Il teorema di Emmy Noether

Emmy Noether è senza dubbio il più grande matematico “femminile” che sia mai vissuto. Trasformò la nostra comprensione dell’universo con il teorema di Noether e poi trasformò la matematica con il suo lavoro fondando l’algebra astratta. Amalie Emmy Noether è nata nella piccola città universitaria di Erlangen, in Germania, il 23 marzo 1882. Suo padre, Max Noether, era un eminente professore di matematica all’Università di Erlangen. Sua madre era Ida Amalia Kaufmann. La giovane Emmy è cresciuta come una tipica ragazza della sua era: aiutando con la cucina e gestendo la casa – ha ammesso più tardi che aveva poca attitudine per questo genere di cose. Sua madre era una pianista esperta, ma a Emmy non piacevano le lezioni di piano. La sua passione principale era ballare.

Amava anche la matematica, ma sapeva che le regole della società tedesca significavano che non le sarebbe stato permesso di seguire le orme del padre per diventare un accademico universitario. Dopo aver completato il liceo – ha frequentato la scuola comunale per l’istruzione superiore delle figlie a Erlangen,  ha studiato per diventare insegnante di scuola, diplomandosi nel 1900, a 18 anni, per insegnare inglese e francese nelle scuole femminili.

Sebbene una carriera nell’insegnamento le abbia offerto sicurezza finanziaria, il suo amore per la matematica si è rivelato troppo forte. Ha deciso di abbandonare l’insegnamento e fare domanda per l’Università di Erlangen per osservare le lezioni di matematica lì. Poteva solo osservare le lezioni, perché alle donne non era permesso iscriversi ufficialmente all’università. Tra il 1900 e il 1902 Emmy studiò matematica a Erlangen. Nel luglio del 1903 si recò nella città di Norimberga e superò l’esame di immatricolazione che le permise di studiare matematica (ma non iscriversi ufficialmente) in nessuna università tedesca. Emmy ha scelto di frequentare un semestre all’Università di Göttingen, sede della più prestigiosa scuola di matematica al mondo.

Alcuni dei più grandi matematici della storia avevano insegnato e insegnato a Gottinga, tra cui Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann . Emmy ha partecipato a conferenze tenute da:

  • Hermann Minkowski, il stimato matematico che ha insegnato Albert Einstein, e
  • David Hilbert , probabilmente il matematico più eccezionale del ventesimo secolo

Nel 1904 Emmy fu felicissima di apprendere che la sua città natale, Erlangen, aveva deciso che le donne avrebbero dovuto avere pieno accesso. Gordan era conosciuto dai matematici come “il re della teoria invariante”. Emmy fece progressi eccezionali in questo campo, che in seguito l’avrebbe portata ad una notevole scoperta. È stata accettata al dottorato di ricerca. studente dal famoso matematico Paul Gordan. Gordan aveva 67 anni quando Emmy iniziò a lavorare con lui. Era l’unica studentessa candidata che avesse mai accettato al dottorato. Nel 1907 Emmy, 25 anni, divenne ufficialmente “la Dottoressa Noether”. La sua laurea è stata premiata con “summa cum laude”  la più alta distinzione possibile.

Teorema di Noether: Hilbert, Einstein, Noether e la teoria della relatività generale

Einstein visita Göttingen

Nel 1915 Albert Einstein stava definendo matematicamente la formulazione della sua teoria della relatività generale. Visitò David Hilbert a Gottinga discutendone i problemi. Il risultato fu che Einstein superò tali problemi e pubblicò la sua teoria prima della fine dell’anno. Hilbert pubblicò la sua versione della teoria, in una diversa formulazione matematica.

La relatività generale di Einstein

Hilbert discusse di un problema particolare con Noether. Era profondamente preoccupato che, nonostante le sue attrattive, la Teoria della Relatività stesse infrangendo una delle leggi di conservazione “indistruttibili” della fisica. Credette quindi che la sua esperienza nella teoria invariante potesse essere utile. Alcune quantità in fisica non possono essere create o distrutte, come l’energia. L’energia può cambiare forma – come l’energia cinetica, ma l’energia totale deve comunque rimanere costante. In teoria della relatività generale, tuttavia, c’era un problema: è possibile per un oggetto che ha perso energia emettere onde gravitazionali per accelerare. Un oggetto con meno energia dovrebbe rallentare, non accelerare! Sembrava che la legge sulla conservazione dell’energia fosse infranta.

