Formalismo semplificato della meccanica quantistica

In questo articolo spiegheremo “molto semplicemente” il formalismo matematico della meccanica quantistica utilizzando la notazione di Dirac senza addentrarci troppo negli spazi di Hilbert e nella teoria degli operatori. L’argomento è rivolto semplicemente a tutti coloro che vogliono sapere come funziona la meccanica quantistica e non l’hanno mai studiato.

Il primo quesito è come rappresentare matematicamente i concetti che la meccanica quantistica descrive. Scopriremo che la matematica coinvolta nella descrizione dei fenomeni non è quella normalmente studiata nei corsi di fisica generale. Faremo una presentazione molto elementare, cercando di giustificare in ogni momento le definizioni utilizzate e sviluppando esplicitamente le espressioni con cui lavoreremo. E ben noto che la fisica classica è descritta e basata sulle funzioni. Da queste funzioni possiamo estrarre qualsiasi tipo di informazione che ci interessi, posizioni, velocità, energie, ecc. Tuttavia, nella fisica quantistica questo non è possibile. Una certa grandezza di un sistema quantistico non è ben determinata per il principio di indeterminazione come la velocità e la posizione. Per cominciare dobbiamo definire ciò che intendiamo per stato quantico. Successivamente rappresenteremo questi stati per mezzo di oggetti matematici chiamati funzioni d’onda, ma a questo punto daremo una definizione

Stato quantico: è tutta la conoscenza che può essere ottenuta da un determinato sistema attraverso le misure che possiamo eseguire su di esso.

Un punto essenziale di una trattazione quantistica è che non è possibile estrarre il valore ben definito di una certa grandezza fisica, cioè alcune incompatibilità appaiono tra diverse osservabili (definite come cose che possiamo misurare). Ciò si riflette nel fatto che la conoscenza di una di queste osservabili impedisce la conoscenza di un’altra osservabile.  Questo fatto viene implementato nel formalismo che stiamo presentando.

Uno stato quantico è rappresentato da funzioni complesse, le funzioni d’onda. Queste sono considerate come vettori nello spazio di Hilbert. Non entreremo nei dettagli dello spazio di Hilbert ma dobbiamo comunque ricordare che: poichè gli stati quantici sono considerati vettori, useremo tutti i concetti associati ai vettori. Parleremo di stati ortogonali, di stati propri, di prodotti scalari interni ecc. Verranno inoltre verificate le proprietà elementari dei vettori:

Se Fg sono due funzioni complesse che rappresentano uno stato allora (f + g) è un’altra funzione che rappresenta un altro stato. (Quindi la somma dei vettori dà un altro vettore)

Se Fè una funzione complessa che rappresenta uno stato ed a è un numero complesso, afè un’altra funzione che rappresenta uno stato. (Il prodotto di un vettore con uno scalare fornisce un altro vettore)

Notazione di Dirac: questa notazione è ideale per esprimere e alleggerire la scrittura delle diverse operazioni. (Generalmente gli stati saranno rappresentati da lettere dell’alfabeto greco). Una funzione sarà \ psi espressa come | \ psi \ rangle, che chiameremo Ket. Poiché queste funzioni in generale saranno complesse, definiremo la funzione complessa coniugata \ psi ^ *come  \ langle \ psi | che chiameremo Bra.

PRODOTTO INTERNO

Il prodotto interno definito tra stati (equivalente al prodotto scalare) è un’operazione che accetta due funzioni di stato e restituisce un numero, generalmente complesso. La definizione del prodotto interno ha la forma:

\ Langle \ phi | \ psi \ rangle=\ int_V {\ phi ^ * (\ vec {r}, t) \ psi (\ vec {r}, t)} dV

dove l’integrale viene preso in un volume spaziale, esprimendo le funzioni con dipendenza nello spazio e nel tempo.

Nota: per la maggior parte delle operazioni che utilizzeremo dobbiamo solo conoscere alcune regole.

