Meccanica quantistica classica: L’atomo di Bohr

Fin dall’antica Grecia, Democrito di Abdera aveva, più per ragioni di natura filosofica che scientifica, postulato la possibilità che la materia non era infinitamente continua, cioè non poteva essere suddivisa all’infinito, e alla fine avremmo raggiunto un punto in cui non sarebbe stato possibile continuare a suddividerla. Le particelle non suddivisibili oltre un certo limite da semplici tagli sezionali li chiamavano atomi , che in greco significa “non suscettibili al taglio” ( a = no, negazione, tomos = taglio).

Gli esperimenti di Lord Ernest Rutherford sostenuto da elementari argomenti balistici dimostrarono in modo conclusivo che la materia non è così solida come si credeva, e in effetti la questione è per la maggior parte spettrale, con un nucleo in cui si potrebbe considerare che l’intero carico era ospitato positivo elettrico (+) dell’atomo e particelle molto più piccole che orbitano intorno al nucleo in un modo molto simile a come i pianeti intorno al Sole, particelle caricate negativamente (-) a cui i fenomeni della natura sono dovuti elettrico, elettroni. La carica positiva situata nel centro dell’atomo spiegava la stabilità della materia nello spazio mentre gli elettroni che orbitavano liberamente attorno all’atomo spiegavano la disponibilità della stessa a essere rimossa da un atomo all’altro rendendo possibile la corrente elettrica. Ecco come è stato raggiunto il modello planetario di Rutherford :

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Il modello planetario di Rutherford non specificava né la velocità degli elettroni attorno al nucleo né le distanze in cui gli elettroni del nucleo atomico potevano essere trovati. Era semplicemente un concetto, un’idea. Questa idea sarebbe stata in seguito adottata da un fisico danese, Niels Böhr , per spiegare i fenomeni relativi alle linee spettrali degli elementi di cui parleremo in seguito. Quasi tutti hanno familiarità con l’effetto dei prismi di vetro con i quali è possibile scomporre la luce bianca nei suoi costituenti essenziali:

Quando dopo una pioggia pesante vediamo un arcobaleno, questo arcobaleno è prodotto dalle gocce di pioggia in lontananza che agendo come piccoli prismi ci inviano alla luce del sole decomposta nel suo spettro di colori.

Se passiamo la luce del sole o la luce di una lampadina elettrica attraverso un prisma, o meglio ancora, attraverso uno spettroscopio, vedremo uno spettro continuo simile al seguente:

Tuttavia, se tra la sorgente luminosa e noi interponiamo un gas freddo, troveremo alcune linee assenti, tipiche di uno spettro di assorbimento:

E se ciò che facciamo è mettere un gas all’interno di un contenitore riscaldandolo ad alta temperatura, o meglio ancora, sottoponendolo a scariche elettriche ad alta energia, otterremo uno spettro di emissione come il seguente:

Nel 1885 un maestro svizzero, Johann Balmer , scoprì che le linee nello spettro dell’idrogeno potevano essere rappresentate dalla seguente formula:

dove: b = 3645,6 · 10 -8 centimetri = 3645,6 Angstrom = 3645,6 Å m = 3, 4, 5, … e successivamente ha suggerito che questo potrebbe essere un caso speciale dell’espressione:

dove sia m che n sono numeri interi. Entro la fine del 19 ° secolo, erano stati effettuati molti lavori sperimentali sull’analisi dello spettro discreto della radiazione emessa quando si producevano scariche elettriche nei gas. Poiché tra tutti gli atomi il più leggero e il più semplice è quello dell’idrogeno composto da un nucleo e un elettrone, non fu una sorpresa a quel tempo la dimostrazione, per mezzo di misure spettroscopiche sempre più esatte, secondo cui l’idrogeno presentava il spettro più semplice tra tutti gli elementi. Si è constatato che le diverse linee nelle regioni visibili e non visibili erano sistematicamente distribuite in diverse serie. Sorprendentemente, si è scoperto che tutte le lunghezze d’onda dell’atomo di idrogeno sono ottenute da una semplice relazione empirica, nota come formula di Rydberg:

in cui R è una costante nota come costante di Rydberg (in onore del fisico svedese Johannes Rydberg ) il cui valore per le unità di Angstrom per l’atomo di idrogeno è:

R = 1,0967758 · 10 -3 / Å dove:
  • a = 1 and n b = 2, 3, 4, … dà la serie Lyman (regione ultravioletta)
  • a = 2 en = b , 3, 4, 5, … dà la serie di Balmer (regione visibile)
  • a = 3 en = b = 4, 5, 6, … dà la serie Paschen (regione infrarossa)
  • a = 4 en = b , 5, 6, 7, … dà il serie Brackett (regione lontano infrarosso)
  • un = 5 e n b = 6, 7, 8, … spedisce la Serie Pfund (regione del lontano infrarosso)

e così via, per altre serie che sono ancora più lontane dall’infrarosso.

PROBLEMA : Calcola la lunghezza d’onda più corta e la lunghezza d’onda più lunga per la serie di idrogeno Lyman .

La lunghezza d’onda della serie Lyman si ottiene facendo n a = 1 nella formula di Rydberg:

1 / λ = (1.097 · 10 -3 / Å) [(1 / 1²) – (1 / n b ²)]

La lunghezza d’onda massima corrisponde ad un b = 2:

1 / λ max = (1.097 · 10 -3 / Å) [(1 / 1²) – (1 / 2²)]

λ max = 1215 Å

E la lunghezza d’onda minima corrisponde a b = ∞:

1 / λ min = (1.097 · 10 -3 / Å) [(1 / 1²) – (1 / ∞)]

λ min = 912 Å

Ogni elemento ha una propria serie di linee spettrali caratteristiche, vale a dire che ogni elemento ha la propria costante di Rydberg. Non ci sono due elementi con le stesse linee spettrali, nello stesso modo in cui non ci sono due persone diverse che hanno esattamente lo stesso DNA o le stesse impronte digitali, il che ci consente di usare la spettroscopia come metodo di analisi per l’identificazione degli elementi che formano parte di un campione di materiale. Se abbiamo a disposizione un “catalogo” con gli spettri caratteristici di ciascuno degli elementi, possiamo identificare senza grandi problemi gli elementi che si trovano all’interno di un campione di materiale. Di seguito abbiamo gli spettri di sette diversi campioni di materiali:

In questo modo, la costante di Rydberg non è esattamente una costante universale, poiché ciascuno degli elementi chimici ha la sua costante Rydberg. Per tutti gli atomi simili all’atomo di idrogeno (atomi con un singolo elettrone nella sua ultima orbita, atomi di idrogeno ) la costante R di Rydberg può essere derivata dalla costante di Rydberg dell ‘”infinito” R  nel modo seguente:

dove R è la costante di Rydberg per un certo atomo con un elettrone, e dove m e la massa dell’elettrone e M la massa dei nuclei atomici.

