Introduzione alla matematica babilonese

La civiltà babilonese lega le proprie origini ed il proprio splendore alla città di Babilonia, che letteralmente significa “porta del Dio”, sulla cui fondazione aleggiano svariate ipotesi, secondo quanto ci hanno tramandato le fonti storiche più accreditate: Erodoto, Diodoro Siculo, Strabone, Flavio, Berosso, vari libri della Bibbia e testi cuneiformi babilonesi.

8000 a.C. circa
Tocken ovvero primitive testimonianze di oggetti di creta e argilla raffiguranti figure geometriche (ad esempio: un piccolo cono rappresentava una piccola misura di grano, la sfera rappresentava una grande misura di grano); sono le prime testimonianze, antecedenti la scrittura, di una proto-matematica.
3500 a.C. circa
Prime testimonianze di scrittura; primi testi economici; tavolette di argilla di Uruk.
3000-2350 a.C. circa
Prima dinastia; Prime tavole e primi problemi matematici scritti.
2276-2221 a.C. circa
Sargon I; epoca degli Akkadi.
2100-2000 a.C. circa
Ur III e Neo Sumeri; Sviluppo della notazione posizionale a base sessagesimale;
2000-1600 a.C. circa

Antichi Babilonesi; principale fonte delle nostre conoscenze in campo di matematica mesopotamica; a questo periodo risalgono tavole di moltiplicazione, di radici, di potenze, di reciproci e di coefficienti. Compaiono i primi algoritmi elementari.

2000-1400 a.C. circa

Antichi Assiri

1800-1600 a.C. circa

Dinastia degli Hammurabi; sistema numerico consolidato.

1400-1000 a.C. circa
Medi Assiri
1000-612 a.C. circa
Neo Assiri
625-539 a.C. circa
Neo Babilonesi
538 a.C

Babilonia cade in mano a Ciro, re di Persia; fine dell’antico impero babilonese.

Ecco una mappa della regione in cui è fiorita la civiltà.

La regione era stata il centro della civiltà sumera che prosperò prima del 3500 aC. Si trattava di una civiltà avanzata che costruiva città e supportava le persone con sistemi di irrigazione, un sistema legale, l’amministrazione e persino un servizio postale. La scrittura sviluppata e il conteggio erano basati su un sistema sessagesimale, cioè sulla base 60. Intorno al 2300 aC gli akkadiani invasero l’area e per qualche tempo la cultura più arretrata degli akkadiani si mescolò con la cultura più avanzata dei sumeri. Gli akkadiani hanno inventato l’abaco come strumento per il conteggio e hanno sviluppato metodi un po ‘maldestri di aritmetica con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni che hanno tutte un ruolo. I Sumeri, tuttavia, si rivoltarono contro il dominio degli accadici e nel 2100 aC tornarono al controllo.

Tuttavia la civiltà babilonese, la cui matematica è oggetto di questo articolo, sostituì quella dei Sumeri dal 2000 aC circa. I Babilonesi erano un popolo semitico che invasero la Mesopotamia sconfiggendo i Sumeri e intorno al 1900 aC fondando la loro capitale a Babilonia.

I Sumeri avevano sviluppato una forma astratta di scrittura basata su simboli cuneiformi (cioè a forma di cuneo). I loro simboli sono stati scritti su tavolette di argilla bagnate che sono state cotte al sole caldo e molte migliaia di queste tavolette sono sopravvissute fino ad oggi. Era l’uso di uno stilo su un terreno argilloso che portava all’uso di simboli cuneiformi poiché non era possibile tracciare linee curve. I successivi babilonesi adottarono lo stesso stile di scrittura cuneiforme su tavolette d’argilla.

Ecco una delle loro tavolette

Molte delle tavolette riguardano argomenti che, sebbene non contengano una profonda matematica, tuttavia sono affascinanti. Per esempio abbiamo citato sopra i sistemi di irrigazione delle prime civiltà in Mesopotamia. Questi sono discussi in [1 ] dove Muroi scrive:

Era un compito importante per i governanti della Mesopotamia scavare canali e mantenerli, perché i canali non erano solo necessari per l’irrigazione ma anche utili per il trasporto di merci ed eserciti. I governanti o alti funzionari del governo devono aver ordinato ai matematici babilonesi di calcolare il numero di lavoratori e di giorni necessari per la costruzione di un canale e di calcolare le spese totali dei salari dei lavoratori.Ci sono diversi testi matematici antichi babilonesi in cui vengono richieste varie quantità riguardanti lo scavo di un canale. Sono YBC 4666 , 7164 e IVA 7528 , tutti scritti in sumerico … e YBC 9874 e BM 85196 , n. 15 , che sono scritti in accadico …. Dal punto di vista matematico questi problemi sono relativamente semplici …

I babilonesi avevano un sistema numerico avanzato, per certi versi più avanzato dei nostri attuali sistemi. Era un sistema posizionale con una base di 60 anziché il sistema con base 10 in uso diffuso oggi. Per ulteriori dettagli sui numeri babilonesi e anche una discussione sulle teorie sul perché hanno usato la base 60, vedi il nostro articolo sui numeri babilonesi .

I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi. Questa forma di conteggio è sopravvissuta per 4000 anni. Per scrivere 5h 25′ 30″ , vale a dire 5 ore, 25 minuti, 30 secondi, è solo quello di scrivere la frazione sessagesimale, 5 25 / il 60 30 / 3600 adottiamo la notazione 5;. 25, 30 per questo numero sessagesimale, per più dettagli riguardanti questa notazione vedi nostro articolo sul sistema di numerazione babilonese come 10 frazione di base il numero sessagesimale 5;. 25, 30 è 5 4 / 10 2 / 100 5 / 1000 che viene scritto come 5.425 in notazione decimale.

Forse l’aspetto più sorprendente delle capacità di calcolo del babilonese era la costruzione di tabelle per il calcolo. Due tavolette ritrovate a Senkerah sull’Eufrate nel 1854 risalgono al 2000 aC. Danno quadrati dei numeri fino a 59 e cubi dei numeri fino a 32. La tabella dà 8 2 = 1,4 che rappresenta

2 = 1, 4 = 1 × 60 + 4 = 64

e così via fino a 59 2 = 58, 1 (= 58 × 60 +1 = 3481).

