Sezione Aurea e sequenza di Fibonacci

Il suo vero nome era Leonardo Pisano Bogollo, e visse tra il 1170 e il 1250 in Italia. “Fibonacci” era il suo soprannome, che significa grosso modo “Figlio di Bonacci”. Oltre ad essere famoso per la sequenza di Fibonacci, ha contribuito a diffondere i numeri indù-arabi (come i nostri numeri attuali 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) attraverso l’Europa al posto dei numeri romani ( I, II, III, IV, V, ecc.). Questo ci ha fatto risparmiare un sacco di problemi. La sequenza di Fibonacci appare nella matematica indiana , in connessione con la prosodia sanscrita. Nella tradizione sanscrita della prosodia, c’era interesse nel enumerare tutti i modelli di sillabe lunghe (L) che sono 2 unità di durata, e sillabe corte (S) che sono 1 unità di durata. Il conteggio dei diversi modelli di L e S di una data durata determina i numeri di Fibonacci: il numero di modelli che sono m brevi sillabe lunghe è il numero di Fibonacci m  + 1 . 

Susantha Goonatilake scrive che lo sviluppo della sequenza di Fibonacci “è attribuito in parte a Pingala (200 aC), in seguito associato a Virahanka (700 d.C.), Gopala (1135 circa) e Hemachandra (1150 circa)”. Parmanand Singh cita la formula criptica di Pingala misrau cha (“i due sono mescolati”) e cita studiosi che la interpretano nel contesto come dicendo che i casi per i m battimenti ( m + 1 ) si ottengono aggiungendo una [S] a m casi e [L] per i m -1casi. Risale a Pingala prima del 450 aC. Tuttavia, l’esposizione più chiara della sequenza sorge nel lavoro di Virahanka (700 d.C.), la cui opera è andata persa, ma è disponibile in una citazione di Gopala (1135 circa):

Variazioni di due metri precedenti [è la variazione] … Ad esempio, per [un metro di lunghezza] quattro, le variazioni di metri di due [e] tre sono mescolate, cinque si verificano. [elabora gli esempi 8, 13, 21] … In questo modo, il processo dovrebbe essere seguito in tutte le mātrā-vṛttas [combinazioni prosodiche].

La sequenza è anche discussa da Gopala (prima del 1135 d.C.) e dallo studioso Jain Hemachandra (1150 circa).

Il numero di coppie di conigli forma la sequenza di Fibonacci

Al di fuori dell’India, la sequenza di Fibonacci appare per la prima volta nel libro Liber Abaci (1202) di Fibonacci.  Fibonacci considera la crescita di una popolazione di conigli idealizzata (biologicamente non realistica) , assumendo che: una coppia di conigli appena nati, un maschio e una femmina, siano messi in un campo; i conigli sono in grado di accoppiarsi all’età di un mese in modo che alla fine del secondo mese una femmina possa produrre un altro paio di conigli; i conigli non muoiono mai e una coppia di accoppiamento produce sempre una nuova coppia (un maschio, una femmina) ogni mese a partire dal secondo mese in poi. Il puzzle che ha posto Fibonacci è stato: quante coppie ci saranno in un anno?

  • Alla fine del primo mese, si accoppiano, ma c’è ancora solo una coppia.
  • Alla fine del secondo mese la femmina produce una nuova coppia, quindi ora ci sono 2 coppie di conigli nel campo.
  • Alla fine del terzo mese, la femmina originale produce una seconda coppia, facendo 3 coppie in tutto nel campo.
  • Alla fine del quarto mese, la femmina originale ha prodotto ancora un’altra nuova coppia, e la femmina nata due mesi fa produce anche la sua prima coppia, facendo 5 paia.

Alla fine del n ° mese, il numero di coppie di conigli è uguale al numero di nuove coppie (cioè, il numero di coppie in mese n  – 2) più il numero di coppie in vita il mese scorso (vale a dire, n  – 1). Questo è il n numero di Fibonacci.Il nome “Sequenza di Fibonacci” fu usato per la prima volta dal teorico dei numeri del 19 ° secolo Édouard Lucas .