Un problema che Archimede avrebbe amato

Alla fine, il problema era di simmetria. Più di 2000 anni prima il più grande matematico dell’antichità era stato sepolto con una scultura di una sfera all’interno di un cilindro nulla sua tomba. Questo era Archimede, che credeva che il suo più grande successo fosse stato scoprire e trovare la formula del volume di una sfera. Una sfera perfetta è altamente simmetrica. A prescindere dal modo in cui lo si ruota, e da qualsiasi angolo lo si guardi, sembra sempre la stessa. Un cilindro, d’altra parte, è meno simmetrico; ma anch’esso ha una certa simmetria. Ad esempio capovolgendolo, sembra sempre uguale. I fisici hanno bisogno di usare equazioni la cui simmetria sia il più possibile simile a una sfera. L’ultima cosa che ci aspettiamo sono equazioni che cambiano a seconda di dove si guarda l’universo. In gergo fisico diciamo che abbiamo bisogno che le leggi dell’universo siano invarianti nello spazio. Non devono quindi cambiare in diverse città o da una galassia all’altra. Queste leggi devono anche essere invarianti nel tempo. Non devono quindi cambiare da un’ora all’altra o da un’anno all’altro.

L’intervento della Noether e il suo Teorema
Noether precipitò a Göttingen. Nell’anno in cui arrivò, provò qualcosa di straordinario, qualcosa di così bello e profondo che cambiò per sempre il volto della fisica – il Teorema di Noether, che pubblicò nel 1918. Il suo famoso teorema nacque quando Noether prese in considerazione il problema di Hilbert e Einstein: la teoria della relatività generale sembrava infrangere la legge di conservazione dell’energia.

Noether scoprì che per ogni invarianza (cioè simmetria) nell’universo esiste una legge di conservazione. Allo stesso modo, per ogni legge di conservazione in fisica, esiste un invariante. Questo è chiamato Teorema di Noether e descrive una proprietà fondamentale del nostro universo.

Come esempio, il Teorema di Noether mostra che la legge di conservazione dell’energia è in realtà una conseguenza dell’invarianza del tempo nella fisica classica. O in alternativa che l’invarianza del tempo è causata dalla legge di conservazione dell’energia. Un altro esempio è che la legge di conservazione della carica elettrica è una conseguenza dell’invarianza di gauge globale del campo elettromagnetico. E viceversa.

Nuove prospettive

Con il teorema di Noether, i fisici ottennero uno strumento molto potente. Quello di proporre simmetrie astratte, sapendo che ad ogni simmetria corrisponderebbe una legge di conservazione e comprenderne il significato. Il Teorema di Noether ha il potere di rispondere a domande profonde, in particolare nella fisica delle particelle:

  • consente di effettuare calcoli pratici
  • quando i fisici teorizzano un nuovo sistema, il teorema di Noether consente loro di ottenere una panoramica delle proprietà di quel sistema e determinare se ciò sia possibile o meno.
Soluzione al problema di Einstein

Il Teorema di Noether risolse anche il preoccupante rompicapo della Relatività Generale che aveva inizialmente deciso di risolvere. Il suo teorema mostra che se la materia e la gravità sono considerate una quantità unificata piuttosto che quantità separate, allora non vi è alcuna violazione della legge di conservazione.

Formalizzazione lagrangiana del teorema di Noether

Il comportamento di un sistema fisico può spesso essere espresso molto elegantemente in termini di una funzione, chiamata lagrangiana, delle variabili di sistema. Il sistema segue un percorso attraverso lo spazio delle fasi in modo tale che l’integrale della Lagrangiana sia stazionario.  Per un sistema semplice con Lagrangiana L delle variabili q e =dq/dt l’equazione del moto è:

Questa equazione indica che se la quantità a destra è zero (che significa che L è simmetrico in q), allora anche il tasso di variazione della quantità tra parentesi a sinistra è zero, quindi è una quantità conservata. Lo stesso vale per i sistemi più complicati; in generale, ogni simmetria della Lagrangiana corrisponde a una quantità conservata e viceversa. Nonostante il fatto che l’equazione di Eulero – Lagrange sia essenzialmente un’affermazione esplicita di questa proposizione, sembra che non sia stata discussa e formalizzata come teorema fino al 1915, da Emmy Noether (1882-1935), quindi è ora chiamata Teorema di Noether.  Ad esempio, la Lagrangiana classica di una particella di massa m libera è semplicemente L = (1/2) m2, che dipende solo , non su x, quindi abbiamo dL/dx=0, e ne segue che  è costante, cioè la quantità di moto è conservata.

Più in generale, considera un sistema con n coordinate q1, q2, …, qn. La L Lagrangiana è una funzione di tutte le variabili n e delle loro prime derivate rispetto al tempo. Le equazioni del moto sono le n equazioni di Eulero, una per ciascuna delle variabili. Il differenziale totale di L rispetto coordinate qi è:

Moltiplicando ognuna delle equazioni di Eulero per il rispettivo differenziale dq i e sommandole insieme otteniamo

Quindi per qualsiasi combinazione di differenziali dqi tale che dL=0, la somma sul lato sinistro è una costante, cioè una quantità conservata. Naturalmente, solo le proporzioni tra i differenziali sono significative, non i loro valori assoluti individuali. Ogni serie di proporzioni differenziali di coordinate rappresenta una direzione nello spazio delle coordinate. Considerando s un parametro di percorso lungo una curva data qi(s) nello spazio di coordinate, possiamo dividere l’espressione precedente di ds per dare in termini di derivate invece di differenziali la formulazione

