Meccanica Quantistica: esposizione divulgativa (Parte quarta) Equazione di Dirac

Nel 1928, PAM Dirac propose una formulazione relativistica della meccanica quantistica dell’elettrone. L’idea di Dirac  diventa necessaria  quando si è interessati allo studio degli stati bassi dei nuclei pesanti, dove, a causa delle grandi forze di Coulomb ( è grande), la velocità degli elettroni vicino al nucleo si avvicina alla velocità di luce. L’equazione fu scoperta alla fine degli anni Venti dal fisico Paul Dirac. Resta molto influente. Ha riunito due delle idee più importanti della scienza: la meccanica quantistica, che descrive il comportamento di piccoli oggetti; e la teoria della relatività speciale di Einstein, che descrive il comportamento degli oggetti in rapido movimento. Di conseguenza, l’equazione di Dirac descrive il comportamento di particelle come gli elettroni quando viaggiano a velocità prossime a quella della luce.

“È stato il primo passo verso la cosiddetta teoria dei campi quantici, che ci ha fornito il modello standard della fisica delle particelle e il bosone di Higgs”

L’equazione di Dirac predice l’esistenza dell’antimateria – l’immagine speculare di tutte le particelle conosciute. L’antimateria è stata in seguito trovata esistere nel mondo reale. Dirac era considerato dai suoi amici e colleghi come di carattere insolito. In una lettera del 1926 a Paul Ehrenfest , Albert Einstein scrisse di Dirac: “Questo equilibrio sul sentiero vertiginoso tra genialità e follia è terribile”. Era il Lucasiano professore di matematica presso l’Università di Cambridge , un membro del Centro per gli studi teorici, Università di Miami e ha trascorso gli ultimi dieci anni della sua vita alla Florida State University.

Paul Adrien Maurice Dirac 8 agosto 1902 Bristol , Inghilterra

Paul Adrien Maurice Dirac è nato a casa dei suoi genitori a Bristol, in Inghilterra, l’8 agosto 1902, ed è cresciuto nella zona Bishopston della città. Suo padre, Charles Adrien Ladislas Dirac, era un immigrato di Saint-Maurice, in Svizzera, che ha lavorato a Bristol come insegnante di francese. Sua madre, Florence Hannah Dirac, nata Holten, figlia di un capitano di nave, era nata a Cornwall, in Inghilterra, e lavorava come bibliotecaria presso la Biblioteca Centrale di Bristol. Paul aveva una sorella più giovane, Béatrice Isabelle Marguerite, conosciuta come Betty e un fratello maggiore Reginald Charles Félix, noto come Felix, che si suicidò nel marzo del 1925. In seguito, Dirac ha ricordato: “I miei genitori erano terribilmente angosciati, non sapevo che ci tenessero così tanto  non ho mai saputo che i genitori dovevano prendersi cura dei loro figli, ma da quel momento ho saputo”. Charles e i bambini erano ufficialmente cittadini svizzeri fino alla loro naturalizzazione il 22 ottobre 1919. Il padre di Dirac era severo e autoritario, sebbene disapprovasse le punizioni corporali. Dirac aveva un rapporto teso con suo padre, tanto che dopo la morte del padre, Dirac scrisse: “Mi sento molto più libero adesso, e sono il mio stesso uomo”. Charles costrinse i suoi figli a parlare con lui solo in francese, in modo che imparassero la lingua. Quando Dirac capì che non poteva esprimere ciò che voleva dire in francese, scelse di rimanere in silenzio. Nel 1975, Dirac ha tenuto una serie di cinque conferenze all’Università del New South Wales che sono state successivamente pubblicate come un libro, Directions in Physics (1978). Ha donato i diritti d’autore da questo libro all’università per l’istituzione della Dirac Lecture Series . La Medaglia Silver Dirac per l’Avanzamento della Fisica Teorica è stata premiata dall’Università del New South Wales per commemorare la conferenza. Subito dopo la sua morte, due organizzazioni di fisici professionisti hanno stabilito premi annuali nella memoria di Dirac . L’ Institute of Physics , l’ente professionale per fisici del Regno Unito, assegna la medaglia Paul Dirac per “contributi eccezionali alla fisica teorica (compresa la matematica e la computazione)”. I primi tre destinatari furono Stephen Hawking (1987), John Stewart Bell (1988) e Roger Penrose (1989). Il Centro Internazionale di Fisica Teorica assegna ogni anno la Medaglia Dirac dell’ICTP al compleanno di Dirac (8 agosto).

