L’ampiezza di Veneziano e gli albori della String Theory

Nella fisica teorica , l’ ampiezza di Veneziano si riferisce alla scoperta fatta nel 1968 dal fisico teorico italiano Gabriele Veneziano che la funzione beta di Eulero , quando interpretata come un’ampiezza di dispersione, ha molte delle caratteristiche necessarie per spiegare le proprietà fisiche di mesoni fortemente interagenti , come come simmetria e dualità. La simmetria conforme fu presto scoperta. La formula è la seguente:

 .

n è un vettore (come un quattro-vettore ) che si riferisce al momento della n- esima particella. Γ è la funzione gamma . Questa scoperta può essere considerata la nascita della teoria delle stringhe, poiché la scoperta e l’invenzione della teoria delle stringhe è nata come una ricerca di un modello fisico che avrebbe dato origine a un’ampiezza così dispersiva. In matematica , la funzione beta , chiamata anche integrale di Eulero del primo tipo, è una funzione speciale definita da

per Re x , Re y > 0 . La funzione beta è stata studiata da Eulero e Legendre e gli è stato dato il nome da Jacques Binet ; il suo simbolo Β è una beta capitale greca piuttosto che la simile capitale latina B o la greca β minuscola.

Gabriele Veneziano si laurea in fisica nel 1965 presso l’Università di Firenze (direttore della tesi: Raoul Gatto). Nel 1967 consegue il dottorato in fisica presso l’Istituto Weizmann di Rehovot (Israele), dove torna come professore (cattedra speciale Amos de Shalit) nel 1972, dopo un soggiorno al MIT dapprima come post-doctoral fellow e poi come Assistant Professor.Dal 1978 è Permanent Senior staff member presso il CERN di Ginevra, dove è stato anche direttore della divisione di fisica teorica tra il 1994 e il 1997.

Al suo lavoro del 1968 si deve la nascita dei modelli duali (Modello di Veneziano o Dual Resonance Model), dai quali traggono origine le teorie delle stringhe, una delle frontiere attuali della ricerca di una teoria unificata delle interazioni fondamentali. I suoi contributi più importanti sono nell’ambito delle teorie di campo, di quelle di stringa e dei modelli cosmologici suggeriti da queste ultime. Scopre che la funzione Beta di Eulero, usata come un’ampiezza di scattering (Ampiezza di Veneziano), ha molte caratteristiche utili per spiegare le proprietà fisiche di particelle che interagiscono secondo le interazioni forti. Nel 1968 scopre una funzione riconducibile all’integrale di Eulero, in grado di descrivere il comportamento di quark, elettroni e fotoni, ma non adatta per le altre particelle nucleari. Questo sforzo di Veneziano è considerato il fondamento della teoria delle stringhe, anche se a quel punto non si sapeva che l’analisi potesse essere interpretata come relativa agli archi. Un altro ricercatore del CERN, Mahiko Suzuki, allo stesso tempo sviluppò autonomamente la stessa analisi di Veneziano.

Circa 1970 tre diversi fisici; Yoichiro Nambu dell’Università di Chicago, Holger Nielsen del Niels Bohr Institute e Leonard Susskind, in seguito della Stanford University; Scoprirono che la formulazione di Veneziano poteva essere ricavata da particelle che erano stringhe piuttosto che punti. Le corde potrebbero allungarsi, contrarsi e anche vibrare. C’era in questo momento una rivalità tra due approcci alla fisica delle particelle; teoria dei campi quantistici e teoria della matrice S. La matrice S (matrice di scattering) di per sé è solo il valore matematico di ciò che accade quando le varie particelle elementari si scontrano o interagiscono in altro modo. È stato originariamente formulato da Werner Heisenberg. L’approccio del campo quantistico alla fisica delle particelle coinvolge i diagrammi di Feynman per le interazioni delle particelle elementari, che possono implicare quantità infinite. La procedura per la rimozione di questi infiniti si chiama rinormalizzazione .

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Euler’s Equation fits the Strong Force and String Theory is invented.

