Le regole del Caos

Nei secoli XVII e XVIII, la meccanica newtoniana trionfava nella sua spiegazione del sistema solare. In effetti, molti teologi a quel tempo immaginavano Dio come un grande orologiaio, che doveva solo iniziare l’universo e poi fare un passo indietro e lasciare che le leggi di Newton determinassero il futuro. Ma tutto nell’universo funziona come un buon orologio? Il matematico del XIX secolo Poincaré trovò un’eccezione, il movimento di tre oggetti astronomici che interagivano tra di loro. Quando i tre oggetti hanno massa comparabile, come suggerito nel disegno, il movimento di ciascun corpo produce un cambiamento sostanziale nel campo gravitazionale sperimentato dagli altri due, rendendo così impossibile una soluzione.

Tre oggetti astronomici si muovono nel loro reciproco campo gravitazionale, con velocità iniziali indicate dalle frecce. Man mano che ogni oggetto si muove, il campo nella posizione degli altri cambia, rendendo le equazioni che descrivono il movimento non lineare.
Tre oggetti astronomici si muovono nel loro reciproco campo gravitazionale, con velocità iniziali indicate da frecce. Man mano che ogni oggetto si muove, il campo nella posizione degli altri cambia, rendendo le equazioni che descrivono il movimento non lineare.
I due grafici mostrano lo sviluppo nel tempo di un sistema caotico quando le condizioni iniziali sono solo leggermente diverse. Sebbene le due curve rimangano insieme all'inizio, divergono presto e alla fine sembrano non essere correlate.
I due grafici mostrano lo sviluppo nel tempo di un sistema caotico quando le condizioni iniziali sono solo leggermente diverse. Sebbene le due curve rimangano insieme all’inizio, divergono presto e alla fine sembrano non essere correlate.
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Questa immagine è un grafico dello spazio di fase per un pendolo con attrito. Ogni punto corrisponde a uno stato di posizione e momento particolare, e la successione di punti attorno alla curva corrisponde all’evoluzione del sistema con il tempo. Quando l’attrito erode l’ampiezza e la velocità del bob, il diagramma dello spazio delle fasi si muove in spirale verso la posizione di equilibrio e il momento zero (velocità zero)
immagine gentilmente concessa da Glenn Elert
L’attrattore di Lorenz, visualizzando l’ordine presente in un sistema caotico. Il grafico non si incrocia mai, quindi il sistema non ripete mai il suo stato.

L’unico modo per affrontare questo tipo di problema è una serie di iterazioni: calcolare le forze gravitazionali, lasciare che gli oggetti si muovano per un breve periodo sotto queste forze, quindi ricalcolare le forze in base alle nuove posizioni degli oggetti, ecc. Anche senza un computer, Poincaré poteva vedere che le orbite risultanti erano aperiodiche e selvaggiamente disordinate. Inoltre scoprì che un piccolo cambiamento nelle condizioni iniziali – le posizioni iniziali e le velocità dei tre oggetti – produceva un enorme cambiamento nelle orbite. Questa importante osservazione fu di rimanere incolti per ottanta anni, in attesa dello sviluppo della teoria del caos.

Esci e guarda un sistema caotico: il tempo. Sebbene esistano schemi a breve termine, il sistema non si ripete mai e le previsioni a lungo termine rimangono un problema irrisolto. Negli anni ’60, il meteorologo Ed Lorenz costruì un semplice modello meteorologico computerizzato che, una volta dati alcuni valori iniziali, tirava fuori numeri che corrispondevano alla velocità del vento, alle precipitazioni e alla temperatura. Quindi questo output è tornato come nuovo input e il modello ha generato previsioni semplici nel tempo.

Desideroso di ripetere un particolare computer, Lorenz ha riavviato il computer ma ha arrotondato i valori iniziali da sei cifre significative a tre. Poiché le temperature non sono state misurate in base a tre cifre significative di accuratezza, questa approssimazione non avrebbe avuto alcun effetto. E in effetti, l’uscita della nuova corsa ha dapprima seguito quella del vecchio, ma lentamente e costantemente i due divergevano, come mostrato nel primo grafico, finché i risultati non erano completamente diversi e continuavano così, come mostrato nel grafico. Lorenz era sbalordito: un cambiamento di input troppo piccolo per corrispondere a una differenza misurabile aveva completamente modificato l’output. Il risultato di Lorenz esemplifica “una squisita sensibilità alle condizioni iniziali”, altrimenti noto come effetto farfalla: il battito dell’ala di una farfalla in Cina potrebbe, in linea di principio, cambiare il tempo a New York.

Lorenz ha presentato i suoi risultati di simulazione con un grafico di ciò che i fisici chiamano “spazio di fase”. In questo spazio, ciascun asse del grafico corrisponde a una variabile di sistema, come la posizione e la quantità di moto di una particella, quindi l’intero stato del sistema può essere espresso dal punto nello spazio delle fasi che occupa in un determinato momento. Un pendolo con attrito avrebbe un diagramma dello spazio delle fasi simile a quello mostrato nel secondo grafico, una spirale che si snoda in un punto, mentre l’energia si dissipa e l’ampiezza e la velocità del pendolo diminuiscono progressivamente. Per ulteriori informazioni sullo spazio delle fasi di un pendolo, vedere il primo link.

