Zenone e i suoi paradossi

I paradossi del filosofo Zenone, nato all’incirca nel 490 a.C. sono stati un rompicapo per matematici, scienziati e filosofi per millenni. Sebbene nessuna delle sue opere sopravviva oggi, a lui sono attribuiti oltre 40 paradossi che sono comparsi in un libro che ha scritto come difesa delle filosofie del suo insegnante Parmenide. Parmenide credeva nel monismo, quella realtà era una singola, costante, immutabile cosa che chiamava “Essere” . Nel difendere questa credenza radicale, Zenone ha elaborato 40 argomenti per dimostrare che il cambiamento (il movimento) e la pluralità sono impossibili. Il più famoso degli argomenti di Zenone è l’Achille:

‘Più lento durante l’esecuzione non sarà mai superato dal più veloce; perché ciò che sta inseguendo deve prima raggiungere il punto dal quale parte quello che sta scappando, in modo che il più lento debba sempre essere sempre un po ‘più avanti ».

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Questo di solito viene inserito nel contesto di una gara tra Achille (il leggendario guerriero greco) e la Tartaruga. Achille dà alla tartaruga un vantaggio iniziale, diciamo 10 m, poiché corre a 10 ms -1 e la tartaruga si muove a solo 1 ms -1. Quindi, quando Achille ha raggiunto il punto in cui la tartaruga ha iniziato (T 0 = 10 m), l’individuo lento ma costante si è spostato da 1 m a T 1 = 11 m. Quando Achille raggiunge T 1 , la tartaruga laboriosa si sposta su 0,1 m (a T 2 = 11,1 m). Quando Achille raggiunge T 2, la tartaruga sarà ancora avanti di 0,01 m, e così via. Ogni volta che Achille raggiunge il punto in cui si trovava la Tartaruga, l’astuto rettile si è sempre spostato un po ‘più avanti.

Questo sembra molto strano. Sappiamo che Achille dovrebbe passare la tartaruga dopo 1,11 secondi quando hanno entrambi percorso poco più di 11 metri, quindi Achille vincerà qualsiasi gara più lunga di 11.11 metri. Ma perché nella tesi di Zenone sembra che Achille non prenderà mai la tartaruga?

Se pensi alle distanze che Achille deve percorrere, dai primi 10 m al T 0 , poi da 1 m a T 1 , quindi da 0.1 m a T 2 ecc., Possiamo scrivere come somma di una serie geometrica :

10 + 1 + 0.1 + …. + 10 (2-n) + …

Ora è un po ‘più chiaro. Poiché la distanza che Achille percorre per prendere la tartaruga è la somma di una serie geometrica in cui il moltiplicatore è inferiore a uno, sappiamo che la distanza è finita (e pari a 11.11 m) mentre la serie converge. E poiché deve solo percorrere una distanza finita, Achille coprirà ovviamente quella distanza in un tempo finito se viaggia a velocità costante.

Quindi come ha fatto Zenone a confonderci? L’argomento di Zenone si basa sul presupposto che puoi dividere infinitamente lo spazio (la pista di gara) e il tempo (quanto tempo ci vuole per correre). Dividendo la pista in un numero infinito di pezzi, l’argomento di Zeno ha trasformato la corsa in un numero infinito di passi che sembravano non finire mai. Tuttavia, ogni passo è in diminuzione, e quindi la divisione dello spazio e quindi il tempo in pezzi sempre più piccoli implica che il passare del tempo sta ‘rallentando’ e non può mai raggiungere il momento in cui Achille passa la Tartaruga. Sappiamo che il tempo non rallenta in questo modo. L’assunto che lo spazio (e il tempo) sia infinitamente divisibile è sbagliato (più sulle implicazioni fisiche del processo di limitazione).

Ci sono modi per riformulare il paradosso di Achille e la tartaruga sotto un’altro punto di vista. In un esempio, noto come Thomson’s Lamp, sospendiamo ancora una volta la nostra incredulità e consideriamo una lampada con un interruttore che premiamo per accendere, e premiamo di nuovo per spegnere.