I babilonesi usarono la formula

ab = [( a + b ) 2 – 2 – 2 ] / 2

per rendere più facile la moltiplicazione. Ancora meglio è la loro formula

ab = [( a + b ) 2 – ( a – b ) 2 ] / 4

il che dimostra che una tabella di quadrati è tutto ciò che è necessario per moltiplicare i numeri, semplicemente prendendo la differenza dei due quadrati che sono stati osservati nella tabella, prendendo quindi un quarto della risposta. La divisione è un processo più difficile. I babilonesi non avevano un algoritmo per la lunga divisione. Invece hanno basato il loro metodo sul fatto che

a / b = a × (1 / b )

quindi tutto ciò che era necessario era un tavolo di reciprocità. Abbiamo ancora i loro tavoli reciproci che arrivano ai reciproci numeri fino a diversi miliardi. Naturalmente queste tabelle sono scritte nei loro numeri, ma usando la notazione sessagesimale che abbiamo introdotto sopra, l’inizio di una delle loro tabelle sarebbe simile a:

         2 0; 30 
         3 0; 20 
         4 0; 15 
         5 0; 12 
         6 0; 10 
         8 0; 7, 30 
         9 0; 6, 40 
        10 0; 6 
        12 0; 5 
        15 0; 4 
        16 0; 3, 45 
        18 0; 3, 20 
        20 0; 3 
        24 0; 2, 30 
        25 0; 2, 24 
        27 0; 2, 13, 20

Ora il tavolo aveva lacune da quando 1 / 7 , 1 / 11 , 1 / 13 , ecc non sono finite basamento 60 frazioni. Questo non significa che i Babilonesi non potevano calcolare 1 / 13 , dicono.

Scriveranno 1 / 13 = 7 / 91 = 7 × ( 1 / 91 ) = (approssimativamente) 7 × ( 1 / 90 )

e questi valori, ad esempio 1 / 90 , sono stati somministrati in loro tabelle. In effetti ci sono affascinanti scorci dei Babilonesi che vanno a patti con il fatto che la divisione di 7 porterebbe ad una frazione sessagesimale infinita. Uno scrivano darebbe un numero vicino a 1 / 7 e quindi scrivere istruzioni come (vedi per esempio [2]): –

… un’approssimazione è data poiché 7 non si divide

La matematica babilonese andava ben oltre i calcoli aritmetici. Nel nostro articolo sul teorema di Pitagora nella matematica babilonese esaminiamo alcune delle loro idee geometriche e anche alcune idee di base nella teoria dei numeri. In questo articolo esaminiamo ora l’algebra sviluppata dai babilonesi, in particolare i problemi che hanno portato alle equazioni e alla loro soluzione.

Abbiamo notato sopra che i Babilonesi erano famosi come costruttori di tavoli. Ora questi potrebbero essere usati per risolvere equazioni. Ad esempio hanno costruito tabelle per 3 + 2 quindi, con l’aiuto di queste tabelle, potrebbero essere risolte alcune equazioni cubiche. Ad esempio, considera l’equazione

ax 3 + bx 2 = c

Cerchiamo di sottolineare subito che stiamo usando la notazione moderna e nulla di simile a una rappresentazione simbolica esisteva in epoca babilonese. Ciononostante i babilonesi potevano gestire esempi numerici di tali equazioni usando regole che indicano che avevano il concetto di un problema tipico di un dato tipo e un metodo tipico per risolverlo. Per esempio nel caso precedente avrebbero (nella nostra notazione) moltiplicare l’equazione di un 2 e dividerlo per 3 per ottenere

ax / b ) 3 + ( ax / b ) 2 = ca 2 / 3

Mettendo y = ax / b questo dà l’equazione

3 + 2 = ca 2 / 3

che potrebbe ora essere risolti cercando il 3 + 2 tavolo per il valore di n soddisfare 3 + 2 = ca 2 / 3 . Quando una soluzione è stato trovato y allora x è stato trovato da x = da / a . Sottolineiamo ancora che tutto ciò è stato fatto senza notazione algebrica e ha mostrato una notevole profondità di comprensione.

Di nuovo una tabella sarebbe stata cercata per risolvere l’equazione lineare ax = b . Consulterebbero la tabella 1 / n per trovare 1 / a e quindi moltiplicare il numero sessagesimale indicato nella tabella per b . Un esempio di un problema di questo tipo è il seguente. Supponiamo, scrive uno scriba, 2 / 3 del 2 / 3viene prelevata una certa quantità di orzo, vengono aggiunte 100 unità di orzo e recuperata la quantità originale. Il problema posto dallo scriba è trovare la quantità di orzo. La soluzione fornita dallo scriba è calcolare 0; 40 volte 0; 40 per ottenere 0; 26, 40. Sottrai questo da 1; 00 per ottenere 0; 33, 20. Cercare il reciproco di 0; 33, 20 in una tabella per ottenere 1; 48. Moltiplicare 1; 48 per 1,40 per ottenere la risposta 3,0.

Non è così facile capire questi calcoli dallo scriba a meno che non li traduciamo in una moderna notazione algebrica. Dobbiamo risolvere

2 / 3 × 2 / x + 100 = x

che è, come scrivano sapeva, equivalente a risolvere (1 – 4 / 9 ) x = 100. Questo è il motivo scrivano calcolato 2 / 3 × 2 / 3 sottratto la risposta da 1 a ricevere (1 – 4 / 9 ), poi lo sguardo 1 / (1 – 4 / 9 ) e quindi x è stato trovato da 1 / (1 – 4 / 9 ) moltiplicato per 100 dando 180 (che è 1; 48 volte 1, 40 per ottenere 3, 0 in sessagesimali) .

Per risolvere un’equazione quadratica i babilonesi utilizzavano essenzialmente la formula standard. Hanno preso in considerazione due tipi di equazione quadratica, vale a dire

2 + bx = c e 2 – bx = c

dove qui b, c erano positivi ma non necessariamente interi. La forma che hanno preso le loro soluzioni era, rispettivamente

x = √ [( b / 2) 2 + c ] – ( b / 2) e x = √ [( b / 2) 2 + c ] + ( b / 2).

