I concetti di infinito e infinitesimo nel mondo occidentale

I popoli del mondo antico, come quello babilonese o egizio non presero mai in esame l’infinito,  non per mancanza di capacità intellettuali,ma semplicemente per il fatto che nei loro problemi pratici l’infinito ne compariva, ne destava interesse. Fu invece nell’antica Grecia che grandi matematici e filosofi cominciarono a dibattere e ad interrogarsi sul concetto di infinito. Sarà necessario attendere l’età moderna perché il concetto di infinito venga affrontato con adeguata dignità e serietà, è tuttavia interessante osservare come questo concetto sia sempre stato trattato non solo da un punto di vista prettamente matematico, ma abbia sempre avuto risvolti metafisici e teologici, rispecchiando la concezione che l’uomo aveva di se stesso stesso.

Nel mondo greco antico il concetto di infinito fu elaborato con numerose accezioni negative. Si riteneva infatti conoscibile solo ciò che era finito e determinato e di conseguenza impensabile un infinito attuale, cioè concreto e visibile. Tale rifiuto ad ammettere l’infinito attuale nella matematica greca  e più generalmente un diffuso disinteresse delle civiltà antiche per l’ infinito è detto “horror infiniti”.

Già Anassimandro (6 sec. a.C.) identificò l’archè, il principio, nell’apeiron  una sorta di infinito/indefinito da cui scaturiscono tutte le cose.

Pitagora fu forse il primo filosofo/matematico che realmente ebbe a che fare col concetto di infinito. La matematica pitagorica è basata sul concetto di “discontinuità”, in quanto essa si fonda esclusivamente sui numeri interi e non irrazionali e dunque l’accrescimento di una grandezza procede per “salti discontinui”,essendo impossibile aggiungere qualcosa che sia minore dell’unità. In questa visione del mondo tutti gli oggetti erano costituiti da un numero finito di monadi, particelle minuscole simili agli atomi. Due grandezze ,dunque, potevano essere espresse con un numero intero ed erano tra loro commensurabili, ammettevano cioè un comune denominatore .Il pensiero pitagorico verrà messo in crisi dalla scoperta delle grandezze incommensurabili (ovvero che non ammettono denominatori comuni con altre grandezze ), elaborata all’interno della scuola stessa e custodita come un segreto inconfessabile. La scoperta partì del celeberrimo teorema di Pitagora : applicando il teorema su un triangolo rettangolo isoscele,che risulta essere metà di un quadrato ,notiamo che il rapporto tra ipotenusa e cateto così come tra lato e diagonale del quadrato è uguale a √2 .questo numero è decimale, ma irrazionale significa cioè che per determinare le sue cifre dopo la virgola,che sono del tutto casuali,sarà necessario procedere nell’infinitamente piccolo

1,414213562….

Ciò comporta che lato e diagonale siano grandezze incommensurabili e che dunque non sono più come si pensava composti da un numero finito di punti ,ma da un infinità di punti. Per la prima volta si parla di un infinito concreto e non potenziale.

Va dunque attribuito ai pitagorici il merito di aver individuato uno dei più complessi “labirinti” mentali del pensiero umano:il rapporto tra continuo e discontinuo.

Successivamente, nel V secolo, il filosofo Anassagora che compì degli studi sul problema dell’infinita divisibilità , affermava: “non v’è mai un limite minimo del piccolo, ma v’è sempre un più piccolo ,essendo impossibile che ciò che è cessi di essere per divisione”. Molti interpretano tale affermazione come appunto infinita divisibilità  di ogni cosa e dunque alcuni storici della matematica hanno voluto vedervi una primitiva idea del limite. Anassagora però continua : “ ma anche nel grande v’è sempre un maggiore.Ed è uguale in estensione al piccolo: di per sé ogni cosa è insieme e grande e piccola…” .In questo senso è più corretto interpretare la duplice progressione del grande e del piccolo non tanto come infinita divisibilità, ma piuttosto come infinita relatività di tutte le cose reali:  ogni cosa è contemporaneamente grande e piccola a seconda del punto di vista da cui viene osservata.

