Storia delle geometrie non euclidee

Durante l’illuminismo non ci si preoccupò così tanto di ignorare completamente il problema del quinto postulato di Euclide. Nel 1733 Girolamo Saccheri, professore gesuita di matematica all’Università di Pavia, ha sostanzialmente avanzato la secolare discussione esponendo le alternative con grande chiarezza e dettaglio prima di dichiarare di aver “eliminato Euclide da ogni difetto” ( Euclides ab Omni Naevo Vindicatus , 1733). Il quinto postulato di Euclide afferma:

“Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.”

Saccheri prese il quadrilatero di Omar Khayyam (1048-1131),  che iniziava con due linee parallele A B e D C, formava i lati disegnando le linee A D e B C perpendicolarmente ad A B , e poi considerava tre ipotesi per gli angoli interni di C e D : per essere giusti, ottusi o acuti ( vedi figura ). La prima possibilità dà la geometria euclidea. Saccheri si è dedicato a dimostrare che l’ottusa e l’acuta alternativa finiscono entrambe in contraddizioni, eliminando così la necessità di un esplicito postulato parallelo.

Sulla via di questa dimostrazione spuria, Saccheri ha stabilito diversi teoremi di geometria non euclidea, ad esempio, che a seconda che l’ipotesi giusta, ottusa o acuta sia vera, la somma degli angoli di un triangolo è uguale o superiore a, oppure è inferiore a 180 °. Quindi distrusse l’ipotesi ottusa con un argomento che dipendeva dal permettere alle linee di aumentare di lunghezza indefinitamente. Se ciò non è consentito, l’ipotesi dell’angolo ottuso produce un sistema equivalente alla geometria sferica standard, la geometria delle figure disegnate sulla superficie di una sfera. Per quanto riguarda l’angolo acuto, Saccheri potreva eliminarlo  solo facendo appello a un’ipotesi arbitraria sul comportamento delle linee all’infinito. Uno dei suoi seguaci, il poliziotto svizzero-tedesco Johann Heinrich Lambert, osservò che, sulla base dell’ipotesi acuta, l’area di un triangolo è inferiore rispetto a quella di un triangolo su una sfera. Poiché quest’ultimo è proporzionale al quadrato del raggio r , a Lambert sembrava essere l’area di una sfera ideale di raggio i r , dove i=√ -1 .

Copertina di Euclides ab omni naevo vindicatus, Giovanni Gerolamo Saccheri 1733

Sebbene sia Saccheri che Lambert mirasero a confermare l’ipotesi dell’angolo retto, i loro argomenti sembravano piuttosto indicarne  l’inattaccabilità. Diversi matematici all’Università di Göttingen , in particolare il grande Carl Friedrich Gauss (1777-1855), tentarono di risolvere il problema. Gauss fu probabilmente il primo a percepire che una geometria coerente poteva essere costruita indipendentemente dal quinto postulato di Euclide, e derivò molte proposizioni rilevanti, che, tuttavia, promulgò solo nel suo insegnamento e nelle lettere. I primi sistemi geometrici non euclidei pubblicati erano il lavoro indipendente di due giovani dell’Est che non avevano nulla da perdere per la loro audacia. Entrambi possono essere considerati i discepoli di Gauss : il russo Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), che imparò la matematica da un amico intimo di Gauss all’università di Kazan, dove in seguito Lobachevsky divenne professore; e János Bolyai (1802-60), un ufficiale dell’esercito austro-ungarico il cui padre era anche amico di Gauss. Sia Lobachevsky che Bolyai avevano elaborato le loro nuove geometrie nel 1826. Lobachevsky e Bolyai ragionavano sull’ipotesi dell’angolo acuto alla maniera di Saccheri e Lambert e calcolarono i loro risultati sulle aree dei triangoli. Ricavando una trigonometria immaginaria per superare il problema delle ipotesi di Saccheri e Lambert. Come la geometria proiettiva di Desargues fu trascurata per molti anni, così il lavoro di Bolyai e Lobachevsky fece poca impressione sui matematici.. Fu in gran parte la pubblicazione postuma nel 1855 delle idee di Gauss sulla geometria non euclidea che diede ai nuovi approcci il prestigio per attirare l’attenzione dei matematici successivi.

