Teoria delle superstringhe: Spazi di Calabi Yau e dimensioni nascoste (parte seconda)

Che la  geometria sia rilevante per la fisica non è una sorpresa – dopo tutto, lo spazio è l’arena in cui avvengono i fenomeni. Ciò che sorprende, tuttavia, è la misura in cui la geometria dello spazio determina effettivamente la fisica e quanto esotica sia la struttura geometrica del nostro Universo. Un matematico che ha esperienza diretta dell’affascinante interazione tra fisica e geometria è Shing-Tung Yau. In un nuovo libro intitolato The shape of inner space Yau descrive come gli strani spazi geometrici da lui scoperti risultano esattamente ciò che i fisici teorici avevano bisogno nel loro tentativo di costruire una teoria delle quattro interazioni.

Curvatura e gravità

Una prima indicazione che lo spazio è più di un semplice sfondo per la fisica arrivò nel 1915 quando Albert Einstein formulò la sua teoria della relatività generale. Einstein stava lavorando con uno spaziotempo quadridimensionale, costituito dalle tre dimensioni spaziali a cui eravamo abituati e una dimensione extra per il tempo. La sua intuizione rivoluzionaria era che la gravità non era una forza invisibile che si propagava attraverso lo spaziotempo, ma il risultato di corpi enormi che distorcevano la stessa struttura dello spazio-tempo. Una famosa analogia è quella di una palla da bowling che si siede su un tappeto elastico, che crea un tuffo in cui un marmo nelle vicinanze si riverserà. Secondo la relatività generale, oggetti massicci come stelle e pianeti deformano lo spaziotempo in modo simile, e quindi “attraggono” altri corpi che passano nelle vicinanze.

Il concetto dello Spaziotempo fece per la prima volta la sua comparsa per la prima volta nella Teoria della Relatività Ristretta di Einstein

L’idea di Einstein di unificare spazio, tempo, materia e gravità in questo modo era completamente nuova – il fisico CN Yang lo ha descritto come un atto di “pura creazione”. Ciò che non era nuovo, tuttavia, era la matematica usata da Einstein per descrivere la curvatura dello spaziotempo. Già esisteva dal XIX secolo, quando il matematico Carl Friedrich Gauss e dopo di lui il suo brillante allievo Bernhard Riemann avevano escogitato modi per misurare la curvatura di un oggetto dall’interno: non avevano più bisogno di riferirsi a uno spazio esterno per l’oggetto. Questo concetto intrinseco di curvatura era proprio ciò di cui Einstein aveva bisogno.

“Al tempo di Riemann nessuno credeva che la sua nuova geometria sarebbe stata utile”, spiega Yau. “Ma si è scoperto che si adattava esattamente allo scopo di Einstein: senza la geometria di Riemann, Einstein avrebbe impiegato molto più tempo per sviluppare la relatività generale, e questo diventò rilevante per lo studio della geometria: la geometria motiva la fisica e la fisica motiva la geometria”.

Gravità nel vuoto?

Quando Yau studiò per la prima volta la relatività generale, si fece un’interessante domanda: potrebbe esserci uno spazio-tempo che non contenga materia, un vuoto, in cui c’è gravità? Lo spazio-tempo in cui viviamo non è l’unico possibile in termini di relatività generale. Le equazioni di campo di Einstein, che descrivono la relatività, consentono anche altre soluzioni, ad esempio uno spazio-tempo senza materia e senza gravità, in cui non succede nulla. La domanda era se fosse possibile anche uno spazio-tempo vuoto che avesse ancora una certa curvatura e quindi gravità. “In tale spazio-tempo, la gravità potrebbe essere presente a causa della topologia (la forma dello spazio), piuttosto che a causa della materia”.

 Una tazza di ciambella

Una tazza di ciambella

Una versione geometrica di questa domanda era già stata posta dal matematico Eugenio Calabi negli anni ’50. Calabi era interessato  alla relazione tra la geometria di un oggetto, cioè caratteristiche precise tra cui dimensioni, angoli ecc e la sua topologia. La topologia è cieca per le misurazioni esatte e cattura solo la forma generale di un oggetto. Una sfera e un pallone sgonfiato, ad esempio, sono molto diversi dal punto di vista geometrico, ma sono topologicamente uguali perché possono essere trasformati l’uno nell’altro senza strappi o tagli. Allo stesso modo, la topologia considera equivalenti una ciambella e una tazza di caffè. Ciò che differenzia la ciambella da una sfera è il fatto che ha un buco. Un oggetto con una determinata topologia può essere trasformato in molte diverse forme geometriche: una sfera in un pallone da calcio sgonfio in una piramide o in un cubo. Calabi si chiese se una forma con un certo tipo di topologia avrebbe ammesso un’altro tipo di geometria . E si è scoperto che se la risposta è “sì”, allora l’oggetto risultante potrebbe essere interpretato – in un contesto di relatività generale – come un vuoto in cui c’è gravità.