Per illustrare, si consideri un insieme di particelle N con masse mj e posizioni xi , yi , zper i=1 a N, con un’energia potenziale che dipende solo dalle distanze a due a due tra le particelle. E’ chiaro che la Lagrangiana non è influenzata da nessuno spostamento fisso del sistema, cioè, è costante lungo qualsiasi curva (nello spazio delle fasi) della forma xi(s) = kxs, yi(s)=kys, zi(s)=kzs per qualsiasi costante kx, ky, kz. Quindi il Teorema di Noether implica

Poiché le costanti kx , ky , kz sono arbitrarie, ne segue che ogni sommatoria è individualmente una costante, il che significa che la quantità di moto è conservata in ciascuna delle tre direzioni coordinate, e quindi in ogni direzione spaziale. Per lo stesso insieme di particelle potremmo anche considerare l’invarianza della Lagrangiana sotto una rotazione fissa (cioè un ri-orientamento) del sistema sull’origine. Per ogni massa con coordinate x, y, z a rotazione fissa attorno all’asse z mantiene la quantità  x 2 + y 2  per ogni punto, da cui otteniamo xdx + ydy = 0. Quindi possiamo rappresentare i differenziali per questa simmetria con dxi = ds yi, dyi = – ds xi , e dzi = 0, quindi dal teorema di Noether abbiamo la quantità conservata

Ciò esprime la conservazione generale del momento angolare attorno all’asse z e allo stesso modo possiamo dimostrare che la simmetria fisica sotto ri-orientazioni attorno agli assi x e y implica anche la conservazione del momento angolare attorno a quegli assi. Oltre alla simmetria rispetto allo spostamento spaziale e all’orientamento, un’altra importante simmetria di tutte le leggi fisiche conosciute è rappresentata dagli spostamenti nel tempo. Anche in questo caso le equazioni di Eulero identificano una quantità conservata. Supponendo che la L Lagrangiana non sia una funzione esplicita del tempo (sebbene le variabili di sistema possano essere), abbiamo la derivata totale

Le equazioni di Eulero per il sistema ci permettono di sostituire i partial di L rispetto a qsul lato destro, e possiamo esprimere dqi/dt nella notazione dei punti, quindi abbiamo

Notando che l’addendo è il derivato rispetto al tempo di un singolo prodotto, questo può anche essere scritto come

Quindi la quantità tra parentesi quadre è costante. Partendo dal presupposto che le leggi della fisica sono le stesse ovunque, il teorema di Noether fondamentalmente ci permette di provare, tra le altre cose, la prima legge di Newton: “Un oggetto rimarrà a riposo o si muoverà con una velocità costante se non agito da un esterno vigore.” Questo è un principio molto potente con molte conseguenze ed è una delle pietre portanti del modello standard delle particelle.

La natura è parsimoniosa in tutte le sue azioni

Il teorema di Noether afferma che ogni simmetria differenziabile dell’azione di un sistema fisico ha una legge di conservazione corrispondente. Il teorema fu enunciato nel 1915 e pubblicato nel 1918. L’azione di un sistema fisico è l’integrale nel tempo di una funzione lagrangiana (che può o non può essere uno spazio integrale di una funzione di densità lagrangiana), da che il comportamento del sistema può essere determinato dal principio di minima azione. Il teorema di Noether può essere dichiarato in modo:

Se un sistema ha una proprietà di simmetria continua, allora ci sono quantità corrispondenti i cui valori sono conservati nel tempo.

Le simmetrie sono trasformazioni o scambi nello spazio o nel tempo che lasciano i sistemi strutturalmente o funzionalmente equivalenti a ciò che erano prima. L’equivalenza può o non può essere un’identità, ma solo la stessa nell’aspetto o nel comportamento. Le leggi di conservazione sono equivalenze per le proprietà quantitative dei sistemi. Una determinata proprietà di materia o energia è quantitativamente la stessa prima e dopo, o continuamente attraverso lo spazio o il tempo. La misura funzionale di questa proprietà rimane costante. Quindi prendere in considerazione un’analogia tra il teorema di Noether e il concetto di scambio equivalente: per (differenziabili simmetrici,) gli scambi, ci sono le proprietà che sono equivalenti (conservate).

Il Teorema della Noether e l’origine dei principi di conservazione – La Fisica che non ti aspetti

Referenze

  1. Noether E (1918). “Invariante Variationsprobleme”. NAChR. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse . 1918 : 235-257.
  2. Goldstein, Herbert (1980). Meccanica classica (2a ed.). Lettura, MA: Addison-Wesley. pp. 588-596. ISBN  0-201-02918-9 
  3. Neuenschwander, Dwight E. (2010). Il meraviglioso teorema di Emmy Noether . Johns Hopkins University Press. ISBN  978-0-8018-9694-1 

Specify a Disqus shortname at Social Comments options page in admin panel