Si noti che in ogni caso questa è la radice positiva delle due radici del quadratico e quella che ha senso nel risolvere problemi “reali”. Ad esempio, problemi che hanno condotto i babilonesi a equazioni di questo tipo riguardavano spesso l’area di un rettangolo. Ad esempio, se l’area è data e la quantità con cui la lunghezza supera l’ampiezza è data, allora l’ampiezza soddisfa un’equazione quadratica e quindi applicherebbero la prima versione della formula sopra.

Un problema su una tavola ai tempi degli antichi babilonesi afferma che l’area di un rettangolo è 1, 0 e la sua lunghezza supera l’ampiezza di 7. L’equazion

2 + 7 x = 1, 0

è, ovviamente, dato dallo scriba che trova la risposta come segue. Calcola la metà di 7, vale a dire 3; 30, piazza per ottenerne 12; 15. A questo lo scriba aggiunge 1, 0 per ottenere 1; 12, 15. Prendi la sua radice quadrata (da una tabella di quadrati) per ottenere 8; 30. Da questa sottrazione 3; 30 per dare la risposta 5 per l’ampiezza del triangolo. Si noti che lo scriba ha risolto efficacemente un’equazione del tipo 2 + bx = c usando x = √ [( b / 2) 2 + c ] – ( b / 2).

Berriman fornisce 13 tipici esempi di problemi che portano a equazioni di secondo grado prese da vecchie tavolette babilonesi.

Se i problemi che interessano l’area dei rettangoli portano a equazioni di secondo grado, i problemi relativi al volume dello scavo rettangolare (una “cantina”) portano a equazioni cubiche. La tavoletta di argilla BM 85200+ contenente 36 problemi di questo tipo, è il primo tentativo noto di creare e risolvere equazioni cubiche. Hoyrup parla di questa affascinante tavolettat in [4]. Naturalmente i babilonesi non hanno raggiunto una formula generale per risolvere i cubi.

Numeri babilonesi

L’aspetto particolare del calcolo babilonese fu l’uso di tavole come aiuto per i calcoli. Essi avevano un sistema numerico da un punto di vista più avanzato del nostro sistema decimale. Era un sistema di notazione posizionale in base 60. Invece del nostro in base 10. Mentre 10 ha due soli divisori, 60 ha dieci divisori, così molti più risultati hanno forma intera. I Babilonesi dividevano il giorno in 24 ore, ogni ora in 60 minuti, ogni minuto in 60 secondi. Questo modo di contare è sopravvissuto per 4000 anni. Per scrivere 5h 25 min 30 sec i babilonesi scrivevano 5 25 30 (check).

Due tavolette del 2000 a.C., trovate in riva all’Eufrate nel 1854, riportano i quadrati dei numeri interi fino a 59, e i cubi dei numeri fino a 32. Es. 59^2 = 58 1 (58×60 + 1). Non avevano però lo zero.
Per eseguire la moltiplicazione, usavano formule come

a . b = (a + b )² /4 + ( a – b )² /4

e una tavola dei quadrati. La divisione era riportata alla moltiplicazione, a . b = a . 1/b
e si hanno tavolette coi reciproci fino ad alcuni miliardi. Una tavoletta datata a 1900-1600 a.C. contiene risposte al problema pitagorico a² + b² = c²

Gli egiziani (come i romani) usarono un sistemai di numeri non adatti ai calcoli aritmetici. Sommare due numeri in cifre romane non è difficile, ma la moltiplicazione è quasi impossibile (avevano però abachi, N.d.R.). Il papiro di Rhind, comprato a Luxor nel 1858 (6 m x 0.30 m) riporta vari calcoli che datano almeno al 1850 a.C. Esempio di moltiplicazione 59 x 41:

41 = 32 + 9 = 32 + 8 + 1 e quindi sommando i valori corrispondenti a (59 x) 1, 8, 32 si ottiene il risultato:

1 x
59
2
118
4
236
8 x
472
16
944
32 x
1888
——–
2419

Si legge sul libro scritto da Boyer:

“Il sistema decimale, comune alla maggior parte delle civiltà, sia antiche che moderne, era stato sostituito in Mesopotamia da una notazione che aveva a fondamento la base sessanta. Molto è stato scritto sui motivi che avrebbero dato origine a questo cambiamento; è stata avanzata l’ipotesi che possano avervi contribuito considerazioni di carattere astronomico o che il sistema sessagesimale sia risultato dalla combinazione di due sistemi più antichi, uno decimale, l’altro in base sei. Appare però più verosimile l’ipotesi che la base sessanta sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione: una grandezza di sessanta unità può venire infatti facilmente divisa in metà, terzi, quarti, quinti, sesti, decimi dodicesimi, quindicesimi, ventesimi e trentesimi, offrendo così dieci suddivisioni possibili.”

Qui di seguito possiamo vedere come venivano rappresentati i numeri; in generale, le testimonianze giunte sino a noi sono date da tavolette di argilla (incise con uno stilo con caratteri cuneiformi) che sono resistite egregiamente alle ingiurie del tempo e anche a incendi e cambiamenti climatici. La rappresentazione dei numeri discende dai sumeri ed ha quindi un valore posizionale; con un simbolo simile ad una V venivano indicate le unità e con un simbolo simile a < venivano rappresentate le decine:

Ecco i 59 simboli creati da questi due simboli

Il tutto fino a 59; da 60 in poi i simboli si ripetevano e di conseguenza c’era una possibile ambiguità che però è fugata da un’accentuata spaziatura nei diversi casi (i numeri venivano quasi raggruppati come mostra il seguente esempio):

424000 = 1 cross 603 + 57 cross 602 + 46 cross 60 + 40 = 1;57;46;40

Le operazioni venivano effettuate in modo molto simile al nostro eccetto per la divisione che era considerata come una moltiplicazione per il reciproco del denominatore. A tale proposito sono note alcune importanti tavole di rappresentazione di reciproci di interi e di scomposizione di frazioni in somme di reciproci di interi.

Tra le molte tavolette pervenuteci notiamo la presenza, in alcuni casi di grandezze incognite all’interno di problemi (e anche la presenza di problemi di terzo grado); per questo motivo, c’è chi parla di algebra babilonese, anche se bisogna ammettere che se di algebra si può parlare, essa è un’algebra molto diversa dall’algebra attuale. Si nota anche che l’intera matematica babilonese manca di generalità in senso moderno, in quanto non presenta dimostrazioni, ma solo moltissimi casi particolari.