Formulazione dell’equazione

L’equazione di Dirac nella forma originariamente proposta da Dirac è:

dove ψ = ψ ( x , t ) è la funzione d’onda per l’elettrone della massa di riposo m con coordinate spazio-temporali x , t . Il 1 , 2 , 3 sono le componenti del moto , s’intende l’ operatore impulso nel Schrödinger . Inoltre, c è la velocità della luce e ħ è la costante di Planck diviso per  . Queste costanti fisiche fondamentali riflettono rispettivamente la relatività speciale e la meccanica quantistica.

Lo scopo di Dirac nel lanciare questa equazione era di spiegare il comportamento dell’elettrone in movimento relativistico, e quindi di permettere all’atomo di essere trattato in un modo coerente con la relatività. La sua piuttosto modesta speranza era che le correzioni introdotte in questo modo potessero influire sul problema degli spettri atomici . Fino a quel momento, i tentativi di rendere la vecchia teoria quantistica dell’atomo compatibile con la teoria della relatività, i tentativi basati sulla discretizzazione del momento angolare immagazzinato nell’orbita possibilmente non circolare dell’elettrone del nucleo atomico, avevano fallito – e il nuovo quanto meccanica di Heisenberg, Pauli, Giordania , Schrödinger e lo stesso Dirac non si era sviluppato sufficientemente per trattare questo problema. Sebbene le intenzioni originali di Dirac fossero soddisfatte, la sua equazione aveva implicazioni molto più profonde per la struttura della materia e introdotto nuove classi matematiche di oggetti che ora sono elementi essenziali della fisica fondamentale.

I nuovi elementi di questa equazione sono le matrici 4 × 4 α k e β e la funzione d’onda a quattro componenti ψ. Ci sono quattro componenti in ψ perché la valutazione di esso in un dato punto nello spazio di configurazione è un bispinore . È interpretato come una sovrapposizione di un elettrone spin-up , un elettrone spin-down, un positrone spin-up e un positrone spin-down (vedi sotto per ulteriori discussioni). Le matrici 4 × 4 α k e β sono tutte eremitiche e hanno quadrati uguali alla matrice di identità :

e tutti reciprocamente anticommutativi (se i e j siano distinti):

La singola equazione simbolica si disfa quindi in quattro equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine lineare per le quattro quantità che costituiscono la funzione d’onda. Queste matrici e la forma della funzione d’onda hanno un profondo significato matematico. La struttura algebrica rappresentata dalle matrici gamma era stata creata circa 50 anni prima dal matematico inglese WK Clifford . A sua volta, le idee di Clifford erano emerse dall’opera di metà Ottocento del matematico tedesco Hermann Grassmann nel suo Lineale Ausdehnungslehre ( Teoria delle estensioni lineari). Quest’ultimo era stato considerato quasi incomprensibile dalla maggior parte dei suoi contemporanei. L’apparizione di qualcosa di così apparentemente astratto, in un momento così tardo, e in un modo fisico così diretto, è uno dei capitoli più notevoli della storia della fisica.

Rendere relativista l’equazione di Schrödinger

L’equazione di Dirac è superficialmente simile all’equazione di Schrödinger per una massiccia particella libera :

Il lato sinistro rappresenta il quadrato dell’operatore del momento diviso per il doppio della massa, che è l’energia cinetica non relativistica. Poiché la relatività tratta lo spazio e il tempo nel suo complesso, una generalizzazione relativistica di questa equazione richiede che le derivate dello spazio e del tempo debbano entrare simmetricamente come fanno nelle equazioni di Maxwell che governano il comportamento della luce – le equazioni devono essere differenzialmente dello stesso ordine nello spazio e tempo. Nella relatività, la quantità di moto e le energie sono le parti dello spazio e del tempo di un vettore spazio-temporale, il quattro-momento , e sono legate dalla relazione relativisticamente invariante

che dice che la lunghezza di questo quadrilatero è proporzionale alla massa a riposo m . Sostituendo gli equivalenti di operatore di energia e quantità di moto dalla teoria di Schrödinger, otteniamo l’ equazione di Klein-Gordon che descrive la propagazione delle onde, costruita da oggetti relativisticamente invarianti,