Ora, la lampada è inizialmente spenta e la accendo. Dopo 1 minuto lo spengo. Dopo mezzo minuto lo riaccendo. Dopo un quarto di minuto lo spengo. Dopo un ottavo minuto mi accendo nuovamente e così via, ogni volta dimezzando il tempo che aspetto prima di accendere o spegnere la lampada a seconda dei casi (ho riflessi molto veloci). Dopo 2 minuti, (la somma della serie infinita 1 + 1/2 + 1/4 + …), avrò finito questa sequenza infinita di azioni. Quindi, a questo punto, la lampada è accesa o spenta? E avrà fatto la differenza se la lampada fosse inizialmente accesa anziché spenta?

Come nella versione originale di Achille e la tartaruga, questi argomenti si basano sull’infinita divisibilità del tempo, e il paradosso che risulta può essere visto per illustrare che il tempo non è infinitamente divisibile in questo modo.

È interessante notare che, come accennato in precedenza, il paradosso di Achille era solo uno dei 40 argomenti che Zenone avrebbe prodotto, e in un altro dei suoi argomenti chiamato Freccia, Zenone mostra anche che l’ipotesi che l’universo sia costituito da elementi finiti indivisibili è apparentemente errata . Quindi, qui è dove si trova il vero paradosso di Zenone. Nelle sue argomentazioni, riesce a dimostrare che l’universo non può essere né continuo (infinitamente divisibile) né discreto (discontinuo, costituito da parti finite, indivisibili).

Questa apparente contraddizione nella natura della realtà è ripresa da concetti provenienti da un’area sviluppata più di 2000 anni dopo che Zenone visse, la teoria della relatività . Ad esempio, la luce viene ora considerata come avente una doppia natura, che si comporta a volte come una particella o un fotone (discreto), e altre volte come un’onda (continua). Infatti persino la credenza di Zenone nel monismo – in una realtà statica e immutabile – che era la base per la sua produzione degli argomenti in primo luogo, sembra stranamente simile alle idee dei cosmologi sulle ” linee di universo ” (la “storia” di una particella nello spazio-tempo) dove “l’intera storia di ogni linea del mondo esiste già come un’entità completata nel plenum del tempo spaziale”.

Quindi i paradossi di Zenone sfidano ancora la nostra comprensione dello spazio e del tempo, e questi antichi argomenti hanno una sorprendente risonanza con alcuni dei concetti più moderni nella scienza.

Le implicazioni fisiche dei processi limitanti

Questo processo di limitazione, in cui la sezione viene ridotta a uno spessore arbitrariamente piccolo, provoca davvero alcune domande più profonde!

La fisica ci dice che non possiamo avere una fetta inferiore allo spessore di un atomo, ma il processo di limitazione del calcolo comporta il restringimento dello spessore fino a zero. Nessun problema sorge quando possiamo assumere un continuum fisico di valori (per esempio la legge esponenziale del decadimento radioattivo implica il tempo come variabile indipendente – e pochi sostengono che un intervallo di tempo non può essere reso arbitrariamente piccolo). Tuttavia, in alcune situazioni fisiche questo non è il caso. In realtà, per parafrasare il grande fisico austriaco Erwin Schrodinger “i differenziali che usiamo in fisica non devono essere troppo piccoli, ma abbastanza piccoli”. Tale problema si pone anche nella meccanica dei fluidi, dove gli elementi volumetrici devono necessariamente contenere un certo numero di molecole.

Tuttavia, il criterio “nessuna ombra” può sempre essere soddisfatto per qualsiasi densità (qualsiasi numero di entità materiali per volume unitario) a condizione che si possa pretendere che il materiale possa essere tagliato a fette in modo arbitrariamente sottile.

L’approccio tipico adottato è quello di accettare l’idealizzazione della materia come continua (senza atomi) e accettare l’equazione differenziale per l’attenuazione della radiazione come accurata nella maggior parte dei casi e applicazioni. Una dichiarazione di fantasia di alta classe (sempre di Schrodinger) che significa la stessa cosa è che “accettiamo il postulato della continuità della descrizione”!

Il paradosso della freccia

Zenone di Elea è stato infatti affascinato in modo particolare dal concetto di movimento. Pensiamo ad un oggetto che cade, un uomo che corre, un aereo che decolla: tutte queste situazioni hanno in comune la presenza di un corpo che cambia la sua posizione nel tempo. Con gli obbiettivi fotografici che abbiamo oggi siamo in grado di seguire questo moto. Immaginando di scattare una foto ogni decimo di secondo ad un corpo che cade, otterremo una sequenza di immagini in ognuna delle quali il corpo occupa una posizione diversa. Ma in ognuna di questi scatti il corpo appare fermo: è il principio del frame rate su cui si basa la produzione di un video. Lo stesso fenomeno che vi fa imbestialire quando la vostra connessione internet è lenta e l’episodio che state cercando di guardare va a scatti.