Nel 1913, offrendo un’ipotesi per chiarire il mistero della formula empirica di Rydberg, Niels Bohr sviluppò una teoria fisica dalla quale si poteva derivare la formula di Rydberg. Come il modello planetario atomico di Rutherford, il modello atomico planetario di Bohr si basa su un sistema planetario in cui un elettrone leggermente carico ruota intorno a un nucleo pesante caricato positivamente. Ma a differenza del modello atomico planetario di Rutherford, il modello atomico planetario di Bohr impose diversi livelli discretidi energia in cui potremmo trovare gli elettroni che si muovono attorno al nucleo dell’atomo e imponendo tali discreti livelli di energia non è possibile localizzare gli elettroni a distanza arbitraria dal nucleo, questi “strati sferici” si trovavano a una buona distanza definito dal centro geometrico dell’atomo. Lo strato più vicino al nucleo dell’atomo è stato assegnato un numero quantico uguale a n = 1, e dopo che lo strato esterno immediato avrebbe un numero quantico uguale a n = 2, e così via:

Una volta definiti gli strati di energia discreta, Bohr postulò l’ipotesi che un fotone di luce con sufficiente energia potesse “saltare” un elettrone da uno strato inferiore a uno più alto (ad esempio, da n = 1 a an = 5), assorbendo il fotone e lasciando così un “buco” nello spettro di assorbimento. Ma non solo era possibile per un elettrone saltare da un livello di energia inferiore a uno superiore assorbendo un fotone. Era anche possibile saltare da un livello di energia più alto a un livello di energia inferiore emettendo un fotone la cui energia dovrebbe essere uguale alla differenza tra i livelli di energia degli strati. Questo potrebbe spiegare gli spettri di emissione:

Il modello atomico planetario di Bohr è stato in grado di spiegare e persino prevedere l’esistenza di altre linee spettrali che sono state via via scoperte quando la potenza della risoluzione degli spettroscopi è aumentata grazie a tecniche raffinate nella fabbricazione dello stesso:

Per quanto possa sembrare semplice, il modello atomico planetario di Bohr ha avuto un costo difficile da accettare per coloro che sono abituati a pensare in termini di fisica classica. Per vedere l’impatto prodotto dal modello, considera il classico problema di una palla che viene rilasciata in modo che rotoli su un piano inclinato:

Dal punto di vista della fisica classica, la palla perde gradualmente energia potenziale (a seconda della sua altezza) che viene convertita in energia di movimento (cinetica). Ad ogni perdita infinitesima di energia potenziale la palla guadagna una energia cinetica infinitesimale, e la transizione è liscia e continua e gli strumenti del calcolo infinitesimale possono essere applicati all’analisi del sistema. D’altra parte, nel modello di Bohr, non esiste una transizione così liscia e continua, poiché l’elettrone passa da un livello di energia a un altro per “saltare” come se stesse saltando da un passo all’altro senza possibilità di stabilizzarsi in un valore intermedio di energia:

Nell’esempio illustrato in figura, l’elettrone “salta” livello n = 3 per n = 2 livello producendo un fotone di luce rossa con una lunghezza d’onda di 656 · 10 -9 m ed energia 1,89 eV (elettroni volt). Perché la natura si sposta su “salti” nel mondo sub-microscopico, piuttosto che regolare e continuo è una questione filosofica ho tormentato e consumato il primo scopritore della quantizzazione dell’energia, Max Planck (in di chi onore la costante hche governa il mondo sub-microscopica porta il suo nome), ed è un problema che rimane irrisolto, ma è accettata con una certa rassegnazione da generazioni che sono cresciuti abituati alla realtà, senza dover passare attraverso lo “shock” per il quale hanno dovuto passare i fondatori della Meccanica Quantistica che hanno dovuto digerire la difficile transizione in questo modo di pensare.

Poiché il diametro di un atomo è di circa 10 -10 metri mentre la carica elettrica positiva è concentrata in un nucleo di circa 10 -14 o 10 -15metro di diametro, l’elettrone deve essere relativamente lontano dall’atomo, almeno in media. La forza di attrazione elettrica che tiene l’elettrone nella sua orbita è classicamente data dalla legge di Coulomb:

F = kq 1 q 2 / r²

dove k = 1 / 4πε 0 = 9 · 10 9 Newton · metro² / coulomb² nel sistema di unità MKS (ISO) e k = 1 nel sistema di unità cgs-gaussiano. Per raggiungere la stabilità meccanica, Bohr suppose che questa forza di attrazione elettrica tra la carica positiva del nucleo e la carica negativa dell’elettrone fosse proprio quello che era necessario per fornire la forza centripeta necessaria per mantenere l’elettrone nella sua orbita circolare, poiché senza di esso l’elettrone sarebbe uscito dalla sua orbita proprio come sarebbe accaduto con la Luna se non per quello che Newton ha battezzato come la “forza di gravità”.

Per semplicità, e non avendo prove del contrario, Bohr suppose che l’orbita dell’elettrone attorno al nucleo fosse un’orbita circolare. L’energia potenziale elettrica U di un elettrone situato ad una distanza r da un nucleo di carica Ze (dove Z è il numero atomico dell’elemento che viene considerato, con Z = 1 per l’idrogeno) è:

( Nota : l’interpretazione generale data al numero atomico Z nel modello atomico planetario di Bohr per elementi diversi dall’idrogeno ha a che fare con gli atomi di idrogeno , gli atomi che hanno due o più protoni nel loro nucleo ma un singolo filamento di elettroni attorno al nucleo, come l’elio ionizzato He + con due protoni nel suo nucleo e un singolo elettrone in orbita attorno al nucleo, il litio a doppia ionizzazione Li 2+ con due protoni nel suo nucleo e un singolo elettrone in orbita attorno al nucleo , triplo ionizzato di berillio Be 3+con tre protoni nel suo nucleo e un singolo elettrone che orbita attorno al nucleo, il boro B 4+ con quattro protoni nel suo nucleo e un singolo elettrone che orbita attorno al nucleo, e il carbonio C 5+ con cinque protoni nel suo nucleo e un elettrone solitario in orbita attorno al nucleo. Ciò è necessario perché se consideriamo due o più elettroni in orbita attorno al nucleo, allora l’interazione elettrone-elettrone con la repulsione tra gli elettroni rende enormemente difficile l’analisi matematica del problema).

