Geometria differenziale: Curvatura di Gauss e proprietà

Consideriamo una generica linea immersa in un piano, la curvatura è intuitivamente la misura di quanto essa devia rispetto alla tangente. Notiamo immediatamente che si tratta di una proprietà locale e non globale. Ha quindi senso definire la curvatura in un punto, ma non di “curvatura di una linea”. La curvatura in un punto P si calcola come

 (1)

E’ facile verificare che la retta, in base a questa definizione, ha curvatura nulla. Pensiamo ora alla linea curva più semplice: la circonferenza. La sua curvatura è costante per tutti i punti e vale k=1/R. Come era logico aspettarsi, quanto maggiore è il raggio, tanto minore sarà la curvatura della circonferenza; inoltre se consideriamo la retta come una circonferenza di raggio infinito, ritroviamo consistentemente che la sua curvatura è zero. La nozione di “curvatura”  è fondamentale nello studio delle superficie immerse nello spazio Euclideo ed è, in qualche modo, la migliore chiave di lettura per comprendere il passaggio alla Geometria Riemanniana. È tuttavia impossibile spiegare in modo rigoroso le idee della geometria Riemanniana senza usare il linguaggio del calcolo differenziale ed integrale. Volendo evitare ogni tecnicismo, occorrerà affidarsi alla intuizione per capirne le idee. Iniziamo da considerazioni in 2 dimensioni.

Spazio di Calabi -Yau

Nel piano Euclideo le due figure più semplici, lisce, di dimensione 1, sono una retta ed un cerchio (cerchio è termine usato come sinonimo di circonferenza). Noi immaginiamo una retta come una linea diritta, cioè non piegata. Quindi, se volessimo assegnarle un numero k  che in qualche modo ne misuri l’incurvarsi, sceglieremmo il valore  k = 0.

Un cerchio  C, invece, è certamente incurvato e più piccolo è il suo raggio più esso è incurvato, mentre più grande è il raggio più il cerchio si avvicina ad una retta. È naturale allora definire la curvatura di un cerchio di raggio  r  come  k = 1/r. 

Consideriamo ora nel piano Euclideo una arbitraria curva Γ che sia liscia. “Liscia”  significa che in ogni punto esiste la retta tangente in quel punto alla curva e che tale tangente dipende con continuità dal punto. Possiamo definire la tangente in un punto P come segue: P ed un altro punto Q su Γ determinano una retta l. Fissiamo P  e lasciamo che Q si avvicini a P rimanendo sulla curva.

La posizione limite raggiunta dalla retta  [P,Q] è, per definizione, la tangente in P a G.

Oltre al fissato punto P, consideriamo altri due punti A e B su Γ Questi tre punti determinano un unico cerchio C. Fissiamo P e lasciamo che A e B si avvicinino a P rimanendo su Γ. La posizione limite raggiunta dal cerchio C è il cerchio che meglio aderisce alla curva Γ in P e viene detto cerchio osculatore Γ in P.

In un certo senso, Γ si incurva nel punto P come il cerchio C e quindi è ragionevole definire la curvatura di Γ in P come la curvatura del cerchio osculatore in P, cioè k(P)=1/r, se r è il raggio del cerchio osculatore; r è detto anche raggio di curvatura di Γ in P.

È chiaro che il cerchio osculatore può variare in grandezza lungo la curva e quindi la curvatura varia con il punto lungo Γ. Si noti anche che la tangente a Γ in P è anche la tangente in P al cerchio osculatore. Inoltre i cerchi osculatori nei vari punti della curva possono trovarsi da parti opposte rispetto alla curva. È conveniente, allora, ed è possibile farlo in modo rigoroso, ridefinire la curvatura in modo che sia positiva su un lato e negativa sull’altro e ciò dipende dalla parametrizzazione della curva, ossia dal verso in cui  immaginiamo di percorrerla.

Una volta che ciò sia stato fatto è chiaro che se per due punti A e B su Γ si ha  k(A)>0 e k(B)<0 , allora esiste un punto I  tra A e B  in cui la curvatura si annulla, poiché supponiamo che Γ sia abbastanza liscia  da ottenere la continuità per la curvatura. Il punto I si dice punto di inflessione  ed in tale punto il cerchio osculatore degenera in una retta, che è la tangente in  I a Γ .

 

Passiamo ora a 3 dimensioni, cioè consideriamo superficie lisce immerse nello spazio Euclideo tridimensionale. “Liscia” ora significa che in ogni punto esiste il piano tangente nel punto alla superficie e che questo varia con continuità con il punto. Sia dunque S una superficie liscia e sia P un suo punto. Indichiamo con  n  la retta normale a S in P, cioè la retta perpendicolare in P al piano tangente in P. Consideriamo un piano che contenga n; esso interseca la superficie in una curva piana.