Zenone, quando formulò il paradosso della freccia, non conosceva né le macchine fotografiche, né il montaggio video e non seguiva certamente nessuna serie tv, però aveva intuito un’enorme contraddizione nel fenomeno del movimento.

Il movimento della freccia è solo apparente. Infatti la freccia, dal momento in cui viene scoccata dall’arco a quello in cui raggiunge il bersaglio, risulta ferma in ognuno dei luoghi in cui essa viene a trovarsi. Il suo moto sarebbe quindi la somma di stati immobili, cosa contraddittoria e impossibile. Pertanto il moto non esiste ed è pura apparenza.

La logica di Zenone è ineccepibile: eppur la freccia si muove (e non solo in modo apparente). In realtà il vero scoglio che Zenone aveva individuato è il passaggio tra ciò che è discreto e ciò che è continuo. Cioè: com’è possibile che una serie di oggetti finiti sia in grado di produrre un fenomeno continuo e infinito – infinito nel senso di fluido, che non sembra essere somma di oggetti singoli? In matematica questa apparente contraddizione viene risolta con il calcolo infinitesimale, ma in fisica il paradosso resta e diventa centrale nell’ambito della meccanica quantistica dando nome all’effetto noto come “effetto Zenone quantistico”.

Torniamo alla nostra freccia e facciamo un ulteriore salto logico. Siamo giunti ad affermare che la freccia sia ferma in ogni istante perché l’abbiamo osservata. Capita anche a noi di sentirci in imbarazzo se qualcuno ci fissa costantemente: ci sentiamo in soggezione e diventiamo magicamente ed esponenzialmente più imbranati. Questo significa che siamo sempre imbranati? No, è stato quello sguardo fisso a renderci così imbranati. Ciò che abbiamo appena descritto è analogo al concetto che sta alla base dell’effetto Zenone quantistico. La freccia non è mai stata ferma: siamo noi che l’abbiamo rallentata osservandola e misurandola continuamente. L’osservazione l’ha disturbata. Questo concetto è fondamentale nel mondo microscopico delle particelle ed è alla base della teoria quantistica. È stato infatti dimostrato che l’effetto Zenone si verifica in realtà su alcune classi di particelle in decadimento.

Senza entrare troppo nel dettaglio nelle cinetiche di decadimento, ci basta definire questo fenomeno come la disintegrazione e di particelle elementari o di nuclei atomici instabili in uno o più differenti oggetti fisici, con lo scopo di abbassare l’energia totale del sistema, guadagnando in stabilità. Questa divisione avviene spontaneamente ma con tempi diversi a seconda della particella in questione. Sperimentalmente si è osservato che all’aumentare della frequenza delle osservazioni, le particelle tendono a decadere più lentamente. A livello teorico, se la frequenza delle nostre misurazioni fosse infinita, la particella in questione potrebbe non decadere mai.

La soluzione di Aristotele

  • L’argomento presuppone erroneamente che il tempo sia composto da “nows” (cioè istanti indivisibili).
  • Non esiste una cosa come movimento (o riposo) “nell’ora” (cioè, in un istante).

Debolezza nella soluzione di Aristotele: sembra negare la possibilità di movimento o di riposo “in un istante”. Ma la velocità istantanea è un concetto utile e importante in fisica:

La velocità di x all’istante t può essere definita come il limite della sequenza delle velocità medie di x per intervalli di tempo sempre più piccoli contenenti t .

In questo caso, possiamo rispondere che se l’argomento di Zeno riguarda esclusivamente gli istanti di tempo (senza durata), la prima premessa è falsa: ” x è in un punto solo la dimensione di x all’istante i ” non implica né che x si riposi a io né che x si sta muovendo a i .

Forse gli istanti e gli intervalli vengono confusi

“Quando?” Può significare “in quale momento?” (Come in “Quando è iniziato il concerto?”) O “durante quale intervallo?” (Come in “Quando hai letto Guerra e pace ?”).