L’energia totale E dell’elettrone (che d’ora in poi considereremo come l’energia totale dell’atomo per il caso dell’idrogeno) sarà uguale alla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, cioè:

Perché ci sia stabilità meccanica, la forza di attrazione elettrica:

deve essere uguale alla forza centripeta necessaria per mantenere l’elettrone in un’orbita circolare, che è (classicamente) uguale a F = mv² / r. pertanto:

Da ciò possiamo ottenere un’espressione per l’energia cinetica in funzione della distanza r:

In questo modo, possiamo vedere che per le orbite circolari l’energia cinetica è pari alla metà dell’energia potenziale U. Allora l’energia totale E sarà uguale a:

Utilizzando la relazione:

hf = E 1 – E 2

per la frequenza della radiazione quando l’elettrone salta dall’orbita 1 del raggio r 1 all’orbita 2 del raggio r 2 , allora abbiamo:

Per ottenere la formula di Balmer-Ritz f = c f = cR (1 / m² – 1 / n²), è evidente che i raggi delle orbite stabili devono essere proporzionali ai quadrati degli interi, cioè:

n = n²r 0

dove r 0 è per il momento una costante sconosciuta da determinare in seguito. Ciò ha come conseguenza diretta la quantizzazione dei livelli di energia dell’atomo:

Abbiamo quindi per la frequenza delle radiazioni:

Ora prenderemo il problema di determinare r 0 . La costante r 0 è il raggio più piccolo possibile, ma può essere determinata considerando il caso speciale per un numero quantico molto grande n. Quando n si avvicina all’infinito, la differenza di energia tra le orbite adiacenti si avvicina a zero e la quantizzazione non deve avere praticamente alcun effetto. Bohr pensava che per i grandi numeri quantici, la fisica classica dovrebbe dare i risultati corretti. Questo principio è noto come principio di corrispondenza : per un grande numero quantico l’equazione quantistica diventa l’equazione classica, i calcoli classici ei calcoli quantistici devono dare lo stesso risultato . di scrittura:

1 = n ___ n 2 = n – 1

Abbiamo quindi:

per n »1. Quindi, per grandi numeri quantici, la formula sopra per la frequenza di radiazione assume la forma seguente:

La frequenza della radiazione prevista dalla teoria classica è uguale alla frequenza di rivoluzione dell’elettrone attorno al nucleo atomico, questo essendo f rev = v / 2πr. Da quanto sopra abbiamo quindi per quest’ultimo:

Rendendo la frequenza di rotazione f rev ² uguale alla frequenza di radiazione f², otteniamo quanto segue:

oppure, cancellando per r 0 :

in cui un 0 = h² / (4π²ke²m) dove m = m e la massa dell’elettrone.

Mettendo l’espressione che abbiamo ottenuto sopra per r 0 nella formula per le frequenze di radiazione, otteniamo quanto segue:

PROBLEMA : valutare il raggio a della prima orbita dell’elettrone per l’atomo di idrogeno . Usa le unità nel sistema MKS-SI per risolvere questo problema.

Per l’atomo di idrogeno abbiamo Z = 1. Nel sistema MKS-SI, la costante k che deve essere usata è uguale a k = 1 / 4πε 0 . allora:

Storicamente, a questa lunghezza a 0 = 0.529 Å, il primo raggio dell’orbita del modello atomico planetario di Bohr era considerato così fondamentale da ricevere un nome speciale che onorava il suo scopritore, il Bohr , spesso misurando i raggi del altre orbite in multipli del raggio da Bohr a 0 . La designazione esiste ancora, nonostante il fatto che nella moderna meccanica quantistica si consideri che questo raggio non è osservabile e non è nemmeno possibile assegnare all’elettrone una distanza fissa rispetto al nucleo atomico, essendo possibile solo parlare della probabilità di essere in grado di trovare l’elettrone ad una certa distanza dal nucleo, ma non la certezza.

PROBLEMA :Determina l’energia di un atomo di idrogeno che si trova nel suo stato fondamentale. Usa le unità nel sistema MKS-SI per risolvere questo problema.

Scrivere la formula per il livello di energia dell’atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale come segue:

quindi, usando le costanti fisiche nel sistema MKS-SI:

e = 9.109 × 10 -31 chilogrammo

e = 1.602 × 10 -19 coulomb

ε 0 = 8.854 × 10 -12 coulomb² / Newton · metro²

h = 6.626 × 10 -34 joule · secondo

abbiamo il seguente risultato:

Poiché 1 elettron-volt equivale a 1.602 × 10 -19 joule, l’energia dell’atomo di idrogeno (considerata qui come l’energia dell’elettrone nello stato fondamentale) sarà pari a -13,6 eV.

PROBLEMA: (1) Calcola la frequenza della rotazione di un elettrone nello stato n = 10. (2) Calcola la frequenza della luce emessa quando un elettrone scende dallo stato n = 10 allo stato n = 9. Usa le unità nel sistema cgs-gaussiano per risolvere questo problema.

(1)L’energia di un elettrone localizzata al livello n = 10, calcolata nel sistema di unità cgs-gaussiana, sarà la seguente:

Supponendo che tutta questa energia sia l’energia cinetica di rotazione dell’elettrone attorno al nucleo, allora possiamo calcolare con questa la sua velocità tangenziale orbitale:

Successivamente, calcoliamo il raggio dell’orbita quando l’elettrone si trova nello stato n = 10:

Avendo la velocità tangenziale orbitale e il raggio dell’orbita, possiamo calcolare la frequenza della rotazione dell’elettrone attorno al nucleo in base al fatto che la velocità angolare ω è uguale alla velocità tangenziale tra il raggio e la velocità angolare è anche uguale a 2 volte la frequenza di rotazione:

D’altra parte, l’energia del fotone luminoso emesso quando scende dal livello n = 10 al livello n = 9 sarà:

dove il segno negativo indica che questa è un’energia rilasciata dall’atomo invece di essere un’energia che deve essere fornita ad esso. La frequenza del fotone luminoso (che in questo problema identificheremo con la lettera ν da non confondere con la frequenza di rotazione che abbiamo appena calcolato sopra) viene quindi ottenuta con la formula di base che si riferisce all’energia di un fotone con la sua frequenza:

Se confrontiamo la frequenza della rotazione di un elettrone nello stato n = 10 con la frequenza della luce emessa quando un elettrone scende dallo stato n = 10 allo stato contiguo n = 9, possiamo vedere che entrambe le quantità hanno lo stesso ordine di grandezza e infatti entrambi i risultati numerici non sono così distanti l’uno dall’altro. Questo, ovviamente, è il principio della corrispondenza di Bohr in azione. Questo semplice problema ci mostra che non è veramente necessario che i numeri quantici siano così grandi da stabilire la corrispondenza. Naturalmente, per numeri quantici molto grandi, la corrispondenza diventa un’uguaglianza. E sebbene il confronto sia stabilito assumendo che l’elettrone cada da uno stato di energia n + 1 a uno stato di energiaadiacente n, possiamo vedere numeri lancio per grandi numeri quantici tengono corrispondenza di un ragionevole grado di precisione anche quando gli stati energetici non sono contigui.