L’ approccio alla teoria della matrice S ha distolto le visualizzazioni, i diagrammi di Feynman e la rinormalizzazione e ha ridotto tutto all’ottenimento della matrice delle interazioni di particelle. L’eccezionale sostenitore della teoria della matrice S fu Geoffrey Chew dell’Università della California a Berkeley. La teoria delle stringhe sembrava essere una vittoria per la teoria della matrice S di Chew. Dopo aver tentato di verificare che la teoria delle stringhe fosse coerente con la Relatività Speciale e la teoria quantistica, si concluse che tale coerenza richiedeva che il mondo fosse di 26 dimensioni e che esistesse una particella senza massa che viaggia a una velocità maggiore della velocità della luce. (Una tale particella è chiamata tachione). Questo non è stato immediatamente preso come un completo discredito della teoria. Tre fisici dell’Università del Wisconsin, Bunji Sakita, Keiji Kikkawa e Miguel Virasoro, hanno ipotizzato che l’aggiunta di stringhe chiuse (loop) al modello avrebbe risolto alcuni dei problemi del modello di Veneziano. Ciò tuttavia richiederebbe la considerazione dei diagrammi di Feynman per le interazioni.

La teoria delle stringhe di Veneziano riguardava solo le particelle che agivano attraverso la forza nucleare forte. Un altro problema con la teoria di Veneziano era che non vi era posto per fermioni , particelle con spin di mezzo unità. Pierre Raymond riformulò il modello per tenere conto della rotazione delle particelle e quindi la sua versione includeva bosoni, particelle con spin integrali e fermioni. Così fu come se i teorici della corda piangessero:

The Old String Theory è morto! Lunga vita alla nuova teoria delle stringhe!

Anche John Schwarz e Andre Neveu della Princeton University hanno creato una tale riformulazione della teoria delle stringhe. La nuova teoria delle stringhe aveva il vantaggio che non richiedeva coerenza con la Relatività Speciale e la teoria quantistica dell’esistenza di un tachione e di un mondo di 26 dimensioni. Richiedeva solo un mondo di dieci dimensioni. Questa teoria delle stringhe modificata divenne nota come teoria delle superstringhe . Questo è stato il primo, ma non l’ultimo, caso in cui un nome è stato coniato che sembra essere significativo ma è comunque opaco

Il mondo sembra consistere di tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale. Tuttavia, affinché l’universo sia finito, dovrebbe essere curvato in una quarta dimensione spaziale. È anche possibile che il tempo sia curvo e ciò richiederebbe una seconda dimensione temporale. . Quindi è possibile che il nostro mondo a quattro dimensioni coinvolga effettivamente sei dimensioni. Ma non è così che i teorici delle stringhe razionalizzano le dimensioni extra invisibili. Un mondo che è un tubo stretto sembrerebbe essere unidimensionale, ma una posizione attorno alla sezione circolare del tubo costituirebbe una seconda dimensione. I teorici delle stringhe prevedono una complicazione multidimensionale dello spazio esistente in ogni punto dello spazio. Si noti che la nozione che il mondo sia di dieci dimensioni ha solo lo strano supporto di ciò se il mondo non è di dieci dimensioni, quindi la teoria delle superstringhe è certamente sbagliata. Questo è ciò che Richard Feynman, uno dei più eminenti fisici del ventesimo secolo, disse riguardo alla teoria delle superstringhe:

Non mi piace che non stiano calcolando nulla. Non mi piace che non controllino le loro idee. Non mi piace per tutto ciò che non è d’accordo con un esperimento, preparano una spiegazione – una correzione per dire “Beh, potrebbe essere ancora vero”. Ad esempio, la teoria richiede dieci dimensioni. Bene, forse c’è un modo di avvolgere sei dimensioni. Sì, è matematicamente possibile, ma perché non sette? Quando scrivono le loro equazioni, le equazioni dovrebbero decidere quante di queste cose vengono messe a tacere, non il desiderio di essere d’accordo con l’esperimento. In altre parole, non vi è alcuna ragione per la teoria delle superstringhe sul fatto che non siano otto delle dieci dimensioni ad essere avvolte e che il risultato sia di due dimensioni, il che sarebbe completamente in disaccordo con l’esperienza. Quindi il fatto che potrebbe non essere d’accordo con l’esperienza è molto tenue, non produce nulla, deve essere scusato il più delle volte. Non sembra giusto.

Questo è da Superstrings: A Theory of Everything (1988), pp. 194-195.