con la funzione d’onda φ che è uno scalare relativistico: un numero complesso che ha lo stesso valore numerico in tutti i quadri di riferimento. I derivati ​​dello spazio e del tempo entrano entrambi al secondo ordine. Ciò ha una conseguenza significativa per l’interpretazione dell’equazione. Poiché l’equazione è il secondo ordine nella derivata temporale, è necessario specificare i valori iniziali sia della funzione d’onda stessa che della sua prima derivata temporale per risolvere problemi definiti. Poiché entrambi possono essere specificati più o meno arbitrariamente, la funzione d’onda non può mantenere il suo precedente ruolo di determinare la densità di probabilità di trovare l’elettrone in un dato stato di movimento. Nella teoria di Schrödinger, la densità di probabilità è data dall’espressione definita positiva

e questa densità è convalidata secondo il vettore corrente di probabilità

con la conservazione della probabilità di corrente e densità seguendo l’equazione di continuità:

Il fatto che la densità sia definita positiva e convessa secondo questa equazione di continuità implica che possiamo integrare la densità su un certo dominio e impostare il totale a 1, e questa condizione sarà mantenuta dalla legge di conservazione . Anche una teoria relativistica corretta con una densità di densità di probabilità deve condividere questa caratteristica. Ora, se desideriamo mantenere la nozione di densità convettiva, allora dobbiamo generalizzare l’espressione di Schrödinger della densità e della corrente in modo che le derivate dello spazio e del tempo entrino nuovamente simmetricamente in relazione alla funzione d’onda scalare. Siamo autorizzati a mantenere l’espressione di Schrödinger per la corrente, ma dobbiamo sostituire la densità di probabilità con l’espressione simmetricamente formata

che ora diventa il 4 ° componente di un vettore spazio-temporale, e l’intera densità 4-corrente ha l’espressione relativisticamente covariante

L’equazione di continuità è come prima. Tutto è compatibile con la relatività ora, ma vediamo immediatamente che l’espressione per la densità non è più definita positiva – i valori iniziali di entrambi ψ e ∂ t ψ possono essere scelti liberamente, e la densità può quindi diventare negativa, qualcosa che è impossibile per una densità di probabilità legittima. Quindi, non possiamo ottenere una semplice generalizzazione dell’equazione di Schrödinger sotto l’assunto ingenuo che la funzione d’onda sia uno scalare relativistico, e l’equazione che soddisfa, secondo ordine nel tempo.

Sebbene non sia una generalizzazione relativistica di successo dell’equazione di Schrödinger, questa equazione è risuscitata nel contesto della teoria dei campi quantistici , dove è conosciuta come l’ equazione di Klein-Gordon e descrive un campo di particelle senza spin (per esempio il mesone pi ). Storicamente, lo stesso Schrödinger arrivò a questa equazione prima di colui che porta il suo nome ma presto lo scartò. Nel contesto della teoria dei campi quantistici, si intende che la densità indefinita corrisponde alla densità di carica , che può essere positiva o negativa e non alla densità di probabilità.

Il colpo di Dirac

Dirac pensò così di provare un’equazione che era del primo ordine nello spazio e nel tempo. Si potrebbe, ad esempio, formalmente (cioè con l’ abuso della notazione ) prendere l’ espressione relativistica per l’energia

sostituire p con il suo equivalente operatore, espandere la radice quadrata in una serie infinita di operatori derivati, impostare un problema agli autovalori, quindi risolvere l’equazione formalmente per iterazioni. La maggior parte dei fisici aveva poca fiducia in tale processo, anche se fosse tecnicamente possibile.

