anni, specialmente nei decenni centrali del 20 ° secolo, le proprietà dei numeri di Fibonacci sono state ampiamente studiate, ottenendo una considerevole letteratura. Le loro proprietà sembrano inesauribili; per esempio, n + 1 · n – 1 = n 2 + (-1) n . Un’altra formula per generare i numeri di Fibonacci è attribuita a Édouard Lucas:

Equazione.

Il rapporto ( radice quadrata di√ 5 + 1): 2 = 1.618. . ., designato come Φ, è conosciuto come il numero d’oro ; il rapporto ( radice quadrata di√ 5– 1): 2, il reciproco di Φ, è uguale a 0,618. . . . Entrambi questi rapporti sono correlati alle radici di x 2 – x – 1 = 0, un’equazione derivata dalla proporzione divina del matematico italiano del XV secolo Luca Pacioli , ovvero a / b = b / ( a + b ), quando a < b , impostando x = b / a . In breve, dividendo un segmento in due parti in proporzione media ed estrema, in modo che la parte più piccola sia nella parte più grande mentre il più grande è per l’intero segmento, produce la cosiddetta Sezione d’oro, un concetto importante sia nell’antichità che nella moderna design artistico e architettonico. Quindi, un rettangolo i cui lati sono nel rapporto approssimativo di 3:5 (Φ -1= 0,618..), o 8:5 (Φ = 1.618 …), si presume che abbia le proporzioni più piacevoli, esteticamente parlando. L’innalzamento del numero d’oro ai poteri successivi genera la sequenza che inizia come segue:

Equazioni.

In questa sequenza i coefficienti successivi della radice quadrata radicale di√ 5 sono 1, 1, 2, 3, 5, 8 di Fibonacci, mentre i secondi termini successivi all’interno delle parentesi sono i cosiddetti Sequenza di Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18. La sequenza di Lucas condivide la relazione ricorsiva della sequenza di Fibonacci; cioè

 n = n – 1 + n – 2 

Se un il rettangolo dorato ABCD viene disegnato e viene rimosso un ABEF quadrato, mentre il restante rettangolo ECDF è anch’esso un rettangolo dorato. Se questo processo viene continuato e vengono disegnati archi circolari, la curva formata si avvicina alla spirale logaritmica, una forma trovata in natura ( vedi Figura 4 ). La spirale logaritmica è il grafico dell’equazione r = Θ, in coordinate polari , dove k = Φ 2 / π . I numeri di Fibonacci sono anche esemplificati dal fenomeno botanico noto come fillotassi. Quindi, la disposizione delle spirali su un’ananas, di petali su un girasole e di rami di alcuni steli segue una sequenza di numeri di Fibonacci o la serie di frazioni

Serie di frazioni come sequenza di numeri di Fibonacci.

La natura del numero

Cos’è esattamente un numero? È facile vedere cosa sono due pecore o due mele; puoi trovarli nel mondo reale. Ma cosa è 2? Non si incontrano mai 2 in un campo o in una fruttiera. Il simbolo 2 non è un numero ma un simbolo per un numero. Fino al diciannovesimo secolo, i numeri erano considerati come dati da Dio – semplicemente lo erano. Nessuno doveva definire il concetto. Persino nel XIX secolo il matematico tedesco Leopold Kronecker disse: “Dio ha fatto gli interi, tutto il resto è opera dell’uomo”.

Il logico tedesco del XIX secolo Gottlob Frege ha tentato di definire un numero come “la classe di tutte le classi che possono essere messe in corrispondenza uno a uno con una data classe”. Fondamentalmente, quello che aveva in mente era che il numero astratto 2 può essere considerato come la classe di tutte le coppie di oggetti: due pecore, due mele, due qualunque. Riunisci tutte le coppie insieme e il risultato è un singolo oggetto ben definito che cattura l’essenza di 2. I matematici sarebbero stati completamente soddisfatti di questa definizione, salvo un problema. Il filosofo inglese Bertrand Russell ha sottolineato che l’espressione “classe di tutte le classi che …” potrebbe non avere sempre un significato sensato. Ha affermato il suo famoso paradosso su “la classe di tutte le classi che non contengono se stesse”. Equivalentemente, è il paradosso del barbiere che fa la barba a tutti quelli che non si radono da solo. Quindi chi fa la barba al barbiere? Oppure immagina un catalogo di tutti i cataloghi che non si elencano. Questo supercatalogo si classifica o no? Oggi i numeri sono visti come costrutti logici e la loro esistenza vale solo in un senso matematico piuttosto astratto in cui qualcosa esiste se non è logicamente auto-contraddittorio. I numeri sono definiti in termini di oggetti concettualmente più semplici, insiemi, attraverso una sorta di procedura di conteggio. Il paradosso di Russell non è più un problema, ma è stato sostituito dal paradosso molto più profondo del logico americano di origine austriaca Kurt Göde . Teorema di Gödel afferma che se l’aritmetica non è auto-contraddittoria, cioè se esistono numeri della matematica senso, allora questo fatto non può mai essere dimostrato matematicamente. Quindi forse i numeri sono davvero mistici come molti credono.

Referenze

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