Da ultimo possiamo affermare con certezza che le popolazioni che si sono succedute tra il 3500 e il 500 a.C. nell’area compresa tra il fiume Tigri ed Eufrate erano a conoscenza di rudimentali basi di geometria; sono state ritrovate infatti tavolette raffiguranti figure geometriche e pur non fornendo una dimostrazione, sembra che conoscessero e facessero uso del teorema di Pitagora.

Ora, dato un sistema posizionale, serve una convenzione riguardo a quale estremità del numero rappresenta le unità. Ad esempio il decimale 12345 rappresenta

1 × 10 4 + 2 × 10 3 + 3 × 10 2 + 4 × 10 + 5.

Se ci si pensa, questo è forse illogico perché leggiamo da sinistra a destra, quindi quando leggiamo la prima cifra non ne conosciamo il valore finché non abbiamo letto il numero completo per scoprire quanti poteri di 10 sono associati a questo primo posto . Il sistema posizionale sessagesimale babilonese piazza i numeri con la stessa convenzione, quindi la posizione più a destra è per le unità fino a 59, la posizione uno a sinistra è per 60 × n dove 1 ≤ n ≤ 59, ecc. Ora adottiamo una notazione dove separiamo i numeri con virgole, per esempio, 1,57,46,40 rappresenta il numero sessagesimale

1 × 60 3 + 57 × 60 2 + 46 × 60 + 40

che, in notazione decimale è 424000.

Ecco 1,57,46,40 in numeri babilonesi

Ora c’è un potenziale problema con il sistema. Poiché due sono rappresentati da due caratteri ciascuno rappresentante una unità, e 61 è rappresentato dall’unico carattere per un’unità al primo posto e un secondo carattere identico per un’unità al secondo posto, quindi i sessagesimi babilonesi numeri 1,1 e 2 hanno essenzialmente la stessa rappresentazione Tuttavia, questo non era un problema in quanto la spaziatura dei personaggi permetteva di distinguere. Nel simbolo per 2 i due caratteri che rappresentano l’unità si toccano e diventano un unico simbolo. Nel numero 1,1 c’è uno spazio tra di loro.

Un problema molto più serio era il fatto che non c’era zero da mettere in una posizione vuota. I numeri sessagesimali numero 1 e 1,0, vale a dire 1 e 60 in decimali, avevano esattamente la stessa rappresentazione e ora non c’era modo che la spaziatura potesse aiutare. Il contesto chiarito, e in effetti, nonostante questo appare molto insoddisfacente, non avrebbe potuto essere trovato dai Babilonesi. Come facciamo a saperlo? Bene, se avessero davvero scoperto che il sistema presentava loro vere e proprie ambiguità avrebbero risolto il problema – non c’è dubbio che avevano le capacità per trovare una soluzione se il sistema fosse stato impraticabile. Forse dovremmo menzionare qui che successivamente le civiltà babilonesi inventarono un simbolo per indicare un luogo vuoto, quindi la mancanza di uno zero non avrebbe potuto essere del tutto soddisfacente per loro.

Allo stesso modo un posto vuoto nel mezzo di un numero ha dato loro problemi. Anche se non è un commento molto serio, forse vale la pena notare che se assumiamo che tutte le nostre cifre decimali siano ugualmente probabili in un numero, allora c’è una possibilità su dieci di un posto vuoto mentre per i Babilonesi con il loro sistema sessagesimale c’era un una possibilità su sessanta. Tornando ai posti vuoti nel mezzo di numeri possiamo guardare esempi reali in cui ciò accade.

Ecco un esempio da una tavoletta cuneiforme (in realtà AO 17264 nella collezione del Louvre a Parigi) in cui viene eseguito il calcolo al quadrato 147. In sessagesimale 147 = 2,27 e quadratura dà il numero 21609 = 6,0,9.

Ecco l’esempio babilonese di 2,27 al quadrato

Forse lo scriba lasciava un po ‘più di spazio del solito tra il 6 e il 9 di quanto avrebbe fatto se avesse rappresentato 6,9.

Ora, se lo spazio vuoto ha causato un problema con gli interi, c’era un problema ancora più grande con le frazioni sessagesimali babilonesi. I babilonesi usavano un sistema di frazioni sessagesimali simile alle nostre frazioni decimali. Ad esempio, se si scrive 0,125 allora questo è 1 / 10 + 2 / 1005 / 1000 = 1 / 8 . Naturalmente una frazione del modulo un / b , nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primi diversi da 2 o 5. Quindi 1 / 3non ha una frazione decimale finita. Analogamente la frazione sessagesimale babilonese 0; 7,30 rappresentato 7 / 60 + 30 / 3600 che a sua volta scritto nella nostra notazione è 1 / 8 .

Poiché 60 è divisibile dai primi 2, 3 e 5, allora un numero della forma a / b, nella sua forma più bassa, può essere rappresentato come una frazione decimale finita se e solo se b non ha divisori primari diversi da 2, 3 o 5. Più frazioni possono quindi essere rappresentate come frazioni sessagesimali finite che possono essere frazioni decimali finite. Alcuni storici pensano che questa osservazione abbia una diretta influenza sul motivo per cui i babilonesi svilupparono il sistema sessagesimale, piuttosto che il sistema decimale, ma questo sembra un po ‘improbabile. Se questo fosse il caso, perché non avere 30 come base? Discutiamo questo problema in dettaglio qui di seguito.

Ora abbiamo già suggerito la notazione che useremo per denotare un numero sessagesimale con una parte frazionaria. Per illustrare 10,12,5, 1,52,30 rappresenta il numero

10 × 60 2 + 12 × 5 + 60 + 1 / 60 + 52 / 60 2 + 30 / 60 3

che nel nostro notazione è 36725 1 / 32 . Questo va bene, ma abbiamo introdotto la notazione del punto e virgola per mostrare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. È il “punto sessagesimale” e svolge un ruolo analogo a un punto decimale. Tuttavia, i Babilonesi non hanno alcuna notazione per indicare dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. Quindi è stata introdotta una grande dose di ambiguità e “il contesto chiarisce che” la filosofia ora sembra piuttosto tesa. Se scrivo 10,12,5,1,52,30 senza avere una notazione per il “punto sessagesimale”, allora potrebbe significare:

0; 10,12, 5, 1,52,30 
  10; 12, 5, 1,52,30 
  10,12; 5, 1,52,30 
  10,12, 5; 1,52,30 
  10,12, 5, 1; 52,30 
  10,12, 5, 1,52; 30 
  10,12, 5, 1,52,30

inoltre, naturalmente, a 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 o 0; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 ecc.