Quando Lorenz ha tracciato una trama spaziale di fase per la sua simulazione meteorologica, i risultati sono stati piuttosto diversi, come mostrato nel terzo grafico, in cui la curva continua indefinitamente senza ripetersi e si snoda attorno ai due punti. Questo grafico, soprannominato lo “strano attrattore”, divenne alla fine un potente simbolo per il giovane campo della ricerca sul caos.

Molti sistemi mostrano comportamenti caotici. Per citarne solo alcuni

  • popolazioni animali
  • la macchia rossa di Giove
  • segnali elettrici nel cuore umano
  • convezione

Ricerca

La biologia può portare al caos. Nel caso le dinamiche della popolazione, è correlato alla fertilità dell’animale. All’aumentare di questo tasso, la popolazione di equilibrio è vendita. Ma con ulteriore incremento, la popolazione si alterna in termini di valori, come mostrato nel primo grafico. In realtà, un tale comportamento apparentemente inverosimile era stato osservato, ma gli ecologisti presumevano che ci fosse un equilibrio tra le alternative alternate, oscurate da alcune complicazioni ecologiche

Una popolazione di animali rapportata al tempo. La popolazione gira tra due valori, quindi non c'è equilibrio.
Una popolazione di animali rapportata al tempo. La popolazione gira tra due valori, quindi non c’è equilibrio.
Il classico grafico del raddoppio del periodo, un segno distintivo del caos.
Il classico grafico del raddoppio del periodo, un segno distintivo del caos. Questo particolare grafico mostra la dipendenza di una popolazione animale dal suo tasso di crescita. Ad un certo valore del tasso, non vi è alcuna popolazione di equilibrio e il numero ruota attorno a due valori, come nel primo grafico di questa pagina. Questo processo di “biforcazione” continua e la popolazione si dissolve nel caos (la regione nera). Negli anni ’70, il biologo Robert May, che iniziò come fisico teorico, fece uno studio approfondito della semplice equazione quadratica.

n + 1 = rx n (1 – x n )

Qui x n è uguale alla popolazione nella generazione n, ed è stato ridimensionato al valore massimo di uno per comodità. Questa equazione descrive come una popolazione cambia dal n ° generazione (n + 1) esimo . In altre parole, la popolazione di ogni generazione è una funzione della popolazione nella generazione precedente. Il simbolo “r” è il tasso di crescita. Il fattore (x n – 1) esprime gli effetti su una vasta popolazione di scorte alimentari limitate o sovraffollamento: in questo semplice modello, quando la popolazione raggiunge uno, tutti gli organismi muoiono.

Può indagare l’effetto del tasso di crescita. Inizialmente, l’aumento di questo tasso ha anche aumentato la popolazione di equilibrio, come previsto (vedi il secondo grafico). Ma con un ulteriore aumento del tasso di crescita, la curva si divide e la popolazione ha due valori, che si alternano, quindi non c’è equilibrio. Questo caso corrisponde al primo grafico sopra. Man mano che la fertilità aumenta ulteriormente, la curva si divide nuovamente, finché non entra definitivamente in regioni di comportamento caotico. L’equazione di cui sopra era in circolazione dagli anni ’50, eppure i biologi non erano stati in grado di riconoscere questa previsione. Sembravano solo in equilibrio, quindi hanno perso il caos.

Un sorprendente ed avvincente esempio di caos si rivelò essere un sistema familiare che non era mai stato studiato: il rubinetto gocciolante. Robert Shaw, uno studente laureato in fisica negli anni ’70, decise di indagare sul flusso del rubinetto programmando il gocciolamento. Quando il flusso d’acqua è basso, il risultato è un gocciolamento costante che aumenta la sua velocità con la rotazione del rubinetto. Dato che il sistema è guidato più duramente aumentando il flusso, l’intervallo costante tra gocce lascia il posto a due intervalli alternati (ad esempio, gocce consecutive separate da 0,3 sec, 0,1 s, 3 sec, 1 s), proprio come con il descrizione matematica delle popolazioni animali. Quindi, a portate maggiori, ciascuno dei due intervalli diversi si suddivide; un ritmo ancora più alto provoca un comportamento caotico, senza schemi riconoscibili. La comparsa del caos in questo sistema quotidiano.

Il caos divenne un campo di ricerca della fisica accettato solo negli anni ’80. Prima di allora, i redattori delle riviste di fisica erano riluttanti a pubblicare documenti sul caos, così i primi lavoratori dovettero lottare per il riconoscimento professionale. Per molti fisici, l’emergere del caos nella corrente principale della fisica e il rovesciamento di parte del determinismo newtoniano, sono stati a dir poco rivoluzionari. Il caos è studiato attivamente.

La storia dello studio dei sistemi caotici mostra un fenomeno molto comune nelle scienze. Quando le persone hanno iniziato a studiare i sistemi che discutiamo di seguito, sembravano completamente disorganizzati. Così furono chiamati “caotici”. Mentre il lavoro progrediva, scoprimmo che nascosto nell’apparente disorganizzazione c’era una grande struttura. La struttura condivisa da tutti questi sistemi divenne quindi la definizione tecnica di questi sistemi, che continuiamo a chiamare “caotica”. Quindi il significato tecnico del caos ora significa qualcosa di completamente diverso dal significato quotidiano. Altri esempi dello stesso tipo di fenomeno sono incentrati su parole come energia , quantità di moto , ecc.

