Meccanica Quantistica: esposizione divulgativa (Parte terza) Equazione di Schrödinger

Ecco una tipica domanda da manuale. La tua auto ha finito la benzina. Con quanta forza hai bisogno di spingerlo per accelerarlo ad una data velocità? La risposta viene dalla seconda legge del moto di Newton:

F=ma

dove a è l’accelerazione,  F è forza ed m è massa. Questa legge straordinariamente diretta, ma sottile,  consente di descrivere tutti i tipi di movimento e quindi, almeno in teoria, può rispondere praticamente a qualsiasi domanda di fisica. Quando abbiamo cominciato a considerare il mondo nelle più piccole scale, ad esempio gli elettroni che orbitano intorno al nucleo di un atomo, abbiamo capito che le cose si fanno davvero strane e che le leggi di Newton non si applicano più. Per descrivere questo piccolo mondo abbiamo bisogno della meccanica quantistica. L’equazione centrale di questa teoria è l’analogo della seconda legge di Newton, è chiamata equazione di Schrödinger.

Erwin Schrödinger (Vienna, 12 agosto 1887 – 4 gennaio 1961)

Onde e particelle

“Nella meccanica classica descriviamo lo stato di un sistema fisico usando la posizione e il momento”. Ad esempio, se abbiamo un tavolo pieno di palle da biliardo in movimento e conosciamo la posizione e la quantità di moto (cioè la massa volte la velocità) di ogni palla in un dato istante $ T $, allora sappiamo tutto sul sistema a quel tempo $ T $: dove tutto è, dove tutto sta andando e quanto velocemente. “Il tipo di domanda che ci chiediamo è: se conosciamo le condizioni iniziali di un sistema, cioè, conosciamo il sistema all’istante $ T_0, $ come è l’evoluzione dinamica di questo sistema? E usiamo la seconda legge di Newton per questo. In meccanica quantistica poniamo la stessa domanda, ma la risposta è complicata perché la posizione e il momento non sono più le variabili giuste per descrivere il sistema. “

Il problema è che gli oggetti che la meccanica quantistica cerca di descrivere non si comportano sempre come piccole palle da biliardo. A volte è meglio pensarle come onde. “Prendiamo l’esempio della luce: Newton, a parte il suo lavoro sulla gravità, era interessato anche all’ottica”. “Secondo Newton, la luce era descritta dalle particelle, ma poi, dopo il lavoro di molti scienziati, inclusa la comprensione teorica fornita da James Clerk Maxwell, abbiamo scoperto che la luce era descritta da onde”. Ma nel 1905 Einstein si rese conto che anche l’immagine ondulata non era del tutto corretta. Per spiegare l’ effetto fotoelettrico si deve pensare a un raggio di luce come a un flusso di particelle, che Einstein soprannominò fotoni . Il numero di fotoni è proporzionale all’intensità della luce e l’energia E di ciascun fotone è proporzionale alla sua frequenza f :

\ [E=hf, \]

Cin  $ h=6,626068 \ volte 10 ^ {- 34} m ^ 2kg / s $  la costante di Planck, un numero incredibilmente piccolo che prende il nome dal fisico Max Planck che già intuito questa formula nel 1900 nel suo lavoro sulle radiazioni del corpo nero . “Quindi eravamo di fronte alla situazione che a volte il modo corretto di descrivere la luce era come onde e talvolta come particelle”.

L'esperimento della doppia fenditura

Esperimento della doppia fenditura: l’immagine in alto mostra il modello di interferenza creato dalle onde che passano attraverso le fessure, l’immagine in mezzo mostra ciò che ci si aspetta di vedere quando le particelle vengono sparate attraverso le fessure e l’immagine in basso mostra ciò che accade realmente quando si spara particelle come gli elettroni attraverso le fenditure: si ottiene il modello di interferenza che ci si aspetta dalle onde, ma gli elettroni vengono registrati come particelle in arrivo.

Il risultato di Einstein è legato al lavoro secolare, iniziato nel XVII secolo da Christiaan Huygens e esplorato ancora nel 19 ° secolo da William Hamilton: unificare la fisica dell’ottica (che era tutta questione di onde) e la meccanica (che era tutto particelle). Ispirato dal comportamento schizofrenico della luce, il giovane fisico francese Louis de Broglie compì un passo drammatico in questo viaggio: postulò che non solo la luce, ma anche la materia soffriva della cosiddetta dualità onda-particella. Anche i minuscoli mattoni della materia, come gli elettroni, si comportano come particelle in alcune situazioni e come onde in altre.

L’idea di De Broglie, che annunciato negli anni ’20, non si basava su prove sperimentali, ma scaturita da considerazioni teoriche ispirate alla teoria della relatività di Einstein. Ma le prove sperimentali sarebbero presto seguite. Alla fine degli anni ’20, esperimenti che coinvolgevano particelle di diffrazione da un cristallo confermavano la natura ondulatoria degli elettroni.

Una delle dimostrazioni più famose della dualità onda-particella è l’ esperimento a doppia fenditura . Gli elettroni (o altre particelle come fotoni o neutroni) vengono sparati uno alla volta su uno schermo contenente due fessure. Dietro lo schermo c’è un secondo schermo che può rilevare dove finiscono gli elettroni che lo attraversano. Se gli elettroni si comportassero come particelle, allora ci aspettiamo che si accumulano attorno a due linee rette dietro le due fessure. Ma quello che osserviamo sullo schermo del rilevatore è un modello di interferenza: cioè quello che otteniamo se gli elettroni fossero onde, ogni onda passa attraverso entrambe le fessure contemporaneamente e poi interferisce con se stessa mentre si espande di nuovo dall’altra parte. Eppure sullo schermo del rivelatore, gli elettroni vengono registrati come ci aspettiamo che arrivino: come particelle. È un risultato davvero strano, che è stato replicato molte volte – dobbiamo semplicemente accettare che questo è il modo in cui la matura funziona.