Mentre la storia va, Dirac stava fissando il caminetto a Cambridge, riflettendo su questo problema, quando ha colto l’idea di prendere la radice quadrata dell’operatore dell’onda in questo modo:

Moltiplicando il lato destro vediamo che, per far sparire tutti i termini incrociati come ∂ x ∂ y , dobbiamo assumere

con

Dirac, che in quel momento era stato intensamente coinvolto nello studio delle basi della meccanica della matrice di Heisenberg , comprese immediatamente che queste condizioni potevano essere soddisfatte se A , B , C e D erano matrici , con l’implicazione che la funzione d’onda avesse più componenti . Questo spiegò immediatamente l’aspetto delle funzioni d’onda a due componenti nella teoria fenomenologica dello spin di Pauli , qualcosa che fino a quel momento era stata considerata come misteriosa, anche per Pauli stesso. Tuttavia, uno ha bisogno di almeno 4 × 4 matrici per impostare un sistema con le proprietà richieste – quindi la funzione d’onda aveva quattro componenti, non due, come nella teoria di Pauli, o uno, come nella teoria di Schrödinger. La funzione d’onda a quattro componenti rappresenta una nuova classe di oggetti matematici nelle teorie fisiche che fa la sua prima apparizione qui.

Data la fattorizzazione in termini di queste matrici, è ora possibile annotare immediatamente un’equazione

con κ da determinare. Applica nuovamente l’operatore matrice su entrambi i lati

Prendendo κ = mc/ħ scopriamo che tutte le componenti della funzione d’onda soddisfano individualmente la relazione relativistica energia-momento. Quindi l’equazione ricercata che è del primo ordine nello spazio e nel tempo è

Sostituendo

E poichè  

otteniamo l’equazione di Dirac come sopra scritto.

Forma covariante e invarianza relativistica

Per dimostrare l’invarianza relativistica dell’equazione, è vantaggioso gettarla in una forma in cui le derivate dello spazio e del tempo appaiono su un piano di parità. Le nuove matrici vengono introdotte come segue:

e l’equazione prende la forma (ricordando la definizione delle componenti covarianti del 4-gradiente e specialmente che ∂ 0 = 1/c ∂ t )

dove c’è una sommatoria implicita sui valori dell’indice ripetuto due volte μ = 0, 1, 2, 3 e ∂ μ è il 4-gradiente. In pratica, si scrivono spesso le matrici gamma in termini di sottomatrici 2 × 2 prese dalle matrici di Pauli e dalla matrice di identità 2 × 2 . Esplicitamente la rappresentazione standard è

Il sistema completo viene riepilogato utilizzando la metrica di Minkowski su spaziotempo nel modulo

dove l’espressione della parentesi

denota l’ anticommutatore . Queste sono le relazioni che definiscono un’algebra di Clifford su uno spazio a 4 dimensioni pseudo-ortogonale con firma metrica (+ – – -) . L’algebra di Clifford specifica impiegata nell’equazione di Dirac è conosciuta oggi come algebra di Dirac. Sebbene non sia stato riconosciuto come tale da Dirac nel momento in cui è stata formulata l’equazione, a posteriori l’introduzione di questa algebra geometrica rappresenta un enorme passo in avanti nello sviluppo della teoria dei quanti.

L’equazione di Dirac può ora essere interpretata come un’equazione agli autovalori , dove la massa a riposo è proporzionale a un autovalore dell’operatore a 4 tempi , la costante di proporzionalità essendo la velocità della luce:

utilizzando        è pronunciato “d-slash”, secondo la notazione barra di Feynman , l’equazione di Dirac diventa:

In pratica, i fisici usano spesso unità di misura tali che ħ = c = 1 , noto come unità naturali . L’equazione assume quindi la forma semplice in unita naturali:

Un teorema fondamentale afferma che se vengono dati due distinti gruppi di matrici che soddisfano entrambe le relazioni di Clifford , allora sono collegate l’una all’altra da una trasformazione di similarità

Conservazione della probabilità

Definendo lo spinore aggiunto

dove ψ  è la trasposizione coniugata di ψ ci si accorge

,

otteniamo, prendendo il coniugato  Hermitiano  dell’equazione di Dirac e moltiplicando a destra di γ 0 , l’equazione aggiunta:

dove ∂ μ è noto per agire a sinistra. Moltiplicando l’equazione di Dirac per ψ da sinistra, e l’equazione aggiunta di ψ da destra, e sottraendo, si ottiene la legge di conservazione della corrente di Dirac:

Ora vediamo il grande vantaggio dell’equazione del primo ordine rispetto a quello che Schrödinger aveva provato – questa è la densità di corrente conservata richiesta dall’invarianza relativistica, solo che ora la sua quarta componente è definita positiva e quindi adatta al ruolo di una densità di probabilità:

Poiché la densità di probabilità ora appare come il quarto componente di un vettore relativistico e non come un semplice scalare come nell’equazione di Schrödinger, sarà soggetta ai consueti effetti delle trasformazioni di Lorentz come la dilatazione del tempo. Quindi, per esempio, i processi atomici che vengono osservati come tassi, saranno necessariamente regolati in modo coerente con la relatività, mentre quelli che implicano la misurazione dell’energia e del moto, che a loro volta formano un vettore relativistico, subiranno un aggiustamento parallelo che preserva la covarianza relativistica dei valori osservati.

