Pierre-Simon Laplace e la sua trasformata

La Trasformata di Laplace, in matematica è una particolare trasformazione integrale inventata dal matematico francese Pierre-Simon Laplace (1749-1827), e sistematicamente sviluppato dal fisico britannico Oliver Heaviside (1850-1925), per semplificare la soluzione di molte equazioni differenziali che descrivono i processi fisici. Oggi è usato più frequentemente dagli ingegneri nella soluzione di vari problemi di circuiti. La trasformata di Laplace f(p), indicata anche con L{F(t)}, è definita dall’integrale

Equazione.

che coinvolge l’esponenziale parametro p nel kernel K = – t . L’ operatore lineare di Laplace L-trasforma quindi ciascuna funzione F(t) di un certo insieme di funzioni in una qualche funzione f (p). La trasformazione inversa F(t) è scritto -1 { f (p)} o Lap -1 f (p).

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Pierre-Simon Laplace. Matematico e astronomo francese. 1749-1827. Incisione di Louis Jean Desire Delaistre.c.1847

Pierre-Simon, marchese di Laplace, (nato il 23 marzo 1749, Beaumount-en-Auge, in Normandia, Francia – morto il 5 marzo 1827, Parigi), matematico, astronomo e fisico francese, noto per le sue indagini sul stabilità del sistema solare. Laplace ha rappresentato con successo tutte le deviazioni osservate del i pianeti dalle loro orbite teoriche applicando la teoria della gravitazione di Sir Isaac Newton sul sistema solare, e sviluppò una visione concettuale del cambiamento evolutivo nella struttura del sistema solare. Ha anche dimostrato l’utilità della probabilità di interpretare i dati scientifici. Laplace era figlio di un contadino contadino. Poco si sa della sua giovinezza, tranne che ha mostrato rapidamente la sua abilità matematica presso l’accademia militare di Beaumont. Nel 1766 Laplace entrò nell’università di Caen, ma partì per Parigi l’anno successivo, apparentemente senza prendere una laurea. Arrivò con una lettera di raccomandazione al matematico Jean d’Alembert , che lo aiutò ad assicurarsi una cattedra all’École Militaire, dove insegnò dal 1769 al 1776.

Nel 1773 iniziò la sua maggiore attività gravitazionale, applicando la gravitazione newtoniana a tutto il sistema solare, sollevando un problema particolarmente problematico: perché Giove l’orbita sembrava essere continuamente in contrazione mentre Saturno è continuamente espanso. Le reciproche interazioni gravitazionali all’interno del sistema solare erano così complesse che la soluzione matematica sembrava impossibile; anzi, Newton aveva concluso che l’intervento divino era periodicamente richiesto per preservare il sistema in equilibrio. Laplace ha annunciato l’invariabilità dei moti medi planetari (velocità angolare media). Questa scoperta nel 1773, il primo e più importante passo per stabilire la stabilità del sistema solare, fu il più importante progresso nell’astronomia fisica dopo Newton.

Lo ha vinto l’affiliazione all’Accademia delle Scienze francese lo stesso anno. Applicando metodi quantitativi a un confronto tra sistemi viventi e non viventi, Laplace e il chimico Antoine-Laurent Lavoisier nel 1780, con l’aiuto di un calorimetro di ghiaccio che avevano inventato, mostrò che la respirazione era una forma di combustione. Ritornando alle sue indagini astronomiche con un esame dell’intero soggetto del planetario perturbazioni – effetti gravitazionali intermedi – Laplace nel 1786 ha dimostrato che le eccentricità e le inclinazioni delle orbite planetarie rimangono sempre piccole, costanti e auto-correggenti. Gli effetti delle perturbazioni erano quindi conservativi e periodici, non cumulativi e dirompenti.

Durante il 1784-85 Laplace lavorò sul tema dell’attrazione tra gli sferoidi; in questo lavoro la potenziale funzione della fisica successiva può essere riconosciuta per la prima volta.