Equazione di Schrödinger

La nuova immagine radicale proposta da de Broglie richiedeva una nuova fisica. Che aspetto ha un’onda associata ad una particella matematicamente? Einstein aveva già correlato l’energia $ E $ di un fotone alla frequenza $ F $della luce, che a sua volta è legata alla lunghezza d’onda $ \ lambda $ dalla formula  $ \ lambda=c / f. $ Con $ C $ la velocità della luce. Usando i risultati della teoria della relatività è anche possibile collegare l’energia di un fotone al suo momento. Mettendo insieme tutto questo otteniamo la relazione

$ \ lambda=h / p $

tra la lunghezza d’onda $ \ lambda $ e il momento $ P $ del fotone ( $ H $ è la costante di Planck). A seguito di ciò, de Broglie postulò che la stessa relazione tra lunghezza d’onda e quantità di moto doveva valere per ogni particella. Nella meccanica classica l’evoluzione nel tempo di un’onda, ad esempio un’onda sonora o un’onda d’acqua, è descritta da un’equazione d’onda: un’equazione differenziale la cui soluzione è una funzione d’onda , che fornisce la forma dell’onda in qualsiasi momento $ T $ (soggetta a condizioni al contorno idonee). Ad esempio, supponiamo di avere onde che viaggiano attraverso una corda che si estende lungo l’asse  $ X $  e vibra nell’area  $ Xy $. Per descrivere completamente l’onda, è necessario trovare lo spostamento $ Y (x, t) $ della stringa nella direzione  $ Y $ direzione in ogni punto  e ogni volta $ T $. Usando la seconda legge del moto di Newton è possibile mostrare che $ Y (x, t) $ obbedisce alla seguente equazione delle onde:

\ [\ frac {\ partial ^ 2y} {\ partial x ^ 2} = \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 y} {\ partial t ^ 2}, \]

dove  v è la velocità delle onde.

Onda Coseno

Un’istantanea nel tempo di una stringa che vibra nel piano xy . L’onda mostrata qui è descritta dalla funzione coseno.

Una soluzione generale $ Y (x, t) $ a questa equazione è piuttosto complicata, il che riflette il fatto che la stringa può propagarsi in tutti i modi e che sono necessarie maggiori informazioni (condizioni iniziali e condizioni al contorno) per scoprire esattamente quale tipo di movimento è. Ad esempio, la funzione

\ [y (x, t) = A \ cos {\ omega (t- \ frac {x} {v})} \]

descrive un’onda che viaggia nella direzione positiva $ X $ con una frequenza angolare $ \ omega $, quindi una possibile soluzione all’equazione delle onde. Per analogia, esiste un’equazione d’onda che governa l’evoluzione delle  “onde di materia”,  nel tempo. La sua soluzione è una funzione d’onda $ \ Psi $  che contiene tutta l’informazione del sistema quantistico – per esempio una singola particella che si muove in una scatola – per ogni istante $ T $. Fu il fisico austriaco Erwin Schrödinger a inventare questa equazione nel 1926. Per una singola particella che si muove in tre dimensioni l’equazione può essere scritta come:

\ [\ frac {ih} {2 \ pi} \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} = - \ frac {h ^ 2} {8 \ pi ^ 2 m} \ left (\ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial z ^ 2} \ right ) + V \ Psi. \]

$ V $è l’energia potenziale della particella (funzione di $ X $$ Y $$ Z $ e $ T $), $ i = \ sqrt {-1}, $  $ M $ è la massa della particella e  $ H $ la costante di Planck. La soluzione  è la funzione d’onda $ \ Psi (x, y, z, t). $ In alcune situazioni l’energia potenziale non dipende dal tempo $ T. $ In questo caso possiamo risolvere il problema considerando la versione più semplice indipendente dal tempo dell’equazione di Schrödinger per una funzione $ \ psi = \ psi (x, y, z): $

\ [\ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial z ^ 2} + \ frac {8 \ pi ^ 2 m} {h ^ 2} (EV) \ psi = 0, \]

dove $ E $ rappresenta l’energia totale della particella. La soluzione $ \ Psi $ per l’equazione completa è quindi:

\ [\ Psi = \ psi e ^ {- (2 \ pi i E / h) t}. \]

Questa equazione si applicano a una particella che si muove in tre dimensioni, pur avendo una  controparte che descrive un sistema con un numero qualsiasi di particelle. Invece di formulare la funzione d’onda in funzione della posizione e del tempo, è possibile anche descriverla in funzione della quantità di moto e tempo.

Significato fisico della funzione d’onda

Ma cosa significa in realtà questa soluzione? Non dà una posizione precisa per la particella in un dato istante $ T $, quindi non ci fornisce la traiettoria di una particella nel tempo. Piuttosto è una funzione che, in un dato istante, $ T, $ determina un valore  $ \ Psi (x, y, z, t). $  di tutte le possibili posizioni $ (X, y, z) $. Cosa significa questo valore? Nel 1926 il fisico Max Born  fornì un’interpretazione probabilistica. Postulò che il quadrato del valore assoluto della funzione d’onda,

\ [| \ Psi (x, y, z, t) | ^ 2 \]

rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione $ (X, y, z) $ all’istante $ T $. In altre parole, la probabilità che la particella si trovi in ​​una regione $ R $al momento $ T $ è data dall’integrale:

\ [\ int _ {R} | \ Psi (x, y, z, t) | ^ 2 dxdydz. \]

Werner Heisenberg

Werner Heisenberg, 1901-1976.

