Johan Napier: Vita logaritmi ed eredità

John Napier matematico scozzese che ha inventato i logaritmi (il suo nome italianizzato si è trasformato in Giovanni Nepero, talvolta chiamato anche Neper); non era un matematico di professione. Nacque in Scozia nel 1550 ed a soli 13 anni fu iscritto alla St.Andrews University dove si appassionò alla Teologia; ma completò gli studi all’estero forse a Parigi. Tornò in Scozia nel 1571 dove si dedicò alla cura delle proprietà della famiglia, in particolare all’agricoltura verso la quale ebbe un approccio scientifico sperimentando vari tipi di concimi.
Essendo un fervente religioso, assertore della chiesa anglicana, fu coinvolto nelle dispute di religione che infuriarono al suo tempo. In un suo “Plaine Discovery of the Whole Revelation of St.John” del 1593, interpretò l’Apocalisse in funzione antiromana, identificando nel Papa l’Anticristo profetizzato da S.Giovanni. In quel tempo in Inghilterra era diffuso il timore di un’invasione da parte di nazioni cattoliche.
Ben presto però abbandonò la Teologia per occuparsi di argomenti scientifici, in particolare di meccanica, di balistica, di astronomia e di problemi bellici. Dalle ricerche in questi campi scaturirono gli studi sui metodi di semplificazione dei calcoli numerici che lo portarono all’invenzione dei logaritmi, annunciata in “Mirifici Logarithmorum canonis descriptio” (1614) e in “Mirifici logaritmorum canonis constructio” (1619). Napier si dedicò successivamente al calcolo sistematico delle tavole dei logaritmi. Il suo lavoro aveva preso le mosse riflettendo intorno alla serie delle potenze successive di un dato numero: per mantenere molto vicini tra loro i termini di una progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come numero dato una cifra molto vicina all’uno; Napier allora decise di utilizzare  come suo numero di base – cioè come ragione della progressione – e coniò il termine, ancora oggi utilizzato, di logaritmo, dal greco logon arithmos ossia “numero della ragione” o “numero del rapporto”, intendendo con tale neologismo la posizione (del termine considerato) nella progressione geometrica. Per evitare l’uso dei decimali, Napier non utilizzava direttamente i termini della progressione così costruita, ma li moltiplicava per , ottenendo così un sistema di logaritmi che, a parte il segno e la posizione della virgola decimale, equivale a quelli che oggi chiamiamo logaritmi “naturali” o “neperiani”. Il concetto di funzione logaritmica è implicito nella definizione di Napier e in tutte le sue ricerche sui logaritmi, ma tale relazione non aveva ai suoi occhi un rilievo particolare.

Egli aveva laboriosamente costruito il suo sistema al fine di semplificare i calcoli, soprattutto nell’ambito di prodotti e quozienti. Inoltre, che egli avesse di mira in particolare i calcoli trigonometrici, appare evidente dal fatto che quello che abbiamo chiamato logaritmo neperiano di un numero, egli di fatto lo chiamava “logaritmo di un seno”. Le opere di Napier incontrarono immediato successo e il matematico inglese Henry Briggs fu il primo a comprendere che i logaritmi non erano che esponenti di una data base e si accorse che, utilizzando come base il numero 10, i calcoli sarebbero stati di gran lunga più semplici. Tuttavia, nonostante Briggs avesse colto il legame tra logaritmi ed esponenti delle potenze in una data base, non poté esplicitarne la definizione perché all’inizio del XVII secolo gli esponenti frazionati e irrazionali non erano ancora in uso. Il numero ( e  ) entrò inizialmente nella matematica senza assumere particolare rilievo. Fu nel 1618 quando in un’appendice al lavoro sui logaritmi di Nepero apparse una tavola che dava i logaritmi naturali di vari numeri. Anche se noi pensiamo ai logaritmi come esponenti a cui deve essere elevata la base per raggiungere il dato numero, questa è un modo moderno di pensare. Questa tavola nell’appendice, pur non portando il nome dell’autore, fu quasi sicuramente scritta da William Oughtred. Qualche anno dopo, nel 1624, ancora comparì nella letteratura matematica: in quell’anno Briggs diede un’approssimazione numerica ai logaritmi in base 10 ma non menzionò ( e ) nel suo lavoro.