In questo dibattito intervenne soprattutto Aristotele il quale sostenne con decisione la continuità delle grandezze geometriche insieme alla loro infinita divisibilità. Per comprendere il concetto di infinito di Aristotele occorre distinguere fra  Infinito in atto e Infinito in potenza, intendendo per Infinito potenziale la possibilità di aggiungere sempre qualcosa a una quantità determinata senza che ci sia un elemento ultimo; è d’altronde impossibile che “l’infinito in atto sia” inteso come collezione infinita, compiutamente data, di tutti i punti di una grandezza. Non si può retrocedere all’infinito. Si può soltanto retrocedere e avanzare passo per passo.  Aristotele affermava “il numero è infinito in potenza, ma non in atto …Questo nostro discorso non intende sopprimere per nulla le ricerche dei matematici, per il fatto che esso esclude che l’infinito per accrescimento sia tale da poter essere percorso in atto. In realtà essi stessi allo stato presente non sentono il bisogno di infinito, ma di una quantità più grande quanto essi vogliono, ma pur sempre finita…”

Da tale affermazione possiamo dedurre che l’unica accezione di infinito accettata da Aristotele era l’infinito potenziale inteso come “divenire”. Un numero o una qualsiasi altra quantità, è potenzialmente in grado di tendere all’infinito, aumentandola ogni volta di poco, ma ogni volta risulterà un entità finita. Ad esempio nei numeri naturali aggiungendo ogni volta un’unità ad un numero si otterranno quantità finite, ma che sembrano potenzialmente in grado di tendere all’infinito.

L’infinito per Aristotele deve essere considerato come qualcosa sempre in via di nascere o di perire, di crescere o diminuire e che, mantenendosi in ogni suo stato finito è sempre diverso nei suoi successivi stati. Nega l’esistenza di un infinito attuale fisico come nega l’esistenza di una infinito attuale mentale.

Il termine usato in greco per designare l’infinito è “apeiron” (senza limiti, dunque illimitato). La difficoltà inerente all’infinito consiste perciò nella sua inesauribilità: l’infinito non può mai essere presente nella sua totalità nel nostro pensiero. L’illimitato non può essere in nessun caso considerato come un tutto completo. Ciò che è completo ha una fine e la fine è elemento limitante. Aristotele dunque associa indissolubilmente all’infinito un’idea negativa espressione della sua incompletezza e potenzialità non attuata e non attuabile. Proprio questa idea negativa porta al rifiuto di introdurre l’infinito attuale nella matematica greca.

La cardinalità degli insiemi numerici

Galileo era giunto alla conclusione che:

“il tutto non poteva essere uguale ad una sua parte”

Per superare questa convinzione, il matematico Cantor lavorò semplicemente sul significato della parola “uguale”, non intendendola come “identico” ma come uguale rispetto a qualcosa (che può essere la forma, il colore, il numero di parti da cui è composto l’oggetto, eccetera). In questo modo, si possono facilmente distinguere i diversi punti di vista:

1) Primo significato della proposizione (secondo Galileo e il pensiero a lui precedente): la parte non  è mai identica al tutto perché, come parte, manca di qualche elemento rispetto al suo tutto.

2) Secondo significato della proposizione (secondo Cantor): la parte può essere uguale al tutto per numero (per esempio: i numeri sono tanti quanti i loro quadrati, che pure sono meno dei numeri per il fatto che ci sono numeri non quadrati).

Da un punto di vista matematico (e non più linguistico), la quarta nozione di Euclide, dunque, può ritenersi vera nel caso in cui venga preso in considerazione un insieme finito, ossia un insieme che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con uno qualsiasi dei suoi sottoinsiemi (cioè se gli insiemi non sono equinumerosi). Se, invece, consideriamo un insieme infinito, la situazione cambia: equinumerosi, infatti, sono gli insiemi dei punti di segmenti di diversa lunghezza, dei punti di una retta o dei punti di un segmento.

La questione dell’equinumerosità degli insiemi infiniti, dunque, fu definitivamente risolta da Cantor mediante la sua ipotesi del continuo, ripresa, successivamente, anche da Dedekind. Proseguendo, poi, nel nostro discorso sui paradossi, possiamo introdurre quelli che lo stesso Cantor formulò durante la sua carriera di matematico, che si rifanno alla concezione attuale dell’infinito. Il primo è proprio quello appena analizzato, ovvero quello che era stato proposto in primo luogo da Euclide, in seguito, ripreso da Galileo e risolto definitivamente da Cantor. Il secondo paradosso, già in parte nominato in precedenza, intende chiarificare in quale modo i punti dello spazio siano tanti quanti quelli di un segmento piccolo a piacere. Per dimostrarlo, data la sua complessità, è bene suddividerlo in tre momenti:

1) Un quadrato di lato unitario ha tanti punti quanti un suo lato.