Infine dovremmo esaminare la questione del perché i babilonesi avevano un sistema numerico con una base di 60. La risposta facile è che hanno ereditato la base dei 60 dai Sumeri, ma questa non è affatto una risposta. Ci porta solo a chiedere perché i Sumeri usassero la base 60. Il primo commento sarebbe che non dobbiamo tornare indietro perché possiamo essere abbastanza certi che il sistema sessagesimale è nato con i Sumeri. Il secondo punto da sottolineare è che i matematici moderni non sono stati i primi a fare domande del genere. Theon di Alessandria ha cercato di rispondere a questa domanda nel quarto secolo d.C. e molti storici della matematica hanno offerto un’opinione da allora senza nessuna risposta convincente.

La risposta di Theon fu che il 60 era il numero più piccolo divisibile per 1, 2, 3, 4 e 5 in modo da massimizzare il numero di divisori. Anche se questo è vero, sembra una ragione troppo accademica. Una base di 12 sembrerebbe un candidato più probabile se questo fosse il motivo, eppure nessuna grande civiltà sembra aver escogitato quella base. D’altra parte molte misure coinvolgono 12, ad esempio si verifica frequentemente in suddivisioni di pesi, denaro e lunghezza. Per esempio nelle vecchie misure inglesi c’erano dodici pollici in un piede, dodici centesimi in uno scellino ecc.

Neugebauer propose una teoria basata sui pesi e sulle misure utilizzate dai Sumeri. La sua idea è fondamentalmente che un sistema di conteggio decimale è stato modificato in base 60 per consentire di dividere pesi e misure in terzi. Di certo si sa che il sistema di pesi e misure dei Sumeri si usa 1 / 3 e 2 / 3 come frazioni di base. Tuttavia, sebbene Neugebauer possa essere corretto, l’argomentazione contraria sarebbe che il sistema di pesi e misure era una conseguenza del sistema numerico piuttosto che del visto.

Diverse teorie sono state basate su eventi astronomici. Il suggerimento che il 60 sia il prodotto del numero di mesi dell’anno (le lune all’anno) con il numero di pianeti (Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno) sembra essere ancora inverosimile come una ragione per la base 60. Che l’anno è stato pensato per avere 360 ​​giorni è stato suggerito come una ragione per la base numero di 60 dello storico di matematica Moritz Cantor . Ancora una volta l’idea non è convincente in quanto i Sumeri certamente sapevano che l’anno era più lungo di 360 giorni. Un’altra ipotesi riguarda il fatto che il sole si muove attraverso il suo diametro 720 volte durante un giorno e, con 12 ore sumeriche in un giorno, si può arrivare con 60.

Alcune teorie si basano sulla geometria. Ad esempio una teoria è che un triangolo equilatero era considerato il fondamentale tassello geometrico dei Sumeri. Ora un angolo di un triangolo equilatero è 60 ° quindi se questo fosse diviso in 10, un angolo di 6 ° diventerebbe l’unità angolare di base. Ora ci sono sessanta di queste unità di base in un cerchio, quindi di nuovo abbiamo il motivo proposto per scegliere 60 come base. Si noti che questo argomento si contraddice quasi da solo in quanto assume 10 come unità di base per la divisione!

Nota: tutte queste ragioni non valgano davvero la pena di essere considerate seriamente. “Scegliere il 60 come base”   è molto significativa. Semplicemente nessuno ha mai scelto una base numerica per nessuna civiltà. Riuscite a immaginare che i Sumeri istituiscano un comitato per decidere sulla loro base numerica: nessuna cosa semplicemente non è avvenuta in quel modo. La ragione deve implicare il modo in cui il conteggio è sorto nella civiltà sumera, proprio come 10 divenne una base in altre civiltà che iniziarono a contare sulle loro dita, e venti divennero una base per coloro che contavano sulle dita delle mani e dei piedi.

Ecco un modo con il quale potrebbe essere successo. Si può contare fino a 60 usando le due mani. Sulla mano sinistra ci sono tre parti su ciascuna delle quattro dita (escluso il pollice). Le parti sono divise l’una dall’altra dalle articolazioni delle dita. Ora si può contare fino a 60 indicando una delle dodici parti delle dita della mano sinistra con una delle cinque dita della mano destra. Questo dà un modo di contare fino a 60 anziché a 10. Chiunque è convinto?

Una variante di questa proposta è stata fatta da altri. Forse la teoria più largamente accettata propone che la civiltà sumera debba essere avvenuta attraverso l’unione di due popoli, uno dei quali aveva base 12 per il loro conteggio e l’altro con base 5. Sebbene 5 non sia simile al 10 come numero base tra i popoli antichi, non è raro ed è chiaramente utilizzato da persone che contano sulle dita di una mano e poi ricominciano. Questa teoria quindi suppone che, mentre i due popoli si mescolavano e che i due sistemi di conteggio fossero usati da membri diversi della società che commerciavano tra di loro, la base 60 sarebbe sorta naturalmente come il sistema che tutti capivano.

Teorema di Pitagora nella matematica babilonese

Esaminiamo quattro tavolette babilonesi che hanno una  connessione con il teorema di Pitagora . Certamente i babilonesi avevano familiarità con il teorema di Pitagora . Una traduzione di una tavoletta babilonese conservata nel museo britannico è la seguente:

è la lunghezza e 5 la diagonale. Qual è l’ampiezza?
La sua dimensione non è nota.
volte 4 è 16 .
volte 5 è 25 .
Prendi
 16 da 25 e ne rimangono 9 .
A che ora cosa devo prendere per ottenere
 9 ?
volte 3 è 9 .
è l’ampiezza.