Il problema gravitazionale a tre corpi

immagine della terra in orbita attorno al soleQuando Newton scoprì (o “inventò”) la Legge Universale di Gravitazione e inventò (o “scoprì”) le leggi del moto di Newton, usò queste due scoperte per risolvere il problema di un pianeta come la Terra in orbita intorno al Sole. Facendo la supposizione semplificante che il Sole sia fisso nello spazio, la soluzione è che l’orbita della Terra è un’ellisse. Questo è un problema piuttosto semplice da risolvere e gli studenti universitari di fisica lo fanno nel loro primo anno. L’orbita della nostra Terra non è così ellittica come quella mostrata; è quasi circolare. Una piccola terminologia: possiamo chiamare il Sole un attrattore della Terra.

soli binari con la terraIn seguito, Newton provò a risolvere il problema di due “Soli” e una singola “Terra”. Con sua sorpresa, non riuscì a trovare una soluzione a questo secondo sistema gravitazionale più semplice. Nel corso degli anni, altri hanno tentato senza successo di risolvere questo “problema di tre corpi”.

Ad un certo punto è stata offerta una ricompensa in denaro per la sua soluzione: nessuno ha mai rivendicato il premio. Negli anni ’60 ci si rese conto che, anche se, per qualsiasi motivo oscuro, avessimo difficoltà a risolvere analiticamente questo problema, potremmo ottenere soluzioni approssimative usando il computer. L’idea è abbastanza semplice:

  1. Conosciamo la posizione e la velocità della Terra in un dato momento. Possiamo calcolare la sua accelerazione usando le leggi di Newton.
  2. Questo ci permette di calcolare la nuova posizione e la nuova velocità della Terra in un momento molto breve in un “passo temporale” molto più piccolo. Calcoliamo la sua nuova accelerazione usando le leggi di Newton.
  3. Possiamo calcolare la nuova posizione e la nuova velocità in un tempo molto molto piccolo, poi il tempo nel passaggio 2.

Possiamo continuare fino a quando lo desideriamo. Nota che le soluzioni non saranno perfettamente accurate, ma se facciamo il “passo temporale” abbastanza piccolo possiamo renderle il più vicino possibile da correggere come desideriamo. Si noti inoltre che in linea di principio questi calcoli potrebbero essere fatti a mano, ma in pratica tale schema è altamente poco pratico.

soluzione di tre problemi corporeiEcco il risultato di tale calcolo. Supponiamo che i “soli” siano in realtà particelle puntiformi in modo che la “Terra” non entri mai in collisione con loro. La Terra inizia in una posizione tra i due Soli che è sotto e leggermente a destra del punto medio; inizialmente si sta muovendo lentamente verso l’alto e verso destra.

Abbiamo risolto dal tempo iniziale 0 a un’ora 80 unità dopo. Si noti che essere in grado di risolvere analiticamente questo problema con tre corpi equivale a trovare un’espressione matematica per questa curva; questo ci porta a sospettare, correttamente, che una soluzione analitica al problema non sia possibile. È possibile dimostrare che la traiettoria della Terra non lo farà mai ripetersi anche se lasciamo che il tempo vada all’infinito. Questo, a sua volta, porta all’idea che la traiettoria dopo il tempo infinito è una linea infinitamente lunga in un volume finito. Questo semplice sistema gravitazionale è il nostro primo esempio di sistema caotico.

Nota tecnica: il problema dei tre corpi di cui sopra è stato risolto in una formulazione hamiltoniana, utilizzando la funzione NDSolve di Mathematica . Le unità sono tali che GM = m = 1, e i due soli sono 2 unità separate. È importante sottolineare che questo, e tutti i sistemi caotici classici, è completamente deterministico. Se iniziamo la Terra con la stessa posizione e velocità, seguirà esattamente la stessa traiettoria ogni volta.

Esistono tuttavia sistemi quantici caotici e i sistemi quantistici sono generalmente considerati non deterministici. Successivamente, consideriamo di risolvere lo stesso problema con tre corpi che abbiamo appena fatto con una piccola differenza. Sopra la velocità orizzontale della Terra all’inizio era 0.00500. Risolviamo con la velocità orizzontale iniziale maggiore dell’uno per cento: 0,00505. La posizione iniziale e la velocità verticale iniziale sono esattamente le stesse di prima. Risolviamo questo problema per un tempo finale di 15 unità e paragoniamo al sistema precedente con un’ultima volta anche di 15 unità.

soln1soln2

In alto a destra mostriamo due soluzioni al problema del tre corpi. Entrambi partono dal punto che è orizzontalmente a metà strada tra i due soli ed è al di sotto della linea che collega i soli. La soluzione precedente che stavamo osservando è la traiettoria superiore (rossa). La traiettoria inferiore (verde) differisce solo per il fatto che la sua velocità orizzontale iniziale è maggiore dell’1% rispetto a quella superiore rossa. Osservando attentamente, possiamo vedere che all’inizio le due traiettorie corrispondono abbastanza da vicino. Successivamente, tuttavia, le due traiettorie divergono. Abbiamo un’animazione dell’evoluzione temporale di queste due traiettorie, in cui la seconda immagine è in cima alla prima. Mostra le differenze tra le traiettorie molto più chiaramente. Dalle figure, vediamo che inizialmente le due traiettorie sono quasi esattamente le stesse; questo è ciò che ci aspetteremmo per sistemi non caotici. All’improvviso, le due traiettorie divergono radicalmente. Questa radicale divergenza derivante dalle minuscole differenze nelle condizioni iniziali è chiamata dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali (SDIC) ed è una caratteristica di tutti i sistemi caotici. A volte è chiamato “effetto farfalla” perché, se la storia fosse caotica, allora se una particolare farfalla atterrò su un particolare fiore sulle montagne dell’Himalaya nel 1837 determinò l’esito della seconda guerra mondiale.