Questa interpretazione probabilistica è collegata ad una conseguenza piuttosto scioccante della formula di de Broglie per la lunghezza d’onda e la quantità di moto di una particella, scoperta da Werner Heisenberg nel 1927. Heisenberg scoprì che esiste un limite fondamentale alla precisione con cui è possibile misurare la posizione e la la quantità di moto di una particella in movimento. Risultavano inversamente proporzionali, cioè più precisa era una misura della posizione meno era quella del momento e viceversa. Inoltre questa misura non dipende dalla qualità dello strumento, è una fondamentale incertezza della natura. Questo risultato è conosciuto come principio di indeterminazione di Heisenberg ed è uno dei risultati che viene spesso citato per illustrare la stranezza della meccanica quantistica. Significa che in meccanica quantistica non possiamo semplicemente parlare della posizione o della traiettoria di una particella.

“Se crediamo in questa immagine di incertezza, allora dobbiamo accettare una natura probabilistica di ciò che sta accadendo perché non abbiamo risposte esatte a domande come” dov’è l’elettrone all’istante $ T_0 $ ? . In altre parole, tutto ciò che ci aspettiamo dalla rappresentazione matematica di uno stato quantico, della funzione d’onda, è  una probabilità.

Se la funzione d’onda abbia o meno un’interpretazione fisica è ancora una domanda aperta. “La domanda era: abbiamo questa funzione d’onda, ma stiamo davvero pensando che ci siano onde che si propagano nello spazio e nel tempo?”  “De Broglie, Schrödinger ed Einstein cercavano un resoconto realistico, tipico di un’ondata di luce che si propaga nel vuoto, ma Wolfgang Pauli , Werner Heisenberg e Niels Bohr erano contrari a questo quadro realistico. Per loro la funzione d’onda era solo uno strumento per calcolare le probabilità.

Louis de Broglie

Louis de Broglie, 1892-1987.

Perché dovremmo credere a questa fantastica architettura? Abbiamo presentato l’equazione di Schrödinger come se fosse uscita dal nulla, ma da dove viene effettivamente? Come ha fatto Schrödinger a ricavarla? Richard Feynmanla la considerò una domanda inutile:

“Da dove prendemmo quell’equazione? Non è possibile ricavarla da tutto ciò che conosci. Venne fuori dalla mente di Schrödinger”.

Tuttavia, l’equazione si è affermata in tutti gli esperimenti. “È l’equazione più fondamentale della meccanica quantistica”. “È il punto di partenza per ogni sistema di meccanica quantistica che vogliamo descrivere: elettroni, protoni, neutroni, qualunque esso sia.” Il primo successo dell’equazione, che era anche una delle motivazioni di Schrödinger, è stato quello di descrivere un fenomeno che aveva contribuito in primo luogo a dare alla luce la meccanica quantistica: lo spettro energetico discreto dell’atomo di idrogeno. Secondo il modello atomico di Ernest Rutherford, la frequenza delle radiazioni emesse da atomi come l’idrogeno dovrebbe variare continuamente. Gli esperimenti hanno mostrato, tuttavia, che non lo fa: l’atomo di idrogeno emette solo radiazioni a determinate frequenze e c’è un salto quando la frequenza cambia. Questa scoperta volò di fronte alla saggezza convenzionale, che approvò una massima espressa dal filosofo e matematico del XVII secolo Gottfried Leibniz : “la natura non fa salti”.

Nel 1913 Niels Bohr propose un nuovo modello atomico in cui gli elettroni confinati in determinati livelli di energia. Schrödinger applicò la sua equazione all’atomo di idrogeno e scoprì che le sue soluzioni riproducevano esattamente i livelli di energia stabiliti da Bohr. “Questo fu un risultato sorprendente – e uno dei primi risultati importanti dell’equazione di Schrödinger”. Con innumerevoli successi sperimentali, l’equazione di Schrödinger è diventata l’affermata analogia della seconda legge del moto di Newton per la meccanica quantistica.

Esempio su come agisce

La particella in una scatola.

Supponiamo di avere una particella che rimbalza avanti e indietro tra due pareti in una scatola. Supponiamo che la particella si muova in una sola dimensione, lungo l’asse $ X $, tra pareti verticali impenetrabili $ X = 0 $ e $ X = L. $ Non ci sono forze che agiscono sulla particella all’interno della scatola, quindi la sua energia potenziale è zero qui:  $ V (x, t) = 0 $  per  $ 0 <x <L $. Forze infinitamente grandi spingono la particella indietro quando colpisce un muro: l’energia potenziale $ V (x, t) $ è infinita per $ x \ leq 0 $ e $ x \ geq L. $

Poiché in questo esempio l’energia potenziale non dipende dal tempo, possiamo utilizzare l’equazione di Schrödinger monodimensionale indipendente dal tempo all’interno della scatola. Ricordando che $ V = 0 $ nella scatola:

\ begin {equation} \ frac {d ^ 2 \ psi} {dx ^ 2} + \ frac {8 \ pi ^ 2 mE \ psi} {h ^ 2} = 0, \ end {equazione}    (1)

dove $ M $è la massa della particella,  E è la sua energia totale e  $ h = 6,626068 \ volte 10 ^ {- 34} m ^ 2kg / s $ è la costante di Planck. Una soluzione all’equazione (1) è una funzione $ \ psi (x) $ che, se differenziata, soddisfa l’equazione. Qualsiasi soluzione all’equazione (1) prenderà la forma:

\ begin {equation} \ psi (x) = A \ cos {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} x \ right)} + B \ sin {\ left ( \ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} x \ destra)} \ end {equazione}     (2)

dove $ A $ e $ B $ sono costanti.