Sequenza di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è la serie di numeri:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Il prossimo numero si trova sommando i due numeri precedenti.

  • Il 2 viene trovato aggiungendo i due numeri precedenti (1 + 1)
  • Il 3 si trova aggiungendo i due numeri precedenti (1 + 2),
  • E il 5 è (2 + 3),
  • e così via!
Esempio: il numero successivo nella sequenza sopra è 21 + 34 = 55

Ecco una lista più lunga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

Riesci a capire i prossimi numeri?

Fa una spirale

Quando creiamo quadrati con queste larghezze, otteniamo una bella spirale:

Fibonacci Spiral

Vedi come si allineano perfettamente i quadrati?
Ad esempio 5 e 8 fanno 13, 8 e 13 fanno 21, e così via.

girasole
Questa spirale si trova in natura

La regola

La Sequenza di Fibonacci può essere scritta come una “Regola”. Innanzitutto, i termini sono numerati da 0 in poi in questo modo:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
n = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Quindi il termine numero 6 è chiamato 6 (che equivale a 8).

Esempio: l’ ottavo termine è
il settimo termine più il sesto termine:

8 = x 7 + x 6

regola fibonacci x_8=x_7 + x_6

Quindi possiamo scrivere la regola:

La regola è n = x n-1 + x n-2

dove:

  • n è il numero di termine “n”
  • n-1 è il termine precedente (n-1)
  • n-2 è il termine precedente (n-2)
Esempio: il termine 9 è calcolato in questo modo:
9= x 9-1 + x 9-2
 = x 8 + x 7
 = 21 + 13
 = 34

Rapporto aureo

rettangolo d'oro

E qui c’è una sorpresa. Quando prendiamo due numeri di Fibonacci successivi (uno dopo l’altro) , il loro rapporto è molto vicino al Golden Ratio ” φ ” che è approssimativamente 1.618034 …

Infatti, più grande è la coppia di numeri di Fibonacci, più vicina è l’approssimazione. Proviamo alcuni:

UN
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1,666,666666 millions …
5
8
1.6
8
13
1.625
144
233
1,618,055556 millions …
233
377
1,618,025751 millions …

Nota: questo funziona anche quando selezioniamo due numeri interi casuali per iniziare la sequenza, come 192 e 16 (otteniamo la sequenza 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984 , 19392, 31376, … ):

UN
B
B / A
192
16
0.08333333 …
16
208
13
208
224
1.07692308 …
224
432
1.92857143 …
7408
11984
1.61771058 …
11984
19392
1.61815754 …

Ci vuole più tempo per ottenere buoni valori, ma dimostra che non solo la Sequenza di Fibonacci può farlo!

Utilizzo del rapporto aureo per calcolare i numeri di Fibonacci

E ancora più sorprendente è che possiamo calcolare qualsiasi numero di Fibonacci usando la sezione aurea:

formula di fibonacci phi

 

 

La risposta viene sempre fuori come un numero intero , esattamente uguale all’aggiunta dei due termini precedenti. Esempio:

formula di fibonacci phi 6

 

 

Alcune cose interessanti

Ecco di nuovo la sequenza di Fibonacci:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n= 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

C’è un modello interessante:

  • Guarda il numero 3 = 2 . Ogni 3 ° numero è un multiplo di 2 (2, 8, 34, 144, 610, …)
  • Guarda il numero 4 = 3 . Ogni 4 ° numero è un multiplo di 3 (3, 21, 144, …)
  • Guarda il numero 5 = 5 . Ogni 5 ° numero è un multiplo di 5 (5, 55, 610, …)

E così via (ogni n numero è un multiplo di n ).

1/89 = 0,011235955056179775 …

Si noti che le prime cifre (0,1,1,2,3,5) sono la sequenza di Fibonacci?