A questo punto, dunque, bisogna costruire una corrispondenza biunivoca fra i punti del quadrato e quelli del suo lato. In questo caso, possiamo chiaramente individuare i vertici della figura nei punti (0;0), (1;0), (1;1) e (0;1).

Si prenda poi in considerazione un punto P del quadrato, che avrà coordinate (x;y) non maggiori del lato stesso del quadrato; per questo motivo, dunque, x e y saranno numeri decimali compresi fra 0 e 1. Di conseguenza, ci sono due possibilità:

  1. x e/o y sono numeri razionali (cioè con parte decimale finita o periodica)
  2. x e/o y sono numeri irrazionali (cioè con parte decimale infinita o aperiodica)

Ora si faccia corrispondere alla coppia x, y (che identifica univocamente il punto P) ad un numero reale t compreso fra 0 e 1. Questo numero identificherà univocamente un punto del lato del quadrato (per esempio: prendendo i successivi decimali alternativamente da x e da y).

Viceversa, ad un qualsiasi punto del lato a cui corrisponde univocamente il numero reale t si può far corrispondere la coppia ordinata x, y che individua un punto del quadrato. In questo modo si riesce a dimostrare l’affermazione iniziale costruendo una corrispondenza biunivoca fra i punti di un quadrato e quelli di un suo lato.

2) Un cubo di lato unitario ha tanti punti quanti un suo lato.

Come nel caso precedente, ad un punto P del cubo corrispondono tre punti (x, y, z) compresi tra 0 e 1.  Ad ognuno di essi, dunque, si può far corrispondere il numero reale t, anch’esso compreso fra 0 e 1 e, viceversa, a t si può far corrispondere il punto del cubo con coordinate (x, y, z). Anche in questo caso, quindi, l’affermazione iniziale si dimostra costruendo una corrispondenza biunivoca fra i punti del cubo e quelli di un suo lato.

3) Lo spazio ha tanti punti quanti un segmento piccolo a piacere.

In quest’ultimo caso, bisogna pensare di ingrandire il cubo fino ad occupare tutto lo spazio. Il suo lato, dunque, diventa una retta e, per questo motivo, contiene tanti punti quanti un segmento piccolo a piacere, come si può vedere analizzando la figura: nel segmento MN scegliamo due punti, in questo caso gli estremi, e dimostriamo graficamente come ad essi corrispondano infiniti punti della retta. Quest’ultima e il segmento PQ, dunque, contengono lo stesso numero di punti.

In conclusione, siccome il segmento, il quadrato, il cubo e lo spazio sono tutti equipotenti, si può affermare che la dimensionalità non costituisce un criterio per stabilire la potenza di un insieme.

La teoria dei numeri transfiniti

George Cantor scopre, misura e classifica il transfinito

“Si presenta spesso il caso che vengano confusi tra di loro (…)i concetti di infinito potenziale e di infinito attuale, malgrado la differenza essenziale. (…) Il primo denota una grandezza variabile finita,che cresce al di là di ogni limite finito; il secondo ha come suo significato un quanto costante, fisso in sé, tuttavia posto al di là di ogni grandezza finita. Avviene un’altra frequente conclusione con lo scambio tra le due forme di infinito attuale, e precisamente quando si mettono insieme il Transfinito e l’Assoluto, mentre questi due concetti sono rigorosamente separati, in quanto il primo è relativo ad un infinito attuale, si, ma ancora accrescibile, il secondo a un infinito non accrescibile e pertanto non determinabile matematicamente”. (G. Cantor)

Prima di Cantor si era pensato che non si potesse superare quello che è il concetto di infinito, egli però dimostrò il contrario e lo affermò nel 1885: “Dopo Kant, ha acquistato cittadinanza tra i filosofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia l’assoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito (…) e precisamente come il minimo di tutti i transfiniti…”

Costruendo classi di numeri di numeri in corrispondenza biunivoca, Cantor arrivò a scoprire che in certi casi l’intero di un insieme può essere numericamente uguale a una sua parte. Questa era una scoperta già fatta da Galileo, quando trovò che c’era corrispondenza biunivoca fra i numeri interi e i loro quadrati, sebbene quest’ultima classe di grandezze non fosse che una sottoclasse della prima. Galileo capì che in questo fenomeno c’era qualcosa di sconcertante e poiché era più interessato ai problemi della fisica che non a quelli della matematica pura , non volle indagare oltre e lasciò perdere la questione. Con Cantor si sale nello spettacoloso “regno dell’infinito”, ma appena ne si varca la soglia, lo stesso Cantor ci mostra che vi sono molte classi di infiniti. Quello più facilmente apprezzabile corrisponde alla serie dei numeri (1,2,3,… allungabile a piacere); vi è poi la serie delle frazioni esistenti nel salto che si compie per passare da un numero intero all’altro, vi sono gli infiniti punti di un segmento di retta e così via.