PROBLEMA : Soddisfare la differenza tra le lunghezze d’onda della linea idrogeno corrispondente alla transizione n 1 = 3 → n 2 = 2 e la linea di ionizzato corrispondente alla transizione n 1 = 6 → n 2 = 4. Prendere come valori per le costanti di Rydberg il seguente:

H = 1.09678 × 10 -3 / Å

He = 1.09722 × 10 -3 / Å

 

Della relazione fondamentale per un elemento con numero atomico Z:

abbiamo il seguente per l’atomo di idrogeno con una transizione n 1 = 3 → n 2 = 2:

e abbiamo il seguente per l’atomo di elio con una transizione n 1 = 6 → n 2 = 4:

Prendendo i differenziali nella prima relazione e introducendo gli ultimi risultati che sono stati gli stessi:

In quest’ultimo possiamo fare una buona approssimazione sostituendo gli infinitesimi con incrementi finiti, scrivendo quanto segue:

Tornando alla relazione precedente, vediamo che:

allora:

Mettere i numeri:

Rendendo Z = 1 per il caso dell’idrogeno e confrontando ciò che otteniamo con la formula Balmer-Ritz, avremo il seguente risultato per la frequenza di Rydberg:

Poiché ogni strato è un livello di energia diversa (e nel dire che ci riferiamo il livello di energia di un elettrone che si trova in ogni strato), si è soliti a rappresentare transizioni da uno strato all’altro da ciò che è noto come diagrammi Livelli energetici come il seguente:

Il livello per il quale n = 1 è noto come stato fondamentale o stato basale .

Una curiosità nell’equazione di Rydberg secondo cui la lunghezza d’onda λ di ogni linea osservata nello spettro dell’idrogeno è determinata dai principali numeri quantici dello stato iniziale e lo stato finale è che ci sono coppie { i , f . } di numeri quantici che generano esattamente lo stesso valore di λ. Ad esempio, abbiamo le coppie {28,32} e {56,224} risultanti dalla corrispondenza numerica (nella legge di Rydberg):

Possiamo menzionare altre coppie di numeri quantici che producono anche lo stesso valore di λ, come la coppia {91,119} e {119,221}, e la coppia {6409,6851} e {11687,15283}, a cui possiamo aggiungere le seguenti: :

Queste curiosità matematiche sono state ulteriormente studiate dal professor Nicholas Wheeler nel suo lavoro Coincident Spectral Lines per la particella in una scatola e idrogeno . Fortunatamente, queste linee spettrali coincidenti si verificano solo sporadicamente, e questo a causa di un raro incidente derivante dalla matematica. non di fisica. Se le linee spettrali corrispondenti fossero state molto più numerose, la deduzione intuitiva della legge di Rydberg avrebbe potuto essere un po ‘più complicata. Nello studio della meccanica quantistica, le linee spettrali coincidenti non sono qualcosa che dovrebbe causare molta preoccupazione.

Indipendentemente dallo stato che un elettrone sta occupando in un atomo, sia esso nello stato fondamentale o in uno stato eccitato, se forniamo energia sufficiente all’atomo (per esempio, da scosse elettriche) possiamo strappare quell’atomo dall’atomo producendo il fenomeno noto come ionizzazione , in modo che se l’atomo fosse precedentemente in uno stato elettricamente neutro (con la stessa quantità di cariche positive negative) ora si troverebbe in uno stato ionizzato , manifestando una carica elettrica netta positiva:

Ciò che abbiamo visto sopra riproduce essenzialmente la stessa linea di pensiero usata da Bohr nello sviluppo delle sue idee. Tuttavia, tra le formule era ancora nascosto qualcosa di ancora più importante, qualcosa che, una volta scoperto, sarebbe stato adottato da Bohr stesso come postulato per il suo modello atomico.

PROBLEMA : Dimostrare che lo sviluppo originale usato da Bohr per ottenere le sue formule implica necessariamente la quantizzazione del momento angolare orbitale .

Classicamente, il momento angolare orbitale L di una particella di massa m rotante con una velocità v attorno ad un altro corpo che funge da nucleo fornendo la forza attrattiva che lo mantiene in orbita:

è dato dalla relazione vettoriale del prodotto incrociato:

dove p = m v il momento lineare della particella.

Per il modello atomico planetario di Bohr, il momento angolare di un elettrone che si muove in un’orbita circolare di raggio r n è:

L = mvr n

Usando il risultato precedente r n = n²r 0 allora abbiamo:

L = mv (n²r 0 ) = n²mvr 0

Usando un altro dei risultati precedenti abbiamo:

D’altra parte, abbiamo anche i seguenti risultati:

pertanto:

Ma mvr n = L. Quindi:

Il Quest’ultimo possiamo essere compattato ulteriormente utilizzando una notazione semplificato proposto da Paul Adrien Maurice Dirac, noto come hbarrada o h bar che serve a rappresentare la ridotta costante di Planck h / 2π con un unico simbolo, ħ , permettendo noi per scrivere il rapporto di cui sopra come :

Dal momento che il tempo in cui Max Planck aveva risolto il problema della radiazione di corpo nero alla scoperta della famosa costante che porta il suo nome, era ovvio che le unità avevano momento angolare costante. Ma poi il modello atomico di Bohr planetario non era ancora stato scoperto, e non era molto chiaro il rapporto potrebbe avere il momento angolare in quanto tale, con la quantizzazione dell’energia. Ora, per la prima volta, un risultato che è apparso in costante di Planck collegato a un numero intero positivo n si ha, con questo risultato il rapporto più semplice di tutte le possibili relazioni. Questo è stato il segnale più chiaro che, a un livello fondamentale, la quantizzazione del momento angolare era qualcosa di ancor più fondamentale della quantizzazione dell’energia o della quantizzazione dei raggi delle orbite dell’elettrone attorno al nucleo. La quantizzazione del momento angolare potrebbe essere utilizzata come punto di partenza essenziale per la costruzione di una nuova scienza. Ben presto Bohr ne fu consapevole, ed era altrettanto bene nel suo saggio in cui Bohr annunciò la sua scoperta al mondo stabilendo tutta la sua teoria sui seguenti due postulati:

(1) Gli elettroni si muovono in orbite circolari stabili, coerenti con la legge classica dell’attrazione elettrica tra due cariche elettriche opposte e le leggi classiche del moto newtoniano, queste orbite essendo specificate da una quantizzazione del momento angolare:

L = nħ

(2) Quando un elettrone salta da un’orbita di energia E 1 a un’orbita di energia E 2 , viene emesso un fotone la cui frequenza di radiazione sarà:

ν = (E 1 – E 2 ) / h

Per un atomo di idrogeno, il modello planetario di Bohr ci dice che l’energia dell’elettrone (che prenderemo come energia dell’atomo) può essere scritta come segue:

dove le sostituzioni ħ = h / 2π e k = 1 / 4πε 0 sono state eseguite successivamente .

