Introduzione alla funzione zeta di Riemann

Nel suo articolo del 1859  “sul numero dei numeri primi minori di una grandezza data“, Bernhard Riemann ha dato una formula che coinvolge la sua funzione zeta per determinare il numero dei primi minori di un numero specifico x.  Scritta come ζ ( x ), era originariamente definito come la serie infinita  ζ ( x ) = 1 + 2 – x + 3 – x + 4 – x + ⋯.  Quando  x = 1, questa serie è chiamata serie armonica, che aumenta senza limite, cioè la sua somma è infinita . Per valori di x maggiori di 1, la serie converge in un numero finito quando vengono aggiunti termini successivi. Se è inferiore a 1, la somma è di nuovo infinita. La funzione zeta era nota al matematico svizzero Leonhard Euler nel 1737, ma fu prima studiata estensivamente dal matematico tedesco Bernhard Riemann .

Bernhard Riemann

Nel 1859 Riemann pubblicò un documento che forniva una formula esplicita per il numero di numeri primi fino a qualsiasi limite prestabilito, un miglioramento deciso rispetto al valore approssimativo dato dal teorema dei numeri primi . Tuttavia, la formula di Riemann dipendeva dalla conoscenza dei valori ai quali una versione generalizzata della funzione zeta è uguale a zero. (La funzione zeta di Riemann è definita per tutti i numeri complessi – numeri della forma x + y , dove i = radice quadrata di √ -1 – escluso per la linea x= 1.) Riemann sapeva che la funzione è uguale a zero per tutti gli interi pari negativi -2, -4, -6, … (i cosiddetti zero banali) e che ha un numero infinito di zeri nella striscia critica di numeri complessi tra le righe x = 0 e x = 1, e sapeva anche che tutti gli zeri non banali sono simmetrici rispetto alla linea critica x = 1 / 2 . Riemann ha congetturato che tutti gli zeri non banali sono sulla linea critica, una congettura che in seguito divenne nota come I’potesi di Riemann .

Nel 1900 il matematico tedesco David Hilbert ha definito l’ ipotesi di Riemann una delle domande più importanti in tutta la matematica , come indicato dalla sua inclusione nella sua lista influente dei 23 problemi irrisolti con cui ha sfidato i matematici del XX secolo. Nel 1915 il matematico inglese Godfrey Hardy dimostrò che un numero infinito di zeri si verificava sulla linea critica, e nel 1986 i primi 1.500.000.001 zeri non banali erano tutti mostrati sulla linea critica. Sebbene l’ipotesi possa ancora rivelarsi falsa, le indagini su questo difficile problema hanno arricchito la comprensione dei numeri complessi.

Definizione e proprietà

La funzione zeta di Riemann è definita come la serie di Dirichlet

Questa restrizione è necessaria affinché la serie risulti convergente, tuttavia la funzione si può prolungare analiticamente a una funzione olomorfa su tutto il piano complesso ad eccezione di 1, dove ha un polo semplice. La funzione zeta possiede zeri semplici negli interi pari negativi, detti zeri banali, mentre tutti gli altri zeri sono disposti simmetricamente rispetto alla retta

detta retta critica, e sono tutti contenuti nella striscia

detta striscia critica.

Gli zeri banali (i punti verdi) corrispondono agli interi negativi pari. La retta Re=1/2 è un asse di simmetria per gli zeri: se ho uno zero in ‘1/2-d+it’, esisterà anche uno zero in ‘1/2+d+it’ con 0<d<1/2 (punti blu). Inoltre se la zeta ha uno zero in ‘a+bi’, anche ‘a-bi’, il suo complesso coniugato sarà uno zero della funzione.
Osservazione 1

In matematica, una serie di Dirichlet è una qualunque serie della forma

dove s e i coefficienti an sono numeri complessi. La serie di Dirichlet riveste un ruolo importante in teoria dei numeri analitica. La funzione zeta di Riemann può essere scritta come serie di Dirichlet nel semipiano Re(s) > 1, così come le funzioni L di Dirichlet. Le serie di Dirichlet prendono il nome dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Osservazione 2

Le funzioni L di Dirichlet sono definite, dato un carattere di Dirichlet modulo q, come

ove s è un numero complesso con parte reale maggiore di 1. Per prolungamento analitico, esse possono essere estese a funzioni meromorfe sull’intero piano complesso. L e L-serie di Dirichlet sono generalizzazioni della funzione zeta di Riemann e svolgono un importante ruolo nell’ipotesi di Riemann generalizzata.