In un certo modo sono tutti , tranne i numeri a più cifre (13, 21, ecc.) Che si sovrappongono, come questo:

0.0
0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
    … eccetera …
0,011235955056179775 …   = 1/89

Termini sotto zero

Anche la sequenza funziona sotto lo zero, in questo modo:

n = -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n = -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8

(Prova a te stesso che ogni numero si trova sommando i due numeri primi!)

Infatti la sequenza sotto zero ha gli stessi numeri della sequenza sopra lo zero, eccetto che seguono un modello + – + – …. Può essere scritto così:

-n = (-1) n + 1 n

Il che dice che il termine “-n” è uguale a (-1) n + 1 volte il termine “n”, e il valore (-1) n + 1 rende esattamente il corretto 1, -1,1, -1, .. modello.

Il rapporto aureo ha avuto un fascino speciale per almeno 2.400 anni, anche se senza prove attendibili :

Alcune delle più grandi menti matematiche di tutte le età, da Pitagora e Euclide nella Grecia antica , attraverso il medievale matematico italiano Leonardo di Pisa e l’astronomo rinascimentale Giovanni Keplero , a oggi personalità scientifiche come Oxford fisico Roger Penrose, ho trascorso ore infinite su questo semplice rapporto e le sue proprietà. Ma il fascino del Golden Ratio non è limitato ai matematici. Biologi, artisti, musicisti, storici, architetti, psicologi e persino mistici hanno meditato e dibattuto sulla base della sua ubiquità e del suo fascino. In effetti, è probabilmente giusto dire che il Golden Ratio ha ispirato i pensatori di tutte le discipline come nessun altro numero nella storia della matematica.

I matematici della Grecia antica hanno studiato per la prima volta quello che ora chiamiamo il rapporto aureo a causa della sua frequente apparizione in geometria . La divisione di una linea in “rapporto estremo e medio” (sezione aurea) è importante nella geometria regolare pentagrammi e pentagoni . Elementi di Euclide fornisce la prima definizione scritta nota di quella che ora viene chiamata la sezione aurea:

Si dice che una linea retta sia stata tagliata in un rapporto estremo e medio quando, come l’intera linea è per il segmento più grande, così è tanto maggiore quanto minore.

Euclide spiega una costruzione per tagliare (sezionare) una linea “in rapporto estremo e medio” (cioè, la sezione aurea). Attraverso gli Elementi , diverse proposizioni ( teoremi nella terminologia moderna) e le loro dimostrazioni impiegano la sezione aurea. La sezione aurea viene esplorata nel libro di Luca Pacioli De divina proportione ( 1509 ). L’approssimazione prima nota del (inverso) rapporto aureo da una frazione decimale , indicato come “circa 0,6,18034 milioni”, è stato scritto nel 1597 da Michael Maestlin della Università di Tubinga in una lettera al suo ex studente Johannes Kepler . Dal XX secolo, la proporzione aurea è stata rappresentata dalla lettera greca φ ( phi , dopo Fidia , uno scultore che si dice abbia impiegato) o meno comunemente da τ ( tau , la prima lettera dell’antica radice greca τομή- significato tagliato ).

Sequenza temporale

Cronologia secondo Priya Hemenway:

  • Fidia (490-430 aC) fece delle statue del Partenone che sembrano incarnare la sezione aurea.
  • Platone (427-347 aC), nel suo Timeo , descrive cinque possibili solidi regolari (i solidi platonici : il tetraedro , il cubo , l’ ottaedro , il dodecaedro e l’ icosaedro ), alcuni dei quali sono legati alla sezione aurea.
  • Euclide (325 aC circa 265 aC), nei suoi Elementi , diede la prima definizione registrata della sezione aurea, che chiamò, come tradotto in inglese, “rapporto estremo e medio” (in greco: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).
  • Fibonacci (1170-1250) menzionò la serie numerica ora intitolata a lui nel suo Liber Abaci ; il rapporto tra gli elementi sequenziali della sequenza di Fibonacci si avvicina asintoticamente alla sezione aurea.
  • Luca Pacioli (1445-1517) definisce la proporzione aurea come la “proporzione divina” nella sua Divina Proportione .
  • Michael Maestlin (1550-1631) pubblica la prima approssimazione nota del rapporto aureo (inverso) come frazione decimale .
  • Johannes Kepler (1571-1630) dimostra che il rapporto aureo è il limite del rapporto dei numeri consecutivi di Fibonacci e descrive la sezione aurea come un “gioiello prezioso”: “La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora , e l’altro la divisione di una linea in rapporto estremo e medio: il primo che possiamo confrontare con una misura di oro, il secondo possiamo nominare un gioiello prezioso. ” Questi due tesori sono combinati nel triangolo di Keplero .
  • Charles Bonnet (1720-1793) sottolinea che nella spirale dei fillotassi delle piante che andavano in senso orario e antiorario erano frequentemente due serie successive di Fibonacci.
  • Martin Ohm (1792-1872) è il primo ad usare il termine goldener Schnitt (sezione aurea) per descrivere questo rapporto, nel 1835.
  • Édouard Lucas (1842-1891) fornisce la sequenza numerica ora nota come sequenza di Fibonacci con il suo nome attuale.
  • Mark Barr (XX secolo) suggerisce la lettera greca phi ( φ ), la lettera iniziale dello scultore greco Fidia nome come simbolo per la sezione aurea.
  • Roger Penrose (nato nel 1931) scoprì nel 1974 la piastrellatura di Penrose , un modello che è correlato al rapporto aureo sia nel rapporto tra le aree delle sue due tessere romboidali sia nella loro frequenza relativa all’interno del modello. Questo a sua volta ha portato a nuove scoperte sui quasicristalli .

Irrazionalità della sezione aurea

La sezione aurea è un numero irrazionale . Di seguito sono due brevi prove di irrazionalità:

Contraddizione da un’espressione in termini minimi

Se φ fosse razionale , sarebbe il rapporto tra i lati di un rettangolo con i lati interi (il rettangolo che comprende l’intero diagramma). Ma sarebbe anche un rapporto tra i lati interi del rettangolo più piccolo (la porzione più a destra del diagramma) ottenuta cancellando un quadrato. La sequenza di lunghezze decrescenti del lato intero formate eliminando i quadrati non può essere continuata indefinitamente perché gli interi hanno un limite inferiore, quindi φ non può essere razionale.

Richiama questo:

il tutto è la parte più lunga più la parte più corta;
il tutto è per la parte più lunga come la parte più lunga è per la parte più breve.

Se chiamiamo l’intero n e la parte più lunga m , allora diventa la seconda affermazione sopra

n è m come m sta a n  –  m ,

o algebricamente

Dire che il rapporto aureo φ è razionale significa che φ è una frazione n / m dove n e m sono numeri interi. Possiamo prendere n / m per essere nei minimi termini e n e m per essere positivi. Ma se n / m è in termini minimi, allora l’identità etichettata (*) sopra dice m / ( n  –  m ) è in termini ancora più bassi. Questa è una contraddizione che deriva dal presupposto che φ sia razionale.

Per irrazionalità di √ 5

Un’altra breve dimostrazione – forse più comunemente nota – dell’irrazionalità del rapporto aureo si avvale della chiusura di numeri razionali in aggiunta e in moltiplicazione. Se è razionale, quindi  è anche razionale, che è una contraddizione se è già noto che la radice quadrata di un numero naturale non quadrato è irrazionale.

Polinomio minimo

La sezione aurea è anche un numero algebrico e persino un intero algebrico . Ha un polinomio minimo

Avendo grado 2, questo polinomio ha in realtà due radici, l’altra è il coniugato con rapporto aureo.

Rapporto Aureo coniugato

La radice coniugata al polinomio minimo x 2 – x – 1 è

Il valore assoluto di questa quantità (≈ 0.618) corrisponde al rapporto lunghezza assunto in ordine inverso (lunghezza del segmento più breve rispetto alla lunghezza del segmento più lungo, b / a ) e viene talvolta indicato come coniugato con rapporto aureo . Qui è indicato dalla capitale Phi ():

In alternativa,  può essere espresso come

Questo illustra la proprietà unica del rapporto aureo tra i numeri positivi, quello

o il suo contrario:

Questo significa 0.61803 …: 1 = 1: 1.61803 ….

