Elettrodinamica relativistica: campo di carica puntiforme

L’elettrodinamica di Maxwell è naturalmente relativistica; vale a dire, è conforme al requisito di invarianza di Einstein nelle trasformazioni tra sistemi di coordinate che si muovono con velocità relativa costante. Ha esattamente la stessa forma in qualsiasi sistema inerziale e la luce viaggia con la stessa velocità c in qualsiasi sistema. La trasformazione di Lorentz delle coordinate spaziali e temporali fu stabilita per l’elettromagnetismo prima che la relatività fosse formulata ed era noto che questa trasformazione si applica a tutti i processi fisici. In particolare, la trasformazione del tempo è reale e non solo una sostituzione che conserva la forma delle equazioni. Il formalismo della relatività rende molto più facile lavorare con l’elettromagnetismo. In questo articolo, Cercheremo di spiegare il più chiaramente possibile come il campo elettromagnetico di una carica puntiforme in movimento arbitrario può essere determinato in qualsiasi punto dello spazio. Un’applicazione molto importante di questa teoria è la radiazione causata dalle cariche in movimento.

Useremo la notazione indice per tensori con indici greci prendendo i valori 0,1,2,3 per le coordinate ct, x, y, z. Una somma è implicita nello stesso indice in posizioni controvarianti (alte) e covarianti (basse). Questa notazione è molto simile a quella dei tensori euclidei nello spazio tridimensionale, tranne che la distinzione tra controvariante e covariante è necessaria perché il tensore metrico g αβ è diagonale con g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = – 1. Cambiare da controvariante a covariante significa solo cambiare il segno delle componenti spaziali.

Quindi, se A α = (A 0A ) [Nelle espressioni come queste, gli indici non sono indici di tensore, ma semplicemente le etichette.]  Allora, A · B = A α B α = A 0 B 0 – A · B .

Figura 1

Se x α è la coordinata a quadrivettore (ct, r ), allora x · x = (ct) 2 – r 2 = s 2 è uno scalare, e quindi un invariante, sotto la trasformazione di Lorentz. È l’intervallo invariante tra l’evento X descritto dal vettore e l’evento O all’origine, t = 0 e r = 0. Se s 2 > 0, quindi una trasformazione di Lorentz in un sistema di coordinate dove X e O si verificano a lo stesso punto, ma in un momento successivo o precedente, è possibile. Se s 2<0, questo non è possibile. È possibile eseguire i due eventi contemporaneamente in alcuni sistemi di coordinate, ma sempre separati da un intervallo di spazio. In altri sistemi di coordinate, i due eventi possono verificarsi in qualsiasi momento. La separazione tra intervalli di questi due tipi è chiamata cono di luce , descritto da (ct) 2 = r 2 o r = ± ct. Gli eventi sul cono di luce hanno zero distanza invariante rispetto agli eventi all’origine. Gli eventi all’interno del cono di luce sono divisi in futuro e in passato dall’origine, mentre quelli esterni sono altrove e non possono essere raggiunti da alcuna influenza fisica. Il percorso di una particella è la sua linea di mondo, che non può avere un’inclinazione maggiore rispetto all’asse del tempo rispetto al cono di luce. Quando una particella si muove lungo la sua linea del mondo con velocità v, allora dt = γdτ, dove γ = [1 – (v / c) 2 ] -1/2 ≥ 1, e τ è il momento giusto della particella, il tempo che sperimenta nel quadro di riferimento in cui è a riposo. Questo è mostrato schematicamente nella figura 1. Un impulso di luce emesso durante l’evento O viaggia lungo il futuro cono di luce. Viene mostrata la direzione di viaggio sulla linea del mondo. Osservare attentamente che le coordinate mostrate qui sono tempo e spazio in un particolare sistema di coordinate. In altri sistemi di coordinate, raggiunti dalla trasformazione di Lorentz, gli assi del tempo e dello spazio saranno inclinati insieme verso o sull’altro ramo del cono del tempo. L’asse spaziale non uscirà mai altrove, l’asse del tempo non lascerà mai il futuro e il passato.

Questa è un’analisi classica, che coinvolge particelle di punti che si muovono su traiettorie definite. Tuttavia, dà risultati eccellenti in molte applicazioni. Le correzioni quantistiche o “radiative” possono essere apportate quando necessario, come quando il concetto classico di una traiettoria non è valido, come negli atomi, e queste correzioni danno risultati molto accurati, ma non sono disponibili metodi generali.