Osservazione 3

In matematica, un carattere di Dirichlet modulo è una funzione completamente economica che si estende a un gruppo di unità di Z / qZ. Sì, un certo successo, una funzione aritmetica χ (n) si dice essere un carattere modulo q se esiste un omomorfismo dal gruppo degli invertibili di Z / qZ negli invertibili di C tale che

Se come funzione f si prende la funzione costantemente uguale a 1, allora il carattere χ1 associato ad f è detto carattere principale modulo q. Se un carattere di Dirichlet modulo q si può scrivere come prodotto di un carattere modulo un intero k strettamente minore di q (che dovrà necessariamente essere un divisore di q) e il carattere principale modulo q, allora esso verrà detto non primitivo. I caratteri che non sono non primitivi, sono detti primitivi. Dato che per ogni intero positivo q vi sono esattamente φ(q) caratteri di Z/qZ, si ha che lo stesso vale per i caratteri di Dirichlet modulo q. Inoltre, dalla definizione discende subito che essi sono completamente moltiplicativi, periodici di periodo q e che hanno immagine nell’insieme comprendente 0 e le radici φ(q)-esime dell’unità. Dato un carattere di Dirichlet \chi, si può definire il suo carattere coniugato \overline\chi, definendolo semplicemente come

Chiaramente, se \chi è un carattere di Dirichlet modulo q, anche \overline\chi lo è. Un’altra importante proprietà dei caratteri di Dirichlet è la seguente: se χ è un carattere modulo q, allora per ogni coppia di interi m ed n con n e q coprimi si ha:

ove la somma è su tutti i caratteri modulo q .-

Osservazione 4

Il primo a notare l’importanza della funzione zeta di Riemann nello studio dei numeri primi fu Eulero che, nel 1737, dimostrò l’identità nota come prodotto di Eulero:

\zeta(x):=\sum_{n=1}^\infty\frac1 {n^x}=\prod_{p\text{ primo}}\frac1{1-p^{-x}},

ove x è un numero reale maggiore di 1. Grazie a questa formula, Eulero dedusse che la serie

\sum_{p\text{ primo}}\frac1p

diverge, e quindi che i numeri primi sono piuttosto densi nell’insieme dei numeri naturali, più dei quadrati perfetti, ad esempio (si può notare come il ragionamento di Eulero fornisca anche una diversa dimostrazione del teorema dell’infinità dei numeri primi, già elegantemente dimostrato dalla matematica greca). Nel secolo seguente, Čebyšëv e altri matematici si dedicarono allo studio della comprensione della distribuzione dei numeri primi, utilizzando per lo più metodi di combinatoria e la formula prodotto di Eulero, senza tuttavia riuscire a dimostrare la relazione asintotica

\pi (x):=\text{ numero di primi minori o uguali a } x\sim\frac x{\ln x},

congetturata da Legendre e ora nota come teorema dei numeri primi. Fu però con Bernhard Riemann che la funzione zeta di Riemann iniziò ad assumere un ruolo centrale nella teoria dei numeri.

Nel suo unico articolo sull’argomento, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemmann considerò la funzione zeta non più solo per una variabile reale x, ma per una variabile complessa s, e la studiò utilizzando metodi di analisi complessa. I risultati principali ottenuti da Riemann furono: la dimostrazione del fatto che la funzione \zeta si possa prolungare analiticamente su tutto il piano complesso, ad eccezione di 1, in cui la funzione ha un polo semplice;

  • la scoperta di un’equazione funzionale (dimostrata in due diversi modi) che permette di mettere in relazione i valori della funzione zeta a destra e a sinistra della retta Re(s)=1/2;
  • una formula esatta che mostra la dipendenza della funzione enumerativa dei primi dagli zeri della funzione zeta.
  • L’introduzione di una nuova funzione olomorfa intera, ξ(s), strettamente legata alla ζ(s), e un abbozzo di dimostrazione di una formula prodotto per ξ(s) (questa formula fu dimostrata rigorosamente solo 34 anni dopo, da Jacques Hadamard).