Immaginando che il piano ruoti attorno a n, otteniamo su S diverse curve sezioni, tutte passanti per P e situate su piani diversi e di ciascuna curva sezione sappiamo calcolare la curvatura in P. In generale, queste curvature variano al variare della sezione. Se la superficie è sferica, esse sono tutte eguali  ad 1/r, se r è il raggio della sfera, poiché le sezioni normali sono tutte cerchi massimi.

Si può provare, con metodi della geometria differenziale, che queste curvature raggiungono un valore minimo k1(P)  ed un valore massimo k2(P), e le corrispondenti sezioni normali sono perpendicolari (si trovano cioè su piani perpendicolari). Esse sono dette curve principali di S  nel punto P. Il prodotto  K(P) = k1(P)k2(P) è chiamato la curvatura Gaussiana o semplicemente la curvatura della superficie nel punto P. Ancora una volta K  varia al variare di P su S. Se accade che K è costante, si ottengono tre geometrie a seconda che K sia negativa, positiva o nulla, e sono rispettivamente la geometria della pseudosfera (iperbolica), la geometria della sfera (ellittica) e la geometria del piano (euclidea).

Esempi

1) Nella figura della superficie a sella (paraboloide a sella o iperbolico) si vedono la normale e le curve principali in un punto P. In ogni punto di questa superficie la curvatura è negativa, perché i cerchi osculatori alle due curve principali si trovano da parti opposte rispetto al piano tangente.

2) Per la superficie a forma d’uovo (ellissoide) le due curve principali si trovano dallo stesso lato del piano tangente e quindi la curvatura di Gauss è positiva.

 

3) Nel caso di un cilindro, in ogni suo punto P, una delle curve principali è una retta che  ha curvatura zero, e quindi la curvatura di Gauss sarà zero.

Si può capire meglio questo risultato apparentemente sorprendente, se pensiamo ad un cilindro come ad una striscia di piano arrotolata. Certamente ogni ragionevole definizione di curvatura assegna curvatura zero ad un piano. Nel processo di arrotolamento di una striscia rettangolare di piano le lunghezze d’arco e gli angoli tra curve sulla striscia non cambiano (abbiamo cioè eseguito una isometria) ed in questo senso la geometria intrinseca non cambia.

La semisomma H delle due curvature principali k1(P) e k2(P) in un punto P di una superficie S  si chiama curvatura media di S in P. Se la curvatura media H è zero in ogni punto della superficie, la superficie si dice minimale.

Gauss cercava una definizione di curvatura per una superficie che dipendesse solo dalla geometria intrinseca della superficie e non dal modo particolare in cui tale superficie era immersa nello spazio euclideo. Si noti infatti che nella definizione precedente è stata utilizzata la retta normale alla superficie in un assegnato punto P ed è tale retta che, in un certo senso, esprime il modo in cui la superficie si pone nello spazio.  Egli riuscì a provare che la funzione K non cambiava se la superficie era sottoposta a cambiamenti che lasciavano invariate  le lunghezze e gli angoli di tutte le curve sulla superficie. Dunque  K descrive la geometria intrinseca e non dipende dalla posizione della superficie nello spazio. Il dato importante è che le due curvature principali  k1(P) e k2(P)  cambiano, mentre il loro prodotto non cambia. Gauss fu così eccitato da questo risultato che lo chiamò  il “Teorema egregium”. In una lettera all’astronomo Hansen  egli scrisse:

“Questi studi coinvolgono molte altre cose, oserei dire che sono coinvolti nella metafisica della geometria dello spazio.”

Gauss risolse il problema di determinare K senza alcun riferimento allo spazio ambiente. Il problema può essere proposto in questi termini:

Immaginiamo una creatura 2-dimensionale che vive su una superficie e non ha alcuna idea di una terza dimensione, non essendo in grado di concepire la retta normale che abbiamo usato per definire K. Come potrebbe questa creatura calcolare K ?

Occorre conoscere il linguaggio del calcolo differenziale per dare la risposta di Gauss. Nel piano euclideo, un punto è determinato dalle sue coordinate cartesiane (x,y) in un fissato riferimento. Se queste coordinate sono soggette a cambiamenti infinitesimi,  denotati  dx  e  dy, allora il punto si muove di una distanza infinitesima  ds  il cui quadrato è dato, via il teorema di Pitagora, da

 ds2  = dx 2  +  dy2

Ora, su una superficie liscia, un punto è ancora individuato da due coordinate (u,v) e, se queste coordinate sono soggette ad una variazione infinitesima  du  e  dv, allora il punto si muove sulla superficie a distanza infinitesima  ds, il cui quadrato è dato dall’espressione più complicata:

ds2  =  E du2  + 2F du dv  + G dv2

dove E, F, G  sono funzioni delle coordinate u,v del punto, ed, in linea di principio, potrebbero essere determinate dalla creatura 2-dimensionale eseguendo delle misure sulla superficie.