Da tali considerazioni nacque la matematica infinitaria, la quale sancisce l’esistenza di qualche cosa che sta oltre l’infinito; l’esistenza di una scala di infiniti diversi per ordine e grado. Il più basso è l’infinito numerabile (la serie dei numeri naturali), chiamata da Cantor POTENZA DEL NUMERABILE. Cantor indicò il primo numero transfinito con la prima lettera dell’alfabeto ebraico, alef con zero, ﭏ.

Alef con zero fu battezzato transfinito al di sopra del quale vi è un infinito superiore, che Cantor indica con il simbolo C. Questa “C” sta per CONTINUO ed è la serie dei numeri reali, superiore ad alef con zero.

In sintesi , i NUMERI TRANSFINITI sono un’estensione del concetto di numero (cardinale e ordinale) al caso di insiemi con infiniti elementi. Due insiemi (finiti o infiniti) di elementi hanno lo stesso numero cardinale quando è possibile stabilire tra di essi una corrispondenza biunivoca. Il numero cardinale transfinito di un insieme I rappresenta l’ astratto di tutti gli insiemi in corrispondenza biunivoca con I.

Differenza tra numeri cardinali e ordinali trasfiniti 

Cantor parte dal seguente teorema, noto ancora oggi come teorema di Cantor: “Dato un qualsiasi insieme U, il corrispondente insieme delle parti P(U) ha una potenza superiore a quella dell’insieme U.”

I numeri cardinali sono strettamente legati agli insiemi: se A è un insieme qualunque, indichiamo con card (A) il suo numero cardinale. Se A possiede un numero finito n di elementi, diciamo che card A = n; se A è un insieme infinito, card (A) è un numero transfinito. Cantor sfrutta le operazioni tra insiemi per definire le corrispondenti fra numeri cardinali, aprendo così la strada ad un’aritmetica generalizzata, che comprende,oltre ai numeri finiti, anche i numeri transfiniti. Così, partendo da due insiemi disgiunti A, B, Cantor costruisce l’addizione di due numeri cardinali nel modo seguente:

                                 card (A) + card (B) = card (A U B)

L’addizione, nel caso dei cardinali finiti, si comporta  come quella definita in N. Ma, se i cardinali sono transfiniti, si ottengono nuove relazioni, che contrastano con quelle che si incontrano in N. Vediamo qualche esempio:

                 x  =  x  + n, per ogni n    N

                 x  =  x  + x   =   2 x

Costruzione dei numeri ordinali trasfiniti

Parallelamente alla definizione di numero cardinale, si può ora introdurre la seguente definizione di numero ordinale: due insiemi bene ordinati hanno lo stesso numero ordinale solo se si può stabilire tra di loro una similitudine. Cantor introduce una novità che consiste nel porre, come dato esistente, il nuovo numero ω, rispetto al quale l’insieme N dei numeri naturali è tratto iniziale, secondo la seguente successione:

                                 0,1,2,3,4,5…,n,… ω

Questo è un insieme ben ordinato (in cui 0 è il primo numero e n  < ω), ben diverso dalla successione cardinale 0,1,2,3,4,…n…, poiché, in questo caso, ω non è successivo di alcun n. Di conseguenza l’ordinalità di 0,1,2,3,4…,n,… ω è superiore a quella degli insiemi numerabili. Pertanto, ogni volta che nella successione di numeri ordinali transfiniti si introduce un nuovo numero limite, si aumenta la cardinalità.