Molti ricercatori sul campo considerano lo SDIC l’indicatore principale di un sistema caotico. In ogni caso, lo inseriremo come prima voce nella lista che stiamo costruendo delle proprietà di tutti i sistemi caotici:

  • Tutti i sistemi caotici mostrano la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
  • Per tutti i sistemi caotici, la traiettoria non si ripete mai.

Ecco un esempio che è molto studiato dai ricercatori nei sistemi caotici. Immaginiamo una grande tramoggia di sabbia e lasciamo cadere un granello di sabbia alla volta sul pavimento. Inizia a formarsi un sandpile. La caratteristica chiave qui è che l’altezza del sandpile sale quando aumenta il numero di granelli di sabbia che sono caduti su di esso. La relazione esatta tra l’altezza e il numero di granelli di sabbia dipende da fattori come il modo in cui i grani si impacchettano nella sabbia ecc. Chiamiamo questa situazione in modo lineare .

In questo contesto, l’altezza non deve variare direttamente come il numero di granelli di sabbia. Potrebbe salire come la radice quadrata del numero di grani o il quadrato. Il punto cruciale è che l’altezza sale dolcemente con il numero di granelli di sabbia. Un collega, il professor Jim Drummond, descrive un sistema lineare in questo modo:

“Se lo prendo, urla, se lo prendo più forte, urla più forte”.

Ad un certo punto il cumulo di sabbia diventa così alto che quando si lascia cadere un altro granello di sabbia su di esso, si verifica una valanga e l’altezza del sandpile si riduce. Ci sono due cose da notare su questo:

  1. Un piccolo cambiamento nell’input, un altro granello di sabbia, ha causato un enorme cambiamento nell’output, l’altezza del sandpile. Pertanto, il sistema esibisce la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
  2. Il sistema è ora non lineare. L’uscita non è proporzionale all’ingresso.

Anche quest’ultimo punto è condiviso da tutti i sistemi caotici. Quindi abbiamo un’altra voce nella nostra lista di proprietà condivise da tutti i sistemi caotici.

  • Tutti i sistemi caotici sono non lineari.

Aggiungeremo a questa lista nelle sezioni successive.

La mappa logistica

Immagina di provare a modellare la popolazione di conigli in una foresta. Sappiamo che, dato ciò che piace ai conigli, l’aumento della popolazione sarà correlato al numero di conigli che abbiamo. Quindi ci aspettiamo che un termine assomigli a qualcosa:

numero (prossima generazione) = L * numero (questa generazione)

Qui L è una costante che rappresenta la fecondità dei coniglietti. Sappiamo anche che quando ci sono troppi conigli nella foresta, la mancanza di cibo, il sovraffollamento ecc. Sopprimono il numero di conigli nella prossima generazione. Se a una popolazione di 100.000 muoiono tutti i coniglietti, allora abbiamo bisogno di un termine come:

n (prossima generazione) = 100000 - numero (questa generazione)

Mettendo insieme questi due termini otteniamo:

numero (prossima generazione) = L * numero (questa generazione) * (100000 - numero (questa generazione))

Questa equazione è chiamata equazione logistica . È così semplicistico che non ha nulla a che fare con le dinamiche reali di come cambia una popolazione di conigli (o molto altro). Vedremo ulteriori esempi in seguito di sistemi che diventano troppo semplificati al punto che non hanno praticamente alcun contenuto fisico, ma ci insegnano comunque importanti lezioni sui sistemi caotici.

 

Diciamo che iniziamo con duemila coniglietti e che la costante L è 0.000028. Quindi è semplice calcolare che la prossima generazione avrà 0,000028 * 2000 * (100000 – 2000) = 5488 coniglietti. La prossima generazione avrà 0,000028 * 5488 * (100000 – 5488) = 14523 conigli e così via. Possiamo fare un grafico del numero totale di conigli nella popolazione. Vediamo che ci sono alcune piccole oscillazioni iniziali, ma alla fine la popolazione si assesta ad un valore costante di 64285.

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Diciamo che iniziamo con duemila coniglietti e che la costante L è 0.000029. Vediamo che ci sono alcune oscillazioni iniziali leggermente più grandi, ma alla fine la popolazione si assesta su un valore costante di 65.517. Quindi l’aumento di L aumenta il numero di conigli nello stato stazionario nella popolazione.

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Se aumentiamo la fecondità dei conigli impostando L a 0,000031, accade qualcosa di molto interessante. La popolazione si biforca e nello “stato stazionario” oscilla tra due valori diversi. Alcuni ecologisti ora credono che un sistema ecologico “boom-bust” sia migliore di uno stabile.