1a. In ogni istante in cui la freccia si trova in un punto della sua stessa dimensione, è a riposo. ( falso )

2a. Ad ogni istante durante il suo volo, la freccia si trova in un punto della sua stessa dimensione. ( vero )

1b. Durante ogni intervallo in cui la freccia rimane in una posizione della sua stessa dimensione, è a riposo. ( vero )

2b. Durante ogni intervallo di tempo all’interno del suo volo, la freccia occupa un posto della sua stessa dimensione. ( falso )

Entrambe le versioni delle premesse di Zenone forniscono un argomento non valido: in ciascuna c’è una premessa sbagliata: la prima premessa è falsa nella versione “istantanea” (1a); il secondo è falso nella versione “intervallo” (2b). E le due vere premesse, (1b) e (2a), non portano a conclusioni.

Una ricostruzione finale

In questa versione non c’è confusione tra istanti e intervalli. Piuttosto, vi è un errore che gli studenti di logica riconosceranno come errore del “quantificatore”. Il quantificatore universale, “ad ogni istante”, si estende su istanti di tempo; il quantificatore esistenziale, “c’è un luogo”, si estende oltre le posizioni in cui è possibile trovare la freccia. L’ordine in cui avvengono questi quantificatori fa la differenza! (Osserva cosa succede quando il loro ordine viene commutato illegittimamente:

1c. Se vi è un posto alla dimensione della freccia in corrispondenza del quale si trova in ogni istante tra 0 e 1 , la freccia è ferma per tutto l’intervallo tra 0 e 1 .

2c. Ad ogni istante tra 0 e 1 , vi è un posto della dimensione della freccia in cui si trova.

Useremo le seguenti abbreviazioni:

Lp ,i )     La freccia si trova nel punto p all’istante i

R               La freccia è a riposo nell’intervallo tra t 0 e t 1

L’argomento quindi assomiglia a questo:

1c. Se c’è un p tale che per ogni i , L ( p , i ), allora R .

∃  ∀ i L ( p , i ) → R

2c. Per ogni i , c’è un p tale che: L ( p , i ).

∀  ∃ L ( p , i )

Ma (2c) non è equivalente a, e non implica, l’antecedente di (1c):

C’è un p tale che per ogni i , L ( p , i )

∃  ∀ i L ( p , i )

La ragione per cui non sono equivalenti è che l’ordine dei quantificatori è diverso. (2c) dice che la freccia ha sempre una certa posizione o l’altro ( “in ogni istante i si trova in qualche luogo p ”) - e questo è banalmente vero finché esiste la freccia! Ma l’antecedente di (1c) dice che c’è un luogo in cui la freccia si trova sempre  (“c’è un posto p tale che la freccia si trova in p ad ogni istante i “) - e ciò sarà vero solo a condizione che la freccia non si muove! Quindi non si può dedurre da (1c) e (2c) che la freccia sia a riposo.

Zenone di Elea

Si sa molto poco della vita di Zenone di Elea . Sappiamo certamente che era un filosofo e si dice che fosse figlio di Teleutagora. La fonte principale della nostra conoscenza di Zenone deriva dal dialogo di Parmenide scritto da Platone.

Zenone fu allievo e amico del filosofo Parmenide e studiò con lui ad Elea. La scuola eleatica , una delle principali scuole pre-socratiche della filosofia greca, era stata fondata da Parmenide a Elea, nel sud Italia. La sua filosofia del monismo affermava che le molte cose che sembrano esistere sono semplicemente una singola realtà eterna che chiamò Essere. Il suo principio era che “tutto è uno” e che il cambiamento o il non-essere sono impossibili. Certamente Zeno fu fortemente influenzato dalle argomentazioni di Parmenide e Platone che ci dice che i due filosofi visitarono Atene insieme nel 450 aC circa.

Nonostante la descrizione di Platone della visita di Zeno e Parmenide ad Atene, non è universalmente accettato che la visita abbia effettivamente avuto luogo. Tuttavia, Platone ci dice che Socrate , che allora era giovane, incontrò Zenone e Parmenide nella loro visita ad Atene e discusse la filosofia con loro. Date le migliori stime delle date di nascita di questi tre filosofi, Socrate sarebbe circa 20, Zeno circa 40, e Parmenide circa 65 anni al tempo, quindi la richiesta di Platone è certamente possibile.