Ora $ | \ psi (x) | ^ 2 $è legato alla probabilità di trovare la particella in posizione $ X $ e tempo $ T. $ Sappiamo che la particella non può mai essere fuori dai limiti (nella regione in cui $ x <0 $ o $ X> L $) perché avrebbe bisogno di una quantità infinita di energia. Ciò significa che $ \ psi = 0 $ per $ x <0 $ e $ X> L. $Poiché $ \ psi $ è continua al limite della scatola, deduciamo che $ \ psi $ è uguale a zero in $ X = 0 $ e $ X = L. $

La prima condizione, $ \ psi = 0 $ in $ X = 0 $, significa:

\ [0 = A \ cos {0} + B \ sin {0} = A, \]

quindi possiamo ignorare il termine coseno nella (2) e la nostra equazione diventa_

\ begin {equation} \ psi = B \ sin {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} x \ right)} \ end {equation}      (3)

La seconda condizione, $ \ psi = 0 $ $ X = L $, significa questo:

\ [0 = B \ sin {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} L \ right)}, \]

quindi $ B = 0 $ o il termine sinusoidale è zero. Il primo implicherebbe che $ \ psi $ è zero ovunque – questo chiaramente non è vero in quanto sappiamo che la particella è da qualche parte nella scatola. Quindi lo deduciamo:

\ [\ sin {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} L \ right)} = 0. \]

Ora  $ \ sin {y} = 0 $ se e solo se $ Y $ è un multiplo di $ \ pi $, così avremo:

\ [\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} L = 0, \ pi, 2 \ pi, 3 \ pi, ... \]

In altre parole

\ [\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} L = n \ pi \]

per  un numero intero positivo. Si interpreta  che l’energia della particella può avere solo valori discreti:

\ begin {equation} E_ n = \ frac {n ^ 2 h ^ 2} {8mL ^ 2}, \ end {equation}       (4)

per  $ n = 0, 1,2,3, ... $

Il numero $ N $ corrispondente al livello di energia $ E_ n $ è chiamato il numero quantico di $ E_ n $. Il numero quantico $ N = 0 $  corrisponde a  energia  zero – ma  dà anche una funzione d’onda $ \ psi $  che è zero ovunque nella scatola, il che significherebbe che la particella non può essere in qualsiasi punto della scatola. Quindi, anche il numero quantico $ N = 0 $ è escluso, i livelli di energia consentiti sono:

\ begin {equation} E_ n = \ frac {n ^ 2 h ^ 2} {8mL ^ 2}, \ end {equation}       (5)

per  $ N = 1,2,3, ... $

Il fatto che lo spettro energetico sia discreto, cioè che non tutte le energie siano permesse, e in particolare che l’energia zero non è permessa, sono risultati che non si ottengono dalla meccanica classica – anzi, vanno oltreil senso comune, secondo cui le quantità come l’energia dovrebbero variare continuamente: “la natura non fa salti” disse Gottfried Leibniz. La fisica classica ci dice anche che lo stato di energia minimo di un sistema (chiamato anche lo stato fondamentale o il vuoto ) dovrebbe avere energia zero. Ma questi strani risultati quantici corrispondono alle osservazioni sperimentali dei sistemi quantistici, ad esempio lo spettro dell’energia discreta dell’atomo di idrogeno. Il valore della costante B può essere trovato normalizzando la funzione d’onda.

\ [| \ Psi (x) | ^ 2 = | \ psi (x) ^ 2 e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} | = | \ psi (x) ^ 2 || e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} |. \]

Ora $ e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} $ è un numero complesso, che può anche essere scritta con la formula di Eulero

\ [e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} = \ cos {\ left (- (2 \ pi i E / h) t \ right)} + i \ sin {\ left (- (2 \ pi i E / h) t \ right)}. \]

Il modulo di questo numero complesso è quindi:

\ [\ cos ^ 2 {\ left (- (2 \ pi i E / h) t \ right)} + \ sin ^ 2 {\ left (- (2 \ pi i E / h) t \ right)} = 1, \]

dalla familiare identità trigonometrica. Quindi abbiamo

\ [| \ Psi (x) | ^ 2 = | \ psi (x) ^ 2 e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} | = | \ psi (x) ^ 2 || e ^ {- (2 \ pi i E / h) t} | = | \ psi (x) ^ 2 |. \]

Ricordando che $ | \ Psi (x) | ^ 2 $è la funzione di densità di probabilità per determinare la particella in $ X $ all’istante $ T. $  In altre parole, la probabilità che la particella si trovi da qualche parte nella scatola è data da_

\ [\ int ^ L_0 | \ Psi (x) | ^ 2dx = \ int ^ L_0 | \ psi (x) | ^ 2 dx. \]

Poichè sappiamo per certo che la particella è da qualche parte nella scatola avremo:

\ [\ int ^ L_0 | \ Psi (x) | ^ 2dx = \ int ^ L_0 | \ psi (x) | ^ 2 dx = 1. \]

Sostituendo la nostra espressione per $ \ psi (x) $ l’equazione (3) avremo:

\ [\ int ^ L_0 {B ^ 2 \ sin ^ 2 {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} x \ destra)} dx} = 1. \]

Per il fatto che:

\ [\ int \ sin ^ 2 {(ax)} dx = - \ frac {1} {2a} \ sin {(ax)} \ cos {(ax)} + \ frac {x} {2}, \]

Si risolve se:

\ [B = \ sqrt {\ frac {2} {L}}} \]

 

Soluzione

Particella in una scatola: la posizione della particella è mostrata sull’asse x e l’energia sull’asse y . I livelli di energia consentiti per i primi quattro numeri quantici sono indicati come linee tratteggiate orizzontali. Le funzioni d’onda sono mostrate sovrapposte sul diagramma alle energie corrispondenti.

Quindi deve valere:

\ [\ psi (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin {\ left (\ sqrt {\ frac {8 \ pi ^ 2 mE} {h ^ 2}} x \ destra). } \]

Sostituendo i possibili valori $ E_ n $ per $ E $ dalla (4) otteniamo molte funzioni d’onda $ \ psi _ n (x) $ (una per ogni numero quantico, cioè il livello di energia consentito):

\ [\ psi _ n (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin {\ left (\ frac {n \ pi x} {L} \ right)} \]        per $ 0 <x <L $ e

\ [\ psi _ n (x) = 0 \]          altrove.