Una grande sintesi

Un altro  impulso profondo che Gauss diede alla geometria riguardò la descrizione generale delle superfici. In genere le superfici venivano trattate come strutture nello spazio euclideo tridimensionale . Tuttavia, poiché queste superfici occupano solo due dimensioni, sono necessarie solo due variabili per descriverle. Ciò spinse il pensiero che le superfici bidimensionali potevano essere considerate come “spazi” con le loro stesse geometrie intrinseche, non solo come strutture euclidee nello spazio ordinario. Ad esempio, la distanza più breve, o percorso, tra due punti sulla superficie di una sfera è l’arco minore del cerchio che li unisce, mentre, considerati come punti nello spazio tridimensionale, la distanza più breve tra loro è una linea retta ordinaria. Il percorso più breve tra due punti su una superficie che giace interamente all’interno di quella superficie è chiamato geodetica, che riflette l’origine del concetto in geodesia, in cui Gauss ha avuto un interesse attivo. L’idea di Gauss nello studio delle superfici come spazi e geodetiche è stata perseguita dal suo allievo e, in breve, dal suo successore a Göttingen. Bernhard Riemann.  Riemann iniziò astudiare uno spazio astratto a n dimensioni. Era il 1850, quando matematici e fisici cominciavano a usare lo spazio euclideo n- dimensionale per descrivere i moti dei sistemi di particelle nella teoria cinetica dei gas, allora nuova . Riemann lavorò in uno spazio pseudo-euclideo – “pseudo” perché usò il calcolo per generalizzare il teorema di Pitagora e fornire sufficiente flessibilità alle geodetiche su qualsiasi superficie. Quando questa geometria differenziale “molto generale” si applicava a superfici bidimensionali di curvatura costante, si rivelò un eccellente modello per le geometrie non euclidee. Lo stesso Riemann sottolineò che semplicemente chiamando le geodetiche di una sfera “linee rette”, l’ipotesi scartata dell’angolo ottuso produce la geometria appropriata alla superficie della sfera. Allo stesso modo, come mostrato da Eugenio Beltrami, che ha terminato la sua carriera di insegnante nel vecchio posto di Saccheri a Pavia, la geometria definita nel piano dall’ipotesi dell’angolo acuto si adatta perfettamente a una superficie di rivoluzione di curvatura negativa costante ora chiamata pseudosfera ( vedi figura), A condizione che le sue geodetiche siano accettate come linee rette della geometria.

Poiché l’ipotesi dell’angolo ottuso caratterizza correttamente la geometria euclidea applicata alla superficie di una sfera, la geometria non euclidea basata su di essa deve essere esattamente equivalente alla geometria euclidea. Il caso dell’angolo acuto trattato da Lobachevsky e Bolyai richiedeva uno strumento più nitido. Beltrami lo trovò in una proiezione in un disco nel piano euclideo dei punti di uno spazio non euclideo, in cui ogni geodetica dallo spazio non euclideo corrisponde ad una corda del disco. La geometria costruita sull’ipotesi dell’angolo acuto ha la stessa consistenza della geometria euclidea. Il ruolo chiave della geometria euclidea nelle prove della coerenza delle geometrie non euclidee ha esposto gli Elementi di Euclide a un esame sempre più profondo. Le vecchie imperfezioni – particolarmente attraenti all’intuizione e ai grafici per il significato di concetti come “dentro” e “tra” e l’uso di procedure discutibili come la sovrapposizione per dimostrare congruenza – sono diventate intollerabili per i matematici che hanno lavorato per chiarire i fondamenti dell’aritmetica e del calcolo così come le interrelazioni delle nuove geometrie. Il matematico tedesco Moritz Pasch (1843-1930), nel suo Vorlesungen über neuere Geometrie(1882; “Lectures on the New Geometry”), identificava ciò che mancava: concetti indefiniti, assiomi su quei concetti e una logica più rigorosa basata su quegli assiomi. La scelta di concetti e assiomi indefiniti è libera, a parte il vincolo di coerenza. I matematici che seguirono il percorso di Pasch introdussero vari elementi e assiomi e svilupparono le loro geometrie con maggiore o minore eleganza e difficoltà. Il maggior successo di questi sistematizzatori lo ebbe il professore di Göttingen David Hilbert (1862-1943), i cui The Foundations of Geometry (1899) influenzarono notevolmente gli sforzi per assiomatizzare tutta la matematica.

Il mondo reale

Gli Elementi di Euclide avevano rivendicato l’eccellenza di essere un vero resoconto dello spazio. All’interno di questa interpretazione, il quinto postulato di Euclide era una constatazione empirica; le geometrie non euclidee non si applicavano al mondo reale. A quanto pare, Bolyai non riuscì a liberarsi dalla persuasione che la geometria euclidea rappresentava la realtà. Lobacevskij osservò che, se c’era una stella così lontana che la sua parallasse non era osservabile dall’orbita terrestre, la sua geometria sarebbe stata indistinguibile da quella di Euclide nel punto in cui la parallasse svaniva. Con il suo calcolo, basato su parallasse stellari poi appena rilevate, la sua geometria poteva essere fisicamente significativa solo in triangoli giganteschi che abbracciavano lo spazio interstellare. In effetti, le geometrie non euclidee si applicano al cosmo più localmente di quanto immaginato da Lobachevsky.