 Proprietà :

  1. \ langle \ phi | \ psi \ rangle ^ *=\ langle \ psi | \ phi \ rangle
  2. \ langle a \ phi | \ psi \ rangle=a ^ * \ langle \ phi | \ psi \ rangle
  3. \ langle \ phi | a \ psi \ rangle=a \ langle \ phi | \ psi \ rangle
  4. \ langle \ phi | \ psi_1 + \ psi_2 \ rangle=\ langle \ phi | \ psi_1 \ rangle + \ langle \ phi | \ psi_2 \ rangle
  5. \ langle \ psi | \ psi \ rangle \ geq0  dove  \ langle \ psi | \ psi \ rangle=0 \ Leftrightarrow \ psi=0

Concentriamoci sulla proprietà 5 e usando la definizione del prodotto interno  vedremo che è il prodotto interno di una funzione di stato per se stessa che risulta essere un numero reale. Il prodotto interno avrà un’interpretazione fisica. Ma da un punto di vista matematico deve essere inteso come la proiezione della funzione \ psisulla funzione  \ phi. Ci sono una serie di concetti e notazioni che dobbiamo sapere:

a) Uno stato è normalizzato se soddisfa:  \ langle \ psi | \ psi \ rangle=1

b) Due stati sono ortogonali se rispettano: \ langle \ phi | \ psi \ rangle = 0

c) Diremo che un insieme di funzioni \ {\ psi_i \} forma un insieme ortonormale se vale la relazione:  \ langle \ psi_i | \ psi_i \ rangle = \ delta_ {ij}

L’ultima proprietà deve essere intesa come segue: Il prodotto di funzioni uguali dà 1, il prodotto di due diverse funzioni dà zero.

OPERATORI

E’ possibile agire su un sistema fisico descritto da una certa funzione d’onda  effettuandone delle misurazioni o modificando alcuni dei suoi parametri. Questo è possibile utilizzando un’operatore su una funzione di stato.

Un operatore è un oggetto matematico che agendo su una funzione ci dà un altro operatore, secondo una certa regola matematica. Pensiamo di avere un sistema in uno stato definito dalla funzione F e supponiamo di avere un generico operatore \ hat {A}(generalmente gli operatori saranno indicati con una lettera maiuscola). L’azione dell’operatore sarà espressa nel seguente modo:

\ a {f} g

dove g è una nuova funzione che rappresenta un altro stato del sistema.

esempio: Immaginate di avere una chiamata dell’operatore \ D , espresso da questa regola  \ hat {D} f (x) = \ frac {df (x)} {dx} . Ora prendiamo una funzione ad esempio f (x) = sin (x), agendo con l’operatore \ D avremo:

\ hat {D} f (x) = \ frac {d} {dx} sin (x) = cos (x)  ,

è evidente che l’azione di un operatore su una funzione cambia il suo stato.

Variabile dinamica : il nostro obiettivo è descrivere la fisica a livelli quantici. Ciò che ci interessa è definire come misuriamo posizioni x, energie E, momenti p ecc. Su sistemi quantistici. Un operatore che rappresenta una grandezza che possiamo misurare viene chiamata Osservabile. Più avanti diremo come questi osservabili sono descritte in formalismo matematico.

OPERATORI: PROPRIETÀ

Abbiamo visto che gli operatori rappresentano ciò che possiamo fare su un dato sistema. Inoltre, notiamo che l’azione sul sistema, in generale, cambierà il suo stato quantico. Questo è molto importante, perché per ora è solo una conseguenza della scelta degli operatori di fare riferimento alle azioni sui sistemi, in seguito vedremo che questo ha molte implicazioni fisiche. È preferibile acquisire bene questo concetto.

Proprietà generali degli operatori

1. (\ hat {A} \ pm \ {{B}}} f = \ f {a} f \ pm \ b} f

2.\ hat {A} (\ hat {B} \ hat {C}) = (\ hat {A} \ hat {B}) \ hat {C} = \ hat {A} \ hat {B} \ hat {C} }

3. \ hat {A} ^ 2f = \ hat {A} \ hat {A} f

Ora descriveremo un’operazione con operatori di base, lo Switch o Commutatore. Dobbiamo imparare che non possiamo ottenere il valore di qualsiasi osservabile arbitraria su un sistema. Questo perché gli operatori, in generale, non commutano, cioè l’applicazione successiva di due operatori sulla stessa funzione in un diverso ordine di azione non ci darà in generale lo stesso risultato finale.