Carica in moto uniforme

C’è un sacco di informazioni nel diagramma a sinistra. Il sistema di coordinate K è il sistema “laboratorio”, quello in cui desideriamo conoscere i campi. P è il punto di osservazione, alle coordinate (0, b, 0). L’asse z indica fuori dalla pagina e non è mostrato. C’è una volta t per il sistema K, in tutti i punti, come mostrato dall’orologio sulla parete del laboratorio. A destra, il sistema di coordinate K ‘è rappresentato, con il punto di ricarica q fissato all’origine, e creando un campo elettrico E ‘ = q r ‘/ r’ 3 che non varia nel tempo. Il tempo in K ‘è il tempo corretto t’ = τ della carica. È lo stesso in tutti i punti di K ‘, che viene trasportato insieme alla carica.

Ora diamo la carica qa velocità vlungo l’asse xe misurare il tempo t in modo che la carica sia all’origine O at = 0. I sistemi K e K ‘sono collegati dalla trasformazione di Lorentz mostrata. All’istante t, q ha percorso una distanza vt in K. In K ‘, P ha spostato una distanza vt’ a sinistra. Ho resistito a disegnare gli assi per K e K ‘sullo stesso diagramma, come si vede spesso, perché quindi la stessa distanza dovrebbe essere etichettata vt e vt’ simultaneamente, il che è altamente confuso. Per la carica q all’origine di K ‘, abbiamo t = γt’ dalla trasformazione da K ‘a K. Per il punto P in K, la trasformazione da K a K’ dà t = t ‘/ γ. Qui qualcosa sembra sbagliato, perché come può t = γt ‘e t’ = γt allo stesso tempo? È come le distanze vt e vt ‘. Non c’è una relazione tra t e t ‘buona per tutti i punti, poiché gli eventi simultanei in K non sono simultanei in K ‘, e viceversa. In ogni sistema, gli orologi nell’altro sembrano essere rallentati, il che è proprio quello che dicono i risultati apparentemente incoerenti.

Figura 2

Assumiamo anche che la carica q sia un invariante di Lorentz e non sia influenzata dal movimento. Questa affermazione è stata ampiamente verificata dall’esperimento. Poiché la carica è ρd 3 x, e l’elemento del volume si trasforma come γ sotto la trasformazione di Lorentz, ρ / γ è anche un invariante di Lorentz. L’attuale vettore a 4 dimensioni  J α = (ρc, ρ v ) ha l’ampiezza invariante J α J α = ρ 2 (c 2 – v 2 ) = c 2 (ρ / γ) 2 . Questi fatti verranno utilizzati in seguito.

In K, q si è spostato sulla posizione mostrata al tempo t, una distanza vt in basso sull’asse xe una distanza r da P. Questa viene chiamata la sua posizione attuale . Se un’influenza si propaga dalla carica q al punto P ad una velocità finita c, allora deve aver lasciato la carica in un momento precedente per raggiungere P all’istante t. Questo punto è chiamato la posizione ritardata della carica, contrassegnata con q r . Poiché è una distanza R da P, la distanza che procede mentre l’influenza raggiunge P sarà v (R / c) = βR. Il tempo t – R / c è chiamato tempo ritardato e R è la distanza ritardata . Queste definizioni possono essere familiari dalla propagazione delle onde. Non sono conseguenze della relatività, solo della velocità finita della propagazione c.

Figura 3

Dalla figura, R 2 = b 2 + (vt – βR) 2 , che possiamo risolvere per la distanza ritardata R. Dopo una considerevole algebra, usando γ 2 – 1 = β 2 γ 2 , possiamo trovare R = γ [( b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 1/2 – γβvt]. Se n è un vettore unitario nella direzione di R da q r a P, quindi β · n = (-β) [(vt – βR) / R]. Ciò significa che γ (1 – β · n ) R = (b 2 + γ 2 v 2 t 21/2 . Al momento non abbiamo alcuna motivazione per questa algebra, ma si vedrà che sarà utile molto presto.

Ora possiamo scrivere i componenti del campo elettrico in P nel sistema K ‘al momento t’ lì. La distanza r ‘= (b 2 + v 2 t’ 2 ) 1/2 , quindi E x ‘= -qvt’ / r ‘ 3 ed E y ‘ = qb / r ‘ 3 . Trasformiamo ora questi componenti di campo dal sistema K ‘al sistema K. Il campo elettromagnetico è un tensore di secondo grado antisimmetrico, quindi le sue proprietà di trasformazione sono facilmente reperibili, con i risultati mostrati a destra. Le espressioni per i componenti sono facilmente reperibili da queste equazioni. I campi in K sono E x = E x ‘, E y = γE y ‘,y ‘, poiché non c’è campo magnetico nel sistema K’ e solo componenti xey del campo elettrico in P.

