Ipotesi di Riemann: generalizzazione e corollari

L’ipotesi di Riemann implica risultati sulla distribuzione dei numeri primi. Insieme ad opportune generalizzazioni, alcuni matematici lo considerano il problema irrisolto più importante della matematica pura. L’ipotesi di Riemann, insieme alla congettura di Goldbach, fa parte dell’ottavo problema di Hilbert nella lista di David Hilbert dei 23 problemi irrisolti ; è anche uno dei problemi del Millennium Prize del Clay Mathematics Institute. La funzione zeta di Riemann ζ ( s ) è una funzione il cui argomento s può essere qualsiasi numero complesso diverso da 1, i cui valori sono anche complessi. Ha zero negli interi pari negativi; cioè, ζ ( s ) = 0 quando s è uno tra -2, -4, -6, …. Questi sono chiamati i suoi zeri banali. Tuttavia, gli interi pari negativi non sono gli unici valori per i quali la funzione zeta è zero. Gli altri sono chiamati zeri non banali. L’ipotesi di Riemann riguarda le posizioni di questi zeri non banali e afferma che:

La parte reale di ogni nullo non banale della funzione zeta di Riemann è  1/2 .

Pertanto, se l’ipotesi è corretta, tutti gli zeri non banali giacciono sulla linea critica costituito dai numeri complessi 1/2 + i t , dove t è un numero reale e i è l’ unità immaginaria.

La parte reale (rosso) e la parte immaginaria (blu) della funzione zeta di Riemann lungo la linea critica Re ( s ) = 1/2. I primi zeri non banali possono essere visti su Im ( s ) = ± 14,135, ± 21,022 e ± 25,011.

Funzione Zeta di Riemann

La funzione zeta di Riemann è definita per complessi s con parte reale maggiore di 1 dalla serie infinita assolutamente convergente

Leonhard Euler aveva già considerato questa serie negli anni 1730 per i valori reali di s, in concomitanza con la sua soluzione al problema di Basilea . Ha anche dimostrato che è uguale al prodotto Eulero

dove il prodotto infinito si estende su tutti i numeri primi p . 

L’ipotesi di Riemann è riferita agli zeri fuori della regione di convergenza di questa serie e del prodotto di Eulero. Per dare un senso a tale ipotesi, è necessario dare alla funzione una definizione che vale per tutti i complessi s . Questo può essere fatto esprimendolo nei termini della funzione eta di Dirhalet come segue. Se la parte reale di s è maggiore di 1, la funzione zeta soddisfa la relazione:

Tuttavia, la serie sulla destra converge non solo quando la parte reale di s è maggiore di 1, ma più in generale ogni volta che s ha una parte reale positiva. Quindi, questa serie alternativa estende la funzione zeta da Re ( s )> 1 al dominio più grande Re ( s )> 0 , escludendo gli zeri  di (vedi la funzione di eta Dirichlet). La funzione zeta può essere estesa anche a questi valori, prendendo dei limiti, dando un valore finito per tutti i valori di s con la parte reale positiva ad eccezione di un polo semplice a s  = 1. Nella striscia 0 <Re ( s ) <1 la funzione zeta soddisfa l’equazione funzionale

\ zeta (s)=2 ^ s \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left (\ frac {\ pi s} {2} \ right) \ \ Gamma (1-s) \ \ zeta (1- S).

Si può quindi definire ζ ( s ) per tutti i rimanenti numeri complessi non nulli s assumendo che questa equazione valga anche al di fuori della striscia, e lasciando ζ ( s ) uguale alla parte destra dell’equazione ogni volta che s ha una parte reale non positiva . Se s è un numero intero pari negativo allora ζ ( s ) = 0 perché il fattore sin (π s / 2) scompare; questi sono gli zeri banali della funzione zeta. (Se s è un numero intero positivo questo argomento non si applica perché gli zeri della funzione seno sono annullati dai poli della funzione gamma. Il valore ζ (0) = -1/2 non è determinato dall’equazione funzionale, ma è il valore limite di ζ ( s ) quando s si avvicina a zero.

L’equazione funzionale implica anche che la funzione zeta non abbia zero con la parte reale negativa diversa dagli zeri triviali, quindi tutti gli zeri non banali giacciono nella striscia critica dove s ha una parte reale tra 0 e 1. L’ ipotesi di Riemann è una delle congetture più importanti in matematica . È una dichiarazione sugli zeri della funzione zeta di Riemann . Vari oggetti geometrici e aritmetici possono essere descritti da cosiddetti L -Funzioni globali, che sono formalmente simile alla zeta-funzione Riemann. Si può quindi porre la stessa domanda sugli zeri di queste funzioni- L , ottenendo varie generalizzazioni dell’ipotesi di Riemann. Molti matematici credono che queste generalizzazioni dell’ipotesi di Riemann siano vere.