Nel 1661 Christiaan Huygens ricavò la 17ª cifra decimale del numero di Nepero: . Gottfried Wilhelm Leibniz nominò il numero ( e ) in una lettera a Huygens del 1690 sotto il simbolo (b), poi fu la volta di Eulero (Leonhard Euler) in una lettera a Christian Goldbach del 1731, ma questa volta col suo nome attuale. Eulero studiò molto le proprietà di questo numero e trovò la 18ª cifra decimale . Fu Eulero a formulare la definizione di logaritmo ancora oggi usata e ad accorgersi che le funzioni logaritmiche trovano applicazione in svariati campi della matematica; egli si accorse anche della fondamentale importanza, nell’analisi infinitesimale, delle funzioni esponenziali e logaritmiche aventi per base il numero irrazionale che oggi, sebbene sia chiamato impropriamente numero di Nepero, indichiamo con la lettera , iniziale di Eulero. 

Da Constructio di Napier (1619). Si noti che le sette cifre significative fornite dall’intero seno di 10 7 non sono sufficienti per l’accuratezza che desiderava, e ne ha utilizzate altre quattro, oltre al “punto decimale” – una delle prime occorrenze del nostro simbolo di punto decimale in stampa, che contribuito a stabilizzare questa notazione nella sua forma ormai familiare

Tra le sue opere riveste particolare importanza “Rhabdologiae seu Numerationis per virgualas libri duo” (1617) in cui sono formulati degli artifici per eseguire, la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione delle radici quadrate e cubiche mediante i famosi Bastoncini di Nepero, detti anche “ossi di Napier” (1614). Il numero di Nepero ( e ), come il pi greco , è un numero trascendente, cioè non può essere ottenuto come soluzione di alcuna equazione polinomiale del tipo

 

a coefficienti razionali; in numero di Nepero infatti è il risultato del seguente limite:

 .

Il numero ( e ) rappresenta la base dei logaritmi naturali o neperiani, in genere indicati con la notazione  dove  è un qualsiasi numero reale positivo. La funzione inversa del logaritmo neperiano è detta esponenziale ed indicata con ; è la sola funzione con tasso di crescita dato dalla funzione stessa ovvero con derivata coincidente con la funzione stessa e risulta particolarmente appropriata per descrivere fenomeni di crescita e di processi evolutivi in generale.

I logaritmi di Nepero

Il metodo dei logaritmi fu proposto da Nepero nel 1614, in un libro intitolato Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblico i suoi risultati sei anni dopo Nepero. John Napier, noto come Giovanni Nepero o, più spesso, semplicemente Nepero (Merchiston Castle, 1550 – Edimburgo, 4 aprile 1617), è stato un matematico, astronomo e fisico scozzese, celebre per l’introduzione del logaritmo naturale, dei bastoncini (o ossi) di Nepero e anche per aver sostenuto l’uso delle frazioni decimali e del punto come separatore decimale.

Nepero stesso ci informa di aver lavorato alla sua proposta concernente i logaritmi per venti anni, fino a pubblicare nel 1614 la Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi). In questa opera dedica 37 pagine alla descrizione della possibilità di utilizzare funzioni inverse di funzioni esponenziali per semplificare i calcoli che richiedono moltiplicazioni. Altre 90 pagine sono dedicate a tavole numeriche volte a facilitare i calcoli. Egli non individua un’unica funzione logaritmica, sviluppa calcoli in varie basi (in particolare 1/e e 107) e solo dopo averne discusso con Henry Briggs propende per una funzione logaritmica che si annulla quando il suo argomento vale 1. La sua concezione dei logaritmi non è ancora algebrica, ma si basa sopra un’analogia dinamica. Sentiva in modo particolare la necessità di costruire un sistema che consentisse l’esecuzione di calcoli con grande velocità. Al riguardo, nel suo libro Rabdologiae dato alle stampe nel 1617, affermava: Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica …. Napier inventò un dispositivo di calcolo, poi noto come bastoncini di Nepero o anche ossi di Napier, che consente di svolgere le moltiplicazioni in modo piuttosto semplice. Nell’appendice di quest’opera propone l’uso di una sorta di strumento antesignano del regolo calcolatore.

Il procedimento

Per sottrazioni successive, Nepero calcolò (1 − 10−7)L per L da 1 a 100; il risultato per L=100 è approssimativamente 0,99999, ovvero (1 – 10-5). Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per 107(1 − 10−5)L, con L da 1 a 50. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero N da 5 a 10 milioni, il numero L che risolve ‘equazione

N=10^7(1-10^7)^L.