Laplace ha esplorato il problema dell’attrazione di qualsiasi sferoide su una particella situata all’esterno o sulla sua superficie. Attraverso la sua scoperta che la forza attrattiva di una massa su una particella, indipendentemente dalla direzione, può essere ottenuta direttamente differenziando una singola funzione, Laplace pone le basi matematiche per lo studio scientifico del calore, del magnetismo e dell’elettricità.

Laplace rimosse l’ultima anomalia apparente dalla descrizione teorica del sistema solare nel 1787 con l’annuncio che l’accelerazione lunare dipende dall’eccentricità dell’orbita terrestre. Sebbene il movimento medio del La Luna attorno alla Terra dipende principalmente dall’attrazione gravitazionale tra di loro, è leggermente diminuita dall’attrazione del Sole sulla Luna.

Questa azione solare dipende, tuttavia, dai cambiamenti nell’eccentricità dell’orbita terrestre risultanti da perturbazioni degli altri pianeti. Di conseguenza, il movimento medio della Luna viene accelerato fintanto che l’orbita della Terra tende a diventare più circolare; ma, quando accade il contrario, questo movimento è ritardato.

La disuguaglianza non è quindi veramente cumulativa, ha concluso Laplace, ma è un periodo di milioni di anni. L’ultima minaccia di instabilità scomparve così dalla descrizione teorica del sistema solare.

Nel 1796 Laplace ha pubblicato Exposition du système du monde (The System of the World ), un trattamento semipopolare del suo lavoro nella meccanica celeste e un modello di prosa francese. Il libro includeva il suo “ipotesi nebulare “- attribuendo l’origine del sistema solare al raffreddamento e al contrarsi di una nebulosa gassosa – che ha fortemente influenzato il pensiero futuro sull’origine planetaria. Il suo Traité de mécanique céleste (Celestial Mechanics ), apparso in cinque volumi tra il 1798 e il 1827, riassumeva i risultati ottenuti dal suo sviluppo matematico e applicazione della legge di gravitazione. Offrì un’interpretazione meccanica completa del sistema solare elaborando metodi per calcolare i moti dei pianeti, i loro satelliti e le loro perturbazioni, compresa la risoluzione dei problemi di marea. Il libro lo ha reso una celebrità.

Nel 1814 Laplace pubblicò un’opera popolare per il lettore generale, Essai philosophique sur les probabilités ( A Philosophical Essay on Probability ). Questo lavoro è stato l’introduzione alla seconda edizione della sua completa e importante Théorie analytique des probabilités (Teoria analitica della probabilità ), pubblicata per la prima volta nel 1812, in cui descriveva molti degli strumenti da lui inventati per predire matematicamente il probabilità che eventi particolari si verifichino in natura. Ha applicato la sua teoria non solo ai problemi ordinari del caso, ma anche all’inchiesta sulle cause dei fenomeni, sulle statistiche vitali e sugli eventi futuri, pur sottolineando la sua importanza per la fisica e l’astronomia. Il libro è degno di nota anche per includere un caso speciale di ciò che divenne noto come il teorema del limite centrale .

Laplace ha dimostrato che la distribuzione degli errori nei campioni di dati di grandi dimensioni dalle osservazioni astronomiche può essere approssimata da una distribuzione gaussiana o normale. Probabilmente perché non ha avuto forti opinioni politiche e non era un membro dell’aristocrazia, è sfuggito alla reclusione e all’esecuzione durante la Rivoluzione francese. Laplace fu presidente del Consiglio di longitudine, aiutò l’organizzazione del sistema metrico, aiutò a fondare la Società scientifica di Arcueil e fu creato un marchese . Ha servito per sei settimane come ministro degli interni sotto Napoleone, il quale ha ricordato che Laplace “portava lo spirito dell’infinitesimo in amministrazione”.