Ora è facile trovare i campi in P nel sistema K, dal momento che al tempo t lì, t ‘= γt. Troviamo E x = -γqvt / (b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 3/2 , E y = qb / (b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 3/2 e B z = βE y . Abbiamo trovato un’espressione diversa per i denominatori di cui sopra, che sarà quella che utilizzeremo con un metodo diverso per trovare i campi. C’è ancora un’altra forma per il denominatore in termini dell’angolo ψ nel sistema K. b 2 + γ 2

2 t 2 = b 2 + v 2 t 2 + (γ 2 – 1) v 2 t 2 = r 2 + (γ 2 -1) v 2 t 2 = r 2 [1 + γ 2 β 2 cos 2 ψ ] = r 2 [1 + γ 2 β 2 (1 – sin 2 ψ)] = r 2 γ 2 (1 – β 2 sin 2 ψ).

Quindi possiamo scrivere E = q r / r 3 γ 2 (1 – β 2 sin 2 ψ) 3/2 in termini di posizione attuale della carica, come se l’effetto fosse istantaneo, come con action-at-a- distanza. Il campo è radiale, ma non è simmetricamente sferico come lo è quando la carica è a riposo. È compresso nella direzione del movimento, evidentemente il risultato della contrazione di FitzGerald-Lorentz. Il campo in un piano attraverso la carica normale alla direzione del movimento, ψ = 90 °, è E = γq / r 2 = γq / b 2 , proporzionale a γ e quindi molto grande per particelle ultrarelativistiche.

Il campo magnetico B z = βE y , ed è quasi uguale al campo elettrico in magnitudine quando β è vicino a 1. Per particelle ultrarelativistiche, i campi sono come quelli di un forte impulso di radiazione elettromagnetica che si propaga nella direzione del movimento. Per confronto, il campo elettrico longitudinale ha un valore massimo di √ (4/27) (q / b 2 ), indipendente dalla velocità, ed è prima in una direzione, poi nell’altra, quando la particella passa. Per una particella veloce, solo il campo trasversale ha una qualche importanza. Il tempo in cui il campo è diverso da zero si vede facilmente nell’ordine di T = 2b / γv. T è l’intervallo di tempo in cui il campo è maggiore di circa il 35% del suo valore massimo.

Il campo magnetico circonda il percorso della particella. Dalla legge di Ampère, ∫ H · d l = 4πI / c, troviamo che la linea integrale quando la carica è in x = 0 è (2πb) (βγq / b 2 ) = 4πI / c, o che I = q / ( 2b / γv) = q / T. Quindi questo è abbastanza coerente.

Carica in moto accelerato

Il problema che abbiamo appena risolto è utile e interessante, ma è molto limitato e non dice nulla sulle radiazioni, ad esempio, tranne che non accade per una carica in movimento uniforme. Ora prendiamo una carica in movimento arbitrario, inclusa l’accelerazione e i cambiamenti di direzione, e cerchiamo i suoi campi in qualsiasi momento. Questo è un problema molto più difficile, ma trattarlo relativisticamente con i tensori di Lorentz è un approccio gestibile. Dobbiamo partire dalle equazioni di Maxwell, che in forma relativistica sono ∂ α F αβ = (4π / c) J β e ∂ α G αβ = 0. Qui, ∂ α = ∂ / ∂x α , J α è la corrente di carica 4-vettore, (ρc, J), dove J è la densità di corrente, ρ v , F è il tensore di campo e G il tensore di campo doppio. I componenti di questi tensore sono mostrati nella figura. Gli indici greci vanno da 0 a 3 e x 0 = ct. Se queste equazioni sono scritte in componenti, si ottengono le equazioni di Maxwell, il quattro con le fonti e le quattro equazioni omogenee. L’annullarsi della divergenza di G esprime il fatto che non c’è carica magnetica.

Figura 4

Le componenti del campo sono così impigliate nelle equazioni di Maxwell che la soluzione diretta non è possibile. Come nella teoria non relativistica, introduciamo il potenziale A α = (φ, A ), in termini di cui F αβ = ∂ α A β – ∂ β A α . Le equazioni in G sono automaticamente soddisfatte da questa ipotesi e le equazioni disomogenee diventano ∂ α ∂ α A β – ∂ β (∂ α A α ) = (4π / c) J β . Se richiediamo che ∂ α A α = 0, che è chiamato la Condizione di Lorentz , quindi ∂ α ∂ α A β = (4π / c) J β , un’equazione magnificamente elegante in cui i quattro componenti del potenziale sono separati. L’operatore ∂ α ∂ α è chiamato D’Alambertiano , ed è solo l’operatore per l’equazione delle onde, (1 / c 2 ) ∂ 2 / ∂t 2 – div grad, con cui siamo familiari. I potenziali si propagano come onde con velocità c .