Gauss provò che la curvatura K si può esprimere mediante le funzioni E, F, G  con una formula non troppo complicata. Dunque, la nostra creatura potrebbe calcolare K con questa formula e scoprire che il suo mondo è curvo, sebbene essa avrebbe difficoltà ad immaginare che cosa ciò significhi.

Un corollario del teorema di Gauss-Bonnet (versione locale), noto come Teorema elegantissimum di Gauss, stabilisce che, se T  è un triangolo (geodetico) sulla superficie, allora, detta S la somma degli angoli interni di T,  risulta:

S  =  p + òòT  K dS

dove dS  denota l’elemento di volume (in questo caso di area) su S. Un triangolo si dice geodetico se ogni suo lato è una geodetica, cioè è la curva di lunghezza minima tra tutte le curve che congiungono i suoi estremi, rimanendo sulla superficie. Per esempio un triangolo geodetico su una sfera deve avere, come lati, archi di cerchi massimi, poiché le geodetiche sulla sfera coincidono con archi di cerchi massimi.

Se K è costante,  si ottiene    S =  p  + K A(T), dove A(T) è l’area del triangolo, e quindi:

S =  p       se e solo se      K = 0  (geometria Euclidea)

S < p        se e solo se      K < 0  (geometria iperbolica)

S > p        se e solo se      K > 0  (geometria ellittica)

Poiché le tre possibilità descritte per S sono, nell’ordine, equivalenti all’assioma delle parallele della geometria euclidea, iperbolica ed ellittica (il postulato delle parallele e le geometrie non euclidee) si può concludere che, almeno localmente – cioè in un intorno di ogni punto – la geometria della superficie è rispettivamente Euclidea, iperbolica, ellittica. Anche se questo discorso su una creatura 2-dimensionale può sembrare bizzarro, tuttavia non lo è, come ha provato  Riemann, (La Geometria Riemanniana).

Curvatura totale

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura negativa è minore di quella che si ottiene su un triangolo piano (cioè ).

La curvatura totale di una regione  della superficie  è l’integrale di superficie

della curvatura gaussiana  su . La curvatura totale misura quanto si differenzia globalmente la geometria di  da quella di una regione piatta sul piano: ad esempio, la curvatura totale di un triangolo geodetico  è pari alla differenza fra la somma dei suoi angoli interni (in radianti) e . In altre parole,

dove  e  sono gli angoli interni.

La somma degli angoli di un triangolo su una sfera, che ha curvatura positiva, è maggiore di .

La somma degli angoli di un triangolo su una superficie di curvatura ovunque positiva è maggiore di , mentre è minore se la superficie ha curvatura ovunque negativa.

Proprietà

Teorema egregium

Per il teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico.

« Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet. »

(Karl Friedrich GaussDisquisitiones generales circa superficies curvas)

La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Una isometria non è necessariamente un movimento rigido dello spazio: un esempio è fornito da un foglio di carta, che può essere arrotolato fino a formare un cilindro. Piano e cilindro sono (almeno localmente) isometrici.

Teorema di Gauss-Bonnet

Il teorema di Gauss-Bonnet del 1848 fornisce una stretta connessione fra la curvatura totale di una superficie e la sua topologia. Se  è una superficie compatta, il teorema asserisce che

cioè la curvatura totale della superficie è pari alla sua caratteristica di Eulero, moltiplicata per . Ad esempio, una sfera di raggio  ha caratteristica 2, e la sua curvatura totale è sempre , indipendentemente da . Infatti, è pari al prodotto fra l’area  e la curvatura, che è costantemente pari a , poiché entrambe le curvature principali sono . Più sorprendentemente, la curvatura totale di una qualsiasi superficie omeomorfa alla sfera (ad esempio, il bordo di un ellissoide) è sempre .

I punti più esterni di un Toro hanno curvatura positiva, quelli più interni negativa, e si compensano in modo che l’integrale sulla superficie sia nullo.

Un toro ha caratteristica di Eulero nulla. Ne segue che la sua curvatura totale è nulla: o questa è ovunque nulla (cosa però impossibile per un toro contenuto nello spazio tridimensionale), oppure presenta zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa.

Referenze

  1. Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  2. Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, pp. 533-535, ISBN 88-8467-022-5.
  3. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gottinga, Typis Dieterichianis, 1827
  4. ^ Anna Gori, Corso di geometria 4, Università degli Studi di Milano, su mat.unimi.it, 2016.
  5. ^ Gauss’s Theorema Egregium, Wolfram Mathworld. URL consultato il 30 settembre 2013.

Specify a Disqus shortname at Social Comments options page in admin panel