Quindi, nel sistema di unità SI (MKS), l’energia di un elettrone in un atomo di idrogeno per il quale il suo numero atomico è Z = 1 e che si trova nel primo strato il cui numero quantico principale è n = 1 può essere scritto come segue:

È stato trovato che il risultato teoricamente previsto con la formula precedente non concorda affatto con il risultato ottenuto sperimentalmente. Questo perché nella derivazione della formula corretta dobbiamo usare non la massa di elettroni ma la massa ridotta μ dell’atomo. Per un sistema a due particelle, uno con massa M e l’altro con massa m (come nel caso dell’atomo di idrogeno formato da un protone e un elettrone), la massa ridotta della coppia di particelle è formalmente definita come segue :

che possiamo riscrivere nel seguente modo:

Per scopi pratici, di solito si considera che il nucleo dell’atomo, caricato positivamente, ha una massa così grande rispetto a quella dell’elettrone che può essere considerato infinitamente pesante per scopi di calcolo, o che cosa è lo stesso, assumiamo che sia nel riposo totale con l’elettrone che ruota a una distanza fissa rispetto al centro geometrico del nucleo. Ma se consideriamo che il nucleo ha una massa M, allora la sua energia cinetica sarà mV² / 2 = P² / 2M dove P = MV è la quantità di moto. Se prendiamo in considerazione che la massa del nucleo è finita e supponiamo che la quantità di moto totale dell’atomo sia uguale a zero, allora la quantità di moto del nucleo atomico e dell’elettrone deve essere uguale. L’energia cinetica totale deve quindi essere uguale a:

dove appare inevitabilmente la massa ridotta simboleggiata dalla lettera greca μ. L’energia cinetica risulta quindi leggermente diversa dall’energia degli elettroni perché la massa ridotta μ è leggermente diversa. I risultati ottenuti in precedenza per il modello di Bohr planetario dove era stato un nucleo infinitamente grande massa può essere applicato direttamente al caso di un nucleo atomico di massa M se si sostituisce la massa dell’elettrone equazioni per la massa ridotta μ. La correzione ottenuta equivale a una sola parte su 2.000 per il caso dell’idrogeno, ed è ancora più bassa per gli atomi con nuclei più pesanti. Per l’idrogeno abbiamo che la massa del nucleo che possiamo prendere come la massa totale dell’atomo è approssimativamente 1836 volte maggiore della massa dell’elettrone,

Se vogliamo un maggiore accordo tra i risultati teoricamente previsti ei risultati ottenuti sperimentalmente, dobbiamo quindi sostituire la massa dell’elettrone con la massa ridotta dell’atomo nella formula di Boh:

PROBLEMA : utilizzo delle seguenti costanti fisiche ottenute con esperimenti di alta precisione:

e = 9.109534 × 10 -31 kg

μ = 9,104,576 mila × 10 -31 kg

e = 1,6021,892 mila · 10 -19 coulomb

ε 0 = 8,85,418782 millions · 10 -12 coulomb² / meter² Newton ·

h = 6,626,176 mila × 10 -34 Joule secondo

ottenere l’energia di un atomo di idrogeno nello stato basale (1) usando la formula di Bohr con la massa dell’elettrone, e (2) usando la formula di Bohr con la massa ridotta dell’atomo .

Usando la formula di Bohr con la massa dell’elettrone , il calcolo nel sistema SI-MKS di unità è il seguente:

Usando la formula di Bohr con la massa ridotta dell’atomo , il calcolo nel sistema SI-MKS di unità è il seguente:

Quest’ultimo valore è più vicino al valore ottenuto in laboratorio in esperimenti di alta precisione quando misurato da un parametro noto come potenziale di ionizzazione dell’atomo di idrogeno, nello stato basale. Quindi, sebbene la differenza nei calcoli teorici tra l’uso della massa dell’elettrone e la massa ridotta dell’atomo sia piccola, esperimenti di alta precisione confermano che la formula basata sulla massa ridotta dell’atomo è corretta.

Quanto sopra ci consente anche di modificare la costante di Rydberg per ottenere:

che, usando già dei valori, risulta essere per l’atomo di idrogeno:

H = (1,09737 · 10 -3 / Å) / [1 + (1/1836)]

H = 1,0968 · 10 -3 / Å

Questo valore è in buon accordo con il valore sperimentale R = 1.0967758 · 10 -3 / Å

PROBLEMA : La misurazione sperimentale delle linee H α di deuterio e idrogeno sono, rispettivamente , 6561.01 Å e 6562.80 Å. Calcola la relazione tra le masse di deuterio e idrogeno.

La formula di Rydberg basata sulla massa ridotta dell’atomo è:

dove m è la massa dell’elettrone e M è la massa del nucleo. Per la stessa transizione di stati e per la stessa Z, ciò implica che λ è proporzionale a 1 + (m / M), cioè:

Da ciò possiamo ottenere quanto segue:

Usando m / M H = 1/1836 e sostituendo con i valori sperimentali forniti:

Semplificando e risolvendo otteniamo quindi:

H / M D ≈ 0,5

D / M H ≈ 2,0

Questo ci rivela che il deuterio ha una massa atomica pari al doppio della massa di idrogeno. Fu proprio attraverso misurazioni di questo tipo che venne scoperto il deuterio.

PROBLEMA : mostra che la frazione di cambiamento nella lunghezza d’onda λ di una linea spettrale causata da un piccolo cambiamento nella massa ridotta μ dell’atomo è data dalla seguente relazione:

Δλ / λ = – Δμ / μ

Per verificare la proporzione fornita, possiamo prendere come punto di partenza la frequenza di Rydberg dell’atomo di Bohr, che è data da:

Da questa frequenza possiamo ottenere la lunghezza d’onda di una linea spettrale:

Per esperimenti di alta risoluzione e precisione, diventa necessario sostituire in quest’ultima relazione con la massa dell’elettrone la massa ridotta μ dell’atomo:

Differenziando λ rispetto a μ:

Per piccole variazioni nella massa ridotta, come spesso accade, possiamo sostituire i differenziali che appaiono sopra con piccoli incrementi Δ, con i quali abbiamo quindi:

PROBLEMA : Il modello Bohr planetario era basato sul presupposto che la forza di attrazione elettrica tra il protone nel nucleo dell’atomo e l’elettrone orbitante attorno al nucleo varia secondo la legge di Coulomb, inversamente proporzionale al quadrato della distanza di separazione tra entrambe le cariche elettriche. Ottenere i livelli di energia consentiti nel caso in cui l’attrazione elettrica sia proporzionale all’inverso di una potenza di tre media della distanza tra le due cariche .