Incoraggiato da questo trionfo teorico, vediamo ora se siamo in grado di risolvere l’equazione delle onde con le fonti. George Green ha dimostrato che se siamo in grado di risolvere l’equazione più semplice ∂ α ∂ α D (x, x ‘) = δ (x – x’), allora la soluzione dell’equazione delle onde alla posizione x può essere espressa come integrale del prodotto di D (x, x ‘) e le fonti nella posizione x’. Naturalmente, x e x ‘sono i vettori di posizione quadridimensionale incluso il tempo, e la funzione delta è una funzione delta quadridimensionale, Πδ (x α – x’ α ). La funzione D (x, x ‘) è chiamata funzione di Green, di grande conforto a chi deve risolvere le equazioni delle onde. Se non ci sono limiti – cioè, se siamo nello spazio libero – allora D (x, x ‘) = D (x – x’) ed è una funzione di una variabile z = x – x ‘che soddisfa ∂ α ∂ α D (z) = δ (z).

Ora è necessario per noi risolvere questa equazione per trovare D. Poiché la trasformazione di Fourier trasforma un’equazione differenziale in un’equazione algebrica che può essere risolta per l’ignoto, proviamo le trasformazioni di Fourier. Quindi, D (z) = (2π) -4 ∫d 4 k D * (k) exp (-ik · z) e δ (z) = (2π) -4 ∫d 4 k exp (-ik · z ), in modo che l’equazione delle onde si trasformi in (2π) -4 ∫d 4 k [-k · kD * (k) – 1] = 0, e quindi D * (k) = – (1 / k · k). Qui, k · k è il prodotto scalare 4-dimensionale k 2 – κ 2 , dove κ è | k | e k oè solo ω / c. La facilità con cui abbiamo trovato la trasformata di Fourier deve essere pagata con cura nel trovare la funzione stessa del Green.

Formalmente, abbiamo D (z) = – (2π) -4 ∫d 4 k exp (-ik · z) / k · k = – (2π) -4 ∫d 3 k exp (i k · z ∫ (- ∞, + ∞) dk o [exp (-ik o z o ) / (k 2 – κ 2 )], dove sono state separate le integrazioni di spazio e tempo. L’integrale del tempo può essere trovato dall’integrazione del profilo, assumendo k o per essere complessi: nel complesso k o plane, l’integrando ha poli semplici a k o= ± κ, che rende l’integrale lungo l’asse reale da -∞ a + ∞ singolare. Possiamo, infatti, rendere il valore dell’integrale tutto ciò che vogliamo, e il trucco è trovare il valore che ci serve per ottenere una soluzione ragionevole dell’equazione delle onde. Il modo per farlo è famoso, quindi useremo solo il risultato che si rivela utile senza un sacco di mani. Se prendiamo il percorso dell’integrazione in modo che passi appena sopra ciascuno dei poli, come mostrato nella figura, allora l’esponente -ik o z o è negativo se Im k o > 0, e z o = ct o<0. Possiamo chiudere il percorso di integrazione sopra e trovare il valore zero per l’integrale. Ciò significa che D (z) è zero fino a che il punto di campo x può essere raggiunto da un segnale che viaggia alla velocità c dal punto di origine x ‘ed esprime causalità .

Figura 5

Se z o > 0, possiamo chiudere il contorno di seguito. Il grande semicerchio non contribuisce all’integrale, quindi l’integrale sarà uguale a 2πi volta la somma dei residui ai due poli, che sono exp (-iκz o ) / 2κ e -exp (iκz o ) / 2κ. Questo dà D (z) = θ (z o ) (2π) -3 ∫d 3 k exp (i k · z) sin κz o / κ. La funzione theta θ (z o ) è zero quando il suo argomento è negativo, +1 quando il suo argomento è positivo. d 3 k = κ 2 dk sinθdθdφ, quindi possiamo fare subito l’integrale sopra gli angoli. Dopo una piccola manipolazione, troviamo D (z) = [θ (z o) / 2π 2 ] ∫ (0, ∞) sinκr sinκz o dκ. Esprimendo il prodotto dei seni come somma dei coseni degli angoli di somma e differenza, scrivendoli come esponenziali e combinando termini per estendere i limiti di integrazione da -∞ a + ∞, e usando la trasformata di Fourier della funzione delta, noi avere D (z) = [θ (z o ) / 4πr] e delta (r – z o ), dove r è la distanza tra la sorgente e i punti del campo. La funzione delta forza la valutazione al tempo ritardato t ‘= t – r / c. Questa soluzione ha tutto ciò che potremmo desiderare per gli effetti di un disturbo da un impulso all’origine at = 0 nel punto z. La funzione del Green con queste proprietà è chiamata la funzione del Green ritardata , o propagatore. È, naturalmente, di utilità generale e rappresenta un altro trionfo teorico.