Tutte le tavolette che vogliamo considerare in dettaglio provengono più o meno dallo stesso periodo, cioè quello dell’antico Impero babilonese che fiorì in Mesopotamia tra il 1900 aC e il 1600 aC. La matematica babilonese fornisce alcune informazioni su come si è sviluppata la civiltà e sullo sfondo matematico che hanno ereditato dai sumeri. Le quattro tavolette che ci interessano qui Yale YBC 7289, Plimpton 322 (mostrata sotto),la tavoletta Susa ela Tell Dhibayi. Parliamo un po di queste tavolette prima di descriverne la matematica che contengono.

La tavoletta Yale YBC 7289 che descriviamo è contenuta nella collezione Yale Babylonian della Yale University. Consiste in una tavola su cui appare un diagramma. Il diagramma è un quadrato del lato 30 con le diagonali disegnate. Il suo significato è stato discusso per la prima volta in [17] e recentemente in [30].

Plimpton 322 è la tavoletta numero 322 nella collezione di GA Plimpton che stà alla Columbia University.

È possibile vedere dall’immagine che l’angolo in alto a sinistra della tavoletta è danneggiato. La sua data non è conosciuta con precisione, ma è collocata tra il 1800 aC e il 1650 aC. Si pensa che sia solo una parte di una tavola più grande, il cui resto è stato distrutto, e inizialmente si pensava che, come molte di questi tavole, fosse una registrazione di transazioni commerciali. Tuttavia in17 ] Neugebauer e Sachs hanno dato una nuova interpretazione e da allora è stata oggetto di un enorme interesse.

La tavoletta Susa è stata scoperta nell’attuale città di Shush nella regione del Khuzistan in Iran. La città si trova a circa 350 km dall’antica città di Babilonia. WK Loftus lo identificò come importante sito archeologico già nel 1850 ma gli scavi non furono eseguiti fino a molto tempo dopo. La particolare tavoletta che ci interessa qui descrive come calcolare il raggio di un cerchio attraverso i vertici di un triangolo isoscele.

Infine la tavoletta Tell Dhibayi era una delle circa 500 ritrovate vicino a Baghdad dagli archeologi nel 1962. La maggior parte si riferisce all’amministrazione di una città antica che fiorì ai tempi di Ibalpiel II di Eshunna e risalente al 1750 circa. La particolare tavoletta che ci riguarda presenta un problema geometrico che chiede di determinare le dimensioni di un rettangolo di cui sono noti l’area e la diagonale.

Prima di esaminare la matematica contenuta in queste quattro tavolette dovremmo descriverne il loro significato nel contesto della matematica babilonese. In primo luogo dobbiamo stare attenti a non sovrastimarne la matematica alla luce delle odierne conoscenze. Viceversa, dobbiamo stare attenti a non sottovalutarne il significato solo perché è stata prodotta da matematici che pensavano in modo molto diverso dai matematici odierni. Non è un problema capire che cos’è la tavoletta Yale YBC 7289.

 

 

 

 

 

 

 

 

Un diagramma della tavoletta Yale

La tavoletta Yale ha un diagramma di un quadrato con 30 su un lato, sono disegnatele diagonali e vicino al centro sono scritte 1,24,51,10 e 42,25,35. Naturalmente questi numeri sono scritti in numeri babilonesi su base 60.  I numeri babilonesi sono sempre ambigui e non abbiamo nessuna indicazione su dove finisce la parte intera e inizia la parte frazionaria. Supponendo che il primo numero sia 1; 24,51,10 convertire questo in un decimale dà 1,414212963 mentre √2 = 1,414213562. Calcolare 30 × [1; 24,51,10] dà 42; 25,35 che è il secondo numero. La diagonale di un quadrato del lato 30 si trova moltiplicando 30 per l’approssimazione a √2.

Questo mostra una buona comprensione del teorema di Pitagora. Tuttavia, ancora più significativa è la domanda su come i babilonesi abbiano trovato questa approssimazione molto buona a √2. Diversi autori, per esempio  congetturano che i Babilonesi usassero un metodo equivalente al metodo di Heron . Il suggerimento è che iniziarono con un’ipotesi, diciamo x . Hanno quindi trovato e = 2 – 2 che è l’errore. Poi

x – e / 2 x ) 2 = 2 – e + ( e / 2 x ) 2 = 2 + ( e / 2 x ) 2

e avevano una migliore approssimazione in quanto se e è piccolo allora ( e / 2 x ) 2 sarà ancora più piccolo. Continuando il processo con questa migliore approssimazione a √2 si ottiene un’approssimazione ancora migliore e così via. Infatti, come sottolinea Joseph in [4], richiede solo due passaggi dell’algoritmo se si inizia con x = 1 per ottenere l’approssimazione 1; 24,51,10.

I babilonesi produssero tavole di quadrati, infatti la loro intera comprensione della moltiplicazione fu costruita intorno al concetto di quadrato, quindi forse un approccio più ovvio per loro sarebbe stato fare due ipotesi, una alta e una bassa diciamo a e b . Prendiamo la loro media ( a + b ) / 2. Se il quadrato è maggiore di 2, allora sostituisci b con quello che vuoi, mentre se il quadrato è minore di 2, allora sostituisci a con ( ab ) / 2. Continua con l’algoritmo. Ora questo certamente richiede molti più passi per raggiungere l’approssimazione sessagesimale 1, 24,51,10. Infatti, iniziando con a = 1 e b = 2, ci vogliono 19 passaggi come mostrato nella tabella seguente: passo decimale sessagesimale

1 1.500000000 1; 29,59,59
2 1.250000000 1; 14,59,59
3 1.375000000 1; 22,29,59
4 1.437500000 1; 26,14,59
5 1.406250000 1; 24,22,29
6 1,421875000 1; 25 , 18,44
7 1.414062500 1; 24,50,37
8 1.417968750 1;25,41
9 1,416015625 1; 24,57,39
10 1.415039063 1; 24,54, 8
11 1,414550781 1; 24,52,22
12 1.414306641 1; 24,51; 30
13 1.414184570 1; 24,51; 3
14 1.414245605 1; 24,51; 17
15 1.414215088 1; 24,51; 10
16 1.414199829 1; 24,51; 7
17 1.414207458 1; 24,51; 8
18 1.414211273 1; 24,51; 9
19 1.414213181 1; 24,51; 10

Tuttavia, i babilonesi non erano spaventati dall’informatica e forse erano pronti a continuare questo semplice calcolo fino a quando la risposta fosse corretta al terzo posto sessagesimale.