I positroni furono scoperti nei raggi cosmici da Carl Anderson nel 1932 (fotografia riportata sopra). Furono Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini a completare la scoperta l’anno successivo, confermando la previsione teorica dell’esistenza di un’antiparticella dell’elettrone, formulata da Paul Dirac.

Incidentalmente, Dirac pensava originariamente che la sua equazione si applicasse a ogni particella di massa m, e quindi che tutte le particelle massicce debbano avere “spin 1/2”. Questo è davvero il caso delle particelle che erano conosciute nel 1928, cioè elettroni, protoni e neutroni, ma è noto che altri tipi di particelle (inclusi i fotoni) hanno spin diversi da h-bar / 2. La spiegazione di Dirac per questo è interessante:

La risposta si trova in un’assunzione nascosta nel nostro lavoro. La nostra argomentazione è valida solo se la posizione della particella è osservabile. Se questa ipotesi è valida, la particella deve avere un momento angolare di spin di mezzo punto. Per quelle particelle che hanno uno spin diverso l’assunzione deve essere falsa e qualsiasi variabile dinamica x 1 , x 2 , x 3 che può essere introdotta per descrivere la posizione della particella non può essere osservabile secondo la nostra teoria generale. Per tali particelle non esiste una vera rappresentazione di Schrödinger. Si potrebbe essere in grado di introdurre una funzione quasi wave che coinvolge le variabili dinamiche x 1 , x 2 , x 3, ma non avrebbe la corretta interpretazione fisica di una funzione d’onda – che il quadrato del suo modulo dia la densità di probabilità. Per tali particelle c’è ancora una rappresentazione del momento, che è sufficiente per scopi pratici.

La teoria di Dirac dell’elettrone ebbe un notevole successo, specialmente nella sua previsione del positrone, che fu scoperto sperimentalmente solo due anni dopo che Dirac pubblicò la sua previsione. Tuttavia, per spiegare il fatto che la materia non degenera in stati di energia negativa, Dirac ha ritenuto necessario proporre un “mare” di anti-particelle, e quindi invocare il principio di esclusione di Pauli, sostenendo che tutti gli stati di energia negativa erano occupato. Il positrone fu quindi concepito come un “buco” nel mare di Dirac. In retrospettiva, questa spiegazione del “buco” sembra non convincente, perché ora sappiamo che tutte le particelle, non solo i fermioni per i quali si applica il principio di esclusione di Pauli, sono accompagnate da anti-particelle, quindi l’interpretazione del “buco” non funziona. Weinberg chiese a Dirac su questo nel 1972, e Dirac rispose che non considerava i bosoni enormi come “importanti”. Non è chiaro cosa intendesse con questo (forse intendeva dire che tali particelle non lo sono elementare ?), anche se Weinberg nota che alcuni anni dopo Dirac ha riconosciuto che “per i bosoni non abbiamo più l’immagine di un vuoto con stati di energia negativa riempiti … l’intera teoria diventa più complicata”, presumibilmente riferendosi agli operatori di creazione e annichilazione della moderna teoria dei campi quantistici. La visione moderna sembra essere che la previsione del positrone da parte di Dirac non fosse del tutto fondata, anche se certamente emerge piuttosto inevitabilmente dalla considerazione delle due radici di

2 – | p | 2 = m 2 .