Perché ci sia un’orbita stabile, la forza di attrazione elettrica che in questo caso sarebbe:

deve essere bilanciato da una forza centripeta di uguale ampiezza, che impone la condizione:

Ora, l’energia potenziale elettrica a una distanza fissa dalla carica centrale può essere calcolata come segue:

L’energia totale è uguale all’energia cinetica dell’elettrone aggiunta all’energia potenziale che abbiamo appena calcolato, cioè:

Combinando tutto quanto sopra in un modo simile a come è fatto nel caso ordinario quando la forza di attrazione elettrica varia nel rapporto inverso del quadrato della distanza tra le cariche, otteniamo:

Se il momento angolare dell’elettrone deve rimanere quantizzato, allora dobbiamo continuare ad avere:

L = n ħ

Oppure, essendo il momento angolare orbitale uguale a L = rp = mvr:

mvr = n ħ

deve rimanere valido. Combinando tutto ciò che otteniamo per il raggio di un’orbita stabile per ogni valore di n:

Con questo otteniamo finalmente i livelli di energia consentiti:

Molto presto che è stato postulato planetaria modello atomico di Bohr, si è scoperto che un singolo numero quantico non era sufficiente a spiegare tutte le linee di emissione e di assorbimento degli elementi osservati in laboratorio, specialmente quando sono stati sottoposti i gas a un campo magnetico che ha prodotto l’apparizione di nuove linee negli spettri. Per spiegare queste linee aggiuntive, Arnold Sommerfeld introdotto nel 1916 il modello ellittica in cui, oltre alle orbite circolari postulate da Bohr, l’elettrone poteva muoversi intorno al nucleo atomico in orbite ellittiche, per quanto si verifica con i movimenti planetari attorno al Sole secondo le leggi di Keplero. In questo modo, è stato possibile postulare l’esistenza di due numeri quantici invece di uno solo,r correlato alla distanza dell’elettrone al nucleo atomico e un numero quantico angolare n θ correlato alla velocità angolare del percorso ellittico. Le orbite ellittiche dovevano essere coerenti anche con la condizione che il momento angolare dovesse essere quantizzato lungo un percorso chiuso . Quindi, invece di avere una singola condizione di quantizzazione, c’erano già due condizioni, dichiarate da Sommerfeld nel modo seguente:

dove L è la quantità di movimento angolare o momento angolare, e p r è il momento lineare, e h è la costante di Planck. Il cerchio posto al centro del segno integrale indica che l’integrale deve essere preso su una traiettoria chiusa, o cosa è lo stesso, su un ciclo o su un periodo completo del movimento. È consuetudine riassumere entrambe le condizioni in una singola utilizzando le coordinate generalizzate:

Questa condizione è anche nota come regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld e anche come regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld . L’uso di questa regola non è limitato ai problemi in cui il percorso viene eseguito su traiettorie ellittiche come vedremo di seguito.

PROBLEMA : Ottenere la condizione di quantizzazione per una particella che si muove in un campo di forza centrale seguendo un’orbita circolare .

La condizione di quantizzazione per questo problema è:

Poiché il momento angolare rimane costante lungo un percorso circolare, possiamo toglierlo dall’integrale:

L’integrazione angolare su una traiettoria completa è pari a 2π, con cui:

Questa è esattamente la condizione che è stata scoperta da Bohr.

PROBLEMA : Ottenere la condizione di quantizzazione dell’energia per un semplice oscillatore armonico usando la regola di quantizzazione di Sommerfeld .

La legge del moto di Newton F = m a applicata a una massa collegata a una molla con una costante di forza K è uguale a:

Una soluzione per questa equazione differenziale del secondo ordine è la seguente:

x = A sin (ωt)

dove A è l’ampiezza del movimento e ω è la frequenza angolare:

ω = 2πf = √ K / m

La somma dell’energia potenziale, Kx² / 2, e l’energia cinetica, P² / 2m, dove P è la quantità di moto lineare dell’oscillatore, deve essere costante secondo il principio di conservazione dell’energia e uguale al valore massimo di uno di loro:

Usando la soluzione per l’equazione differenziale, possiamo calcolare dx e quantità di moto P come segue:

dx = ωAcos ​​(ωt) dt

P = m (dx / dt) = mωAcos ​​(ωt)

In questo problema, la regola di quantizzazione di Sommerfeld ci darà quanto segue:

Usando mω²A² = 2E, otteniamo:

Poiché la velocità angolare ω, che rimane costante, è uguale all’angolo θ per unità di tempo, cioè ω = θ / t, possiamo fare θ = ωt e realizzare l’integrazione su un ciclo angolare completo di θ = 0 a θ = 2π:

Questo ci porta finalmente alla seguente quantizzazione dell’energia del semplice oscillatore armonico secondo la regola di Sommerfeld:

E = n ħ ω

Questa è precisamente la condizione usata da Planck per la quantizzazione degli oscillatori con cui egli potrebbe correttamente spiegare la radiazione termica del corpo nero.

PROBLEMA : Una particella si muove uno – dimensionalmente avanti e indietro all’interno di una scatola di lunghezza L. Supponendo senza forze che agiscono sulla particella tranne quando rimbalza sulle pareti essendo collisione perfettamente elastico, per l’energia che può avere la particella secondo la regola di Sommerfeld .

Se selezioniamo il nostro sistema di coordinate in modo che la particella inizi a muoversi verso destra proprio quando è appena rimbalzata sulla parete sinistra, iniziando così il ciclo della sua rotta fino a ritornare di nuovo a colpire la parete sinistra, la traiettoria completa di La particella consiste di due sezioni, il suo percorso da sinistra a destra e il suo percorso da destra a sinistra. In questo caso, la regola di quantizzazione di Sommerfeld risulta come segue:

Tornando al momento lineare P = mv:

Supponendo che la particella si muova ad una velocità abbastanza bassa da non applicare le correzioni richieste quando la particella si muove a velocità prossime alla velocità della luce, l’energia che la particella può avere sarà quindi quantizzata di conseguenza. un:

Sommerfeld fece molto di più che dare un’elegante formulazione matematica ai postulati di Bohr. Introducendo il concetto di orbite planetarie ellittiche, Sommerfeld è stato il primo a realizzare anche una curiosa combinazione dei due rami principali della fisica moderna: la Meccanica quantistica e la teoria della relatività. Un risultato della classica meccanica newtoniana applicabile ai movimenti planetari è che in un campo di forza che varia in rapporto inverso al quadrato della distanza (la legge di Newton della gravitazione universale) l’energia dipende solo dall’asse semima maggiore dell’ellisse e non dell’eccentricità dell’ellisse, non essendovi quindi alcun cambiamento a meno che la forza di attrazione non differisca dalla consueta relazione dell’inverso del quadrato della distanza o della meccanica newtoniana che viene modificata.Relatività speciale (non la Teoria della relatività generale che include lo studio dei fenomeni di gravità) nel modello di Bohr. Poiché correzioni relativistiche dovrebbero essere circa V² / c² di Sommerfeld era logico per aspettarsi che un’orbita altamente eccentrica richiedono una maggiore correzione nei calcoli perché la velocità vdiventa più grande per essere più vicino a l’ elettrone nucleo atomico. Sebbene i calcoli fatti da Sommerfeld siano alquanto elaborati, possiamo stimare l’ordine di grandezza dell’effetto relativistico calcolando il valore di v / c per la prima orbita di Bohr in idrogeno.