Nepero chiamò inizialmente questo valore un “numero artificiale”, ma successivamente introdusse il nome “logaritmo”, da “logos”, proporzione, e “arithmos”, numero. Usando una notazione moderna, i calcoli di Nepero gli avevano permesso di calcolare

L=\log_{(1-10^{-7})} \!\left( \frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left( \frac{N}{10^7} \right)=-10^7 \log_e \!\left( \frac{N}{10^7} \right),

dove l’approssimazione compiuta corrisponde alla seguente:

{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}.

L’invenzione di Nepero fu velocemente e largamente acclamata: i lavori di Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (Cina) e Giovanni Keplero (Germania) permisero di diffondere ampiamente l’idea.

Nel 1647, Grégoire de Saint-Vincent collegò i logaritmi alla quadratura dell’iperbole, dimostrando che l’area A(t) sottesa da 1 a t soddisfa

A(tu)=A(t) + A(u).

Il logaritmo naturale fu per la prima volta descritto da Nicolaus Mercator nel suo scritto Logarithmotechnia pubblicato nel 1668, anche se precedentemente l’insegnante di matematica John Speidell aveva compilato una tavola di logaritmi naturali nel 1619.

Intorno al 1730, Eulero definì la funzione esponenziale e la funzione logaritmo come

e^x=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,
\ln(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).

Eulero inoltrò dimostrò che queste due funzioni erano una l’inversa dell’altra.

Tavole dei logaritmi e applicazioni storiche

Semplificando calcoli complessi, i logaritmi contribuirono ampiamente all’avanzamento della scienza, e in particolare dell’astronomia. Lo strumento che ne permise l’uso pratico furono le tavole dei logaritmi. La prima di esse fu completata da Henry Briggs nel 1617, subito dopo l’invenzione di Nepero. Successivamente, furono scritte altre tavole con diversi scopi e precisione. In esse veniva elencato il valore di logb(x) e di bx per ogni numero x in un certo intervallo, con una precisione fissata e con una base b scelta (solitamente b=10). Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base 10 di tutti i numeri da 1 a 1000, con una precisione di 8 cifre decimali. La funzione bx, poiché inversa del logaritmo, venne chiamata antilogaritmo.

Il prodotto e il quoziente di due numeri c e d venivano così calcolati con rispettivamente la somma e la differenza dei loro logaritmi. Il prodotto cd è l’antilogaritmo della somma dei logaritmi di c e d:

 c d=b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)}=b^{\log_b (c) + \log_b (d)}.

Il quoziente c/d è l’antilogaritmo della differenza dei logaritmi di c e d:

\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}.

Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell’utilizzo di metodi precedenti, come quello di prostaferesi.

Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a moltiplicazione e divisione di logaritmi:

c^d = (b^{\log_b (c) })^d = b^{d \log_b (c)}

e

\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}.

In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l’esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.[1] Per esempio, il logaritmo in base 10 di 1000 è 3, poiché bisogna elevare 10 alla terza per ottenere 1000, ovvero 103=1000. Più generalmente, se x=by, allora y è il logaritmo in base b di x, ovvero y=logbx.

I logaritmi furono introdotti da Nepero all’inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell’ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all’introduzione di tavole di logaritmi.

La funzione loga(x) (logaritmo in base a di x) è la funzione inversa dell’elevamento a potenza in base a, ovvero di ax. È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, ovvero il logaritmo che ha come base il numero di Nepero e (≈ 2.718): esso è l’inverso della funzione esponenziale ex.

Il grafico della funzione logaritmo in base 2

Il grafico della funzione logaritmo in base 2

Si dice logaritmo in base a di un numero x l’esponente da dare ad a per ottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, se

x = a^y

si scrive che

y = \log_a x

(si legge: y è il logaritmo in base a di x).

Nell’equazione: y = logax
y è la risposta alla domanda “A quale numero bisogna elevare a per ottenere x?”.

Per essere definito, la base a deve essere un numero positivo reale diverso da 1, e x deve essere un numero reale positivo. Queste ipotesi sono necessarie per fare in modo che il logaritmo esista e sia unico. Infatti:

  • Se a=0 e x\neq 0, non esistono y tali che x=a^y.
  • Se a=0 e x=0, ne esistono infiniti.
  • Se a=1 e x\neq 1, non esistono y. (Non esiste nessun numero – a parte 1 stesso – che possa essere ottenuto attraverso una potenza di 1. Infatti 1 elevato a qualunque numero dà sempre uno).
  • Se a=1 e x=1, ne esistono infiniti. (Possiamo elevare 1 a qualsiasi numero ma otterremo sempre 1).
  • Se a<0, l’elevamento a potenza a^y non è definito per tutti i numeri reali y (può essere definito solo sui naturali e in generale sui razionali esprimibili con una frazione con denominatore dispari).
  • Il risultato di un elevamento a potenza (di un numero positivo, per l’osservazione precedente) è un numero positivo, quindi deve essere x > 0.