Possiamo esprimere il propagatore in termini manifestamente invarianti considerando δ [(x – x ‘) 2 ]. Come sappiamo, δ [f (x)] = δ (x – x ‘) / | f’ (x ‘) |, dove x’ è una radice di f (x). Ora δ [(x – x ‘) 2 ] = δ [(x o – x o ‘) 2 – | x – x ‘| 2 ] = δ [(x o – x o ‘- r) (x o – x o ‘ + r)] = (1 / 2r) [d (x o – x o ‘- r) + δ (x o – x o ‘+ r)]. Poiché le funzioni theta selezionano solo una delle funzioni delta nella somma, possiamo scrivere D (x – x ‘)o ‘) δ [(x – x’) 2 ]. La funzione theta è un invariante di Lorentz, poiché i coni di luce passati e futuri sono separati in modo invariante, e l’argomento della funzione delta è anche un invariante di Lorentz. Pertanto, il propagatore è stato espresso in una forma manifestamente invariante indipendente da un sistema di coordinate.

La soluzione al nostro problema è ora facilmente ottenibile. Omettendo qualsiasi soluzione dell’equazione delle onde omogenee (che sarebbero campi non dovuti alla nostra carica in movimento), abbiamo A α (x) = (4π / c) ∫d 4 x’D (x – x ‘) J α (x ‘). Se sostituisci questa espressione nell’equazione delle onde non omogenea, troverai che l’equazione è soddisfatta. Questa è la soluzione promessa.

Ora dobbiamo trovare J α (x ‘), la corrente sorgente. In alcuni sistemi di coordinate, supponiamo che il percorso della carica sia r = r (t). Se la carica puntiforme è q, la densità di carica è ρ = qδ [ x – r (t)] e la densità di corrente è ρ v = q v δ [ x – r (t)]. La densità attuale J α = (ρc, ρ v ) non sarà espressa in modo relativisticamente invariante, e quindi il nostro potenziale A αnon sarà relativisticamente invariante. Per uscire da questo inconveniente, possiamo iniziare parametrizzando la traiettoria in termini di tempo corretto della carica τ invece di t. Dato che dτ = dt / γ, questo non è difficile da fare con l’integrazione. Ora, r (τ) specifica una linea del mondo invariante che non dipende dal sistema di coordinate. Naturalmente, abbiamo bisogno di un sistema di coordinate per specificarlo in ogni caso particolare, ma possiamo immaginare una linea del mondo disegnata nello spazio a 4 dimensioni, etichettata con il tempo giusto, che è invariante e che determina le funzioni r (τ) in qualsiasi sistema di coordinate.

Per J α (ct, x ), vogliamo selezionare il tempo t che corrisponde a qualsiasi punto x (τ) sulla linea del mondo. Questo può essere fatto con una funzione delta δ [t-ct (& tau)], dove t (τ) restituisce il tempo corrispondente a r (τ), ed è la componente 0 della posizione 4-vettore. Permettendo una scelta da qualsiasi valore di τ, siamo condotti all’integrale J α = ec∫dτU α (τ) δ [x – r (& tau)], dove U α = (γc, γ v) è il tensore a 4 velocità della carica. La funzione delta è a 4 dimensioni, e r (t) è il tensore a 4 posizioni della carica. Questa espressione è relativisticamente invariante, poiché contiene solo tensori di Lorentz. Se si riduce alla corretta densità di carica e corrente in un particolare sistema di coordinate, allora è quello che vogliamo.

Scegli un sistema di coordinate, quindi, e fai l’integrale su τ usando le funzioni che risultano. Dalla regola per la funzione delta di una funzione, l’integrazione sulla funzione delta temporale imposta t uguale a t ‘e divide per γc. Quindi, J 0 = qc (γc) (1 / γc) δ [ x – r (t)] = qδ [ x – r (t)], esattamente ciò che si desidera. Anche le componenti spaziali di J α sono facilmente visibili per dare i risultati desiderati. Ora siamo fiduciosi sulla nostra espressione invariante per J α .

Ora tutto ciò che dobbiamo fare è sostituire D (x – x ‘) e J α nell’integrale per A α per trovare un’espressione invariante per A α . Gli integrali sono fatti usando le funzioni delta, e troviamo che A α (x) = qU α (τ) / V β [x – r (t)] β , valutato a τ = τ o, il tempo giusto ritardato. La proprietà più importante di questa espressione è che è manifestamente covariante, costruita solo con tensori di Lorentz. Ora i campi possono essere trovati per differenziazione, ma questo non è un processo semplice, e non lo faremo qui, ma solo citare i risultati. È più semplice, infatti, distinguere prima dell’integrazione finale in modo che il ritardo sia più facile da gestire, ma non lo faremo neanche. Vedi Jackson se hai bisogno delle espressioni.