Guardiamo di nuovo Plimpton 322

La tavola ha quattro colonne con 15 righe. L’ultima colonna è la più semplice da capire perché dà il numero di riga e quindi contiene 1, 2, 3, …, 15. Il fatto notevole che Neugebauer e Sachs hanno sottolineato in [1] è che in ogni riga il quadrato dà il numero c nella colonna 3 meno il quadrato del numero b nella colonna 2 è un quadrato perfetto, per esempio h .

Quindi la tabella è una lista di tripli interi pitagorici. Ora questo non è del tutto vero poiché Neugebauer e Sachs credono che lo scriba abbia commesso quattro errori di trascrizione, due in ogni colonna e questa interpretazione è necessaria per far funzionare la regola. Gli errori sono prontamente visti come errori genuini, tuttavia, ad esempio 8,1 è stato copiato dallo scriba come 9,1.

2 – 2 = 2

La prima colonna è più difficile da capire, soprattutto perché il danno alla tavoletta significa che manca una parte di essa. Tuttavia, usando la notazione di cui sopra, si vede che la prima colonna è solo ( c / h ) 2 . Fin qui tutto bene, ma se si scrivessero le terne pitagoriche si troverebbero molto più facili di quelli che appaiono sul tavolo. Per esempio la tripla 3, 4, 5 di Pitagora non appare né 5, 12, 13, e infatti la più piccola tripla pitagorica che appare è 45, 60, 75 (15 volte 3, 4, 5). Anche le righe non compaiono in alcun ordine logico tranne che i numeri nella colonna 1 diminuiscono regolarmente. L’enigma quindi è come sono stati trovati i numeri e perché questi particolari tripli pitagorici sono indicati nella tabella.

Diversi storici (vedi per esempio [8]) hanno suggerito che la colonna 1 è connessa con la funzione secante. Tuttavia, come commenta Joseph [ 4 ]: –

Questa interpretazione è un po ‘fantasiosa.

Zeeman ha fatto un’osservazione affascinante. Ha sottolineato che se i Babilonesi usavano le formule h = 2 mn , b = 2 – 2 , c = 2 + 2 per generare tripli pitagorici allora ci sono esattamente 16 tripli che soddisfano n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° e tan t = 2 / 2 aventi un’espansione finita sessagesimale (che è equivalente a m , n , bavere 2, 3 e 5 come loro primi divisori). Ora 15 dei 16 tripli pitagorici che soddisfano le condizioni di Zeeman appaiono in Plimpton 322. È il più antico teorema di classificazione matematica noto? Anche se non possiamo credere che Zeeman abbia ragione, crediamo che la sua spiegazione debba essere sulla strada giusta.

Per dare una giusta discussione su Plimpton 322 dovremmo aggiungere che non tutti gli storici concordano sul fatto che questo tablet riguarda i tripli pitagorici. Per esempio Exarchakos, in [ 17 ], afferma che il tablet è connesso con la soluzione delle equazioni quadratiche e non ha nulla a che fare con le terne pitagoriche: –

… dimostriamo che in questa tavoletta non c’è alcuna prova che i babilonesi conoscessero il teorema di Pitagora e le triadi di Pitagora.

Sento che gli argomenti sono deboli, soprattutto perché ci sono numerose tavolette che mostrano che i babilonesi di questo periodo avevano una buona comprensione del teorema di Pitagora . Altri autori, pur accettando che Plimpton 322 è una raccolta di tripli pitagorici, hanno sostenuto di avere, come scrive Viola in [ 31 ], un uso pratico nel dare un:

… metodo generale per il calcolo approssimativo delle aree dei triangoli.

La tavoletta Susa pone un problema su un triangolo isoscele con lati 50, 50 e 60. Il problema è trovare il raggio del cerchio attraverso i tre vertici.

Ecco un diagramma del tablet Susa

Qui abbiamo definito il triangolo A , B , C e il centro del cerchio è O. L’ AD perpendicolare viene disegnato da A per incontrare il lato BC . Ora il triangolo ABD è un triangolo ad angolo retto, quindi, usando il teorema di Pitagora AD 2 = AB 2 – BD 2 , quindi AD = 40. Lasciamo il raggio del cerchio uguale a x . Quindi AO = OB = x e OD = 40 – x. Usando di nuovo il teorema di Pitagora sul triangolo OBD avremo

2 = OD 2 + DB 2 .

Così

2 = (40- x ) 2 + 30 2

ponendo 2 = 40 2 – 80 x + 2 + 30 quindi 80 x = 2500 o, in sessagesimale, x = 31; 15.

Infine, considera il problema della tavola Tell Dhibayi. Richiede i lati di un rettangolo la cui area è 0; 45 e la cui diagonale è 1; 15. Se i lati sono x , y abbiamo xy = 0.75 e 2 + 2 = (1.25) 2 .

Sostituiremmo y = 0.75 / nella seconda equazione per ottenere un quadratico in che è facilmente risolvibile. Questo tuttavia non è il metodo di soluzione dato dai Babilonesi e in realtà non è sorprendente poiché si basa pesantemente sulla nostra comprensione algebrica delle equazioni. Il modo in cui la tavoletta Tell Dhibayi risolve il problema è in realtà molto più interessante del metodo moderno.

Ecco il metodo dalla tavola Tell Dhibayi. Noi preservare la moderna notazione x ed y come ogni passo per chiarezza, ma facciamo i calcoli in notazione sessagesimale.

Calcola 2xy = 1; 30. Sottrai da 2 + 2 = 1; 33,45 per ottenere 2 + 2 – 2xy = 0; 3,45.

Prendi la radice quadrata per ottenere x – y = 0; 15.

Dividere per 2 per ottenere ( x – y ) / 2 = 0; 7,30.

Dividi 2 + 2 – 2 xy = 0; 3,45 per 4 per ottenere 2 /4 + 2 /4 – xy / 2 = 0; 0,56,15.

Aggiungi xy = 0; 45 per ottenere 2 /4 + 2 /4 + xy / 2 = 0; 45,56,15.