La domanda di Calabi

Non c’è limite alle forme topologiche a cui possiamo pensare, ma i topologi di solito limitano la loro attenzione a quelle che vengono chiamate varietà . Si tratta di oggetti che, visti da vicino, assomigliano allo spazio “piatto” ordinario (chiamato spazio euclideo ) a cui siamo abituati. Sfere e ciambelle, ad esempio, assomigliano localmente al piano 2D. Se siamo abbastanza piccoli, non notiamo la curvatura, né se c’è un buco. Si può disegnare facilmente una mappa di una regione della sfera o della ciambella su un foglio di carta “piatto”. Quindi le sfere e le ciambelle sono entrambe varietà 2D, chiamate anche superfici.

La sfera è una varietà 2D perché localmente assomiglia al piano euclideo. Tuttavia, la curvatura della sfera indica che gli angoli dei triangoli si sommano a un valore complessivo più grande di 180 gradi. Immagine: Lars H. Rohwedder.

Inoltre la sfera e la ciambella hanno in comune un’altra caratteristica la compattezza : per coprirle basta avere un numero finito di mappe 2D. Ciò significa che sono finite in misura. Dato una ciambella o una sfera, è sempre possibile trovare una scatola in cui inserirle, qualunque sia la dimensione della scatola. Ma le varietà non devono essere necessariamente bidimensionali. Ci sono anche le varietà 3D, che somigliano localmente al familiare spazio euclideo 3D dato dai tre assi di coordinate perpendicolari. Dal momento che è matematicamente possibile pensare allo spazio euclideo in qualsiasi dimensione a piacere (basta utilizzare $ N $ coordinate), esistono quindi anche varietà di dimensione ND. Calabi si domandò, che tipo di geometria hanno queste varietà compatte e in particolare, si interessò alla curvatura.

E’ possibile misurare la curvatura di una varietà in ogni punto come un pallone sgonfio o una ciambella una volta che abbiamo definito in essa una certa struttura geometrica

Ma non è molto semplice: una formica che gira su una sella sentirà la curvatura verso l’alto quando sale lungo la sella e la curvatura verso il basso quando cammina lungo i lati. In questo esempio di  varietà 2D (sella), è possibile associare una curvatura alle varie curve 1D che passano attraverso un dato punto.

Una formica che cammina su una sella sentirà una diversa curvatura a seconda del suo percorso. Immagine: Eric Gaba .

Allo stesso modo, nelle dimensioni superiori è possibile associare una nozione di curvatura a particolari superfici 2D che si trovano all’interno della varietà più grande e che contengono il punto. Prendendo la media di tutte le curvature associate a queste superfici 2D si ottiene la cosiddetta curvatura di Ricci in un certo istante. Poiché si tratta di una media, la curvatura di Ricci cattura solo una componente della  curvatura completa definita da Riemann. Ciò significa che una varietà può avere una curvatura di zero Ricci in ogni punto senza essere piatta (o avere zero curvatura Riemanniana) complessivamente. Da un punto di vista fisico la componente catturata dalla curvatura di Ricci sembra essere proprio quello che descrive la curvatura dello spazio-tempo indotta dalla presenza della materia. Quindi uno spazio con una curvatura di zero Ricci corrisponde a uno spazio senza alcuna rilevanza geometrica – in altre parole il vuoto geometrico.

A Calabi interessava la curvatura di Ricci per ragioni puramente geometriche. Il matematico Shiing-shen Chern aveva mostrato negli anni ’40 che una varietà la cui curvatura di Ricci è pari a zero in ogni punto può avere solo un certo tipo di topologia. In due dimensioni, ciò corrisponde alla topologia di una ciambella. Nelle dimensioni superiori la topologia implicita dalla curvatura zero di Ricci è un po ‘più complicata da descrivere. I matematici dicono che le varietà che hanno tale topologia corrisponde a una prima classe Chern che svanisce.