Nel 1916 Albert Einstein  pubblicò la teoria della relatività generale, Nel mondo quadridimensionale chiuso così formato, la storia dell’universo viene rivelata come descrivibile dal moto all’interno di una vasta gamma di geodetiche in un universo non euclideo.

Il programma di Erlangen

Una visione unitaria della geometria in senso globale è stata introdotta da Felix Klein (1849-1925), il concetto di gruppo. Siamo negli anni 1865-68 e la geometria Analisi dei tempi di ripresa con i lavori di Plücker e Cayley. Klein fu assistente di Plücker all’università di Bonn ma le sue ricerche si orientarono in una diversa direzione. Nel 1868 usciva la Nuova geometria di Felix Klein. La nuova concezione di Klein ebbe origine dagli studi sulla teoria dei gruppi che, a partire dalle intuizioni di Lagrange, è stato passato organizzando in una nuova branca algebrica e che probabilmente Klein ha avuto modo di approfondire nel corso di numerosi viaggi a Parigi. Klein collabora in alcune cause ricerche col matematico norvegese Sophus Lie (1842- 1899), che è stato suo compagno di studi a Göttingen e il cui nome è rimasto legato alle trasformazioni di contatto da lui scoperte, e ai gruppi continui di sostituzioni sui come scrisse un ponderoso trattato in tre volumi (1893).

Felix Klein

Il concetto di gruppo è essenziale: i suoi elementi possono ad esempio essere numeri (come nell’aritmetica), o punti (come nella geometria), o trasformazioni (come nell’algebra e nella geometria); la sua operazione può essere aritmetica (come l’aggiunta e la moltiplicazione) o geometrica (come la rotazione attorno ad un punto o la traslazione) o più generali algebrica (la composizione di due aspetti any). Klein usa le possibilità unificatrici del concetto di gruppo per caratterizzare le diverse geometrie che si sono sviluppate, con metodi e linguaggi differenti, nel corso del secolo. La visione di Klein è illustrata nella prolusione che è durata nel 1872, in occasione della libera docenza, ed è nota come

Programma di Erlangen (Erlanger Programma). Una traduzione in italiano è stata fatta alla fine del secolo dal matematico italiano Gino Fano (titolo della traduzione italiana: Considerazioni comparative intorno una ricerche geometriche recenti). In esso una geometria è entrato come lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni. Anno Domini esempio la geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà che sono invarianti per trasformazioni ortogonali (traslazioni, rotazioni e simmetrie) del piano in sé. La geometria affine è lo studio delle figure che sono invarianti per trasformazioni ortogonali affini (lineari affini a determinante ≠ 0), tra queste proprietà ad esempio vi è quella di trasformare una conica di un determinato tipo in una conica lo stesso tipo, la geometria è lo studio delle proprietà che sono invarianti per trasformazioni proiettive, e così via. In questo modo qualsiasi classificazione di trasformazioni in gruppi e sottogruppi diventa una classificazione delle diverse geometrie, accetta anche di interpretare le geometrie non euclidee iperbolica ed ellittica, assieme alla geometria euclidea, chiuso della geometria proiettiva.

L’influenza del programma di Erlangen, dapprima limitata, divenne poi universale, caratterizzando l’analisi generale di tutti i corsi universitari di geometria. Klein d’altronde si svolgeranno ininterrottamente per circa mezzo secolo attività di insegnamento e divulgazione esercitando un forte influsso sugli ambenti pedagogici a vari livelli. nel 1886 Klein divenne professore all’Università di Göttingen che, così come era stato per l’Ecole Polytechnique inizio del secolo ad opera di Monge e Poncelet, era diventata 1 il centro della geometria moderna, attraverso le ricerche di Gauss, Riemann e Klein. Le ricerche sulla teoria dei gruppi non esauriscono la ricerca matematica di Klein. E’ rimasta classica la sua storia delle matematiche del secolo XIX pubblicata postuma: Volesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (1926-27). Il suo nome è puro ricordato in topologia in relazione ad una superficie ad una sola faccia detta ‘Otre’ o ‘bottiglia di Klein’.

 

Referenze

 

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