Gli unici casi di queste congetture che sono stati dimostrati si verificano nel campo delle funzioni algebriche. Le funzioni globali L possono essere associate a curve ellittiche , campi numerici (in tal caso vengono chiamate funzioni zeta Dedekind ), forme Maass e caratteri Dirichlet (in tal caso vengono chiamate funzioni L di Dirichlet ). Quando l’ipotesi di Riemann è formulata per le funzioni zeta di Dedekind, è nota come ipotesi estesa di Riemann (ERH) e quando è formulata per le funzioni di Dirichlet L , è nota come ipotesi di Riemann generalizzata (GRH). Queste due affermazioni saranno discusse in maggior dettaglio di seguito. (Molti matematici usano l’etichettaipotesi di Riemann generalizzata per coprire l’estensione dell’ipotesi di Riemann a tutte le funzioni globali di L , non solo al caso speciale delle funzioni di Dirichlet L ).

Riemann zeta function ζ ( s ) nel piano complesso . Il colore di un punto s codifica il valore di ζ ( s ): i colori vicini al nero denotano valori prossimi allo zero, mentre la tonalità codifica l’ argomento del valore .

Ipotesi di Riemann generalizzata (GRH)

L’ipotesi di Riemann generalizzata (per le funzioni di Dirichlet L ) fu probabilmente formulata per la prima volta da Adolf Piltz nel 1884. Come l’ipotesi originale di Riemann, ha conseguenze di vasta portata sulla distribuzione dei numeri primi . Segue la dichiarazione formale dell’ipotesi. Un carattere di Dirichlet è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa χ tale che esiste un intero positivo k con χ ( n + k ) = χ ( n ) per tutti n e χ ( n ) = 0 ogni volta che gcd ( n , k )> 1 . Se viene dato un personaggio, definiamo corrispondente la funzione – Dirichlet L  da

per ogni numero complesso s tale che Re s > 1 . Con la continuazione analitica , questa funzione può essere estesa a una funzione meromorfa definita sull’intero piano complesso. L’ipotesi di Riemann generalizzata afferma che, per ogni carattere di Dirichlet χ e ogni numero complesso s con L ( χ , s ) = 0 , se la parte reale di s è compresa tra 0 e 1, allora è 1/2. Il caso χ ( n ) = 1 per tutti i n produce l’ordinaria ipotesi di Riemann.

La funzione zeta di Riemann può essere considerato l’archetipo di tutte le funzioni L.

Corollari dell’ipotesi di Riemann generalizzata

Diverse applicazioni utilizzano l’ ipotesi di Riemann generalizzata per la serie L di Dirichlet o le funzioni zeta di campi numerici piuttosto che l’ipotesi di Riemann. Molte proprietà fondamentali della funzione zeta di Riemann possono essere facilmente generalizzate a tutte le serie L di Dirichlet, quindi è plausibile che un metodo che dimostri l’ipotesi di Riemann per la funzione zeta di Riemann possa funzionare anche per l’ipotesi di Riemann generalizzata per le funzioni L di Dirichlet. Diversi risultati dimostrati per la prima volta usando l’ipotesi di Riemann generalizzata sono stati in seguito forniti di prove incondizionate senza l’uso, sebbene di solito fossero molto più difficili. Molte delle conseguenze sul seguente elenco sono tratte da Conrad (2010) .