PROBLEMA :Stimare il valore di v / c per la prima orbita nel modello atomico planetario di Bohr per un atomo di idrogeno .

Per la prima orbita con n = 1 abbiamo il seguente della condizione di quantizzazione del momento angolare:

L = n ħ

mvr 0 = ħ

v = ħ / mr 0

D’altra parte, abbiamo già visto che il raggio per la prima orbita di Bohr è dato da:

Nel caso dell’idrogeno il cui numero atomico è Z = 1, il raggio della prima orbita è stato:

allora:

v = ħ / mr 0

v = Ke² / ħ

Dividendo entrambi i membri tra la velocità della luce:

Utilizzando le costanti fisiche:

ke² = 14,4 eV · Å

ħ c = 1970 eV · Å

abbiamo quindi che la correzione relativistica v / c risulta essere:

v / c = (14,4 eV · Å) / (1970 eV · Å)

v / c ≈ 1/137

Quest’ultimo risultato adimensionale è spesso indicato con la lettera α, e si è rivelato essere qualcosa di fondamentale importanza che è sopravvissuto anche all’abbandono attuale del modello di Sommerfeld. Sebbene v ² / c ² sia molto piccolo, è osservabile un effetto di questa grandezza. Utilizzando spettroscopi ad alta risoluzione si può vedere che quella che sembra essere una singola linea si rivela essere diverse linee con spaziature molto ravvicinate tra loro. Questo è spiegato nella teoria di Sommerfeld come segue: per ogni orbita circolare di raggio r n ed energia E nEsiste una serie di orbite ellittiche con lo stesso semiasse maggiore ma con diverse eccentricità e quindi energie leggermente diverse. Quindi l’energia irradiata quando l’elettrone cambia orbita dipende non solo dagli assi principali ma anche in misura minore dalle eccentricità dell’orbita iniziale e finale come. La suddivisione in livelli di energia è chiamata suddivisione della struttura fine , mentre la costante adimensionale α:

α = 1 / 137.035999679

è meglio conosciuto come costante di struttura fine di Sommerfeld o semplicemente come costante di struttura fine , che ha diverse interpretazioni anche se è generalmente identificato oggi come costante di accoppiamentoche caratterizza la forza dell’interazione elettromagnetica. Nell’elettrodinamica quantistica, la costante di struttura fine svolge il ruolo di una costante di accoppiamento, che rappresenta la forza dell’interazione tra elettroni e fotoni. Il suo valore non può essere previsto dalla teoria e uno dovrebbe essere usato sulla base di risultati sperimentali. Questo è un risultato che, sebbene sia stato ottenuto con quella che ora è conosciuta come la “vecchia meccanica quantistica” di cui il modello Sommerfeld fa parte, è ancora valida oggi.

Secondo la Teoria della Relatività Speciale, l’energia cinetica di un corpo non è data dall’espressione classica mv² / 2 che non pone limiti al corpo per essere in grado di muoversi a velocità anche superiori alla velocità della luce, ma dall’espressione :

Ciò implica che l’energia totale di un elettrone che si muove attorno a un nucleo atomico con una quantità di cariche Z positive (protoni Z) deve essere data dalla relazione:

Facendo la sostituzione u = 1 / r otteniamo quanto segue:

Per il momento lineare p r e il momento radiale p φ dell’elettrone in orbita (useremo qui la notazione punto posta sopra una variabile per simboleggiare la derivata di detta variabile rispetto al tempo):

Il quoziente dei momenti sarà:

Questo ci permette di scrivere la seguente equazione del moto:

Quest’ultimo ha la seguente soluzione semplice:

Con la regola di Sommerfeld, sono specificate le seguenti condizioni quantistiche:

Questo ci porta finalmente alla prossima energia per l’elettrone sotto la regola di Sommerfeld:

È proprio in questo risultato che appare la costante adimensionale α che non era apparsa tra le opere originali di Bohr, la costante di struttura fine. Storicamente, la prima interpretazione fisica della costante di struttura fineera proprio come il rapporto tra la velocità dell’elettrone nel primo atomo orbita circolare relativistica Bohr con la velocità della luce nel vuoto ( v / c ), e come abbiamo visto avviene naturalmente nell’analisi Sommerfeld determinazione del dimensione della separazione o struttura fine delle linee spettrali dell’idrogeno. Ma ancor più notevole è il fatto che l’equazione relativistica appena ottenuto è lo stesso risultato si ottiene l’ equazione di Dirac , che è stato raggiunto dal introducendo la teoria della relatività è non il modello atomico planetario di Bohr ma ad un’altra equazione più fondamentale della meccanica quantistica, l’equazione di Schrödinger .

Pertanto, nel modello di Sommerfeld per ogni numero quantico principale eccetto n = 1 nel modello atomico planetario di Bohr, esiste un altro numero quantico che descrive le famiglie delle orbite ellittiche ammissibili. Non tutte le orbite ellittiche possibili dal punto di vista classico sono possibili nel modello di Sommerfeld, e le orbite nel modello di Sommefeld hanno lo stesso semiasse maggiore ma diverse eccentricità come mostrato nella seguente figura:

Nella figura sopra, per le orbite ellittiche indicate è stato utilizzato il seguente codice cromatico:

Come si può vedere, abbiamo due numeri quantici ( n , l ), e il numero quantico l denota una sottofamiglia all’interno di ciascun numero quantico principale n . Per n = 1 è possibile solo un’orbita circolare. Per n = 2 abbiamo un’orbita circolare caratterizzata da numeri quantici ( n , l ) = (2,1) e un’orbita ellittica caratterizzata da numeri quantici ( n , l ) = (2,0), entrambi verdi ( uno verde scuro e l’altro verde pallido). Per n = 3 abbiamo un’orbita circolare caratterizzata da numeri quantici ( n , l) = (3,2) e due orbite ellittiche caratterizzate dai numeri quantici ( n , l ) = (3,1) e ( n , l ) = (3,0).