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Aumentando L a 0,000032 aumenta la dimensione delle oscillazioni nella popolazione.

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L uguale a 0,000035 i valori della popolazione biforcata si sono nuovamente biforcati e il numero ora oscilla tra quattro valori diversi!

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L uguale a 0,0000395 i valori della popolazione sono strani. In effetti, il sistema è diventato caotico. Ciò significa che esibisce tutte le proprietà di tutti i sistemi caotici. Ad esempio, un minuscolo cambiamento nel numero iniziale di conigli porta a cambiamenti radicali nel numero di conigli in ciascuna generazione successiva. Significa anche che la traiettoria mostrata a destra non si ripete mai, indipendentemente da quante generazioni calcoliamo nel grafico.

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Nota tecnica: negli esempi numerici discussi sopra, si sono arrotondati tutti i numeri all’intero più vicino. In termini di discussione, misura le popolazioni in 100 conigli con 50.000 conigli nella prima generazione.

La mappa logistica

Possiamo calcolare i valori di “stato stazionario” della popolazione in funzione del fattore di fecondità L , e il risultato di tale calcolo è sopra. Il grafico è chiamato la mappa logistica . Vediamo che inizialmente, all’aumentare del valore di L , aumenta anche la dimensione della popolazione. Poi vediamo la prima biforcazione della popolazione, seguita dalla seconda, e infine la transizione al caos. Ci sono isole di stabilità per alcuni valori più alti di L. Vediamo anche un suggerimento nella figura che dopo la seconda biforcazione, si verifica ancora un’altra biforcazione; questo di fatto accade. Se eseguissimo lo zoom sulla regione appena prima della prima transizione verso il caos, vedremmo ulteriori livelli di biforcazione. In effetti, si può dimostrare che queste biforcazioni si verificano a un livello infinito. Questo ci porta al nostro prossimo indicatore di sistemi caotici:

  • Per tutti i sistemi caotici, la transizione al caos è preceduta da infiniti livelli di biforcazione.

Gran parte del primo lavoro sulle equazioni logistiche è stato fatto dal fisico Mitchell Feigenbaum a metà degli anni ’70. In quel momento il “lavoro giornaliero” di Feigenbaum era al Laboratorio Nazionale di Los Alamos. Stava usando il nuovo calcolatore programmabile Hewlett-Packard HP-65 programmabile per calcolare quando la successiva biforcazione nella popolazione si sarebbe verificata con L aumentata. HP-65 è stato meraviglioso per il suo giorno, ma ora sarebbe considerato adatto solo per l’uso come fermacarte. Era così lento che Feigenbaum aveva un sacco di tempo tra le mani in attesa che facesse i suoi calcoli. Cominciò a cercare di indovinare il valore di L per il quale si sarebbe verificata la prossima biforcazione.

Ciò lo portò a scoprire che la velocità con cui si stavano verificando le biforcazioni era governata da un numero costante. Se, per esempio, L (n) è il valore di L per cui si verifica la biforcazione n-esima e L (n + 1) è il valore in cui si verifica la successiva biforcazione, quindi a tutti i livelli L (n + 1) diviso per L (n) è sempre lo stesso valore. Si scopre che questo numero, ora chiamato numero di Feigenbaum , è irrazionale e approssimativamente 4.6692016090 … Si scopre anche che il numero di Feigenbaum è associato a tutti i sistemi caotici.

  • Per tutti i sistemi caotici, le infinite biforcazioni che precedono il passaggio al caos sono caratterizzate dal numero di Feigenbaum.

Quando si ha a che fare con i cerchi, è essenzialmente impossibile evitare di dover affrontare il numero irrazionale pi , il cui valore è approssimativamente 3.1415926 … Questo numero sembra essere intrinsecamente associato a sistemi circolari e / o al modo in cui le nostre menti pensano a loro . Allo stesso modo, quando si ha a che fare con sistemi in cui la quantità di cambiamento in alcuni parametri dipende dal valore di quel parametro, il numero irrazionale e continua ad apparire, per esempio, nei logaritmi naturali o nella crescita o decadimento esponenziale. Quindi e, il cui valore è circa 2.71828 …, è in qualche modo associato a questi sistemi e / o al modo in cui le nostre menti pensano a loro. Questi due numeri sono piuttosto misteriosi, anche se molti di noi si sono abituati a trattare con loro. Ora sembra che abbiamo un terzo numero di questo tipo, questa volta associato a tutti i sistemi caotici: il numero di Feigenbaum.

L’attrattore di Lorenz

Nei primi anni ’60, Edward Lorenz stava modellando i sistemi meteorologici al MIT. Sviluppò un insieme di equazioni che descrivevano la turbolenza nell’atmosfera superiore, ma con sua sorpresa non riuscì a risolvere le equazioni. Cominciò a semplificare le equazioni, finché alla fine si ritrovò con una serie di equazioni che non avevano più alcuna rilevanza per il problema della turbolenza. Solo per riferimento, ecco le equazioni:

dx/dt = s * (x - y)
dy/dt = -x * z - y + r * x
dz/dt = x * y - b * x

Qui x , y e z sono variabili e penseremo a t come al tempo; s , r e b sono costanti.