Curiosità sulla scelta del nome “transfinito”

Cantor, nonostante il suo nome, che è ovviamente di origine ebraica, era cristiano, battezzato, e dopo aver scoperto che c’erano più infiniti,volle sapere cosa ne pensasse la Chiesa cattolica. Ricordiamo che era la fine dell’Ottocento e non c’era più pericolo di andare al rogo. Andò in Vaticano, portò i suoi lavori e disse al Santo Uffizio, che era governato allora  da un cardinale tedesco: “Ma Eminenza io ho qui lavori di matematica che mi dicono che ci sono più infiniti, in realtà tanti infiniti”. Il cardinale disse: “Ma, insomma io la matematica non la conosco quindi do ai miei segretari i suoi lavori perché se li studino”. I segretari erano dei Domenicani – Voi sapete che il Santo Uffizio si è basato spesso  sui Domenicani per fare i suoi affari -, e i Domenicani si presero  due anni, perché ovviamente dovettero cominciare a studiare la matematica,la teoria degli insiemi ecc… Dopo due anni  dissero  al cardinale: “Guardi, secondo noi, non c’è problema, non c’è pericolo  per la fede”. Allora Cantor venne convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: “Guardi lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti, perché effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica,  cioè farebbe una connessione con la divinità”. Allora , Cantor li chiamò “transfiniti” e,  per il colmo dell’ironia, oggi i matematici chiamano questi transfiniti:”cardinali”. Quindi, insomma, potrebbe sembrare un cerchio che si chiude! L’idea del cardinale del Santo Uffizio era che oltre tutti questi transfiniti, alla fine, ci fosse il vero infinito assoluto. Chiesero a Cantor cosa ne pensava: “Ma per noi matematici quello non c’è. Non esiste un infinito assoluto per i matematici, perché è contraddittorio” e il Santo Uffizio disse: “Va bene”

 

Il calcolo differenziale di Newton

Il moderno calcolo infinitesimale nasce nel seicento, quando Newton e Leibniz, indipendentemente l’uno dall’altro, ne stabiliscono i metodi fondamentali. Ma è nel corso del Settecento che i procedimenti del nuovo calcolo vengono perfezionati e arricchiti. I matematici ne estendono enormemente il campo d’applicazione, aprendo così la strada ai nuovi capitoli in.cui si articola l’analisi moderna, quali il calcolo delle variazioni, la geometria differenziale, la teoria delle equazioni differenziali, il calcolo delle differenze. Queste nuove branche della matematica traggono spesso origine dall’applicazione del calcolo infinitesimale alle scienze della natura, e in particolare alla meccanica. Se infatti il nuovo calcolo si rivela sin dall’inizio uno strumento indispensabile nello studio dei fenomeni fisici, è proprio la necessità di trattare analiticamente tali fenomeni che spinge i matematici a raffinare e potenziare ì loro strumenti d’indagine matematica della natura.

Questa stretta interdipendenza tra matematica e fisica fa del Settecento il secolo in cui l’ideale seicentesco di una scienza matematizzatagiunge a piena maturazione.  Agli inizi del XVIII secolo la diffusione de! calcolo infinitesimale procede parallelamente alla durissima polemica che oppone Newton a Leibniz, che si contendono la priorità nell’invenzione del nuovo calcolo. La controversia ha origine dal fatto che Newton, inizialmente, non si è preoccupato di pubblicare le sue ricerche sul nuovo calcolo. E infatti solo nel 1704, in appendice  all’Opticks e a quasi trentanni dalla sua stesura, che Newton pubblica il Tractatus de quadratura curvarum, in cui presenta il suo metodo delle flussioni e delle fluenti. Inoltre, Newton preferisce far circolare solo tra gli amici in forma manoscritta anche il De analysiper aequationes numero terminorum infinitas, redatto nel 1669, e si deve attendere il 1712 perché questo lavoro, che rappresenta la prima esposizione sistematica sul calcolo infinitesimale, venga finalmente dato alle stampe.’

Al contrario Leibniz, che perviene all’elaborazione del calcolo dopo Newton seguendo però una via certamente del tutto autonoma, non tarda a pubblicare le sue ricerche, che comincia a rendere note sin dal 1684. Da qui prendono le mosse le accuse di plagio rivolte a Leibniz, dalle quali scaturisce la rovente polemica. Lo scontro, che si radicalizza soprattutto tra i sostenitori dei due contendenti, ha come risultato una rigida divisione tra i matematici inglesi e quelli del continente. I matematici inglesi si schierano in una rigida difesa delle tecniche newtoniane del calcolo, mentre i matematici del continente si dimostrano generalmente più favorevoli a far proprie le impostazioni e le notazioni impiegate da Leibniz. La contrapposizione non è solo una semplice questione di partigianeria per l’uno o per l’altro.

I due più grandi scienziati del XVII secolo, Gottfried Wilhelm Leibnitz e Isaac Newton posero le basi al calcolo infinitesimale. Questo, non a caso chiamato “calcolo sublime”, permise di risolvere molti problemi scientifici e matematici che fino ad allora non avevano trovato un’adeguata soluzione e descrizione.