Senza contare sul trattamento relativistico di Sommerfeld che abbiamo visto per l’atomo di Bohr, possiamo mettere la formula di Bohr per ogni livello di energia E n dell’atomo di idrogeno in funzione della costante di struttura fine α, ed infatti questo è come Questa formula si trova in molti libri di testo:

Tuttavia, la costante di struttura fine α è definita costante di struttura fine di Sommerfeld, non costante della struttura fine di Bohr. Perché? A cominciare dal fatto che la costante di struttura fine non è stata scoperta da Bohr ma da Sommerfeld. La costante di struttura fine α si pone naturalmente e inevitabilmente quando la teoria della relatività speciale viene applicata all’atomo di Bohr, e una volta identificata può essere inserita nelle formule di Bohr come fanno molti testi. Tuttavia, senza l’identificazione fatta da Sommerfeld, l’introduzione di α nelle formule originali di Bohr è alquanto artificiale e persino il suo uso non è giustificato su nessuna base filosofica. D’altra parte, la costante di struttura fine è direttamente correlata a quelle linee extra “extra” che si verificano nello spettro dell’atomo di idrogeno e che non sono previste dal modello di orbita circolare di Bohr, linee “extra” che Sommerfeld attribuiva alle orbite ellittiche invece delle orbite circolari. La costante di struttura fine da sola non prevede linee aggiuntive nel modello di Bohr basato su orbite circolari.

Il modello atomico planetario di Bohr, sostanzialmente migliorato da Sommerfeld, si dimostrò estremamente efficace nello spiegare le linee spettrali causate dai salti dell’elettrone da un’orbita di energia a un’altra. Tuttavia, ha sofferto di alcuni difetti che alcuni scienziati hanno trovato inammissibile. La prima obiezione presentata al modello atomico planetario di Bohr proveniva direttamente dall’elettrodinamica classica, secondo la quale una carica elettrica che viene accelerata emette radiazioni elettromagnetiche. E anche se un elettrone che gira attorno al nucleo atomico è considerato in movimento sempre alla stessa velocità tangenziale, poiché è in un’orbita circolare, cambia continuamente direzione, che è anche un’accelerazione e quindi una ragione per cui l’elettrone irradia energia continuamente precipitandosi a spirale verso il nucleo atomico emettendo nella sua caduta uno spettro continuo di radiazioni. Quindi, secondo l’elettrodinamica classica, l’atomo di Bohr non può avere un’esistenza stabile, né potrebbe durare oltre pochi microsecondi.

PROBLEMA : Supponiamo che un atomo di idrogeno è costituito da un nucleo fisso attorno al quale una carica elettrica dell’elettrone e = 4,8 · 10 -10 ESU (il sistema gaussiana di unità, essendo uguale a un ESU statcoulomb) si sposta in un’orbita Radio circolare classica a 0 = 5,29 · 10 -9 cm. Stimare la classica radiazione elettromagnetica di un tale atomo a causa dell’accelerazione della carica dell’elettrone. La radiazione di una carica elettrica accelerata è data dalla formula di Larmor per le orbite circolari che è P = 2e²a² / 3c dove a è l’accelerazione della carica e c è la velocità della luce .Utilizzare le unità nel sistema Gauss-cgs per risolvere questo problema. Otterremo prima la velocità tangenziale dell’elettrone muovendoci a una distanza di 0 dal nucleo:

mva 0 = h / 2π

v = h / 2πma 0

v = (6.624 · 10 -27 erg · sec) / [2π (9.1 · 10 -28 g) (5.29 · 10 -9 cm)]

v = 2.19 · 10 8 cm / sec

L’accelerazione radiale centripeta sarà quindi:

a = v² / r = (2,19 · 10 8 cm / sec) ² / (5,29 · 10 -9 cm) = 9,07 · 10 24 cm / sec²

Pertanto, nel sistema di unità cgs-gaussiano:

P = 2e²a² / 3c 3

P = 2 (4,8 · 10 -10 ESU) ² (9,07 · 10 24 cm / sec²) ² / 3 (3 x 10 10 cm / sec) 3

P = 0468 erg / sec

dove abbiamo usato il fatto che, dimensionalmente, nel sistema di unità cgs-gaussiano:

Questa perdita di energia irradiata verso l’esterno si tradurrebbe in una caduta a spirale dell’elettrone nel nucleo atomico fino a quando non collidesse con esso, il che finirebbe l’esistenza stessa dell’atomo:

Il seguente grafico animato fornisce una visione più chiara della catastrofe avvenire, secondo elettrodinamica classica, se l’elettrone di irradiare energia a causa dell’accelerazione prodotta dalla un’orbita circolare cadere spirale direttamente nel nucleo atomico dando fine l’esistenza dell’atomo stesso:

Su scala macroscopica, la perdita di energia attraverso la radiazione emessa da una particella che si muove in un movimento circolare è qualcosa che è stato verificato sperimentalmente, e non vi è alcun dubbio a riguardo. Nelle giganti Acceleratori circolari , energia di radiazione è qualcosa che conosce molto bene come radiazione di sincrotrone , emessa dalla particella verso la parte anteriore nella direzione del suo moto circolare in una sorta di cono luce piuttosto che È un lobo:

ed è responsabile per richiedere un notevole dispendio di energia solo per mantenere il fascio di particelle (protoni o elettroni) in un movimento circolare costante, non dire più aumentando la sua velocità tangenziale.

Perché una particella come l’elettrone obbedisce alle leggi dell’elettrodinamica classica irradiando energia quando esegue un movimento circolare in un acceleratore di particelle, e non obbedisce affatto alle leggi in vigore (secondo Bohr)? il suo movimento circolare attorno al nucleo dell’atomo? Perché era esattamente quello che faceva Bohr, e fino ad oggi rimane un mistero profondo sul perché tale presupposto funzionasse, e un risultato che si potrebbe chiamare riuscito almeno in termini di conferme sperimentali fornite dalle linee discrete di gli spettri di emissione e assorbimento.

L’incompatibilità del modello planetario atomico di Bohr con l’elettrodinamica classica non era l’unica obiezione alla teoria. C’era anche il problema che non era possibile prevedere da questo modello l’ intensità delle linee osservate dello spettro anche per l’idrogeno, né potrebbe essere usato per spiegare altri fenomeni di natura atomica come il decadimento radioattivo. In effetti, l’unica cosa che poteva spiegare era la relativa separazione delle linee spettrali degli elementi e nient’altro. Alla fine, si è concluso che nemmeno due numeri quantici come Sommerfeld aveva proposto sarebbero stati sufficienti a spiegare tutte le linee spettrali scoperte.

Il modello di Bohr, benché in grado di spiegare le linee spettrali degli elementi, era troppo meccanico per essere esteso alla spiegazione di altri fenomeni propri della fisica atomica. Da questa prospettiva, la sua più grande debolezza era la sua insufficienza .

Referenze:

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