Prendi la radice quadrata per ottenere ( x + y ) / 2 = 0; 52,30.

Aggiungi ( x + y ) / 2 = 0; 52,30 a ( x – y ) / 2 = 0; 7,30 per ottenere x = 1.

Sottrai ( x – y ) / 2 = 0; 7,30 da ( x + y ) / 2 = 0; 52,30 per ottenere y = 0; 45.

Quindi il rettangolo ha lati x = 1 e y = 0; 45.

Non è un bel pezzo di matematica! Ricorda che ha 3750 anni. Dovremmo essere grati ai babilonesi per aver registrato questo piccolo capolavoro su tavolette di argilla che possiamo apprezzare oggi.

Referenze

  1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.htm
  2. K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics, Historia Sci. (2) 1 (3) (1992), 173-180.
  3. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
  4. A E Berriman, The Babylonian quadratic equation, Math. Gaz. 40 (1956), 185-192.
  5. J Hoyrup, The Babylonian cellar text BM 85200+ VAT 6599. Retranslation and analysis, Amphora (Basel, 1992), 315-358.
  6. A Aaboe, Episodi della storia antica della matematica (1964).
  7. BL van der Waerden, Science Awakening (Groningen, 1954).
  8. BL van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (New York, 1983).
  9. R Calinger, Una storia concettuale della matematica (Upper Straddle River, NJ, 1999). G Ifrah, Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer (Londra, 1998)
  10. GG Joseph, The crest of the peacock (Londra, 1991)O Neugebauer e A Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
  11. R Calinger, Una storia concettuale della matematica (Upper Straddle River, NJ, 1999). G Ifrah, Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer (Londra, 1998).
  12. J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese. Plimpton 322, Triplette pitagoriche e equazioni dei parametri triangolari babilonesi, Historia Mathematica 8 (1981), 277-318.
  13. J Hoyrup, matematica babilonese, in I Grattan-Guinness (ed.), Enciclopedia computazionale della storia e filosofia delle scienze matematiche (Londra, 1994), 21-10
  14. A Aaboe, Episodi della storia antica della matematica (1964).
  15. R Calinger, Una storia concettuale della matematica (Upper Straddle River, NJ, 1999).
  16. G Ifrah, Una storia universale di numeri: dalla preistoria all’invenzione del computer (Londra, 1998).
  17. GG Joseph, The crest of the peacock (Londra, 1991).
  18. O Neugebauer e A Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
  19. BL van der Waerden, Science Awakening (Groningen, 1954).
  20. BL van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (New York, 1983).
  21. A Ahmad, su radice quadrata babilonese e vedica di 2, Ganita Bharati 16 (1-4) 1994), 1-4.
  22. C Anagnostakis e BR Goldstein, su un errore nella tavola babilonese dei tripli pitagorici, Centauro 18 (1973/74), 64-66.
  23. JK Bidwell, Algebra geometrica babilonese, College Math. J. 17 (1) (1986), 22-31.
  24. EM Bruins, problemi di Fermat nella matematica babilonese, Janus 53 (1966), 194-211.
  25. EM Bruins, On Plimpton 322. Numeri pitagorici nella matematica babilonese, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 52 (1949), 629-632.
  26. EM Bruins, triade pitagoriche in matematica babilonese, matematica. Gaz. 41 (1957), 25-28.
  27. EM Bruins, triade pitagoriche nella matematica babilonese. Gli errori su Plimpton 322, Sumer 11 (1955), 117-121.
  28. EM Bruins, Radici quadrate in matematica babilonese e greca, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 51 (1948), 332-341.
  29. M Caveing, La tablette babylonienne AO ​​17264 du Musée du Louvre e le problème des six frères, Historia Math. 12 (1) (1985), 6-24.
  30. TG Exarchakos, matematica babilonese e triade pitagoriche, toro. Matematica greca. Soc. 37 (1995), 29-47.
  31. D Fowler ed E Robson, approssimazioni della radice quadrata nella vecchia matematica babilonese: YBC 7289 nel contesto, Historia Math. 25 (4) (1998), 366-378.
  32. J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese. II. Un vecchio testo del catalogo babilonese con equazioni per quadrati e cerchi, J. Cuneiform Stud. 33 (1) (1981), 57-64.
  33. J Friberg, Metodi e tradizioni della matematica babilonese: Plimpton 322, Tripli pitagorici e equazioni dei parametri del triangolo babilonese, Historia Math. 8 (3) (1981), 277-318.
  34. RJ Gillings, errore inspiegabile nella tavoletta cuneiforme babilonese, Plimpton 322, australiano J. Sci. 16 (1953), 54-56.
  35. RJ Gillings e CL Hamblin, tavole reciproche sessagesimali babilonesi, Austral. J. Sci. 27 (1964), 139-141.
  36. J Hoyrup, testo della cantina babilonese BM 85200+ VAT 6599: Retranslation and analysis, in Amphora (Basel, 1992), 315-358.
  37. S Ilic, MS Petkovic e D Herceg, Una nota sull’algoritmo di radice quadrata babilonese e relative varianti, Novi Sad J. Math. 26 (1) (1996), 155-162.
  38. M Linton, triplette babilonesi, toro. Inst. Matematica. Appl. 24 (3-4) (1988), 37-41.
  39. K Muroi, Estrazione di radici cubiche nella matematica babilonese, Centaurus 31 (3-4) (1988), 181-188.
  40. K Muroi, Estrazione di radici quadrate nella matematica babilonese, Historia Sci. (2) 9 (2) (1999), 127-133.
  41. K Muroi, Le espressioni di zero e di quadratura nel testo matematico babilonese VAT 7537, Historia Sci. (2) 1 (1) (1991), 59-62.
  42. DJ de Solla Price, la tavoletta babilonese “Triangolo pitagorico”, Centauro 10 (1964/1965), 1-13.
  43. O Schmidt, On Plimpton 322: numeri pitagorici nella matematica babilonese, Centauro 24 (1980), 4-13.
  44. T Viola, nella lista dei tripli pitagorici (“Plimpton 322”) e su un possibile uso di essa nella vecchia matematica babilonese (italiana), Boll. Storia Sci. Stuoia. 1 (2) (1981), 103-132.

Specify a Disqus shortname at Social Comments options page in admin panel