Calabi pose la seguente domanda a Chern: se hai una varietà compatta con una prima classe Chern che scompare, è possibile trasformarla in una forma geometrica che ha una curvatura  zero in qualsiasi punto? Fondamentalmente, quello che Calabi chiedeva era di garantire la possibilità di un certo tipo di topologia. Tuttavia, Calabi limitava la sua attenzione alle cosiddette varietà di Kähler. Questi sono più facili da affrontare perché deviano dallo spazio euclideo in modo limitato. Sono anche le cosiddette varietà complesse : le mappe che le seguono conservano gli angoli e le varietà mostrano una certa simmetria locale. (Il termine complessosi riferisce al fatto che localmente le varietà sembrano simili non solo al semplice vecchio spazio euclideo, ma a qualcosa chiamato spazio complesso. In due dimensioni questo è solo il piano complesso con cui potresti avere familiarità se hai studiato numeri complessi.) Essendo Kähler rende una varietà accessibile a un potente macchinario matematico e lo dota anche di un particolare tipo di simmetria.

La risposta di Yau

Una sezione trasversale 2D di una varietà 6D Calabi-Yau

Quando Yau iniziò a lavorare su questa questione all’inizio degli anni ’70, era principalmente motivato dalla geometria, anche se, come ci dice, “è sempre stato in mente che ciò sarebbe stato interessante per la fisica: la costruzione di un universo chiuso [la varietà compatta] che non ha importanza [dal momento che la curvatura di Ricci è zero] ma ha ancora gravità [a causa della curvatura dovuta alla sua topologia]. Ma l’esistenza di una tale struttura significherebbe anche molto per la geometria: la congettura di Calabi prevedeva modo più chiaro per comprendere la curvatura di Ricci. ” All’inizio Yau, come la maggior parte degli altri esperti, credeva che la risposta alla domanda di Calabi fosse “no”. Poiché la topologia è un concetto molto più flessibile della geometria, sembrava troppo aspettarsi che la topologia da sola potesse garantire un tipo di geometria così speciale. “Per molti anni ho cercato di dimostrare che il tipo di varietà che Calabi era dopo non esiste”, dice. “Ma qualunque cosa ho provato, ho incontrato delle difficoltà, quindi ho deciso che la natura non può ingannarmi così tanto e che ci deve essere qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento”.

Nel 1977 Yau finalmente dimostrò che Calabi aveva ragione. Per affermare il suo risultato nella sua piena gloria, ha dimostrato che qualsiasi varietà di Kähler compatta  con una prima classe Chern che svanisce potrebbe essere dotata di una geometria con curvatura zero Ricci. Il tipo di varietà che si adattano a questo disegno di legge e esistono in tutte le dimensioni, da allora sono conosciute come varietà di Calabi-Yau.

Dimensioni nascoste

Nel 1982 Yau ha ricevuto la medaglia Fields, il più alto onore in matematica, per la soluzione della congettura di Calabi, avendo un impatto importante sulla geometria. Quello che non sapeva era che le varietà di Calabi-Yau rappresentavano esattamente ciò che alcuni fisici stavano cercando.

 “Ero a San Diego con mia moglie un giorno nel 1984, a guardare il bellissimo oceano”, ricorda. “Il telefono squillò e furono i miei amici Andrew Strominger e Gary Horowitz: erano eccitati perché i teorici delle stringhe stavano costruendo modelli dell’Universo e avevano bisogno di sapere se esistevano realmente varietà di Calabi-Yau.”

La teoria delle stringhe è un tentativo di una “teoria di tutto” che può spiegare tutta la fisica nell’universo. Tale teoria era ed è tuttora il santo graal della fisica perché le due principali teorie esistenti, la relatività generale (che descrive il mondo macroscopico) e la teoria dei campi quantistici (che descrive il mondo a livello subatomico) si contraddicono a vicenda . La teoria delle stringhe risolve le contraddizioni matematiche proclamando che i più piccoli pezzi di materia ed energia non sono particelle puntuali, ma minuscole stringhe. Queste corde possono vibrare, proprio come le corde della chitarra possono vibrare, e i diversi tipi di vibrazioni corrispondono alle particelle fondamentali e alle forze fisiche che osserviamo. All’inizio degli anni ’80 la teoria delle stringhe era agli inizi. Uno dei suoi problemi era che aveva bisogno di dieci dimensioni su cui lavorare. Le particelle e le forze dovevano provenire da tutti i diversi modi in cui le corde potevano vibrare. Con meno di dieci dimensioni, semplicemente non ci sarebbero abbastanza modalità di vibrazione, non abbastanza direzioni per una corda da divincolarsi, per produrre tutta la fisica che osserviamo. Con più di dieci dimensioni, d’altra parte, la teoria delle stringhe ha prodotto previsioni non sensoriali. Quindi dovevano essere esattamente dieci dimensioni. Ma allora come mai possiamo percepirne solo quattro, tre per lo spazio e uno per il tempo?