Una soluzione delle equazioni di LorenzLorenz non ha potuto risolvere neanche queste semplici equazioni. Tuttavia, le equazioni possono essere approssimativamente risolte con un computer usando esattamente la stessa tecnica di cui abbiamo discusso in precedenza per il problema gravitazionale del tre corpi. Il risultato di tale calcolo che dà la traiettoria {x, y, z} mentre il tempo evolve è mostrato a destra.

Vediamo che questo “attrattore” ha due punti che attraggono la traiettoria. Questo è simile al problema gravitazionale di tre corpi che abbiamo visto sopra. Nei primi giorni di studio questo attrattore di Lorenz tutto sembrava strano; quindi a volte è chiamato lo strano attrattore . Ora, sappiamo che sebbene sia strano, i molti molti sistemi caotici che sono stati scoperti sono allo stesso modo strani.

Questo è ancora un altro sistema caotico, e quindi ha tutte le proprietà di tali sistemi. Abbiamo una semplice animazione di questa soluzione in cui ruotiamo la traiettoria; mostra più chiaramente la natura “tridimensionale” della traiettoria.

Abbiamo anche preparato un’animazione Flash che consente di utilizzare il mouse per modificare la vista dell’attrattore. Richiede il Flash player della versione 6 o superiore e la dimensione del file è 550k. Apparirà in una finestra separata.

Vediamo che la traiettoria attorno a ciascun attrattore è approssimativamente su un piano. I due piani attorno ai due attrattori sono quasi, ma non del tutto sullo stesso piano. In effetti, descriviamo la dimensionalità dell’attrattore di Lorenz come un po ‘più grande di due. Questa dimensionalità non intera o frazionaria risulta essere un’altra caratteristica dei sistemi caotici. A volte tali oggetti sono talvolta chiamati frattali .

  • Tutti i sistemi caotici mostrano dimensionalità frazionale.

Nota tecnica: la soluzione di cui sopra alle equazioni di Lorenz aveva posizioni iniziali di x = 0, y = 1 e z = 0. Le costanti erano r = 28, s = 10 e b = 8/3. Il tempo t va da 0 a 2048. Non tutte le soluzioni delle equazioni di Lorenz sono caotiche; il fattore cruciale è il valore della costante r .

Ho già detto che questo documento si basa su una lezione della durata di un’ora che è stata sostanzialmente invariata agli studenti universitari a vari livelli. Il resto di questa sezione è un po ‘più tecnico del resto, e per alcuni contesti, invece, espongo l’idea della dimensionalità frazionaria. Tutte le versioni della classe terminano con la sezione Ulteriori discussioni e conclusioni alla fine di questo documento.

Trama di LyapunovCome appena detto nella nota tecnica, la soluzione di cui sopra è stata generata con il valore iniziale di y uguale a esattamente uno. Calcoliamo una seconda soluzione con il valore iniziale di y = 1.000000001. Quindi tracciamo una trama della distanza tra queste due traiettorie in funzione del tempo; questa trama appare a destra.

Vediamo che, proprio come per il problema dei tre corpi, inizialmente la distanza tra le due traiettorie è piuttosto piccola. Poi, ad un certo punto, divergono rapidamente.

Questo grafico è chiamato trama di Lyapunov . Tecnicamente, potresti voler sapere che si tratta di una trama di log-log. Potete vedere che quando le due traiettorie iniziano a divergere, la distanza tra loro come una funzione del tempo è quasi esattamente una linea retta. Anche questo è una proprietà di tutti i sistemi caotici.

  • Per tutti i sistemi caotici, una trama di Lyapunov della distanza tra le traiettorie rispetto al tempo mostrerà una linea retta.

Diciamo che prendiamo una delle soluzioni alle equazioni di Lorenz e tracciamo dove la traiettoria attraversa il piano xy quando il valore di z è 20 e aumenta. Questa è chiamata sezione di Poincaré e viene mostrata a destra. La sezione è un modo di analizzare il movimento complesso riducendo la quantità di informazioni di cui abbiamo bisogno per occuparci di tutto in una volta. Poincaré introdusse questo spettacolo alla fine del diciannovesimo secolo mentre stava lavorando al problema gravitazionale dei tre corpi.

 

Per l’attrattore Lorenz, tutte le variabili, ad esempio z , passano attraverso i valori massimo e minimo mentre la traiettoria cicla attorno agli attrattori. Possiamo fare un grafico del valore di un particolare valore massimo di z rispetto al valore di z per il suo massimo precedente. Questa è chiamata la prima mappa di ritorno ed è mostrata a destra. Viene anche mostrata una linea tratteggiata che si trova ad un angolo esattamente di 45 gradi rispetto all’orizzontale. Vediamo che i punti nella mappa di ritorno stanno inizialmente aumentando e tutti si trovano sopra la linea tratteggiata. Questa è un’altra caratteristica dei sistemi caotici.

  • Per tutti i sistemi caotici, i punti iniziali della prima mappa di ritorno si trovano sempre sopra una linea che forma un angolo di 45 gradi rispetto all’orizzontale.

Ulteriori discussioni

Sopra abbiamo discusso tre sistemi caotici. Ora sappiamo che ci sono molti sistemi che possono diventare caotici. Alcuni esempi includono:

  1. Un pendolo il cui punto di supporto oscilla su e giù.
  2. Un doppio pendolo.
  3. Un rubinetto gocciolante.
  4. Una palla da biliardo su un tavolo da biliardo perfettamente riflettente con due lati paralleli collegati da due semicerchi. Questo è chiamato stadio Bunimovich .