L’implicazione più profonda dell’equazione di Dirac era che qualsiasi descrizione relativistica di una particella coinvolge necessariamente non solo la funzione d’onda di una singola particella, ma funzioni a più onde che rappresentano il potenziale per altre particelle. La prima quantizzazione in fisica fornì una rappresentazione sul campo per tutti gli stati possibili di una data particella, trattando le proprietà osservabili (come posizione e quantità di moto) come operatori su una funzione d’onda. La “seconda quantizzazione”, suggerita dall’equazione di Dirac, consiste quindi nel trattare questa stessa funzione d’onda quantistica come un operatore, dando una rappresentazione sul campo di tutti i possibili campi quantistici. Potremmo dire che la seconda quantizzazione considera “il campo di tutti i campi”, anche se in un senso completamente diverso. In entrambi i casi questo porta a non-linearità, e in entrambi i casi si scopre che le teorie implicano infiniti – se li consideriamo come esatti per tutti gli ordini, piuttosto che solo teorie di campo “efficaci” a bassa energia.

Il mare di Dirac e il vuoto

Il mare di Dirac è un modello teorico del vuoto come un mare infinito di particelle con energia negativa . Fu inizialmente postulato dal fisico britannico Paul Dirac nel 1930  per spiegare gli anomali stati quantici di energia negativa previsti dall’equazione di Dirac per gli elettroni relativistici .  Il positrone , la controparte dell’antimateria dell’elettrone , fu originariamente concepito come un buco nel mare di Dirac, molto prima della sua scoperta sperimentale nel 1932.

Il mare di Dirac per una particella massiva . • particelle, • antiparticelle 

Le origini del mare di Dirac si trovano nello spettro di energia dell’equazione di Dirac , un’estensione dell’equazione di Schrödinger che è coerente con la relatività speciale , che Dirac aveva formulato nel 1928. Sebbene l’equazione fosse estremamente efficace nel descrivere la dinamica elettronica, possiede un caratteristica piuttosto peculiare: per ogni stato quantico che possiede un’energia positiva E , c’è uno stato corrispondente con l’energia -E . Questa non è una grande difficoltà quando si considera un elettrone isolato, perché la sua energia è conservata e gli elettroni di energia negativa possono essere lasciati fuori. Tuttavia, sorgono difficoltà quando si verificano effetti del campo elettromagnetico sono considerati, perché un elettrone di energia positiva sarebbe in grado di liberare energia emettendo continuamente fotoni , un processo che potrebbe continuare senza limiti mentre l’elettrone scende in stati di energia inferiori e inferiori. Gli elettroni reali chiaramente non si comportano in questo modo.

Un elettrone “virtuale” del “mare” può saltare ad uno stato a energia positiva se investito da una quantità adeguata di energia (ad esempio un fotone γ). L’energia ceduta dal fotone si materializza in un nuovo elettrone a energia positiva, che lascia una “lacuna” nel “mare”, la quale si comporta fisicamente così  come un’antiparticella, di massa uguale ma carica opposta

La soluzione di Dirac a questo era affidarsi al principio di esclusione di Pauli . Gli elettroni sono fermioni e obbediscono al principio di esclusione, il che significa che nessun elettrone può condividere un singolo stato energetico all’interno di un atomo. Dirac ipotizzò che ciò che pensiamo come il “vuoto” è in realtà lo stato in cui sono riempiti tutti gli stati di energia negativa e nessuno degli stati di energia positiva. Quindi, se vogliamo introdurre un singolo elettrone, dovremmo metterlo in uno stato di energia positiva, poiché tutti gli stati di energia negativa sono occupati. Inoltre, anche se l’elettrone perde energia emettendo fotoni, sarebbe vietato scendere al di sotto dell’energia zero.

Dirac ha anche sottolineato che potrebbe esistere una situazione in cui tutti gli stati di energia negativa sono occupati tranne uno. Questo “buco” nel mare di elettroni di energia negativa risponderebbe ai campi elettrici come se fosse una particella carica positivamente. Inizialmente, Dirac identificò questo buco come un protone . Tuttavia, Robert Oppenheimer ha sottolineato che un elettrone e il suo buco sarebbero in grado di annientarsi a vicenda, liberando energia sull’ordine dell’energia di riposo dell’elettrone sotto forma di fotoni energetici; se i buchi fossero protoni, gli atomi stabili non esisterebbero. Hermann Weyl ha anche notato che un buco dovrebbe comportarsi come se avesse la stessa massa come un elettrone, mentre il protone è circa duemila volte più pesante. Il problema fu risolto definitivamente nel 1932, quando il positrone fu scoperto da Carl Anderson , con tutte le proprietà fisiche previste per il buco di Dirac.

 

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