Questo ci dà un altro risultato sorprendente: per qualsiasi valore di  n  più grande di 1 possiamo trovare un valore di $ X $ che si trova all’interno della scatola per cui $ | \ psi (x) | ^ 2 = 0: $se $ x = \ frac {kL} {n} $per qualche intero $ k <n $, poi $ 0 <x <L $ e $ \ sin {\ frac {n \ pi x} {L} = \ sin {k \ pi} = 0.} $

Dato che $ | \ psi (x) | ^ 2 = | \ Psi (x) | ^ 2 $ è  la densità di probabilità di trovare la particella nel punto $ X $, significa che ci sono dei punti nella scatola in cui la particella non può mai essere trovata! Così abbiamo visto come l’equazione di Schrödinger produce alcuni risultati molto bizzarri che contraddicono la nostra intuizione classica. Quindi perché non vediamo cose  i livelli discreti di energia in oggetti macroscopici come le palle da biliardo? L’energia minima consentita si verifica per il numero quantico $ N = 1 $ e

\ [E_1 = \ frac {h ^ 2} {8mL ^ 2}. \]

La costante di Planck $ H $ è molto piccola, $ h = 6,626068 \ volte 10 ^ {- 34} m ^ 2kg / s. $ quindi per un oggetto grande $ M $ e $ L $ saranno relativamente grande. Ciò significa che $ E_1 $ sarà così incredibilmente piccolo che un oggetto con energia $ E_1 $ diventa indistinguibile da uno a riposo. Questo è il motivo per cui nel mondo macroscopico appare un livello di energia pari a zero. Calcoliamo ora la differenza tra due livelli di energia adiacenti $ E_ n $ e $ E_ {n + 1} $ un numero quantico $ N $:

\ [E_ {n + 1} -E_ n = \ frac {(n + 1) ^ 2 h ^ 2} {8mL ^ 2} - \ frac {n ^ 2 h ^ 2} {8mL ^ 2} = \ frac {h ^ 2 ((n + 1) ^ 2-n ^ 2)} {8mL ^ 2} = \ frac {h ^ 2 (2n + 1)} {8mL ^ 2}. \]

Mano che la massa $ M $e le dimensioni $ L $ della scatola diventano grandi, questa differenza tende a zero. Quindi per i grandi oggetti i livelli di energia permessi sono così vicini che è impossibile distinguerli dai livelli di energia che non sono consentiti – il livello di energia sembrano variare con continuità.

Effetto tunnel

Tunnel quantico

Tunnel quantistico: l’asse verticale mostra l’energia potenziale della particella, che è uguale a V 0 per x maggiore di 0 e minore di L e zero altrove.

 Supponiamo ancora che la nostra particella si muova lungo l’asse ‘ $ X $. Ma questa volta supponiamo che l’energia potenziale $ V $sia zero per $ - \ infty <x \ leq 0 $ e per $ L \ leq x <+ \ infty $ ma non zero tra $ 0 $ e $ L $. Quindi $ V = V_0 \ neq 0 $ per $ 0 <x <L. $ Questa è una barriera di potenziale:la  fisica classica ci dice che se la particella si muove lungo l’asse negativo di $ X $ verso 0, può penetrare  la regione tra $ 0 $ e $ L $ se la sua energia $ E $ è superiore $ V_0. $

È un po ‘come una palla di massa $ M $ che rotola e incontra una collina di altezza $ H $: se ha abbastanza energia per spostarsi in cima alla collina, allora la sua energia potenziale sarà $ V_0 = mgH, $dove $ G $ è l’accelerazione dovuta alla gravità. Se la sua energia è inferiore a  $ V_0 $ , non arriverà mai in cima .Nel nostro esempio la collina ha una pendenza verticale perché l’energia potenziale  salta discontinuamente tra 0 e $ V_0 $ da $ X = 0 $ $ X = L $, ed è piatta sulla parte superiore perché l’energia potenziale è costante per $ 0 <x <L. $

In meccanica quantistica  si scopre che la particella può arrivare fino in cima, e anche dall’altra parte, della “collina di potenziale” anche se la sua energia è inferiore a $ V_0 $. Non entreremo nei dettagli, ma risolvendo l’equazione di Schrödinger (assumendo $ E <V_0 $) con condizioni al contorno opportune si ottiene una funzione d’onda che non è zero sull’intero asse  $ X $. Ciò significa che una particella proveniente da sinistra ha in realtà una probabilità non nulla di trovarsi all’interno della barriera di potenziale e persino alla sua destra. C’è una piccola ma non nulla probabilità che la particella  attraversi la barriera verso l’altro lato del tunnel, anche se in termini classici non ha abbastanza energia per farlo. Come ci si aspetterebbe, questa probabilità diventa più piccola più spessa è  la barriera, cioè più grande è il valore di .

Generalmente il termine tunnel quantico si riferisce a qualsiasi situazione in cui una particella supera una barriera di potenziale che non dovrebbe essere in grado di superare secondo la fisica classica. Il tunnel quantico si verifica in natura, ad esempio quando l’uranio si decompone nel torio in una forma di decadimento radioattivo noto come decadimento alfa. In questo caso il nucleo atomico emette una particella alfa (che consiste di due protoni e due neutroni ed è strutturalmente identica a un nucleo di elio). Secondo la fisica classica, il processo di emissione della particella dovrebbe essere impossibile, in quanto richiede più energia di quanto l’atomo abbia a disposizione. È attraverso il tunnel quantico che l’atomo realizza l’impresa. E’ l’equazione di Schrödinger a sollevare  tutta questa matematica che ci parla della realtà fisica. Come possiamo interpretare la sua soluzione, la funzione d’onda?