Sheldon Glashow, un altro fisico eccezionale del ventesimo secolo, dice

Ma i teorici delle superstringhe non hanno ancora dimostrato che la loro teoria funzioni davvero. Non possono dimostrare che la teoria standard sia un risultato logico della teoria delle stringhe. Non possono nemmeno essere sicuri che il loro formulare includa una descrizione di cose come protoni ed elettroni. E non hanno ancora fatto neanche una predizione sperimentale piccolissima. La cosa peggiore di tutte, la teoria delle superstringhe non segue come conseguenza logica di qualche accattivante insieme di ipotesi sulla natura. Perché, potresti chiedere, i teorici delle stringhe insistono sul fatto che lo spazio è a nove dimensioni? Semplicemente perché la teoria delle stringhe non ha senso in nessun altro tipo di spazio. …

Questo è tratto da Interazioni: Un viaggio nella mente di un particle physicist (1988), p. 25.

Durante il decennio successivo alla formulazione della teoria delle superstringhe si svilupparono possibili anomalie tra esso e la teoria quantistica. L’interesse per la comunità fisica è diminuito. Ma nel 1984 John Schwarz e Michael Green scrissero un articolo in cui fornivano una forte evidenza che la teoria delle superstringhe era coerente ed era finita; cioè, non ha portato a infiniti nei calcoli. Il titolo dell’articolo era “Anomaly Cancellations in Supersymmetric D = 10 Gauge Theory and Superstring Theory.” Anche prima che questo articolo fosse pubblicato, Edward Witten a Princeton richiese una copia e immediatamente i fisici della Princeton University e dell’Institute for Advanced Study iniziarono a lavorare sulla teoria delle superstringhe. Nel 1985 quattro di questi teorici delle stringhe; Edward Witten, Philip Candelas, Gary Horowitz e Andrew Strominger; prodotto un articolo intitolato “Configurazioni del vuoto per Superstringhe”.

All’inizio la teoria delle stringhe pensava in termini di compattazione che consisteva in qualcosa come una sfera o un toro, ma gli autori hanno scoperto che i matematici Eugenio Calabi e Shing-tung Yau avevano formulato e analizzato uno speciale tipo di varietà bidimensionale che poteva essere coinvolto . Un esempio è mostrato sotto.

L’articolo mostrava che le condizioni per la teoria delle superstringhe implicano una versione del modello standard erano le stesse che definivano una varietà di Calabi-Yau. Inoltre i parametri del modello standard come le masse delle particelle corrispondevano alle caratteristiche del collettore Calabi-Yau.

Nel 1986 uno degli autori dell’articolo precedente, Andrew Strominger, pubblicò un articolo intitolato “Superstring with Torsion”, che mostrava come formulare una grande varietà di teorie sulle superstringhe. Quindi esiste una grande popolazione di teorie sulle superstringhe e non un singolo esperimento in grado di selezionare quello che è rilevante per il mondo reale. E forse nessuno di loro lo sono.

Nel 1995 la popolazione delle teorie sulle superstringhe era stata ristretta a solo cinque. Nel marzo di quell’anno si tenne una conferenza sulla teoria delle stringhe all’Università della California del Sud a Los Angeles.

 

Edward Witten ha tenuto una conferenza in quella conferenza in cui ha delineato la natura che la teoria delle stringhe avrebbe preso in futuro. Propose che vi fossero dualità coinvolte tra le cinque versioni della teoria delle stringhe in modo tale da poterle considerare tutte come manifestazioni di una singola teoria. Tuttavia l’unificazione delle cinque versioni della teoria delle stringhe ha avuto un prezzo: il numero di dimensioni del mondo deve essere undici anziché dieci. Ma non c’è una stringa coerenteteoria delle undici dimensioni. Esiste una versione in undici dimensioni che coinvolge le membrane, analoghi bidimensionali delle stringhe unidimensionali. Witten diede il nome di teoria M alla teoria che doveva sostituire le stringhe. Ma non era poi così diverso. Se una dimensione di una membrana è avvolta attorno a un cerchio, diciamo un piccolo cerchio, è un tubo che effettivamente è unidimensionale.