Oltre a questi risultati, Riemann diede alcune formule senza dimostrazione, tra cui una formula con una stima asintotica del numero di zeri non banali della funzione zeta, e scrisse che è “molto probabile” che tutti questi zeri abbiano parte reale uguale a 1/2. Questa congettura ha preso il nome di ipotesi di Riemann ed è tuttora uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica, grazie alle conseguenze che implicherebbe sulla distribuzione dei numeri primi. Negli anni a seguire, vari matematici svilupparono ulteriormente le idee di Riemann, e fornirono dimostrazioni rigorose per alcune sue formule. In particolare i risultati più importanti furono ottenuti da von Mangoldt e soprattutto da Hadamard e de la Vallée Poussin. Questi ultimi infatti riuscirono a dimostrare che la funzione zeta non ha zeri nella retta  \mathrm{Re}(s)=1  e da questo ottenere come corollario il teorema dei numeri primi. Da allora, grossi sforzi sono stati fatti per dimostrare l’ipotesi di Riemann, ma sono stati ottenuti solo risultati parziali che restano molto lontani da quanto previsto da Riemann. Nell’impossibilità di fare ulteriori progressi in questa direzione, lo sforzo dei teorici dei numeri si è spostato su altri importanti problemi relativi alla funzione zeta: lo studio della crescita della funzione zeta lungo la retta critica, lo studio dei suoi momenti e sulla trascendenza o razionalità dei suoi valori sui numeri naturali dispari.

Nel grafico seguente sono visibili alcuni zeri non banali del modulo della funzione zeta
Osservazione 5 Proprietà principali.

Il prodotto di Eulero. Una delle proprietà fondamentali della funzione zeta di Riemann, è il prodotto di Eulero,

\zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s} = \prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}},

valida per \mathrm{Re}(s) > 1e dove il prodotto è effettuato su tutti i numeri primi p. La dimostrazione di questa identità usa solo la formula per la somma della serie geometrica e il teorema fondamentale dell’aritmetica. Infatti, per \mathrm{Re}(s) > 0, si può calcolare la somma geometrica

\sum_{m=0}^\infty \left(p^{-s}\right)^m = \frac{1}{1-p^{-s}},

per ogni primo p. Moltiplicando tra loro queste identità per tutti i primi p, per \mathrm{Re}(s) > 1 (questa ulteriore restrizione serve per assicurare la convergenza) si ha:

 \begin{align} \prod_{p\text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}} &= \prod_{p\text{ primo}}\left(\sum_{m=0}^\infty \left(p^{-s}\right)^m\right)\\ &=\left(1+2^{-s}+(2^2)^{-s}+(2^3)^{-s}+\cdots\right)\cdot\left(1+3^{-s}+(3^2)^{-s}+(3^3)^{-s}+\cdots\right)\cdot\left(1+5^{-s}+(5^2)^{-s}+(5^3)^{-s}+\cdots\right)\cdots\\ &=1+2^{-s}+3^{-s}+(2^2)^{-s}+5^{-s}+(2\cdot3)^{-s}+\cdots\\ &=\zeta(s), \end{align}

dato che per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni numero naturale si può decomporre in maniera unica come prodotto di potenze di primi. È interessante notare che la formula di Eulero ha come conseguenza che vi sono infiniti numeri primi. Infatti, se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per s=1, mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo. Sebbene possa sembrare esageratamente complicata per un teorema di cui esistono dimostrazioni elementari, questa dimostrazione è molto importante in quanto una sua generalizzazione è stata usata da Dirichlet per dimostrare il teorema dell’infinità dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche. Questo prodotto è all’origine del collegamento tra funzione zeta e numeri primi.