Interpretazione della funzione d’onda

 

Conferenza Solvay

Questa foto è stata scattata alla 5a conferenza Solvay del 1927. Wolfgang Pauli è quinto da sinistra nella fila dietro, Werner Heisenberg 6 ° a sinistra nell’ultima fila, Louis de Broglie è 7 ° a sinistra nella fila centrale, Max nato 8 ° a sinistra nella fila centrale, Niels Bohr 9 ° a sinistra nella fila centrale, Max Planck è il secondo a sinistra in prima fila e Albert Einstein è quinto a sinistra in prima fila

L’equazione di Schrödinger è per la meccanica quantistica quale è la seconda legge del moto di Newton per la meccanica classica: descrive come un sistema fisico, diciamo un insieme di particelle soggette a certe forze, cambierà nel tempo. Nella meccanica classica le soluzioni sono le posizioni e le quantità di tutte le particelle in ogni istante $ T $: questo dà una descrizione completa del sistema. Nella meccanica quantistica l’informazione sul sistema è contenuta nella soluzione dell’equazione di Schrödinger, una funzione d’onda $ \ Psi. $ Il quadrato del valore assoluto della funzione d’onda, $ | \ Psi | ^ 2, $ viene interpretato come una densità di probabilità. Per esempio, per la nostra particella in una scatola  $ | \ Psi (x) | ^ 2 $ fornisce la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione  $ X. $Ma è anche possibile risolvere l’equazione di Schrödinger per molti sistemi di particelle e trovare funzioni d’onda per altre quantità osservabili, ad esempio la quantità di particelle.

Dove sono tutte le onde?

Cosa ci dice esattamente la meccanica quantistica della realtà fisica? L’equazione di Schrödinger nasce dall’idea che particelle come gli elettroni si comportano come particelle in alcune situazioni e come le onde in altre: questa è la cosiddetta dualità onda-particella. Una domanda che emerge immediatamente è il motivo per cui non vediamo mai grandi oggetti come tavoli, sedie o noi stessi che si comportano come onde. Come argomento euristico, ricordiamo la relazione di de Broglie tra la lunghezza d’onda  e l’impulso $ P $ di  “ondata di materia”:

\ [\ lambda = h / p, \]

dove  $ H $ è la costante di Planck. La quantità di moto p di un oggetto è la sua massa, moltiplicata per la sua velocità. Una conseguenza della meccanica quantistica è che nessun oggetto è mai completamente a riposo, quindi $ P $ non sarà mai zero. Ma la costante di Planck $ H $ è così incredibilmente piccola  $ h = 6,626068 \ volte 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s, $ che anche la più piccola massa e velocità rende la lunghezza d’onda  altrettanto piccola. Così piccola che non percepiamo l’ondulazione di oggetti macroscopici.

Un’onda non è un’onda

La prossima domanda è come interpretare la funzione d’onda. A differenza di una descrizione classica di un sistema fisico, la funzione d’onda non ci dà informazioni precise sulla posizione di una particella in un dato istante t – ci dà solo la probabilità di trovare la particella in una data posizione al tempo t. Normalmente usiamo le probabilità per quantificare la nostra ignoranza: se dico che lanciando una moneta ho una probabilità del  cinquanta per cento che esca testa o croce, questo riflette il fatto che non so ancora cosa uscirà nel lancio successivo. Quindi, forse le probabilità fornite dalla funzione d’onda misurano la nostra ignoranza in un modo simile: poiché la particella si muove in una scatola, diciamo, è sempre definita da qualche parte, solo che non possiamo dire dove fino a che non si fa una misura. De Broglie fu il pioniere di un approccio deterministico . Successivamente fu sviluppato da David Bohm ed è diventato noto come l’ onda pilota o l’ interpretazione causale della meccanica quantistica, o come meccanica birmana. Ma è una visione minoritaria. La maggior parte dei fisici crede che esperimenti come l’esperimento della doppia fenditura suggeriscano che una particella possa davvero delocalizzasi nello spazio. “C’è un senso in cui la particella si trova in tutti questi diversi posti contemporaneamente, ma la preoccupazione è che c’è ancora solo una particella”,

Soluzione

La particella in una scatola: la posizione della particella è mostrata sull’asse x e l’energia sull’asse y . I livelli di energia consentiti per i primi quattro numeri quantici sono indicati come linee tratteggiate orizzontali. Le funzioni d’onda sono mostrate sovrapposte sul diagramma alle energie corrispondenti

Quindi forse la funzione d’onda descrive un’onda fisica nello spazio lungo la quale si propaga  (come gomma – non vediamo mai questa particella di gomma perché in qualche modo si contrae in un punto quando effettuiamo una misurazione. Per la nostra particella dentro una scatola, le soluzioni dell’equazione di Schrödinger,

\ [\ psi _ n (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin {\ left (\ sqrt {\ frac {npx} {L} \ right),}} \]

poichè   $ n = 1,2,3,4, .. $  in effetti descrivono onde lungo le quali la particella “gomma” potrebbe essere dispiegata. Ma questa immagine crolla per sistemi di molte particelle. Supponiamo, ad esempio, che ce ne siano tre. In questo caso la funzione d’onda è una funzione di molte variabili (tre coordinate per le possibili posizioni di ciascuna delle tre particelle e del tempo) e in generale non è possibile scomporla in componenti corrispondenti a ciascuna particella. Ora non si può neanche tracciare questa “ondata” perché avremmo bisogno di più di tre dimensioni per farlo. In generale, la funzione d’onda non descrive un’onda fisica perché non è una funzione definita nello spazio fisico. Ma, è definita sullo spazio delle configurazioni: dove ha in  input tutte le possibili configurazioni di posizioni in cui le particelle potrebbero essere contenute e restituisce un valore correlato alla probabilità che si trovino le particelle nella configurazione data al momento dato.

