Teoria delle superstringhe: teoria classica bosonica (parte prima)

La teoria di stringa bosonica è la versione originale della teoria delle stringhe sviluppata alla fine degli anni 60. All’inizio degli anni ’70, con la scoperta della supersimmetria, fu sviluppata la nuova versione della teoria detta teoria delle superstringhe, che da allora è il nuovo riferimento, lasciando alla teoria di stringa bosonica solo il posto di modello di approccio alla teoria delle stringhe. Il primo compito per costruire le equazioni matematiche è iniziare con una stringa della giusta lunghezza e tensione. Poiché la teoria deve rappresentare anche la forza di gravità quantizzata, le stringhe non possono essere più lunghe della scala di lunghezza dove la struttura granulare dello spazio-tempo diventa significativa, cioè 10 -33 cm – la lunghezza di Planck. Questa è la stessa scala di lunghezza associata alla costante gravitazionale quando è espressa in unità di = 1 e c = 1. La tensione della corda può essere stimata dalla forza trasmessa dal gravitone. La tensione è inversamente proporzionale alla costante gravitazionale mediante la relazione ( 5 / G) 1/2 = 1.22×1019 Gev (l’approssimazione della particella puntiforme corrisponde alla tensione più alta nella stringa). Tuttavia, si pensa che questa energia colossale possa essere cancellata in gran parte dall’energia del vuoto. Il risultato netto diventa la massa osservata delle particelle elementari (è il modello vibrazionale che determina il tipo di particella nella teoria della stringa). Il gravitone senza massa può essere considerato semplicemente come lo stato della stringa a energia più bassa. Non è così facile arrivare alla massa corretta per le particelle elementari massicce. Inoltre, l’energia del vuoto stimata dalla teoria delle stringhe (e la teoria quantistica del campo per una data particella) è troppo grande rispetto al valore osservato derivato dall’accelerazione cosmica (costante cosmologica). Per la fisica delle particelle, l’incapacità di derivare l’energia del vuoto corretta è non soddisfacente ma accettabile, ma  fatale per la teoria delle stringhe, che si presume essere una “Teoria unificante delle forze fondamentali”. La teoria delle superstringhe contiene un altro difetto (o pregio in base al punto di vista)  dà origine a un numero infinito di configurazioni diverse  (universi) che non hanno la stessa energia del vuoto. Secondo il “principio antropico” (che semplicemente afferma: “è lì perché siamo qui”), stiamo vivendo in quello giusto con un’energia di vuoto eccezionalmente bassa rispetto a molti altri universi nel multiverso .

Formulazione matematica

La stringa è un oggetto unidimensionale, che può muoversi in vari modi. Il suo movimento spazza via un foglio bidimensionale, chiamato il foglio di mondo (vedi Figura 01a) simile alla linea di universo dello spazio-tempo 4D . Nel diagramma, X rappresenta un vettore definito nello spazio-tempo D-dimensionale che inizia all’origine di un sistema di coordinate e termina in qualche punto lungo il foglio del mondo bidimensionale con le componenti X ), dove = 0, 1 , 2, … D-1, l’indice 0 indica ila componente temporale; il resto viene trattato come componenti spaziali,  è un parametro simile allo spazio ed  è un parametro come il tempo. Tutta la vera azione si svolge sulla superficie ( ,)  – lo spaziotempo interno (foglio del mondo). I processi vengono quindi tradotti in eventi che si verificano nello spaziotempo ordinario X – lo spaziotempo esterno. La stringa

Figura 01a String, World Sheet. 

Gradi di libertà X ( , ) traccia una curva come  varia a fisso . La curva può essere aperta o chiusa e varia in un intervallo compreso tra 0 e   quando la stringa viene tracciata da un’estremità all’altra per una stringa aperta o da 0 a 2 attorno al cerchio per una stringa chiusa. La stringa spazza via un worldsheet come varia da un istante all’altro. Tuttavia, questi due parametri non hanno assolutamente nulla a che fare con lo spazio reale e il tempo reale.Dato che nessuno ha mai visto o rilevato questo artificiale spazio-tempo, devono essere nascosti dagli osservabili in una teoria, e quindi il requisito dell’invarianza di riparametrizzazione. Si scopre che tale teoria può essere formulata solo con la stringa monodimensionale all’interno della struttura dello spazio-tempo artificiale.