Il concetto di funzione di trasferimento e sistemi continui

I sistemi vengono comunemente rappresentati mediante uno schema a blocco unico. x(t) è la variabile di ingresso mentre y(t) è la variabile di uscita. x(t) rappresenta la sollecitazione applicata al sistema, mentre y(t) rappresenta la risposta con cui il sistema reagisce a tale sollecitazione. Entrambe le variabili sono funzioni del tempo perché la sollecitazione deve poter essere variata liberamente e la risposta di conseguenza. Per poter analizzare il comportamento dei sistemi è necessario trovare la relazione matematica che esiste tra uscita e ingresso. Per poter semplificare lo studio, è auspicabile che questa relazione sia del tipo più semplice possibile: un coefficiente G che moltiplicato per l’ ingresso dia come risultato l’uscita. Il coefficiente G, se esiste, viene detto funzione di trasferimento. Purtroppo questa relazione matematica tra ingresso e uscita non è sempre così semplice, ma si possono utilizzare degli stratagemmi per renderla tale.

Schema a blocco generico di di un sistema: mette in evidenza funzione di ingresso e funzione di uscita, ma non fornisce nessun modello del suo comportamento.

Sistemi di ordine 0
Nei sistemi di ordine 0 la relazione fra ingresso e uscita è effettivamente del tipo y(t) = G · x(t)  , con G = cost.. Si tratta di sistemi particolarmente semplici in cui l’uscita segue istante per istante le variazioni della sollecitazione in ingresso. E’ però difficile trovare sistemi fisici reali di questo tipo.

Sistemi di ordine 1
I sistemi del 1° ordine sono invece quelli in cui si stabilisce una relazione di proporzionalità tra ingresso e uscita, ma solo con un certo ritardo rispetto alla sollecitazione. Il loro comportamento è caratterizzato da una costante di tempo che ne determina la maggiore o minore velocità di risposta alla sollecitazione. Esempio tipico è quello del circuito RC che, sollecitato da un segnale a gradino, risponde facendo variare la tensione di uscita con legge esponenziale, fino a raggiungere gradualmente il valore finale.

Esempio di sistema del 1° ordine:
circuito RC

 

Comportamento di un circuito RC nel dominio del tempo:
risposta ad una sollecitazione a gradino

Sistemi di ordine 2
Quelli del 2° ordine sono invece sistemi che, al variare di alcuni loro parametri, possono avere due comportamenti molto diversi, in risposta ad una sollecitazione a gradino. Un comportamento analogo a quello dei sistemi del 1° ordine (risposta esponenziale), oppure un comportamento oscillatorio, in cui l’uscita varia con legge sinusoidale la cui ampiezza cambia però con legge esponenziale. In questo secondo caso, ad esempio, l’uscita potrebbe subire alcune oscillazioni, di ampiezza sempre minore, fino a stabilizzarsi su un valore definitivo. Esempio tipico è quello del circuito RLC.

Esempio di comportamento oscillatorio di un sistema del 2° ordine 

Il concetto di trasformazione

Nello studio dei sistemi (con particolare riferimento ai circuiti elettrici) si individua facilmente una corrispondenza fra comportamenti nel dominio del tempo e comportamenti nel dominio della frequenza. Analizziamo nuovamente il comportamento del circuito RC, ma stavolta nel dominio della frequenza. Se questo circuito viene sollecitato in ingresso da un segnale sinusoidale di frequenza f, anche in uscita sarà presente un segnale sinusoidale della stessa frequenza, ma avente ampiezza e fase diverse. Il rapporto tra segnale di uscita e segnale di ingresso nel dominio della frequenza è dato da un’espressione più semplice, rispetto a quella nel dominio della tempo. Viene detta guadagno G(w) ed è utilizzata come funzione di trasferimento del sistema.

Guadagno (funzione di trasferimento)
di un circuito RC

Il guadagno viene in genere rappresentato in forma grafica per mezzo dei diagrammi di Bode. Prendiamo in considerazione il diagramma di Bode dell’ampiezza, che rappresenta l’andamento del modulo del guadagno, espresso in decibel (dB), al variare della pulsazione. Si può dimostrare che tra la pulsazione di taglio ricavata dal diagramma e la costante di tempo esiste una semplice relazione: w0 = 1/t.
Tra comportamento nel dominio del tempo e comportamento nel dominio della frequenza esiste quindi una corrispondenza. Sistemi con una elevata pulsazione di taglio debbono avere quindi una costante di tempo piccola e quindi rispondono velocemente alle brusche sollecitazioni, mentre sistemi con una bassa pulsazione di taglio hanno una costante di tempo elevata e quindi rispondono lentamente alle sollecitazioni. Il passaggio da una relazione nel dominio del tempo alla corrispondente relazione nel dominio della frequenza viene detta operazione di trasformazione.