Il tempo τ o deriva dalla condizione [x – rτ o ] 2 = 0 applicata dalla parte spaziale della funzione delta quadridimensionale nell’integrale. Ciò significa che x o – r o (τ o ) = | x – r (τ o ) | = R, la distanza ritardata. Inoltre, U · (x – r) = γcR – γ v · n R = γcR (1 – β · n ), con i simboli che significano come nella sezione sulla carica uniforme in movimento, e dove questa espressione sarà riconosciuta . Dall’espressione per A α , troviamo quindi i componenti φ = [q / (1 – β ·n )] ret e A = [q β / (1 – β · n )] ret . Questi potenziali sono espressi in termini di posizione ritardata e tempo, come abbiamo definito in relazione alla carica uniforme in movimento. Sono chiamati potenziali di Liénard-Wiechert , che furono trovati nel 1898 sulla base delle sole equazioni di Maxwell, senza l’aiuto della relatività.

Il campo elettrico è E = q {( n – β ) / [γ 2 R 2 (1 – β · n ) 3 ]} ret + (q / c) { n x [( n – β ) x (d β / dt)] / [R (1 – β · n ) 3 ]}, e il campo magnetico è B = [ n x E ] ret . Il primo termine è indipendente dall’accelerazione e cade come R -2 , quindi assomiglia a un campo statico. I campi del secondo mandato cadono come R-1 , quindi sono campi di radiazione che trasportano energia a grandi distanze e sono più piccoli di un fattore di c -1 .

Controlliamo i nostri risultati precedenti per una carica in movimento uniforme. La componente y del campo sarà E y = q cosθ / γ 2 R 2 (1 – β · n ) 3 . Moltiplicando top e bottom per R, e usando γR (1 – β · n ) = (b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 1/2 , troviamo il nostro risultato precedente in una volta, E y = qγb / (b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 3/2 . E x= -q (cosθ + β) / γ 2 R2 (1 – β · n ) 3 . Di nuovo moltiplicando in alto e in basso per R, e usando R cosθ + βR = vt, troviamo E x = -qγvt / (b 2 + γ 2 v 2 t 2 ) 3/2 . Questo conferma la nostra precedente procedura di Lorentz: trasformare i campi statici.

Radiazione

Quando β è molto inferiore all’unità, i campi sono molto vicini E = q n / R 2 + n x ( n xd β / dt) (e / cR), dove n è un vettore unitario dalla posizione ritardata alla distanza ritardata R Se le distanze non sono grandi, R è approssimativamente la distanza attuale r. Questo è un limite piuttosto diverso dall’irrealistico c → ∞, dove anche il campo di radiazione svanisce. Nel campo di radiazione, il vettore elettrico giace nel piano di d v / dt = a ed n ed è perpendicolare al vettore del raggio. Se l’angolo tra uno è θ quindi la grandezza del campo elettrico è E = (qa / c 2 r) sinθ. Il flusso di energia per unità di angolo solido nella direzione di sarà dP / dΩ = r 2 c | E | 2 / 4π = (q 2 / 4πc 3 ) a 2 sin 2 θ. La potenza totale irradiata si trova per integrazione su 4π steradianti. ∫2πsin 3 θdθ = 8π / 3, quindi P = (2e 2 / 3c 3 ) a 2 . Questo è il risultato di Larmor per la radiazione proveniente da una carica accelerata.

Si  mostra come trovare il potere irradiato da un elettrone relativistico mediante un’intelligente estensione della formula di Larmor. L’uso diretto dei campi è piuttosto laborioso. Il risultato è P = (2e 2 / c) γ 6 [(d β / dt) 2 – ( β xd β / dt) 2 ], che Liénard ha trovato nel 1898. Questa è una formula molto utile per trovare il potere irradiato da particelle veloci, come negli acceleratori o in astrofisica.

Il Sincrotrone

I primi acceleratori di particelle erano acceleratori lineari che utilizzavano alimentatori CC ad alta tensione, come le macchine Van de Graaff e Cockroft-Walton, che potevano raggiungere circa 1 MeV. Seguì poi il ciclotrone (1934), in cui l’orbita circolare rendeva possibile un’accelerazione periodica con tensioni RF inferiori sui diti, gli elettrodi di accelerazione. La velocità angolare della rivoluzione dipendeva solo dal rapporto e / m delle particelle, non dalla loro velocità, quindi si poteva usare una frequenza RF costante. I protoni e altre particelle pesanti potrebbero essere accelerati a circa 25 MeV. Questi acceleratori erano molto utili per gli studi nucleari, ma le energie erano troppo basse per la creazione di nuove particelle. I ciclotroni non possono accelerare gli elettroni a causa del rapido aumento di massa che li porta fuori fase con una frequenza RF costante. Il betatron (1940), che potrebbe accelerare gli elettroni a energie simili usando l’azione del trasformatore, fu quindi concepito. Grande attenzione doveva essere prestata alla progettazione del campo magnetico in modo che l’orbita dell’elettrone rimanesse costante nel raggio e focalizzata, ma il problema della frequenza non si poneva. Le betatroni forniscono un impulso di elettroni veloci alla fine di ogni ciclo di aumento del campo magnetico. Per maggiori informazioni su betatron.