Zeno aveva già scritto un lavoro sulla filosofia prima della sua visita ad Atene e Platone riferisce che il libro di Zeno significava che aveva raggiunto una certa fama ad Atene prima della sua visita lì. Sfortunatamente nessun lavoro di Zeno è sopravvissuto, ma ci sono poche prove che suggeriscano che abbia scritto più di un libro. Il libro che Zeno scrisse prima della sua visita ad Atene fu la sua famosa opera che, secondo Proclo , conteneva quaranta paradossi riguardanti il ​​continuum. Quattro dei paradossi, di cui parleremo in dettaglio qui di seguito, avrebbero avuto un’influenza profonda sullo sviluppo della matematica.

Diogenes Laertius fornisce ulteriori dettagli sulla vita di Zenone che sono generalmente considerati inaffidabili. Zeno tornò a Elea dopo la visita ad Atene e Diogene Laerzio afferma di aver incontrato la sua morte in un eroico tentativo di rimuovere un tiranno dalla città di Elea. Le storie delle sue eroiche gesta e torture per mano del tiranno potrebbero essere pure invenzioni. Diogenes Laertius scrive anche sulla cosmologia di Zenonee di nuovo non ci sono prove a sostegno di ciò, ma daremo qualche indicazione sotto i dettagli.

Il libro di Zeno sui quaranta paradossi era, secondo Platone:

… uno sforzo giovanile, e fu rubato da qualcuno, così che l’autore non ebbe la possibilità di valutare se pubblicarlo o meno. Il suo scopo era difendere il sistema di Parmenide attaccando le concezioni comuni delle cose.

Proclo ha anche descritto il lavoro e lo conferma:

… Zenone elaborò quaranta diversi paradossi in seguito all’assunzione della pluralità e del movimento, tutti apparentemente basati sulle difficoltà derivanti da un’analisi del continuum.

Nei suoi argomenti contro l’idea che il mondo contenga più di una cosa, Zenone ha tratto i suoi paradossi dal presupposto che se una grandezza può essere divisa, allora può essere divisa infinitamente spesso. Zeno suppone anche che una cosa che non ha grandezza non può esistere. Simplicio , l’ultimo capo dell’Accademia di Platone ad Atene, conservò molti frammenti di autori precedenti tra cui Parmenide e Zenone. Scrivendo nella prima metà del sesto secolo, spiegò l’argomentazione di Zeno sul perché qualcosa di immenso non potesse esistere:

Perché se è aggiunto a qualcos’altro, non lo renderà più grande, e se viene sottratto, non lo renderà più piccolo. Ma se non rende una cosa più grande quando viene aggiunta ad essa, né più piccola quando viene sottratta da essa, sembra ovvio che ciò che è stato aggiunto o sottratto non è nulla.

Sebbene l’argomentazione di Zeno non sia del tutto convincente almeno, come scrive Makin in:

La sfida di Zeno al semplice pluralismo ha successo, nel senso che costringe gli anti-parmenidi ad andare oltre il buon senso.

I paradossi che Zenone ha dato riguardo al movimento sono più perplessi. Aristotele , nella sua opera Fisica , fornisce quattro argomenti di Zenone, La dicotomia, L’Achille, La freccia e Lo stadio. Per la dicotomia, Aristotele descrive l’argomento di Zeno (nella traduzione di Heath):

Non c’è movimento perché ciò che viene spostato deve arrivare a metà del suo corso prima che arrivi alla fine.

Per attraversare un segmento di linea è necessario raggiungere il suo punto medio. Per fare questo si deve raggiungere l’ 1/4 punto, per fare questo si deve raggiungere l’ 1/8 punto e così via all’infinito. Quindi il movimento non può mai iniziare. L’argomento qui non trova risposta nella ben nota somma infinita

1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1

Da un lato Zeno può sostenere che la somma 1/2 + 1/4 + 1/8 + … mai effettivamente raggiunge 1, ma più perplessi per la mente umana è il tentativo di riassumere 1/2 + 1/4 + 1/8 + … all’indietro. Prima di attraversare una distanza un’unità dobbiamo arrivare al mezzo, ma prima di arrivare a metà dobbiamo ottenere 1/4 del modo, ma prima di arrivare 1/4 del modo in cui dobbiamo raggiungere 1/ecc. Questo argomento ci fa capire che non possiamo mai iniziare da quando stiamo cercando di costruire questa somma infinita dalla fine “sbagliata”. In effetti, questo è un arguto argomento che ancora oggi infastidisce la mente umana.