Sezione trasversale di una varietà di Calabi-Yau. La teoria delle stringhe afferma che ogni punto nello spaziotempo è in realtà un piccolo mondo 6D con la struttura di una varietà Calabi-Yau.

La risposta della teoria delle stringhe a questo enigma è che le sei dimensioni extra sono arrotolate strettamente in piccoli spazi piccoli troppo piccoli per noi da essere percepiti. “In ogni punto dello spazio-tempo 4D osserviamo che in effetti c’è un piccolo spazio a sei dimensioni”, spiega Yau. Questi minuscoli mondi che vivono in ogni singolo punto nello spazio-tempo 4D sono così piccoli che non possiamo vederli. E quale tipo di struttura geometrica a sei dimensioni può ospitare questo mondo nascosto e soddisfare anche altri requisiti della teoria delle stringhe? Hai indovinato: deve essere una varietà bidimensionale di Calabi-Yau. ” Le varietà di Calabi-Yau hanno finalmente fornito un modello geometrico concreto per la teoria delle stringhe”, afferma Yau. Una delle ragioni per cui le varietà di Calabi-Yau sono interessanti per la teoria delle stringhe è la loro compattezza: le varietà sono estremamente piccole, con un diametro di circa 10-30 cm. È più di un quadrilione di volte più piccolo di un elettrone. Ma ci sono anche altre ragioni. Per essere coerenti con la comprensione della fisica in quel momento, le varietà che nascondevano le dimensioni nascoste dovevano avere una curvatura pari a zero. Inoltre, la teoria delle stringhe assume un tipo speciale di simmetria, chiamata supersimmetria, che richiede particolari caratteristiche della geometria dello spazio-tempo. Queste richieste rendono le varietà di Calabi-Yau (con la loro speciale simmetria di Kähler) eccellenti candidati per la teoria delle stringhe, sebbene non sappiamo ancora se siano l’unica soluzione possibile al rompicapo dimensionale.

Futuro della teoria

Con la scoperta delle varietà di Calabi-Yau e di altri importanti progressi, il 1984 fu un anno fondamentale per la teoria delle stringhe. Ma la storia non si concluse qui. Una nuova modifica arrivò nel 1986 quando fu scoperto che la teoria delle stringhe aveva bisogno di una versione leggermente modificata delle varietà di Calabi-Yau la cui curvatura Ricci non era nulla, ma quasi zero. Inoltre ci sono molte varietà diverse 6D di Calabi-Yau che potrebbero adattarsi al modello teorico delle stringhe e purtroppo nessuno è stato in grado di capire quale fosse “quello giusto”. Tutto questo ha in qualche modo indebolito il ruolo delle varietà nella fisica. Tuttavia un altro impulso arrivò quando si scoprì che coppie di diverse varietà di Calabi-Yau possono dare origine a un’universo teorico che ha la stessa fisica. Simmetria speculare.

Il preciso significato fisico della simmetria specchio è ancora un mistero ma come dice Yau, ha portato a “una nuova spettacolare comprensione delle varietà di Calabi-Yau con molte ricche conseguenze matematiche completamente motivate dall’intuizione della teoria delle stringhe”. In particolare, la nuova nozione di simmetria speculare ha fornito una soluzione a un problema vecchio di secoli in un ramo della geometria quasi dimenticato. Non entreremo nel problema qui, ma diremo solo che è importante contare il numero di curve che vivono in particolari spazi geometrici. La simmetria dello specchio ha portato alla formula che ha fornito la risposta e la sua correttezza è stata successivamente dimostrata da Yau e colleghi.

Oggi la teoria delle stringhe è ancora lontana dall’essere completa. Ci sono molte quantità fisiche che non è ancora in grado di descrivere e che non è e attualmente non può essere testata in laboratorio. Yau, tuttavia, crede che la sua pura coerenza matematica significa che non può essere falsa. “I matematici sono stati in grado di dimostrare formule motivate dall’intuizione fisica dalla teoria delle stringhe e ci sono molti altri contributi spettacolari che la teoria delle stringhe ha apportato alla matematica. A causa della teoria delle stringhe, molte aree apparentemente diverse della matematica si sono amalgamate insieme In modo totalmente inaspettato, questo significa che deve esserci un po ‘di verità nella teoria delle stringhe: alla fine porterà a una teoria fondamentale della materia? È troppo presto per dirlo, ma crediamo che ci debba essere un po’ di verità nell’intuizione che fornisce “.

Bibliografia

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