La formulazione della teoria delle superstringhe inizia con il ” Principio d’Azione “, che limita il movimento della corda in modo tale che il foglio del mondo  spazzi un’area minima (simile alla distanza più spessa per il caso della particella puntiforme). Se imponiamo all’azione S di essere Lorentz covariante  in forma con invariante conformale e di riparametrizzazione, allora può essere scritto come (con = 1, c = 1):

In questa equazione abbiamo introdotto uno spazio tempo metrico:

e una metrica della linea di mondo

di signatura (+, – ) con alfa= 0 e 1 rispetto al movimento  e la variabile forma  rispettivamente. T è la tensione nella stringa. Gli indici pari denotano la somma sopra il range degli indici. Le variazioni associate alla trasformazione di  Poincaré (trasformazione di Lorentz generalizzata), riparametrizzazione (cambio di coordinate) e le invarianze conformi (cambiamento dello spazio-tempo artificiale) sono:

  • Invarianza di Poincarè

                  

                     dove   

  • Invarianza di riparametrizzazione

                  

  • Invarianza conforme

                   

dove = (0, 1) = ( ,), sono coordinate sul foglio del mondo. Il requisito dell’invarianza determina in larga misura la forma dell’azione. L’invarianza di riparametrizzazione  garantisce che la fisica non cambia cambiando queste coordinate.

Figura 01b Trasformazioni conformi

La trasformazione di Lorentz nella relatività speciale è stata generalizzata alle dimensioni D. Il requisito della covarianza di Lorentz è di assicurarsi che la teoria delle superstringhe si comporti allo stesso modo in tutti i sistemi inerziali. Proprio come nella teoria del campo di gauge o della relatività generale, ci sono meno gradi di libertà dinamici indipendenti di quelli che appaiono esplicitamente nell’azione. I gradi di libertà nella formulazione possono essere ridotti tramite il requisito di invarianza conforme sotto la trasformazione conforme (Figura 01b), che riscala la metrica del foglio del mondo. Questo cambiamento nella topologia rende possibile valutare gli schemi di stringhe. Tra le altre cose ciò rende possibile compattare il foglio del mondo, chiudendo i fori corrispondenti alle stringhe in entrata e in uscita. Ad esempio, un foglio mondo con una stringa in entrata e una in uscita (come in (a) di Figura 01b) può essere conformato mappato al piano di (a ‘) con la stringa in entrata che appare all’origine e la stringa in uscita all’infinito ( non mostrato) o alla sfera di (a “) con le stringhe in entrata e in uscita che appaiono ai poli sud e nord (vedi nota in fondo all’articolo) . Gli stati di stringa esterna in (b) della Figura 01b con quattro piedini scomodi sono proiettati ai punti come indicato in ( b ‘). Con una scelta adeguata di gauge (noto come calibro covariante o conforme connel caso seguente – un misuratore è un dispositivo matematico per fissare i gradi di libertà ridondanti), le equazioni del moto delle stringhe possono essere derivate variando X per minimizzare l’azione S, ottenendo così:

———- (2)

 

che è un’equazione d’onda unidimensionale per X . Il numero di tale equazione è uguale a “D” – la dimensione del sistema di coordinate. Il grado di libertà X è indipendente l’uno dall’altro. Quindi, variando la metrica del foglio del mondo  per ridurre al minimo l’azione, è possibile ricavare più equazioni nella forma:

e

———- (3)

dove gli indici 0 e 1 vengono usati per riferirsi a  rispettivamente. può essere interpretato come tensore energia – impulso per una teoria bidimensionale nel campo  “D” campo scalare libero X .

Stringa chiusa

Per una stringa chiusa, la soluzione generale dell’ Eq. (2) coerente con le condizioni al contorno X ) = X ) è:

dove

e

———- (4)

dove l = ( T) -1/2 (alcune volte viene preso come 1) e n può essere un numero intero positivo o negativo tranne zero. La soluzione è stata suddivisa nella somma di una parte “movimento a destra” (il primo termine) e una parte “movimento a sinistra” (il secondo termine) mentre si muovono in direzioni opposte. Ogni parte consiste di due termini corrispondenti al movimento del centro di massa e una somma di oscillatori con coefficienti indicati con n e n . È l’ onda ” oscillante” che consente alla stringa di imitare i vari tipi di particelle attraverso la quantizzazione . Questa è la struttura più semplice che può avere una particella in una teoria matematica oltre al punto materiale. La soluzione per una stringa aperta con le condizioni al contorno

vale:

———- (5)

Stringa aperta

Nel caso della stringa aperta, i termini dell’oscillatore del movimento a sinistra e di destra non sono indipendenti, essendo stati collegati dalla condizione al contorno e una separazione non è particolarmente utile.  I due esempi in seguito servono a visualizzare la geometria delle stringhe chiuse e aperte. Consideriamo prima una stringa chiusa momentaneamente a riposo nel piano (X 1 , X 2 ). In base all’Eq. (4), la componente temporale e la modalità n = 1 possono essere espresse come:

Stringa chiusa

Figura 02a Corda chiusa

Figura 02b Corda vibrante

 

0 = ( 2 p 0 ) 
1 = R cos (2 )
2 = R sin (2 )

dove p 0 = i E, e R ~ Rcos (2 ) vicino a ~ 0 è il raggio del cilindro. Il tensore energia-impulso definito nell’Eq. (3) fornisce la relazione E = 2 RT confermando che T è effettivamente l’energia per unità di lunghezza della stringa. La Figura 02a mostra il foglio del mondo spazzato da questa corda chiusa per un piccolo intervallo di  forma cilindrica. In generale, la corda chiusa vibrerà nello spazio tridimensionale (X 1 , X 2 , X 3) in varie modalità armoniche (vedi Figura 02b, La soluzione per la stringa aperta è data dall’Eq. (5). La stringa aperta rotante nel piano (X 1 , X 2 ) è espressa da:

Apri stringa

Figura 02c Stringa aperta

0 = ( 2 p 0 ) 
1 = ( l ) cos ( ) cos ( )
2 = ( l ) cos ( ) sin ( )

Il tensore energia-impulso definito nell’ Eq. (3) produce in questo caso la relazione E 2 = ( l ) 2 . Il momento angolare totale è dato dalla formula:
,
ne segue che J = 2 /2 per questo caso di stringa filatura. Quindi J / E 2 = 1/2 T, che può essere identificato come Pendenza di Regge nella Figura 03b . Inoltre, poiché la velocità V della stringa  può essere calcolata dalla formula:

 V = {| 1 / 0 | 2 + | 2 / 0 | 2 } 1/2 = | cos ( ) | ,

significa che i punti finali ( = 0, e ) si muovono alla velocità della luce (ricordando che c = 1 nell’unità naturale). La Figura 02c mostra la corda rotante aperta e il foglio del mondo che spazza fuori sotto forma di superficie elicoidale.

Questa è la teoria delle stringhe originale sviluppata alla fine degli anni ’60. Si chiama teoria delle stringhe bosoniche . Il nome bosonico indica che tutti i modelli vibrazionali della stringa bosonica hanno spin intero – non ci sono fermioni. Ciò ha portato a due problemi. Innanzitutto, la teoria è incompleta perché manca il mondo dei fermioni. In secondo luogo, esiste un modello di vibrazione non-fisico nella teoria delle stringhe bosoniche la cui massa al quadrato è negativa – il cosiddetto tachione (particella elementare che si muove più velocemente della luce). Entrambi i problemi venrranno risolti introducendo la super-simmetria nella teoria delle stringhe.

Nota: Questo è un esempio per la matematica della trasformazione conforme sul foglio del mondo. Come mostrato nella figura 01b diagramma a, il foglio del mondo originale è una singola stringa chiusa in entrata e una singola stringa chiusa in uscita. In coordinate cilindriche con  – <z < , e 0  <2  la metrica è nella forma:  ds 2= dz 2 + R 2 d 2 ,  dove R è il raggio del cilindro. Se la coordinata z viene modificata in:  z = 2R ln (tan / 2) con 0 << ,  quindi ds 2 = R 2 [(sin -2 d 2 + d 2 ].
L’invarianza conforme consente di ridimensionare la metrica di un fattore:
= sin 2 .
La metrica è ora nella forma:
ds 2 = R 2 (d 2 + sin 2 d 2 ),
che è la metrica per una 2-sfera di raggio R. Gli stati di stringa iniziale e finale a z = – , +  corrispondono a = 0 , cioè i poli nord e sud della 2-sfera, come mostrato nella figura 01b diagramma a “.

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