Forme alternative

Approssimazioni al rapporto reciproco aureo con frazioni continue finite o rapporti di numeri di Fibonacci

La formula φ = 1 + 1 / φ può essere espansa in modo ricorsivo per ottenere una frazione continua per il rapporto aureo:

 

 

 

e il suo reciproco:

convergenti di queste frazioni continue (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …, o 1/1, 1/2, 2/3, 3 / 5, 5/8, 8/13, …) sono rapporti dei successivi numeri di Fibonacci . L’equazione φ 2 = 1 + φ produce anche la radice quadrata continua , o forma  infinita:

Una serie infinita può essere derivata per esprimere phi:

Anche:

Questi corrispondono al fatto che la lunghezza della diagonale di un pentagono regolare è φ volte la lunghezza del suo lato e relazioni simili in un pentagramma. Il numero φ si presenta frequentemente nella geometria , in particolare nelle figure con simmetria pentagonale . La lunghezza di un normale pentagono s’ diagonale è Phi volte il suo lato. I vertici di un icosaedro regolare sono quelli di tre rettangoli dorati reciprocamente ortogonali .

Spirali dorate approssimative e vere . La spirale verde è costituita da quarti di cerchio tangenti all’interno di ogni quadrato, mentre la spirale rossa è una spirale dorata, un tipo speciale di spirale logaritmica . Le parti sovrapposte appaiono gialle . La lunghezza del lato di un quadrato diviso per quello del quadrato più piccolo successivo è il rapporto aureo.

Non esiste un algoritmo generale noto per organizzare un determinato numero di nodi in modo uniforme su una sfera, per una qualsiasi delle diverse definizioni di distribuzione uniforme (si veda, ad esempio, il problema di Thomson ). Tuttavia, un’approssimazione utile risulta dalla divisione della sfera in bande parallele di uguale area superficiale e ponendo un nodo in ciascuna banda a lunghezze distanziate da una sezione aurea del cerchio, ovvero 360 ° / φ ≅ 222,5 °. Questo metodo è stato usato per sistemare i 1500 specchi del satellite partecipativo-studente Starshine-3 .

Riferimenti
  • Ball, Keith M (2003), “8: Coniglio di Fibonacci rivisitato”, Strange curve, Conigli e altre esplorazioni matematiche , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN  0-691-11321-1 .
  • Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN  978-1-4419-7022-0 .
  • Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3a ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN  978-981-4335-23-2 .
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN  978-981-3148-84-0 .
  • Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: da Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN  3-540-66957-4 .
  • Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (in francese), 1 , Parigi: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ .
  • Pisano, Leonardo (2002), Liber Abaci di Fibonacci: una traduzione in inglese moderno del libro di calcolo , fonti e studi nella storia della matematica e scienze fisiche, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN  0-387-95419- 8
  • Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli, 2003, ISBN 88-17-87201-6.
  • Rocco Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano, Schena editore 2005
  • Hrant Arakelyan. Mathematics and History of the Golden Section. – Logos 2014, 404 p. — ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.).
  • Cornelis Jacobus Snijders, La sezione aurea: arte, natura, matematica, architettura e musica, 2ª ed. Padova, Muzzio 1985. ISBN 88-7021-668-3
  • Claudio Lanzi, Ritmi e riti: orientamenti e percorsi di derivazione pitagorica, Simmetria, 2003. ISBN 88-87615-26-8
  • Ugo Adriano GraziottiHermetica Geometria Roma, Simmetria 2005
  • Osvaldo Rea, Nautilus, l’enigma dell’impero, Pompei, Palestra Grande. ISBN 88-901473-9-3
  • Aldo Scimone, La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica, Palermo, Sigma Edizioni, 1997.

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