I ciclotroni potrebbero essere utilizzati per accelerare le particelle pesanti anche quando gli effetti relativistici entrano cambiando la frequenza di accelerazione. Tali ciclotroni FM o sincrociclotri sono stati effettivamente sviluppati, ma la modulazione di frequenza è molto fastidiosa. I betatroni avevano lo svantaggio di nuclei magnetici molto pesanti, e quindi le loro dimensioni erano limitate. Nel 1947, il primo sincrotrone elettronico fu costruito in California, seguendo le idee di McMillen (1947) negli Stati Uniti e Veksler (1946) nell’URSS, che introdusse l’idea dell’accelerazione sincrona. C’erano alcuni sincrotroni sperimentali più piccoli, ma il sincrotrone elettronico è nato pieno, il primo a fornire elettroni da 300 MeV, e una dozzina di altri a seguire poco dopo. Questi elettroni sono generalmente utilizzati per produrre fotoni ad alta energia in collisioni con un bersaglio,

Figura 6

Il sincrotrone elettronico sfrutta due conseguenze della piccola massa dell’elettrone. In primo luogo, l’elettrone è facilmente accelerato a velocità molto vicino a c, quando il loro periodo orbitale in un campo magnetico non cambierà significativamente con l’energia. In secondo luogo, l’elettrone viene facilmente deviato da un campo magnetico, anche ad alte energie, in modo che gli acceleratori possano essere di dimensioni convenienti. Un diagramma di un sincrotrone elettronico è mostrato a destra. La camera a vuoto toroidale e i nuclei magnetici a forma di C non sono mostrati. Un campo magnetico B, mostrato diretto nella pagina, devia gli elettroni in un’orbita circolare di raggio r in cui si muovono in senso antiorario, approssimativamente alla velocità c. L’energia cinetica degli elettroni è T = mc 2(γ – 1). Gli elettroni vengono accelerati ad ogni rivoluzione dal campo elettrico in una cavità risonante, mostrata a sinistra. Affinché il raggio rimanga costante, il campo magnetico B deve essere aumentato in sincrono con l’aumento di energia degli elettroni, che dà il nome alla macchina. Alla fine di un ciclo di accelerazione, la tensione di accelerazione viene disattivata, mentre il campo magnetico continua ad aumentare, facendo sì che il raggio entri a spirale e colpisca il bersaglio. Ciò accade circa 60 volte al secondo, quindi il raggio appare continuo all’osservatore umano.

Gli avvolgimenti del magnete sono solitamente collegati attraverso un grande condensatore per formare un circuito risonante, quindi l’alimentazione del magnete deve solo fornire le perdite e il fattore di potenza è accettabile. All’inizio di un ciclo, un grande impulso di elettroni viene iniettato da un cannone elettronico termoionico nella direzione dell’orbita. La maggior parte di questi elettroni è persa, ma un numero sufficiente assume orbite che non colpiscono le pareti della camera del vuoto. Il campo magnetico B deve essere sagomato con cura per focalizzare il raggio. In generale, B si piega verso l’esterno come il normale campo di frange a un traferro, e può essere descritto da B = B o (r o / r) n. Se n> 0, le orbite degli elettroni oscilleranno stabilmente attorno al piano orbitale, e se n <1 le orbite oscilleranno stabilmente in una direzione radiale. All’aumentare di B, queste oscillazioni saranno smorzate in modo che il raggio diventi stretto e ben definito. Gli elettroni devono anche formare un mazzo lungo l’orbita in modo che abbiano stabilità di fase . Un elettrone che riceve un po ‘troppa energia su una passata andrà avanti e riceverà meno sulla prossima passata, e lo stesso tipo di compensazione risulterà per un elettrone che cade dietro. La messa a fuoco e la stabilità di fase sono necessarie per ottenere una corrente utile del fascio, che di solito è nella regione dei microampere.

Gli elettroni sono iniettati con energie di circa 100 keV. Vengono quindi accelerati a circa 2 MeV dall’azione betatron. Il campo ampio necessario all’interno dell’orbita è fornito da barre di flussodi sezione trasversale relativamente piccola che passa tra i poli N e S dei magneti. Inizialmente, gran parte del flusso passa per questa via a causa del traferro molto più piccolo, ma alla fine dell’accelerazione del betatrone le barre di flusso si saturano e successivamente si comportano come un traferro, la maggior parte del flusso che passa attraverso le facce dei poli principali per guidare il elettroni. A 2 MeV, la velocità dell’elettrone è diventata abbastanza costante vicino c che l’accelerazione RF a frequenza costante può subentrare. Con un’accelerazione di 10 keV per passaggio e una frequenza di 47,7 MHz (appropriata per r = 1 m), gli elettroni guadagneranno 477 MHz in 10 ms, trascurando le perdite. Il principio di sincrotrone funziona molto bene per gli elettroni.