Zenone fonda sia il paradosso della dicotomia sia l’attacco al pluralismo semplice sul fatto che una volta che una cosa è divisibile, allora è infinitamente divisibile. Si potrebbe contrastare i suoi paradossi postulando una teoria atomica in cui la materia era composta da molti piccoli elementi indivisibili. Tuttavia altri paradossi dati da Zeno causano problemi proprio perché in questi casi egli considera che magnitudini apparentemente continue sono costituite da elementi indivisibili. Un tale paradosso è “La freccia” e di nuovo diamo la descrizione di Aristotele dell’argomento di Zeno (nella traduzione di Heath):

Se, dice Zenone, tutto è a riposo o in movimento quando occupa uno spazio uguale a se stesso, mentre l’oggetto che si muove è nell’istante, la freccia in movimento non viene spostata.

L’argomento si basa sul fatto che se in un istante indivisibile del tempo la freccia si muovesse, allora effettivamente questo istante di tempo sarebbe divisibile (per esempio in un istante di tempo più piccolo la freccia avrebbe spostato metà della distanza). Aristotele sostiene il paradosso sostenendo:

… per il tempo non è composto da ‘nows’ indivisibili, non più di qualsiasi altra grandezza.

Tuttavia, questo è considerato da alcuni irrilevante per l’argomento di Zenone. Inoltre negare che “adesso” esista come un istante che divide il passato dal futuro sembra anche andare contro l’intuizione. Naturalmente se l’istante “adesso” non esiste, la freccia non occupa mai una posizione particolare e anche questo non sembra giusto. Ancora una volta Zeno ha presentato un problema profondo che, nonostante secoli di sforzi per risolverlo, sembra mancare ancora una soluzione veramente soddisfacente. Come scrive Frankel in:

La mente umana, quando cerca di darsi un resoconto accurato del movimento, si trova di fronte a due aspetti del fenomeno. Entrambi sono inevitabili ma allo stesso tempo si escludono a vicenda. O guardiamo il flusso continuo del movimento; allora sarà impossibile per noi pensare all’oggetto in una posizione particolare. Oppure pensiamo all’oggetto come ad occupare una qualsiasi delle posizioni attraverso le quali il suo corso lo sta guidando; e mentre fissiamo il nostro pensiero su quella particolare posizione, non possiamo fare a meno di fissare l’oggetto stesso e metterlo a riposo per un breve istante.

Vlastos sottolinea che se usiamo la formula matematica standard per la velocità abbiamo v = s / t , dove s è la distanza percorsa e t è il tempo impiegato. Se guardiamo la velocità in un istante si ottiene v = 0 / 0 , che è priva di significato. Quindi è giusto dire che Zeno qui sta rilevando una difficoltà matematica che non sarebbe stata affrontata correttamente fino a quando i limiti e il calcolo differenziale non furono studiati e messi su una base adeguata.

Come si può vedere dalla discussione di cui sopra, i paradossi di Zenone sono importanti nello sviluppo della nozione di infinitesimi. Infatti alcuni autori sostengono che Zenone abbia diretto i suoi paradossi contro coloro che stavano introducendo gli infinitesimi. Anassagora e i seguaci di Pitagora , con il loro sviluppo di incommensurabili, sono anche considerati da alcuni gli obiettivi degli argomenti di Zenone. Certamente sembra improbabile che la ragione data da Platone , vale a dire per difendere la posizione filosofica di Parmenide, sia l’intera spiegazione del perché Zeno abbia scritto la sua famosa opera sui paradossi.

Il più famoso degli argomenti di Zenone è senza dubbio l’Achille. Heath ‘s traduzione da Aristotele ‘ s Fisica è:

… il più lento durante l’esecuzione non verrà mai superato dal più veloce; perché ciò che sta perseguendo deve prima raggiungere il punto da cui parte quello che sta scappando, in modo che il più lento debba sempre essere sempre un po ‘più avanti.

Molti autori, a partire da Aristotele , vedono questo paradosso essenzialmente come la dicotomia. Ad esempio Makin scrive: –

… finché la dicotomia può essere risolta, l’Achille può essere risolto. Le risoluzioni saranno parallele.