Newton era autodidatta in matematica, perciò dovette le sue conoscenze allo studio degli scritti di personaggi importanti, quali John Wallis, il quale introdusse nel suo Aritmetica infinitorum il concetto di serie infinite, somma estesa all’infinito di termini che tendono a diventare sempre più piccoli, e Cartesio, e della scuola olandese.

L’idea di calcolo infinitesimale era stato sviluppato da Newton molto prima la pubblicazione nel 1687 de Philosophiae naturalis principia mathematicache portò ad un’accesa controversia con Leibniz circa, appunto la priorità dell’invenzione. Egli, più attento alle questioni di dinamica ed in genere del moto, differentemente da Leibnitz, introdusse il metodo delle flussioni, una forma di calcolo differenziale, e il metodo inverso delle flussioni, ovvero il calcolo integraleIl calcolo infinitesimale, perciò, nacque in Newton, per dare risposte a importanti problemi di tipo fisico-matematico (posti precedentemente da Fermat, Cartesio, TorricelliRoberval e Barrow):

  • Individuazione delle principali caratteristiche del grafico di una funzione (massimi, minimi, asintoti, ecc.) e determinazione dell’equazione della tangente a una curva, ovvero il calcolo differenziale;
  • Calcolo di aree, di volumi, di lunghezze, valutazione di momenti d’inerzia, di baricentri, ecc., ossia il calcolo integrale (l’inverso della derivata, limite a cui tende il rapporto tra l’incremento della funzione y=f(x) e quello della variabile indipendente quando quest’ultimo tende a zero);
  • Studio del moto di un corpo: andamento della traiettoria, variazioni di velocità e accelerazione, quindi problemi di cinematica.
Determinazione di un flussione

Newton utilizzò il termine “flussione”, poiché immaginò che una quantità “fluisse” da una grandezza all’altra e le espresse algebricamente, come i differenziali, ma utilizzò anche analoghe dimostrazioni geometriche che gli risultavano più chiare e rigorose.

Rifiutando l’idea che le grandezze geometriche, generate dalle flussioni e chiamate “fluenti“, fossero costituite da parti infinitamente piccole, intese tali grandezze come prodotte da un moto continuo (le linee prodotte dal moto continuo di un punto, le superfici dal moto continuo di una line, ecc.).

Definì flussioni, dunque, le velocità con cui esse venivano formate ed osservò che, considerando intervalli di tempo uguali, ma piccoli quanto si vuole, queste diventano proporzionali agli accrescimenti corrispondenti delle fluenti.

Ciò che noi chiamiamo derivata, infine, non è altro che la flussione di Newton (oltre ad essere anche il rapporto dy/dx studiato da Leibniz).

Il suo ruolo è assunto dalla flussione di una quantità fluente y, indicata inizialmente con poi con, mentre al differenziale dy corrisponde il “momento”  , prodotto della velocità per l’intervallo infinitesimo di tempo o. Il problema fondamentale del calcolo è espresso nei seguenti termini:

data una relazione tra quantità fluenti, determinare la relazione che intercorre tra le loro flussioni, e viceversa“.

Perciò se , per esempio, y=x , Newton considera i momenti   e  sviluppa il secondo con la potenza ennesima del binomio, semplifica i termini non contenenti o, divide per o, trascura i termini contenenti ancora e ottiene y=nxn-1x. Tale problema viene proposto nel Methodus fluxionum et serierum infinitarumdove egli scrive:

“D’ora in poi chiamerò fluenti queste quantità che considero crescenti gradualmente e indefinitamente e le rappresenterò con le ultime lettere dell’alfabeto u, y, x e z, perché si possano distinguere dalle altre quantità che nelle equazioni si considerano conosciute e determinate, e queste si indicano con le prime lettere dell’alfabeto a, b, c, ecc. Le velocità, invece, con cui le fluenti aumentano per il movimento che le genera ( velocità che chiamo flussioni o semplicemente velocità o celerità) si esprimono con le stesse lettere dotate di un punto, così u, y, x e z: cioè per le velocità della quantità u pongo u e allo stesso modo per le velocità delle altre quantità x, y e z scriverò rispettivamente x, y e z.”

 

Il problema della velocità istantanea

La velocità è definita come rapporto tra lo spazio percorso dall’oggetto in moto e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo:

Più precisamente con questa formula otteniamo la velocità media, ovvero:

dove S1 e S2 sono le ordinate del segmento AB che corrispondono alle ascisse T1 e T2 dell’intervallo di tempo considerato. (v. diagramma orario)

 

Come possiamo, dunque, definire la velocità istantanea, cioè quella determinata in un istante di tempo?