Esempi

Per esempio, log3 81 = 4 perché 34 = 3 ×3 ×3×3 = 81.

I logaritmi possono anche essere negativi (a differenza della base e dell’argomento). Infatti

\log_{3}(\frac{1}{3})=-1

poiché

3^{-1}=\frac{1}{3}.

Inoltre, qualunque sia la base, loga(a) = 1 e loga(1)=0, poiché a1=a e a0=1 rispettivamente.

Proprietà dei logaritmi

Dalle relazioni a1=a e a0=1, che valgono qualsiasi sia la base a, derivano le proprietà di base:

 \log_a {a} = 1\,\!
 \log_a 1 = 0\,\!

Inoltre, dalla definizione segue che:

 a^{\log_a x} = \log_a {a^x} = x

Prodotto, quoziente, potenza e radice

Una delle più importanti proprietà dei logaritmi è che il logaritmo del prodotto di due numeri è la somma dei logaritmi dei due numeri stessi. Allo stesso modo, il logaritmo del quoziente di due numeri non è altro che la differenza tra i logaritmi degli stessi. In altre parole valgono

 \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y
 \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y

Inoltre, il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza k è uguale a k moltiplicato per il logaritmo del numero stesso. Da questo discende che il logaritmo della radice k-esima di un numero è uguale all’inverso di k per il logaritmo del numero, e che il logaritmo dell’inverso di un numero è l’opposto del logaritmo del numero stesso. In altre parole valgono:

 \log_a x^k = k \cdot \log_a x
\log_a\sqrt[k]{x} = \frac{1}{k}\log_a(x)
 \log_a {\frac {1} {x}} = -\log_a x.

Cambiamento di base

Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un’altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e).
Se bx, e k sono tutti numeri reali positivi (con b ≠ 1 e k ≠ 1):

\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}

dove k è una base qualsiasi. La formula può essere scritta nel modo seguente

\log_k b\cdot \log_b x = \log_k x

e segue dalla relazione

 k^{\log_k b\cdot \log_b x} = (k^{\log_k b})^{\log_b x} = b^{\log_b x} = x.

Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, si ricava la relazione seguente:

\log_b x =\frac{1}{\log_x b }.

Basi del logaritmo

Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da 1, quelle più utilizzate sono tre:

  • base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log, più raramente con Log.
  • base e (logaritmi naturali o neperiani), usati nel calcolo infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).
  • base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell’analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2, più raramente con log(quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).

Funzione logaritmo

Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0).

La funzione logaritmo è la funzione

f(x) = \log_b(x).

La funzione è definita sulla semiretta (0,+\infty). In figura sono disegnati tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718…) Come si può notare dal grafico, il campo d’esistenza, e quindi il dominio della funzione logaritmo (l’insieme entro cui variano i valori delle x), è compreso nei valori tra (0,+\infty);mentre il codominio, insieme in cui variano i valori delle y, è R. Quindi si capisce che si può lavorare e sono verificate soltanto quelle funzioni logaritmo che hanno l’argomento maggiore strettamente a 0.

Derivata

La funzione logaritmo è derivabile e la sua derivata è la seguente:

\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} = \frac{\log_b e}{x}

dove ln è il logaritmo naturale, cioè con base e. In particolare, la relazione seguente è fondamentale nel calcolo infinitesimale:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac 1x.

Dimostrazione con la funzione inversa

L’eguaglianza è dimostrabile usando la regola della funzione inversa:

\left( f^{-1} \right)' \left( y_0 \right ) = \frac{1}{f' \left( x_0 \right)}

La funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale, la cui derivata coincide con se stessa:

\frac{d}{dx}e^x =e^x.

Ne segue:

\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{\frac{d e^{\ln x}}{d\ln x}} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}.

Dimostrazione tramite definizione

Si può utilizzare direttamente la definizione di derivata:

\frac{d}{dx} \log_b x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_b (x+h)-\log_b x}{h}

=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b(\frac{x+h}{x})}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}
=\lim_{h\to 0} \frac{\log_b\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}x}

e, ricordando il limite notevole del logaritmo, si ottiene:

=\frac{1}{x \ln b}.

Convessità e concavità

La derivata seconda della funzione logaritmo è

\frac{d^2}{dx^2} \log_b x = -\frac{1}{x^2 \ln b}.