Un teorico delle corde che ascoltava la conferenza di Witten era Joseph Polchinski dell’Università della California a Santa Barbara. Polchinski andò a lavorare per investigare le idee proposte da Witten. Era in grado di dimostrare che le dualità tra le cinque versioni delle teorie delle stringhe non esisterebbero a meno che non esistessero versioni dimensionali superiori di stringhe come le membrane. Ha generalizzato le membrane bidimensionali e chiamato strutture D-brane generalizzate. Questi sono cruciali per legare la teoria M per valutare le teorie e collegarla al modello standard.

Nel 1996 Andrew Strominger e Cumrun Vafa scoprirono che la versione brane della teoria delle stringhe di Polchinski permetteva di descrivere e incorporare un tipo speciale di buco neroall’interno della teoria. Il fisico argentino, Juan Maldacena, dimostrò quanto la teoria della brana corrispondesse alla fisica dei buchi neri. Questa è una strana reinterpretazione di una teoria che si supponeva appartenesse a particelle subatomiche che si applicano a strutture astronomiche, in realtà a strutture teoriche astronomiche. Era particolarmente strano il fatto che la formulazione della teoria delle stringhe non includesse la gravità, ma i buchi neri erano strutture tali che la forza gravitazionale è così grande che nemmeno la luce può sfuggire a loro. In qualche modo la teoria delle stringhe è stata coinvolta nella questione della termodinamica dei buchi neri. Tutto ciò riguardava l’interpretazione delle formulazioni teoriche della teoria delle stringhe.

C’era stato un articolo intitolato “Sulla meccanica quantistica dei supermembrane”, pubblicato nel 1988 che tentava di derivare la teoria quantistica da una teoria della membrana a undici dimensioni. Gli autori; Bernard de Wit, Jens Hoppe e Hermann Nicolai; determinato che questo potrebbe essere fatto se le membrane sono rappresentate come matrici.

Nel 1996 i fisici; Thomas Banks, Willy Fischer, Stephen Shenker e Leonard Susskind; ha pubblicato un articolo dal titolo “M-Theory as a Matrix Model: A Conjecture”, in cui propongono, come indica il titolo, che il modello del 1988 di de Wit, Hoppe e Nicolai è il M-Theory Witten richiesto. Ancora una volta era una questione di

The Old String Theory è morto! Lunga vita alla nuova teoria delle stringhe!

Il fisico Lee Smolin nel suo libro del 2006 Trouble with Physics afferma che la professione fisica è superflua alla nozione di teoria delle stringhe.

[…] Nonostante l’assenza di supporto sperimentale e formulazione precisa, la teoria viene creduta ai suoi aderenti con una certezza che sembra emotiva piuttosto che razionale.[…] Quasi ogni teorico delle particelle con una posizione permanente presso il prestigioso Institute for Advanced Study, incluso il direttore, è un teorico delle stringhe. Lo stesso vale per l’Istituto di Kavli per la fisica teorica. Otto delle nove borse di studio MacArthur assegnate ai fisici delle particelle sin dall’inizio del programma nel 1981 sono andate anche ai teorici delle stringhe. E nei principali dipartimenti di fisica del paese (Berkeley, Caltech, Harvard, MIT, Princeton e Stanford), venti dei ventidue professori di fisica delle particelle che hanno ricevuto il dottorato dopo il 1981 hanno fatto la loro reputazione nella teoria delle stringhe o approcci correlati. (Pagina xx dell’Introduzione.)

Era il 2006. Nel 2015 la situazione è pressappoco la stessa: teoria delle stringhe sul punto di spiegare tutto ma non di aver prodotto una previsione verificabile. La maggior parte delle teorie ha un insieme di parametri liberi i cui valori sono stabiliti dal particolare universo che abbiamo. Richard Dawid, nel suo libro String Theory e il metodo scientifico sottolinea che la teoria delle stringhe non ha parametri liberi ed è l’unica teoria scientifica con questa caratteristica. Sembra che

La teoria delle stringhe è una risposta elegante alla ricerca di una domanda appropriata.

Forse i teorici delle stringhe hanno dimenticato che la teoria del flogisto del calore e l’ etere luminifero per la propagazione delle onde elettromagnetiche erano soluzioni eleganti a problemi reali, ma ancora non avevano ragione.