Come per la maggior parte delle affermazioni sui paradossi di Zenone, non c’è un accordo completo su una determinata posizione. Per esempio Toth contesta la somiglianza dei due paradossi, sostenendo che le osservazioni di Aristotele lasciano molto a desiderare e suggerisce che i due argomenti hanno strutture completamente diverse. Sia Platone che Aristotele non apprezzavano appieno il significato degli argomenti di Zenone. Come dice Heath :

Aristotele li chiamava “errori”, senza poterli confutare.

Sicuramente Russell non sottovalutò il significato di Zenone quando scrisse in:

In questo mondo capriccioso nulla è più capriccioso della fama postuma. Una delle vittime più importanti della mancanza di giudizio dei posteri è l’Eleattico Zenone. Avendo inventato quattro argomenti tutti incommensurabilmente sottili e profondi, la grossolanità dei filosofi successivi lo ha definito un semplice giocoliere e le sue argomentazioni per essere uno e tutti i sofismi. Dopo duemila anni di continua confutazione, questi sofismi sono stati reintegrati e hanno posto le fondamenta di un rinascimento matematico ….

Qui Russell sta pensando al lavoro di Cantor , Frege e se stesso sull’infinito e in particolare su Weierstrass sul calcolo. In viene anche discussa la relazione dei paradossi con la matematica, e l’autore giunge a una conclusione simile a Frankel nella citazione di cui sopra:

Sebbene siano stati spesso scartati come assurdità logica, molti tentativi sono stati fatti per disporne attraverso teoremi matematici, come la teoria delle serie convergenti o la teoria degli insiemi. Alla fine, tuttavia, le difficoltà insite nelle sue argomentazioni sono sempre tornate con una vendetta, poiché la mente umana è così costruita da poter guardare a un continuum in due modi non perfettamente conciliabili.

È difficile dire con precisione quale effetto hanno avuto i paradossi di Zenone sullo sviluppo della matematica greca. BL van der Waerden sostiene che le teorie matematiche sviluppate nella seconda metà del V secolo a.C. suggeriscono che il lavoro di Zenone abbia avuto poca influenza. Heath sembra tuttavia rilevare una maggiore influenza:

I matematici, tuttavia, … rendendosi conto che gli argomenti di Zenone erano fatali per gli infinitesimi, videro che potevano solo evitare le difficoltà connesse con loro, bandendo una volta per tutte l’idea dell’infinito, anche potenzialmente infinito, completamente dalla loro scienza; da quel momento in poi, non fecero alcun uso di magnitudini che aumentavano o diminuivano all’infinito, ma si accontentavano di magnitudini finite che possono essere rese grandi o piccole come a nostro piacimento.

Abbiamo commentato sopra che Diogene Laerzio descrive una cosmologia che crede sia dovuta a Zenone. Secondo la sua descrizione, Zenone propose un universo composto da diversi mondi, composti da “caldo” e “freddo”, “secco” e “umido”, ma senza vuoto o spazio vuoto, perché questo sembra non avere nulla in comune con i suoi paradossi, è solito prendere la linea che Diogenes Laertius è in errore, tuttavia, ci sono alcune prove che questo tipo di credenza era in giro nel V secolo a.C, in particolare associato alla teoria medica, e potrebbe facilmente essere stata la versione di Zeno di una credenza tenuta dalla scuola eleatica.

 

Riferimenti:
  • Jonathan Barnes et al., Zenone e l’infinito (Eleatica 2), a cura di Livio Rossetti e Massimo Pulpito, Sankt Augustin, Academia Verlag, 2011. ISBN 978-3-89665-585-1
  • Marco De Paoli, I paradossi svelati. Zenone di Elea e la fondazione della scienza occidentale, Cavallerleone, Scolastica, 1998. ISBN 88-87008-30-2
  • Vincenzo Fano, I paradossi di Zenone, Roma, Carocci, 2012. ISBN 978-88-430-6267-6
  • Giuseppe Panaccione, Intorno ai paradossi di Zenone. Da Pitagora al XX secolo, Carlentini, A. Parisi, 2004. ISBN 88-88602-23-2
  • Silvia Clara Roero, I paradossi di Zenone sul movimento, Torino, Rosenberg & Sellier, 1976. ISBN non esistente
  • Imre TothI paradossi di Zenone nel “Parmenide” di Platone, Napoli, Bibliopolis, 2006. ISBN 978-88-7088-514-9
  • Tullio Viola, Paleopitagorismo, paradossi di Zenone sul movimento e critica aristotelica, Napoli, 1980. ISBN non esistente

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