Se b>1, questo valore è sempre negativo e la funzione è quindi funzione concava. Se b<1 è invece sempre positivo e la funzione è convessa.

Integrale

La funzione logaritmo è continua e quindi integrabile. La funzione integrale del logaritmo, con base generica b, è (applicando l’integrazione per parti):

\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

dove C è la generica costante di integrazione.

Funzione analitica

La funzione logaritmo è analitica. Non è possibile però descrivere la funzione su tutto il suo dominio con una sola serie di potenze (come avviene ad esempio per la funzione esponenziale): lo sviluppo centrato in un punto R>0 ha infatti raggio di convergenza R ed è quindi convergente solo nell’intervallo (0,2R). Ad esempio, lo sviluppo in R=1 è il seguente:

\ln (1+x) = \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} \frac{x^i}{i} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

Logaritmo complesso

Grafico del logaritmo complesso: l’altezza rappresenta il modulo ed il colore l’angolo.

La funzione logaritmo può essere estesa ai numeri complessi diversi da zero; nel caso in cui si tratti di un logaritmo naturale con argomento complesso vale la formula seguente

\ln{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right), z \in \mathbb{C}

essendo i l’unità immaginaria e arg z l’argomento di z. Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori, determinati dal parametro intero k.

Bastoncini di Nepero

Moltiplicazione di  con i bastoncini di Nepero

bastoncini (virgulaedi Nepero (detti anche virgulae numeratrices) sono uno strumento di calcolo la cui invenzione è attribuita a John Napier, che dal 1617 ne diffuse l’utilizzo. Il principio su cui si basano era però già ampiamente diffuso nei paesi mediterranei con il nome di moltiplicazione araba o a gelosia. Nella loro versione più semplice, i bastoncini sono asticelle, spesso costruite con avorio (da cui il loro nome più diffuso nei paesi di lingua anglosassone: Napier’s bones, ossi di Nepero), su ciascuna delle quali sono incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità divise da una barra obliqua.

Accostando i bastoncini corrispondenti a diverse cifre fino a comporre un certo numero (per esempio accostando i bastoncini per il 2, il 4 e il 6 a comporre “246”), e sommando le cifre che risultano adiacenti (non separate dalla barra) nelle diverse righe, si ottiene facilmente la tabellina dei multipli del numero in questione. Quindi possono essere considerati come una generalizzazione della tavola pitagorica.

Esempio

Il seguente esempio mostra la giustapposizione di tre bastoncini e (sulla destra) il risultato delle somme:

0/2 0/4 0/6  →  0-2-4-6
0/4 0/8 1/2  →  0-4-9-2
0/6 1/2 1/8  →  0-7-3-8
0/8 1/6 2/4  →  0-9-8-4
1/0 2/0 3/0  →  1-2-3-0
1/2 2/4 3/6  →  1-4-7-6

Varianti

Nepero progettò numerose varianti di questo meccanismo, tra l’altro con regole per dividere ed estrarre radici quadre e cubiche. Questi strumenti furono descritti dallo stesso Nepero in Rhabdologiae seu Numerationis per virgulas libri duo (1617). Le applicazioni che egli aveva in mente erano legate alla costruzione delle tavole dei logaritmi e al calcolo astronomico. I bastoncini di Nepero vennero, sia pur con piccole varianti, aggiunti a molte addizionatrici meccaniche al fine di trasformale in macchine “moltiplicatrici”. Gli esempi vanno dalla macchina di Wilhelm Schickard (1623) all’Omega di J. Bamberger (1905). Un interessante strumento che può essere considerato un perfezionamento dei bastoncini di Nepero sono i regoli di Genaille-Lucas. Questi, grazie ad una originale idea grafica, riescono ad evitare le somme iniziali su ogni singola riga.

Referenze

  1. Martin Gardner, Napier’s Bones, in Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments, 1986, pp. 85-93, ISBN 0-7167-1799-9.
  2. Logaritmo, in Thesaurus del Nuovo soggettarioBNCF.
  3. The number e (history), su www-gap.dcs.st-and.ac.uk.
  4. Il primo milione e i primi due milioni di cifre decimali del numero
  5. Corrado Bonfanti, Regoli di Genaille per moltiplicare e dividere (PDF), su retrocomputing.net.
  6. Stefania Funari, Marco Li Calzi, Quando si moltiplicava per gelosia, su matematica-old.unibocconi.it.
  7. Nuova Storia Culturale –  www.storiografia.me – I logartritmi di Nepero,  Antonio Delis

 

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