Comportamento di un circuito RC nel dominio della frequenza: diagramma del modulo del guadagno in funzione della pulsazione 

Il modello di un sistema

Il modello matematico (nel dominio del tempo) di un sistema è una espressione che mette in relazione le variabili (di uscita) con quelle di ingresso. Le variabili di uscita e quelle di ingresso sono in genere funzioni del tempo, che quindi sono dette funzioni di ingresso e funzioni di uscita. Conoscendo le esperienze di ingresso (la sollecitazione), è possibile ricavare le funzioni di uscita (la risposta).

E ‘molto importante avere a disposizione il modello matematico di un sistema, perché consente di fare previsioni sulla sua evoluzione. Si pensi ad esempio all’importanza che ha i modelli matematici del comportamento dell’atmosfera alle previsioni del tempo. Nel caso dei sistemi di controllo, la conoscenza dei loro programmi.

Il modello di un sistema lineare è calcolato da una equazione differenziale a coefficienti costanti. In questo tipo di equazione compaiono le derivate (di vario ordine) delle funzioni di ingresso e di uscita. Il sistema verrà detto di ordine è l’ordine più elevato delle derivate che compaiono nell’equazione differenziale.

L’operazione di Trasformazione secondo Laplace (spesso detta semplicemente “Trasformata di Laplace”) è un’operazione matematica che permette di ricavare da una funzione nel dominio del tempo una corrispondente funzione nel dominio della frequenza complessa S. Tra i due domini esiste una corrispondenza biunivoca, per cui ad ogni funzione nel dominio del tempo corrisponde una sola funzione nel dominio della frequenza e viceversa.

L’operazione di trasformazione a partire dalla sua definizione matematica può risultare abbastanza  complicata, ma nella pratica viene in genere eseguita  facilmente consultando delle tabelle, che mettono in relazione le principali funzioni nel dominio del tempo con le corrispondenti funzioni nel dominio della frequenza, e/o applicando delle semplici regole di trasformazione. La frequenza complessa S è definita come:

S = σ + j ω.

Risolvere una equazione differenziale per studiare il comportamento di un sistema nel dominio del tempo può essere anche molto difficile (o addirittura, in certi casi, impossibile). Utilizzando la Trasformata di Laplace, l’equazione differenziale può essere trasformata in una equazione algebrica (nel dominio della frequenza), in cui compaiono, al posto delle funzioni nel dominio del tempo, le loro corrispondenti trasformate (nel dominio S). In particolare, nel dominio della frequenza, si può definire una funzione di trasferimento (f.d.t.) come rapporto tra la trasformata della funzione di uscita e la trasformata di quella di ingresso. Si tratta di una relazione molto comoda, che permette di ricavare la funzione di uscita (nel dominio S) semplicemente moltiplicando la funzione di ingresso per la f.d.t. del sistema.

In pratica si preferisce, piuttosto che cercare di risolvere direttamente l’equazione differenziale, trasformare funzione di ingresso ed equazione differenziale, ottenendo una più semplice relazione algebrica. Si ricava quindi la funzione di uscita nel dominio di S ed infine si risale alla funzione di uscita nel dominio del tempo, antitrasformando. Operazioni di trasformazione ed antitrasformazione vengono eseguite applicando semplici regole di trasformazione e consultando semplici tabelle.

 

Tabella delle trasformate di Laplace

La seguente tabella fornisce le trasformate di Laplace per alcune funzioni comuni di una singola variabile.

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Esempi e applicazioni

La trasformata di Laplace viene utilizzata frequentemente in ingegneria e fisica; l’uscita di un sistema lineare tempo-invariante può essere calcolata coinvolgendo la sua risposta all’impulso dell’unità con il segnale di ingresso. Eseguendo questo calcolo nello spazio di Laplace si trasforma la convoluzione in una moltiplicazione; quest’ultimo è più facile da risolvere a causa della sua forma algebrica.