Per i fisici che, come me, sono stati educati in un modo più o meno tradizionale, ci è stato tacitamente insegnato che stavamo andando in una linea retta dall’ignoranza alla comprensione. In retrospettiva, il nostro percorso non era nemmeno vicino al rettilineo, poiché dovevamo evitare le paludi e i crateri del caos che appaiono quasi ovunque guardiamo. In precedenza dovevamo evitare quelle paludi e quei crateri perché spesso non sono risolvibili analiticamente e risolvere i problemi analiticamente usati come la nostra unica tecnica importante. Per alcuni altri sistemi, come le equazioni logistiche, la risolubilità non è un problema; i requisiti di calcolo, tuttavia, in gran parte precludono il loro studio solo con una matita e un foglio di carta. I computer hanno permesso un’esplosione nella nostra comprensione dei sistemi caotici negli ultimi 35 anni circa.

Praticamente solo, alla fine del diciannovesimo secolo, Poincaré realizzò un po ‘della grandezza dei problemi con il problema gravitazionale dei tre corpi e trovò alcuni modi unici e creativi per mordicchiare ai margini del problema. Queste tecniche sono ancora in uso oggi nello studio del caos.

Abbiamo discusso alcune ma non tutte le proprietà condivise da tutti i sistemi caotici. Questi includono:

  • Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
  • La traiettoria non si ripete mai.
  • Sono non lineari.
  • La transizione al caos è preceduta da infiniti livelli di biforcazione.
  • Le infinite biforcazioni che precedono il passaggio al caos sono caratterizzate dal numero di Feigenbaum.
  • Dimensionalità frazionale.
  • Una trama di Lyapunov della distanza tra le traiettorie rispetto al tempo mostrerà una linea retta.
  • I punti iniziali della prima mappa di ritorno si trovano sempre sopra una linea che forma un angolo di 45 gradi rispetto all’orizzontale.

Quindi, nascosto nell’apparente disorganizzazione, c’è una grande quantità di struttura. Lorenz ha recentemente affermato che crede che il tempo sia un sistema caotico. Poiché è praticamente impossibile conoscere le condizioni iniziali, ovvero la temperatura, la densità, il vento, l’umidità, ecc., Con precisione perfetta, la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali implica che in linea di principio una previsione meteorologica a lungo termine sia impossibile. Lorenz ipotizza che “lungo raggio” significhi una settimana o più.

In precedenza ho fatto un breve riferimento al fatto che la maggior parte delle interpretazioni della Meccanica Quantistica ritengono che i sistemi quantistici siano non deterministici. Questo è, naturalmente, il punto in cui Einstein ha salvato la meccanica quantistica, affermando che “Dio non gioca a dadi con l’universo”. Bohr rispose a Einstein “Smetti di dire a Dio cosa fare!”

Una recente reinterpretazione di Quantum Mechanics di David Bohm e del suo gruppo introduce la nozione di un potenziale quantico . Questo potenziale è non locale, il che spiega la strana “influenza a distanza” che la Meccanica Quantistica predice e che è stata confermata sperimentalmente. Ma nell’interpretazione di Bohm il movimento di oggetti come gli elettroni che attraversano una serie di fessure è governato da questo potenziale quantistico e la traiettoria risulta essere caotica. Quindi i sistemi quantistici di Bohm sono un altro sistema caotico deterministico.

Constante di Feigenbaum

 

FeigenbaumConstantBifurcation

La costante di Feigenbaum delta è una costante universale per le funzioni che si avvicinano al caos attraverso il raddoppio del periodo . Fu scoperto da Feigenbaum nel 1975 (Feigenbaum 1979) mentre studiava i punti fissi della funzione iterata

 f (x) = 1-mu | x | ^ r,     (1)

e caratterizza l’approccio geometrico del parametro di biforcazione al suo valore limite in quanto il parametro mu viene aumentato per il fisso X. La trama sopra è fatta ripetendo l’equazione (1) con r = 2 diverse centinaia di volte per una serie di valori discreti ma strettamente ravvicinati di mu, scartando i primi centinaio di punti prima che l’iterazione si sia stabilizzata sui suoi punti fissi, e quindi tracciando i punti rimanenti.

FeigenbaumConstantIteration

Una trama simile che mostra più direttamente il ciclo può essere costruita tracciando f ^ n (x) -x in funzione di mu. La trama sopra (Trott, pers. Comm.) Mostra le curve risultanti per n=1, 2 e 4. Lasciate che mu_n sia il punto in cui 2 ^ nappare un ciclo- periodo e denotiamo il valore convergente di mu_infty. Supponendo la convergenza geometrica, la differenza tra questo valore e mu_n viene denotata

 lim_ (n-> infty) mu_infty-mu_n = Gamma / (delta ^ n),     (2)

dove Gammaè una costante ed delta> 1è una costante ora nota come costante di Feigenbaum. Risolvere per deltadare

 delta = lim_ (n-> infty) (mu_ (n + 1) -mu_n) / (mu_ (n + 2) -mu_ (n + 1))    (3)

(Rasband 1990, p 23, Briggs 1991). Una costante aggiuntiva alfa, definita come la separazione degli elementi adiacenti del periodo raddoppiato gli attrattori da un doppio all’altro, ha un valore

 alpha = lim_ (n-> infty) (d_n) / (d_ (n + 1)),    (4)

dove d_n è il valore dell’elemento ciclo più vicino a 0 nel 2 ^ n ciclo (Rasband 1990, p.37, Briggs 1991).