Intuitivamente si può rispondere, dicendo che la velocità istantanea è il limite del rapporto tra spazio e tempo dell’intervallo considerato che tende a zero. Lo si può rendere concreto considerando un D T sufficientemente piccolo, per cui il rapporto D S/ D T non dipende più in modo sensibile dall’intervallo di tempo.

La velocità istantanea è definita, dunque, dal rapporto tra quantità estremamente piccole, che tendono a zero, ovvero infinitesime, o come scrisse Newton , dall’ “ultimo rapporto di quantità evanescenti”:

Si può obiettare che l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti non è nulla, perché prima che esse svaniscono, il loro rapporto non è l’ultimo e allorhè sono svanite non ne hanno più alcuno. Ma è facile rispondere:[…] l’ultimo rapporto delle quantità evanescenti deve essere inteso come il rapporto fra dette quantità non prima che siano svanite e nemmeno dopo, ma nell’istante stesso in cui svaniscono.”

L’operazione che effettuiamo è quella di valutare una velocità media su intervalli sempre più piccoli, fino a farne svanire l’ampiezza ed avere un dato puntuale, cioè una funzione che descrive in ogni punto la velocità istantanea. Si può sintetizzare in simboli tale concetto:

Ovvero la velocità istantanea al tempo di un punto materiale in un determinato sistema di riferimento è il limite per l’intervallo di tempo t0 che tende zero dello spazio percorso nell’intervallo t diviso lo spazio impiegato a percorrerlo, proprio t0.

E’ dunque, notevolmente complicato fissare tale “attimo” e sembrerebbero possibili tre situazioni, ma tutte e tre non soddisfacenti:

s/t è un rapporto tra quantità finite, ma si parlerebbe di velocità media (sia pure in un intervallo di tempo molto piccolo);

s e t sono quasi pari zero, ma non si parlerebbe di rapporto, in quanto il denominatore svanirebbe;

se si ammette che esiste un istante in cui le due quantità svaniscono, occorre ammettere anche l’esistenza di una quantità infinitesima, della quale non se ne riesce a trovare una più piccola; ma significherebbe ammettere una quantità “ultima“, misura di tutte le cose, ipotesi in contrasto con l’esistenza di grandezze incommensurabili.

Se, però, nel diagramma orario un’unità di tempo e un’unità di percorso sono rappresentate con segmenti uguali, il rapporto  non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo B C, ossia dell’angolo che la corda AB fa con l’asse delle ascisse. Per trovare la velocità istantanea si deve rimpicciolire l’intervallo di tempo, quindi, il punto B si avvicina al punto A e la corda assume una posizione quasi coincidente con quella della retta tangente condotta nel punto A alla curva stessa. Il coefficiente angolare della retta tangente esprime, perciò, la velocità istantanea nel punto di tangenza.

Se attuiamo l’operazione inversa, ricavando lo spazio conoscendo il tempo della velocità istantanea, lavoriamo con il calcolo integrale (per trovare l’area sottesa alla curva presa in considerazione); è, però, più difficile ricavarne una funzione, anche se possibile provarne l’esistenza.

Fondamentali nello sviluppo del calcolo infinitesimale furono i suoi studi sulle serie infinite, somme di infiniti termini che diventano sempre più piccoli, (il metodo delle flussioni fu trattato da Newton anche nel De quadratura curvarumprecisamente nel “metodo delle prime e ultime ragioni”) e la scoperta della formula dello sviluppo di un binomio.

Ciò che, comunque, differenzia il metodo di Newton da quello di Leibnitz è l’abilissimo uso che egli fa degli sviluppi in serie. Dalla combinazione con il metodo delle flussioni nasce, infatti, un potente strumento che utilizza per risolvere il problema dell’integrazione sviluppando la funzione integrando e, riguardo alle equazioni differenziali, origina un metodo di approssimazioni successive che consentono di calcolare la soluzione con il grado di precisione desiderato.

Grazie, infine, all’analisi matematica da lui ideata, è possibile tuttora rappresentare fenomeni complessi su scala infinitesimale, per cui risultano formule piuttosto semplici che coinvolgono delle quantità e le loro derivate.