La trasformata di Laplace può anche essere utilizzata per risolvere equazioni differenziali ed è ampiamente utilizzata nell’ingegneria meccanica e nell’ingegneria elettrica. Essa riduce un’equazione differenziale lineare a un’equazione algebrica, che può quindi essere risolta con le regole formali dell’algebra. L’equazione differenziale originale può quindi essere risolta applicando la trasformata inversa di Laplace. L’ingegnere elettronico inglese Oliver Heaviside propose per la prima volta uno schema simile, sebbene senza usare la trasformata di Laplace; e il calcolo operativo risultante è accreditato come il calcolo di Heaviside.

Fisica nucleare

In fisica nucleare, la relazione ufficiale fondamentale decadimento radioattivo: il numero di atomi radioattivi N in un campione di radioattivo isotopo decennio ad una velocità proporzionale a N. Ciò porta all’equazione differenziale lineare del primo ordine

dove λ è la costante di decadimento. La trasformazione di Laplace può essere utilizzata per risolvere questa equazione. Riorganizzando l’equazione da un lato, abbiamo

Successivamente, prendiamo la trasformazione di Laplace di entrambi i lati dell’equazione:

dove

e

Risolvendo, troviamo

Infine, prendiamo la trasformata inversa di Laplace per trovare la soluzione generale

che è davvero la forma corretta per il decadimento radioattivo.

Impedenza complessa di un condensatore

Nella teoria dei circuiti elettrici , il flusso di corrente in un condensatore è proporzionale alla capacità e alla velocità di variazione del potenziale elettrico (in unità SI ). Simbolicamente, questo è espresso dall’equazione differenziale

dove C è la capacità (in farad ) del condensatore, i = i ( t ) è la corrente elettrica (in ampere ) attraverso il condensatore in funzione del tempo, e v = v ( t ) è la tensione (in volt ) attraverso i terminali del condensatore, anche in funzione del tempo. Prendendo la trasformata di Laplace di questa equazione, otteniamo

dove

e

Risolvere per V ( s ) che abbiamo

La definizione del complesso di impedenza Z (in ohm ) è il rapporto tra la tensione complesso V divisa per la corrente complesso ho mantenendo lo stato iniziale 0 a zero:

Usando questa definizione e l’equazione precedente, troviamo:

che è l’espressione corretta per l’impedenza complessa di un condensatore.

Determinazione della struttura dell’oggetto astronomico dallo spettro

Infine un’ampia e generale applicabilità della trasformata di Laplace e il suo inverso è illustrata da un’applicazione in astronomia che fornisce alcune informazioni sulla distribuzione spaziale della materia di una fonte astronomica di radiazione termica a radiofrequenza troppo distante per risolverlo come più di un punto, data il suo spettro di densità del flusso, piuttosto che correlare il dominio del tempo con lo spettro (dominio della frequenza).

Assumendo certe proprietà dell’oggetto, ad esempio la forma sferica e la temperatura costante, i calcoli basati sull’esecuzione di una trasformazione inversa di Laplace sullo spettro dell’oggetto possono produrre l’unico modello possibile della distribuzione della materia in esso (densità in funzione della distanza da il centro) coerente con lo spettro. Quando sono disponibili informazioni indipendenti sulla struttura di un oggetto, il metodo di trasformazione inversa di Laplace è stato trovato in buon accordo.

 

Referenze

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  • Bracewell, RN (2000), La trasformazione di Fourier e le sue applicazioni (3a ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN  0-07-116043-4
  • Feller, William (1971), Introduzione alla teoria della probabilità e sue applicazioni. Vol. II. , Seconda edizione, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403
  • Korn, GA; Korn, TM (1967), Manuale matematico per scienziati e ingegneri (2 ° ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN  0-07-035370-0
  • Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform , Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press , MR  0005923
  • Williams, J. (1973), Laplace Transforms , Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN  0-04-512021-8
  • Takacs, J. (1953), “Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal”, Magyar Hiradastechnika (in ungherese), IV (7-8): 93-96

 

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