Il fatto che non si possa sempre separare nettamente la funzione d’onda di un sistema a molte particelle in singoli componenti illustra un’altra stranezza della meccanica quantistica: due particelle che hanno interagito una volta, in modo che il sistema che formano è descritto da una singola funzione d’onda, possono rimangono misteriosamente legati anche quando si separano “anni luce a part”e. Questa misteriosa connessione è chiamata entanglement quantico . Quando qualcosa accade a una delle particelle entangled, una cosa corrispondente accade al suo partner distante, un fenomeno descritto da Einstein come “azione spettrale a distanza”. Mentre la funzione d’onda generalmente non rappresenta un’onda diretta nello spazio tridimensionale, la domanda rimane se vi sia o meno una sorta di onda fisica ad essa associata. Diversi fisici, tra cui de Broglie , Schrödinger e Bohm , credevano che dovesse esserci, ma sebbene i loro sforzi per trovarne uno continuino ancora oggi, non hanno portato a teorie che godono dell’approvazione generale.

Altri, tra cui Wolfgang Pauli , Werner Heisenberg e Niels Bohr erano contrari a questo quadro realistico e consideravano la funzione d’onda come un semplice strumento matematico per fornire probabilità. Infatti, sostenendo che domande come “dove è la particella quando non stiamo guardando” sono prive di significato: la scienza non può descrivere la natura in sé, ma solo la nostra conoscenza di essa. Quindi l’unico tipo di domande a cui possiamo rispondere sono domande sui possibili risultati delle misurazioni. Ed è esattamente ciò che ci offre la funzione d’onda. Questa visione è nota come interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica. È in netto contrasto con l’intuizione basata sulla fisica classica: che esiste una realtà oggettiva anche quando non stiamo guardando e che la scienza può descrivere quella realtà.

Il miracolo della misurazione

Che si tratti di un’onda fisica o meno, la grande domanda che rimane è che cosa succede quando facciamo una misurazione. Troveremo sempre la particella in un punto, ma l’equazione di Schrödinger non ci dice nulla sul perché o dove dovrebbe essere quel punto. La sua soluzione ci dà solo probabilità. C’è un altro aspetto dell’equazione che illustra questa tensione con la realtà in modo ancora più forte: è un’equazione lineare. Ciò significa che se una qualche funzione d’onda $ \ Psi _1 $ è una soluzione e qualche altra funzione d’onda $ \ Psi _2 $ è anche una soluzione, allora  la somma $ \ Psi = \ Psi _1 + \ Psi _2 $  è una soluzione. Ma $ \ Psi _1 $ e $ \ Psi _2 $ potrebbe corrispondere a situazioni molto diverse, per esempio $ \ Psi _1 $ potrebbe corrispondere alla particella che si trova sulla Luna (quindi è pari a zero per tutte le località che non sono sulla Luna) e $ \ Psi _2 $ potrebbe corrispondere alla particella che si trova sulla Terra (quindi è zero ovunque tranne che sulla Terra). Poiché la somma $ \ Psi _1 + \ Psi _2 $ è anche una soluzione, esiste un senso in cui la particella si trova in entrambi i posti contemporaneamente. Quando ciò accade, diciamo che la particella è in sovrapposizione dei due stati $ \ Psi _1 $ e $ \ Psi _2 $.

“Quando facciamo un esperimento non vediamo tutte queste soluzioni sovrapposte, ne vediamo solo una”,  “Questo è in relazione con l’equazione: quando si guarda solo all’equazione non si capisce cosa succede alla misurazione”. Non c’è consenso tra i fisici su come questo miracolo di misurazione si realizzi. “La maggior parte delle persone probabilmente non si impegna in un’interpretazione, dicono semplicemente che non ne siamo sicuri”. Ma ci sono diverse scuole di pensiero che cercano di fornire una risposta.

Onde collassanti

Un pensiero afferma che quando viene effettuata una misurazione, la particella “decide” in qualche modo dove si troverà. La funzione d’onda corrispondente quindi semplicemente collassa. Nella particella in un esempio di scatola, la funzione d’onda era diversa da zero in molti punti della scatola, il che riflette il fatto che esiste una probabilità diversa da zero di trovare la particella in questi punti. Una volta che abbiamo aperto la scatola e trovato la particella in una posizione definita, non è assolutamente da nessuna parte, quindi la funzione d’onda ora ha un singolo valore diverso da zero in quella posizione ed è zero ovunque. Quando effettuiamo una misurazione un istante dopo, la particella è molto probabilmente ancora nelle immediate vicinanze, quindi la funzione d’onda un po si diffonde ‘, ma ha ancora un singolo picco.

Il problema con l’approccio del collasso è il modo in cui le parti distanti della funzione d’onda “sanno” che una misurazione è stata fatta e quindi che dovrebbero collassare. Per esempio, supponiamo che una particella sia in sovrapposizione tra due posizioni, come descritto sopra, e che una di queste posizioni sia sulla Terra e l’altra sulla Luna. Se un osservatore sulla Terra rileva la particella, la funzione d’onda della Luna deve sparire istantaneamente. Ma la teoria della relatività di Einstein afferma che nessun messaggio e nessun segnale possono viaggiare più velocemente della luce.

Roger Penrose

Sir Roger Penrose è uno degli scienziati che ha giocato con l’idea che la coscienza potrebbe essere necessaria per far crollare la funzione d’onda.