Per l’equazione (1) con  r = 2, gli insiemi di biforcazioni si verificano in mu = 0.75, 1.25, 1.368099, 1.39405, 1.399631, …, dando convergenti a deltaper n = 1, 2, 3, … di 4.23374, 4.5515, 4.64617, …. Per la mappa logistica ,

delta = 4,669201609102990 ...    (5)
Gamma = 2.637 ...    (6)
mu_infty = 3,569,945672 millions ...    (7)
alfa = -2,502907875 ....     (8)

(OEIS A006890 , A098587 e A006891 ; Broadhurst 1999; Wolfram 2002, P.  920 ), dove deltaè noto come costante di Feigenbaum ed alfaè il “parametro di riduzione” associato.

Briggs (1991) calcolato deltasu 84 cifre, Briggs (1997) a 576 posizioni decimali (di cui 344 corrette) e Broadhurst (1999) a 1018 cifre decimali. Non è noto se la costante di Feigenbaum deltasia algebrica o se possa essere espressa in termini di altre costanti matematiche (Borwein e Bailey 2003, p 53).

Briggs (1991) ha calcolato alfaa 107 cifre, Briggs (1997) a 576 posizioni decimali (di cui 346 corrette) e Broadhurst (1999) a 1018 cifre decimali.

Sorprendentemente, la costante di Feigenbaum deltae il parametro di riduzione associato alfasono “universali” per tutte le mappe unidimensionali f (x) se f (x) hanno un singolo massimo quadratico locale . Questa fu una congettura di Feigenbaum, dimostrata rigorosamente da Lanford (1982) per il caso r = 2, e Epstein (1985) per tutti r <14.

Più specificamente, la costante di Feigenbaum è universale per le mappe unidimensionali se il derivato di Schwarzian

 D_ (Schwarzian) = (f ^ ( '' ') (x)) / (f ^' (x)) - 3/2 [(f ^ ( '') (x)) / (f ^ '(x) )] ^ 2     (9)

è negativo nell’intervallo limitato (Tabor 1989, p.202). Esempi di mappe che sono universali includono la mappa di Hénon , la mappa logistica , l’ attrattore di Lorenz , le troncature di Navier-Stokes e la mappa del seno x_ (n + 1) = asin (pix_n). Il valore della costante di Feigenbaum può essere calcolato esplicitamente usando la teoria della rinormalizzazione del gruppo funzionale. La costante universale si verifica anche nelle transizioni di fase in fisica. Il valore di alfauna mappa universale può essere approssimato dalla teoria della rinormalizzazione del gruppo funzionale all’ordine zero risolvendo

 1-alpha ^ (- 1) = (1-alpha ^ (- 2)) / ([1-alfa ^ (- 2) (1-alpha ^ (- 1))] ^ 2),     (10)

che può essere riscritto come l’ equazione quintic

 alpha ^ 5 + 2alpha ^ 4-2alpha ^ 3-alpha ^ 2 + 2alpha-1 = 0.     (11)

Risolvendo numericamente per la radice reale più piccola si ottiene alpha = -2,48634 ..., solo lo 0,7% di sconto rispetto al valore effettivo (Feigenbaum 1988). Per una mappa bidimensionale che preserva l’area con

x_ (n + 1) = f (x_n, y_n)     (12)
y_ (n + 1) = g (x_n, y_n),    (13)

la costante di Feigenbaum è delta = 8.7210978 ... (Tabor 1989, p 225). Per una funzione della forma (1), la costante di Feigenbaum per vari rè riportata nella seguente tabella (Briggs 1991, Briggs et al. , 1991, Finch 2003), che aggiorna i valori in Tabor (1989, p 225).

r delta alfa
3 5,9679,687038 millions … 1,9276,909638 millions …
4 7,2846,862171 millions … 1,6903,029714 millions …
5 8,3494,99132 milioni … 1,5557,712501 millions …
6 9,2962,468327 millions … 1,4677,424503 millions …

Broadhurst (1999) considerava costanti aggiuntive di Feigenbaum. Lascia g (x) che f (x) sia anche funzioni con g (0) = f (0) = 1 e

(G (Alphax)) / alfa = g (g (x))    (14)
(DeltaF (Alphax)) / alfa = g ^ '(g (x)) f (x) + f (g (x))     (15)

e il delta più grande possibile. Lasciate (B, c, d) essere numeri positivi con

 g (b) = 0 = 1 / (g (c + id))     (16)

e il (B, c ^ 2 + d ^ 2) più piccolo possibile. Lascia anche cappaessere l’ordine della singolarità più vicina, con

 1 / (g (c + id + z)) = O (z ^ kappa)     (17)

come ztende a zero. I valori di queste costanti sono riepilogati nella seguente tabella.

Costante Sloane Valore
B A119277 ,83236723690531642484 …
c A119278 1,8312589849371314853 …
d A119279 2,6831509004740718014 …
cappa A119280 1,3554618047064087438 …

 

Riferimenti:

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