  • Nel 1913, Gronwall mostrò che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica che l’ elenco di Gauss di campi quadratici immaginari con il numero di classe 1 sia completo, sebbene Baker, Stark ed Heegner abbiano successivamente fornito prove incondizionate di ciò senza utilizzare l’ipotesi di Riemann generalizzata.
  • Nel 1917, Hardy e Littlewood dimostrarono che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica una congettura di Chebyshev che
dice che in un certo senso i primi 3 mod 4 sono più comuni dei primi 1 mod 4.
  • Nel 1923 Hardy e Littlewood mostrarono che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica una debole forma della congettura di Goldbach per numeri dispari: che ogni numero dispari sufficientemente grande è la somma di tre numeri primi, sebbene nel 1937 Vinogradov abbia dato una prova incondizionata. Nel 1997 Deshouillers , Effinger, te Riele e Zinoviev mostrarono che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica che ogni numero dispari maggiore di 5 è la somma di tre numeri primi.
  • Nel 1934, Chowla ha dimostrato che l’ipotesi di Riemann generalizzato implica che il primo numero primo nella progressione aritmetica di una mod m è al massimo Km 2 log ( m ) 2 per qualche costante fissa K .
  • Nel 1967, Hooley dimostrò che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura di Artin sulle radici primitive .
  • Nel 1973 Weinberger mostrò che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica che l’elenco di numeri idonali di Eulero sia completo.
  • Weinberger (1973) ha mostrato che l’ipotesi di Riemann generalizzata per le funzioni zeta di tutti i campi numerici algebrici implica che qualsiasi campo numerico con numero di classe 1 è o euclideo o un campo numerico immaginario di discriminante -19, -43, -67 o – 163.
  • Nel 1976, G. Miller mostrò che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica che si può verificare se un numero è primo in tempo polinomiale tramite il test di Miller . Nel 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal e Nitin Saxena hanno dimostrato questo risultato incondizionatamente utilizzando il test di primalità AKS .
  • Odlyzko (1990) ha discusso di come l’ipotesi di Riemann generalizzata possa essere utilizzata per fornire stime più precise per discriminanti e numeri di classe di campi numerici.
  • Ono e Soundararajan (1997) hanno mostrato che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica che la forma quadratica integrale di Ramanujan 2 + 2 + 10 2 rappresenti tutti i numeri interi che rappresenta localmente, con esattamente 18 eccezioni.

Distribuzione dei numeri primi

La formula esplicativa di Riemann per il numero di numeri primi meno di un dato numero in termini di una somma sugli zeri della funzione zeta di Riemann dice che l’entità delle oscillazioni dei numeri primi attorno alla loro posizione prevista è controllata dalle parti reali degli zeri del funzione zeta. In particolare, il termine di errore nel teorema dei numeri primi è strettamente correlato alla posizione degli zeri. Ad esempio, se β è il limite superiore delle parti reali degli zeri, allora la differenza π ( x ) – Li ( x ) ha l’errore legato O ( β log ( x )) ( Ingham 1932 ). È già noto che 1/2 ≤ β ≤ 1 (Ingham 1932 ). Von Koch (1901) ha dimostrato che l’ipotesi di Riemann implica il limite “migliore possibile” per l’errore del teorema dei numeri primi. Una versione precisa del risultato di Koch, a causa di Schoenfeld (1976) , afferma che l’ipotesi di Riemann implica

dove π ( x ) è la funzione di conteggio dei primi e log ( x ) è il logaritmo naturale di x .

Schoenfeld (1976) mostrò anche che l’ipotesi di Riemann implica

dove ψ ( x ) è la seconda funzione di Chebyshev .

Dudek (2014) ha dimostrato che l’ipotesi di Riemann implica che ci sia un primo  soddisfacente

per tutti . Questa è una versione esplicita di un teorema di Cramér.

la funzione principale di conteggio è la funzione che esprime il numero di numeri primi inferiori o uguali a qualche numero reale x  È denotato da π ( x ) (non correlato al numero pi.greco ).

I valori di π ( n ) per i primi 60 numeri interi

Generalizzazioni e analoghi:

  • Dirichlet L-series e altri campi numerici

L’ipotesi di Riemann può essere generalizzata sostituendo la funzione zeta di Riemann con le funzioni L globali formalmente simili, ma molto più generali . In questa impostazione più ampia, ci si aspetta che gli zeri non banali delle funzioni L globali abbiano una parte reale 1/2. Sono queste congetture, piuttosto che l’ipotesi classica di Riemann solo per la singola funzione di zeta di Riemann, che spiegano la vera importanza dell’ipotesi di Riemann in matematica. L’ ipotesi di Riemann generalizzata estende l’ipotesi di Riemann a tutte le funzioni L di Dirichlet . In particolare implica la congettura che gli zeri di Siegel (zeri delle funzioni L tra 1/2 e 1) non esistano.

L’ ipotesi estesa di Riemann estende l’ipotesi di Riemann a tutte le funzioni zeta di Dedekind di campi di numeri algebrici . L’ipotesi estesa di Riemann per l’estensione abeliana dei razionali è equivalente all’ipotesi di Riemann generalizzata. L’ipotesi di Riemann può anche essere estesa alle funzioni L dei caratteri Hecke dei campi numerici. La grande ipotesi di Riemann la estende a tutte le funzioni zeta automorfe , come le trasformazioni di Mellin degli autobiografi di Hecke.