L’idea del collasso solleva anche un’altra domanda: che cos’è una misurazione? Alcuni fisici, tra cui Eugene Wigner e Roger Penrose , hanno scherzato sull’idea che una misurazione richiede un osservatore e che è la coscienza dell’osservatore che causa il collasso (che quindi pone la domanda se una lumaca, per esempio, abbia abbastanza coscienza per far collassare una funzione d’onda). Ma questo approccio è in gran parte caduto in disgrazia. Invece, una misurazione è definita come un’interazione tra il sistema che stiamo misurando e il dispositivo di misurazione. “Ad esempio, un’interazione potrebbe essere: se la particella è a destra, sposta il puntatore sul mio dispositivo a destra e se è a sinistra, sposta il puntatore a sinistra” La sfida per i sostenitori dell’approccio al collasso consiste nel proporre modelli che descrivono il funzionamento del collasso – come esattamente accade e che cosa lo causa? C’è una visione minoritaria secondo cui l’aiuto può venire dall’unica forza che i fisici non sono ancora stati in grado di riconciliare con la meccanica quantistica: la gravità. Trovare una teoria unificata della gravità quantistica è il santo graal della fisica moderna e alcune persone credono che potrebbe far luce sul  collasso.

Molti mondi

Così com’è, l’idea che la funzione d’onda collassi dopo  una misurazione deve essere postulata come una regola extra della meccanica quantistica. Tirare fuori da un cappello una nuova legge della natura non è una soluzione molto soddisfacente per i puristi, ma esiste un altro approccio: forse tutti i possibili risultati di una misurazione sono ugualmente reali. “L’idea è che ci sono mondi diversi che sono tutti reali e in ognuno di essi la particella si trova in una posizione diversa”, spiega Short. Il problema diventa quindi come interpretare le probabilità date dalla funzione d’onda. “Si può considerare come una sorta di peso che si attribuisce a ciascun mondo: se scegliamo un mondo a caso, è più probabile che sia uno con una maggiore probabilità]”.

Schrödinger di

Schrödinger ha ideato un famoso esperimento mentale in cui un gatto in una scatola è in sovrapposizione di due stati: vivo e morto. Ma quando apri la scatola per osservare il gatto, lo trovi solo in uno di questi stati. Secondo l’interpretazione di Everett, quando fai l’osservazione il mondo si divide in due rami: in uno di essi il gatto è morto e nell’altro vivo.

Questo è già abbastanza strano quando si pensa solo a piccole particelle. Ma per quanto riguarda noi, gli osservatori? Se li includiamo in questa visione di molti mondi, ottieni la cosiddetta interpretazione di Everett della meccanica quantistica (dal nome del fisico Hugh Everett). “Supponiamo di avere una piccola particella microscopica che potrebbe essere qui o là, e poi la guardo. Un modello di collasso direbbe che l’osservato decide veramente il problema, la particella prende la sua decisione e io la vedo qui o la o laggiù, ma c’è ancora una sola verità in quello che vedo,  gli oggetti macroscopici sono fatti di particelle, quindi non c’è ragione di credere che dovrebbero obbedire alle diverse leggi della fisica e se applichiamo noi, come osservatori le stesse leggi della fisica che applichiamo agli oggetti microscopici, ciò che si trova è cheotteniamo questa sovrapposizione di ‘la particella è qui e l’ho vista qui’ e ‘la particella è lì e l’ho vista lì’. L’interpretazione di Everett dice, beh forse questo è ciò che accade. Sembra piuttosto pazzesco perché ci sono poi due copie di me che vedono cose diverse. Ma ognuna di queste persone, se chiedi loro se vedono qualcosa di ragionevole, dirà di sì “.

La domanda ovvia ora è perché non siamo mai a conoscenza di queste altre copie di noi stessi. Ma c’è una risposta semplice. Due mondi separati potrebbero interferire l’uno con l’altro solo se le loro funzioni d’onda fossero non-zero nella stessa regione nello spazio di configurazione – questo è lo spazio di possibilità che contiene tutte le diverse configurazioni delle particelle che costituiscono a te, la particella che stai osservando, il dispositivo di misurazione e così via. Ma questo significa che le due copie di te devono avere ricordi identici. “Affinché due [copie di voi] possano essere mappate nello stesso stato nello spazio di configurazione, è necessario essenzialmente srotolare tutto nel loro cervello, se hanno memoria, non stanno andando nello stesso posto nello spazio di configurazione perché quella memoria è parte di essi”.

L’interpretazione di Everett può perdere l’attrazione del buon senso, ma si può obiettare che guadagna in termini di semplicità matematica. “La gente dice che sembra completamente irragionevole, mondi paralleli e tutta questa follia, ma in realtà è molto semplice: tutto quello che fai è prendere l’equazione di Schrödinger e tenerla fino al livello macroscopico.” Everett semplicemente lascia cadere la seconda legge [che postula il crollo della funzione d’onda] completamente “. Non dovremmo spingere troppo lontano la nostra percezione del senso comune del mondo. “Abbiamo un’intuizione della nostra vita quotidiana – sedie, tavoli, uccelli, ecc. – e cerchiamo di applicarla a tutti i diversi regimi dell’universo: la scala più grande e anche la più piccola, ma perché il mondo dovrebbe essere in ogni scala essere descritto dal nostro buon senso, intuizione della vita di tutti i giorni? Le conseguenze di Everett possono sembrare un po ‘strane, ma si potrebbe obiettare che questo è l’approccio più conservativo alla meccanica quantistica perché non è necessario [introdurre nuove] leggi “.

I modelli di collasso e la vista di Everett sono tra le più importanti interpretazioni della meccanica quantistica, ma ce ne sono anche altre. La verità è che semplicemente non sappiamo ancora cosa succede realmente nel mondo fisico e come interpretare il formalismo matematico che lo descrive così bene. Ciò che sembra certo è che dobbiamo espandere radicalmente la nostra visione del mondo, ma questa non sarebbe la prima volta: chi avrebbe creduto mille anni fa che la Terra è solo un minuscolo puntino sferico in un vasto universo in espansione?

Anche se siamo straniti da tutto questo, prendiamo conforto da una famosa citazione che è stata attribuita a Richard Feynman: “Chiunque sostenga di comprendere la teoria dei quanti è o bugiardo o pazzo”.

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