Alcuni ex teorici delle stringhe sono più incisivi nelle loro critiche. Peter Woit, nel suo libro Not Even Wrong: The Failure of String Theory e Search for Unity in Physical Law sostiene che la mancanza di rigore della teoria delle stringhe ha lasciato i suoi professionisti incapaci di distinguere tra una speculazione scientifica e un autentico risultato analitico. il risultato è un disastro in termini di spreco di finanziamenti e talento scientifico. Lee Smolin parla di essere sfidato alle conferenze sulla teoria delle stringhe e del suo diritto ad esserci.

Ciò che si può dire è che il viaggio che il termine teoria della stringa rappresenta è disseminato di formulazioni e interpretazioni scartate che un tempo si pensava fossero sviluppi rivoluzionari nella scienza. Questi sono stati scartati a causa di difetti teorici, ma è improbabile che il fallimento empirico di una versione della teoria delle stringhe avrebbe portato a qualcosa di diverso da una riformulazione della teoria delle stringhe e una continuazione della ricerca. Quello che segue è un grafico del numero di articoli pubblicati all’anno nella teoria delle stringhe dal 1973 al 2008.

Nonostante più di 800 articoli pubblicati all’anno 1998 e oltre, nessuna previsione verificabile della teoria delle stringhe è stata sviluppata nel 2015. Tuttavia, ciò che è venuto fuori dallo sforzo è proposizioni valide in matematica.

Il processo prevede di coinvolgere due parti. La prima parte consiste nel formulare un modello in termini di meccanica lagrangiana e analizzarlo rigorosamente matematicamente. La seconda parte riguarda il collegamento dei risultati matematici in modo ingenuo ma non aggressivo alle entità nel mondo fisico. La prima parte è la teoria delle stringhe in quanto tale; la seconda parte è più o meno teoria dei filati . Padre Divino, un leader della setta degli anni ’20 e ’50, disse una volta

Il problema con questo mondo è che ci sono troppi metafisici che non sanno come tangibilitare.

Il problema ora può essere che ci sono troppi metafisici che sanno come tangibilitare e lo fanno liberamente. Inoltre, la teoria delle stringhe è un esempio di un tentativo di eseguire un falso sillogismo fin troppo prevalente nella scienza. Il falso sillogismo è:

La proposizione A implica la proposizione B La 
proposizione B è vera 
Quindi la proposizione A è vera

Per trarre questa conclusione bisognerebbe stabilire che la proposizione B è vera solo se la proposizione A è vera, che è una proposizione molto più forte di quella usata nel falso sillogismo. In questa fase la teoria delle stringhe sta raccogliendo la caratterizzazione spiritosa di persone che non sono veri credenti; per esempio,

La teoria delle stringhe è The Theory of more than Everything . .,

Proprietà della funzione Beta di Eulero

La funzione beta è simmetrica , il che significa che

Una proprietà chiave della funzione Beta è la sua relazione con la funzione gamma ; la prova è riportata di seguito nella sezione sulla relazione tra funzione gamma e funzione beta

Quando x ed y sono numeri interi positivi, risulta dalla definizione della funzione gamma Γ che:

La funzione Beta soddisfa diverse identità interessanti, tra cui

dove t ↦ x+ è una funzione di potenza troncata e la stella denota la convoluzione .

L’identità più in basso sopra mostra in particolare Γ (1/2) = √ π . Alcune di queste identità, ad esempio la formula trigonometrica, possono essere applicate per derivare il volume di un n- ball in coordinate cartesiane .

L’integrale di Eulero per la funzione beta può essere convertito in un integrale sul contorno di Pochhammer C come

Questo integrale di contorno di Pochhammer converge per tutti i valori di α e β e dà così la continuazione analitica della funzione beta.

Proprio come la funzione gamma per gli interi descrive i fattoriali, la funzione beta può definire un coefficiente binomiale dopo aver regolato gli indici:

Inoltre, per l’intero n , Β può essere fattorizzato per dare una forma chiusa, una funzione di interpolazione per valori continui di k :

La funzione beta è stata la prima ampiezza di diffusione nota nella teoria delle stringhe , prima congetturata da Gabriele Veneziano . Si verifica anche nella teoria del processo di attaccamento preferenziale , un tipo di processo urna stocastico .

Referenze

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