Introduzione al calcolo infinitesimale con spiegazione semplificata della derivata

Il calcolo differenziale di Leibniz

La fama di Leibniz come matematico è legata soprattutto alla prima sistemazione organica del «calcolo infinitesimale»: «De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum» (1684) fu la pubblicazioni che diede origine ad una violenta polemica a distanza con Isaac Newton, il quale rivendicò la priorità della scoperta e giunse praticamente ad accusare Leibniz di plagio. I documenti che possediamo sembrano far capire che entrambi giunsero indipendentemente alla stessa scoperta. Diamo qui, in una forma molto semplificata, un’idea dei problemi che il calcolo infinitesimale affronta e degli strumenti coi quali li risolve. Il presupposto del calcolo infinitesimale è l’elaborazione della geometria analitica da parte di Cartesio, vale a dire della possibilità di tradurre problemi geometrici in problemi algebrici e viceversa. Sul piano cartesiano, infatti, ogni funzione f(x) = y è rappresentata da una curva. Come è noto, le funzioni di primo grado sono rappresentati da linee rette, quelli di grado superiore da linee curve. Proprio in relazione a questo secondo caso sorgono due problemi:

       1. Come calcolare l’area di una figura delimitata da linee curve? Esaminiamo il caso  di una figura curva delimitata dai due assi, da una retta parallela all’asse delle ordinate e da una linea curva di funzione f(x) = y.

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È facile immaginare un metodo approssimato per calcolare quest’area: basta dividere il grafico in sottili rettangoli verticali e sommarne l’area. E’ evidente che quanto maggiore sarà il numero dei rettangoli, tanto più preciso sarà il calcolo dell’area. Ma come calcolare l’area esatta? Bisognerebbe dividere la figura in infiniti rettangoli e sommarne le infinitesime aree. È possibile ciò?

      2. Come calcolare il coefficiente angolare della retta tangente ad un dato punto di una linea curva? Anche qui si può pensare ad un sistema approssimato. Si può scegliere nelle vicinanze dell’ascissa data un’altra ascissa, e calcolare le ordinate corrispondenti. Dividendo la differenza delle due ordinate per la differenza delle due ascisse si avrà il coefficiente angolare della retta passante per i due punti così individuati. Non si tratta però di una tangente, perché essa attraversa la linea curva in due punti. Per ottenere il coefficiente della tangente bisognerebbe rendere infinitamente piccola la distanza tra le due ascisse (e di conseguenza tra le due ordinate), e calcolare il quoziente tra due infinitesimi. È possibile?

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Il problema della tangente venne risolto con quello che Leibniz chiamò calcolo differenziale. Con esso viene ricavata dalla funzione data y una funzione dy/dx (rapporto differenziale), dove la d è un operatore che indica il «differenziale» ovvero l’«incremento infinitesimo» delle variabili. Tale funzione esprime dunque il coefficiente angolare della retta tangente al punto x della funzione originaria.

La situazione è simile per quanto riguarda il problema dell’area. Il procedimento qui introdotto venne chiamato da Leibniz «calcolo integrale». Con esso dalla funzione data viene ricavata una funzione Sy dx («integrale»), in cui il simbolo S è una esse allungata che simboleggia la somma degli infiniti prodotti degli infinitesimi incrementi dell’ascissa per le ordinate corrispondenti. L’integrale dunque esprime, per ogni valore della funzione originaria, l’area del trapezoide delimitato nel modo prima descritto.

Conferenza del Prof. LUCA LUSSARDI (Università Cattolica di Brescia) su “LEIBNIZ: IL CALCOLO DIFFERENZIALE”, nella rassegna “STORIA DELL’ANALISI MATEMATICA”, tenuta nell’Auditorium del Museo di Scienze Naturali di Brescia, organizzata dal Gruppo di Studio GALILEO 2020, dall’Associazione Culturale TINA MODOTTI di Brescia e dal Centro Filippo Buonarroti.

Referenze
  • “Storia della matematica”  di Giancarlo Masini
  • “L’infinito” –Itinerari filosofici e matematici di un concetto di base- di Lucio Lombardo Radice
  • “Infiniti” di Bruno D’Amore e Giancarlo D’Arrigo
  • “L’INFINITO – Itinerari filosofici e matematici d’un concetto di base” di L. Lombardo Radice (Editori Riuniti)

  • “STORIA DELLA FILOSOFIA” di Enrico Berti (Editori Laterza)

  • Dizionario Filosofico Nicola Abbagnano

  • Voce “Infinito” di Gianni Micheli in Enciclopedia Torino Eimaudi vol.7. Torino 1979