È stato costruito un gran numero di sincrotroni elettronici, di cui il più grande sembra essere la macchina 10 GeV presso i Laboratori Nazionali di Brookhaven, che ha r = 100 m. Il campo magnetico massimo è solo 3300 gauss e la tensione di accelerazione RF è 10,5 MV. Nota che gli elettroni di questa macchina hanno γ = 20.000, circa, e sono più pesanti dei protoni! La maggior parte dei sincrotroni elettronici, tuttavia, sono macchine relativamente piccole. Se 10.000 gauss sono presi come un limite superiore conveniente per il campo magnetico, quindi per 100 elettroni MeV, r è solo di circa 33 cm. Pertanto, un sincrotrone elettronico è una fonte conveniente di radiazioni ad alta energia.

La relazione tra B, r e T può essere trovata equipaggiando la forza magnetica all’accelerazione dei tempi di massa, o (evB / c) = (γmv 2 / r), poiché la massa effettiva dell’elettrone è γm, e non cambiare in movimento circolare. Questo dà quindi a Br = γmvc / e = βγmc 2 / e = βE / e ≈ E / e. Nota che l’espressione trovata in alcuni riferimenti, [T (T + 2mc 2 ] 1/2 è solo βγmc 2. La frequenza di accelerazione è f = v / 2πr = eB / 2πγmc. Se invece la esprimiamo in termini di r, usando il valore di Br, troviamo f = (c / 2πr) (1 – 1 / γ). Se r è in metri, allora f = 47,7 MHz / r Queste relazioni sono mostrate nel diagramma del sincrotrone sopra.

Ci sono perdite nel sincrotrone, di cui la più importante è la perdita di radiazioni dovuta all’orbita circolare degli elettroni. Poiché β è ad angolo retto rispetto all’accelerazione centripeta, la formula per la potenza irradiata diventa P = (2e 2 / 3c 3 ) γ 4 | a | 2 , e a = v 2 / r, quindi P = (2e 2 c / 3r 2 ) β 4 γ 4 . Moltiplicando per il tempo per giro, abbiamo la perdita di energia per giro dovuta alla radiazione di δE = (4πe 2 / 3r) β 3 γ 4. Nella maggior parte dei casi, β può essere impostato uguale a 1. Nel valutare queste espressioni, si noti che devono essere utilizzate unità gaussiane, in cui e = 4.803 x 10 -10 esu. Il risultato è δE (erg) = 2,125 x 10 6 (E 4 erg / r cm). Questo funziona con δE (MeV) = 0,0884 E 4 GeV / r m. Per il sincrotrone di Brookhaven, questo è 8.84 MeV, non molto inferiore all’accelerazione di 10.5 MV per turno.

La potenza totale persa per radiazione sarà NδE / T = (I / e) δE, che funziona a 10 6IδE W, dove I è in ampere e δE in MeV. Con una corrente del fascio di 1 μA, la perdita nella macchina Brookhaven sarà solo di circa 8,84 W e molto meno nelle macchine più piccole. Tuttavia, questa radiazione è facilmente rilevabile e abbastanza interessante. Ogni elettrone emette un impulso acuto quando si trova nel punto tangente alla linea di vista, quindi lo spettro di frequenza è ampio, estendendosi dalla frequenza orbitale fino all’energia massima degli elettroni. La radiazione è in un cono molto stretto in avanti, che si restringe all’aumentare dell’energia. Fu osservato per la prima volta visivamente nel 1948, guardando la radiazione attraverso uno specchio, dal momento che non è consigliabile stare direttamente nel raggio! A 60 MeV è un bagliore rosso, poi diventa bianco e più intenso a 200 MeV, dopodiché il massimo passa nell’ultravioletto. Questa è la radiazione di sincrotrone, che può essere visto nella Nebulosa del Granchio, tra gli altri luoghi. Questo non deve essere confuso con la radiazione prodotta dal raggio stesso all’impatto con il bersaglio, che può essere migliaia di Röngen al minuto. Jackson fornisce dettagli sulla distribuzione angolare e sullo spettro della radiazione di sincrotrone.

Riferimenti

  • JD Jackson, Classical Electrodynamics , 2nd ed. (New York: John Wiley & Sons, 1975). Capitoli 6, 11, 12 e 14.
  • MS Livingston, acceleratori ad alta energia (New York: Interscience, 1959). Capitoli 2 e 3.

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