Osservazione 6

La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

dove \zeta(s) è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell’uguaglianza percorre tutti i numeri primi. Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all’origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell’ipotesi di Riemann

Prima Dimostrazione

Partiamo dalla funzione zeta:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

se moltiplichiamo entrambi i termini per \frac{1}{2^s} abbiamo che:

\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots

Sottraendo la seconda espressione dalla prima

\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l’uno) rimasto

\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \cdots

Sottraendo l’ultima alla penultima espressione, abbiamo che

\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \cdots

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l’uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell’uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

\cdots\left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1

In conclusione:

\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^s}\right)} \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^s}\right)}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^s}\right)} \cdots = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}
Seconda Dimostrazione

si può considerare il termine

\frac{1}{1-p^{-s}}

come il numero a cui converge la serie geometrica

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(p^s)^n} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} +\frac{1}{p^{4s}}+ \cdots = \frac{1}{1-p^{-s}}

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{2^{2s}} + \frac{1}{2^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{3^{2s}} + \frac{1}{3^{3s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{5^{2s}} + \frac{1}{5^{3s}} + \cdots\right) \cdots

E svolgendolo

\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \left(1 + \frac{1}{(1\cdot2)^s} + \frac{1}{(1\cdot3)^s} + \frac{1}{(1\cdot5)^s} + \cdots \right ) + \left( \frac{1}{(1\cdot{2^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{(1\cdot{5^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots
 + \left( \frac{1}{(2\cdot3)^s} + \frac{1}{(2\cdot5)^s} + \frac{1}{(2\cdot7)^s} + \cdots \right ) + \left( \frac{1}{({2^2}\cdot{3^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({2^2}\cdot{7^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots
 + \left( \frac{1}{(3\cdot5)^s} + \frac{1}{(3\cdot7)^s} + \frac{1}{(3\cdot11)^s} + \cdots \right ) + \left( + \frac{1}{({3^2}\cdot{5^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{7^2})^s} + \frac{1}{({3^2}\cdot{11^2})^s} + \cdots \right ) + \cdots

È chiaro che nel termine a destra dell’uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell’aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

 \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

Quindi:

 \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
Osservazione 7

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell’infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi. Generalizzazione: Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

\sum_{n} \frac{a(n)}{n^s} \ =\prod_{p} P(p,s)\

Dove P(p,s) è la serie:

1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .
Osservazione 8

Esempi: Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio: Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius \mu(n) :

 \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s}=\prod_{p} (1-p^{-s})= \frac{1}{\zeta(s) }

E quello per il suo valore assoluto:

 \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)|n^{-s}= \prod_{p} (1+p^{-s})= \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) }

Il prodotto per la funzione di Liouville:

 \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(n) n^{-s}= \prod_{p} (1+p^{-s})^{-1}= \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s) }

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

 \sum_{n=1}^{\infty}2^{\omega(n)} n^{-s} = \prod_{p} \Big(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\Big) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}

Dove  \omega(n)  è il numero di fattori primi distinti di n. E anche

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(s)}{n^s} = \zeta(s)\zeta(s-1)

dove σ(n) è la somma di tutti i divisori di n (1 e n compresi).

Riferimenti
  1.  Montgomery, H. L. The pair correlation of zeros of the zeta function. Analytic number theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), pp. 181–193. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1973.
  2.  Levinson, N., & Montgomery, H. (1974). Zeros of the derivatives of the Riemann zeta-function Acta Mathematica, 133 (1), 49-65 DOI: 10.1007/BF02392141
    Brent, R. (1979). On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip Mathematics of Computation, 33 (148), 1361-1361 DOI: 10.1090/S0025-5718-1979-0537983-2
  3. Connes, A. (1999). Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function Selecta Mathematica, 5 (1), 29-106 DOI: 10.1007/s000290050042 (arXiv)
  4. Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis – official problem description(PDF), Clay Mathematics Institute.
  5.  Milton AbramowitzIrene Stegun, 23, in Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover, 1964.
  6.  Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  7.  H. M. Edwards, Riemann’s Zeta Function, Academic Press, 1974, ISBN 0-486-41740-9.
  8.  Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers, New York, Cambridge Mathematical Library, 1932, ISBN 0-521-39789-8.
  9.  Edward Charles Titchmarsh, riveduto e corretto da Roger Heath-Brown, The theory of the Riemann zeta-function, 2ª ed., New York, Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853369-1.

 

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