  • Campi funzionali e funzioni zeta di varietà su campi finiti

Artin (1924) introdusse le funzioni zeta globali dei campi di funzione (quadratica) e congetturò un analogo dell’ipotesi di Riemann per loro, che è stata dimostrata da Hasse nel caso del genere 1 e da Weil (1948) in generale. Ad esempio, il fatto che la somma di Gauss , del carattere quadratico di un campo finito di dimensione q (con q dispari), ha un valore assoluto  è in realtà un’istanza dell’ipotesi di Riemann nell’impostazione del campo funzione. Ciò portò Weil (1949) a congetturare un’affermazione simile per tutte le varietà algebriche ; le congetture di Weil risultanti furono provate da Pierre Deligne  ( 1974 , 1980 )

  • Funzioni zeta aritmetiche degli schemi aritmetici e dei loro fattori L

Le funzioni aritmetiche di zeta generalizzano le funzioni zeta di Riemann e Dedekind e le funzioni zeta delle varietà su campi finiti per ogni schema aritmetico o uno schema di tipo finito su interi. La funzione aritmetica zeta di uno schema aritmetico equidimensionale collegato alla dimensione di Kronecker n può essere fattorizzata nel prodotto di fattori L opportunamente definiti e di un fattore ausiliario Jean-Pierre Serre  ( 1969-1970 ). Assumendo un’equazione funzionale e una continuazione meromorfa, l’ipotesi di Riemann generalizzata per il fattore L afferma che i suoi zeri all’interno della striscia critica   giacere sulla linea centrale.

Corrispondentemente, l’ipotesi di Riemann generalizzata per la funzione aritmetica zeta di uno schema aritmetico equidimensionale collegato regolare afferma che i suoi zeri all’interno della striscia critica giacciono su linee verticali    e i suoi poli all’interno della striscia critica giacciono su linee verticali  . Questo è noto per gli schemi in caratteristica positiva e segue da Pierre Deligne  ( 1974 , 1980 ), ma rimane completamente sconosciuto nello zero caratteristico.

  • La congettura di correlazione di coppia di Montgomery

Montgomery (1973) suggerì che la correlazione di coppia congetturava che le funzioni di correlazione degli zeri (opportunamente normalizzati) della funzione zeta dovrebbero essere le stesse degli autovalori di una matrice hermitiana casuale . Odlyzko (1987) ha dimostrato che questo è supportato da calcoli numerici su larga scala di queste funzioni di correlazione.

Montgomery ha mostrato che (supponendo l’ipotesi di Riemann) almeno 2/3 di tutti gli zeri sono semplici, e una congettura correlata è che tutti gli zeri della funzione zeta sono semplici (o più generalmente non hanno relazioni lineari non banali tra le loro parti immaginarie ). Le funzioni di Dedekind zeta dei campi numerici algebrici, che generalizzano la funzione zeta di Riemann, hanno spesso più zeri complessi ( Radziejewski 2007 ). Questo perché le funzioni zeta di Dedekind si riflettono come un prodotto di poteri delle funzioni di Artin L , quindi gli zeri delle funzioni di Artin L a volte danno origine a più zeri delle funzioni zeta di Dedekind. Altri esempi di funzioni zeta con zeri multipli sono le funzioni L di alcune curve ellittiche: possono avere più zeri nel punto reale della loro linea critica; la congettura di Birch-Swinnerton-Dyer prevede che la molteplicità di questo zero sia il rango della curva ellittica.

Altre funzioni zeta

Esistono molti altri esempi di funzioni zeta con analoghi dell’ipotesi di Riemann, alcuni dei quali sono stati dimostrati. Le funzioni Goss zeta dei campi funzione hanno un’ipotesi di Riemann, dimostrata da Sheats (1998) . La principale congettura della teoria di Iwasawa , dimostrata da Barry Mazur e Andrew Wiles per i campi ciclotomici , e Wiles per i campi totalmente reali, identifica gli zeri di una p -adica L-funzione con gli autovalori di un operatore, quindi può essere pensata come un analogo della congettura di Hilbert-Pólya per p -adicoL -functions ( Wiles 2000 ).

Referenze

  • Montgomery, Hugh L. (1973), “La correlazione coppia di zeri della funzione zeta”, teoria dei numeri analitici , Proc. Sympos. Pure Math., XXIV , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 181-193, MR  0337821

 

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