Commutatore

La regola matematica che stabilisce se due operatori commutano o meno è:

[\ hat {A}, \ hat {B}] f = \ hat {A} (\ hat {B} f) - \ hat {B} (\ f {A} f)

Note :

a) Il commutatore deve sempre essere calcolato utilizzando una funzione di test. Sebbene il risultato del commutatore sia indipendente dalla funzione scelta per calcolarlo.

b) Quando [\ hat {A}, \ hat {B}] = 0, diremo che gli operatori commutano. Ciò implicache la modifica che generano sullo stato quantico non dipende dall’ordine in cui agiscono sugli operatori.

c) Quando [\ hat {A}, \ hat {B}] \ neq0, diremo che gli operatori non commutano. Ciò implica che l’azione dei due operatori sullo stato f , dipende dall’ordine degli operatori. Questa situazione è nuova in fisica, nella fisica classica si potrebbero misurare posizioni, velocità, energie, ecc in qualsiasi ordine senza modificare lo stato f. nella meccanica quantistica l’ordine è fondamentale nel caso di non commutazione degli operatori. Vedremo che questo è legato al Principio di Indeterminazione.

Proprietà dei commutatori:

1.- [A, A] = 0  Ogni commutatore commuta con se stesso, ovviamente.

2.- [A, B] = - [B, A]

3.- [A, F (A)] = 0  Qualsiasi operatore commuta con qualsiasi funzione di questo operatore.

4.- [A, B + C] = [A, B] + [A, C]

5.- [A, BC] = B [A, C] + [A, B] C

6.- [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B

Proprietà richieste di un operatore :

Ovviamente il termine operatore è un termine matematico. Vogliamo rappresentare le azioni fisiche su un sistema usando gli operatori. Tutti gli operatori sono validi per descrivere le grandezze osservabili? La risposta è no, perché un operatore possa rappresentare un osservabile, devono valere le seguenti proprietà:

  1. Linearità: diremo che un operatore \ hat {A} è lineare se soddisfa contemporaneamente:

\ hat {A} (f + g) = \ hat {A} f + \ hat {A} g

\ hat {A} (cf) = c \ hat {A} f

dove c è un numero complesso.

2. Hermitianetà: Per un’operatore \ hat {A} è possibile calcolare il suo operatore Hermitiano associato \ hat {A} ^ *

Non spiegheremo qui come determinare l’Hermitiano associato ad un operatore. Per ora dobbiamo semplicemente sapere che dato un operatore troveremo un’altro operatore associato ad esso che chiamiamo ermitiano associato). Ora, se vale la relazione \ hat {A} ^ * = \ hat {A} diremo che \ hat {A} è un operatore Hermitiano.

Dobbiamo fare attenzione con gli operatori Hermitiani perché usiamo la stessa parola per due cose diverse: Dato un operatore possiamo trovare il suo Hermitiano associato. Se un operatore e il suo associato ermitiano coincidono, si dice che l’operatore è ermitiano.

Hermitiano di un operatore

Poiché in linea di principio potremmo avere problemi a capire questo concetto, proverò a descrivere come dobbiamo fare per calcolare l’Hermitiano associato ad un operatore:

1. Dato un operatore \ hat {A}, che agisce su funzioni complesse, possiamo definire un operatore associato, Operatore Hermitiano \ hat {A} ^ *

2. Supponiamo di avere una funzione di stato \ psi. Su questa funzione di stato, agiamo con l’operatore \ hat {A}, ottenendo \ hat {A} \ psi. Certo, questa è una nuova funzione di stato  \ hat {A} \ psi = \ chi.

3. Ora calcoliamo il prodotto interno della funzione \ chi con una funzione \ phi.

\ Langle \ phi | \ chi \ rangle = \ langle \ phi | \ hat {A} | \ psi \ rangle = \ int \ phi ^ * \ hat {A} \ psi dV

4. Per calcolare l’operatore Hermitiano associato ad \ hat {A}, calcoleremo:

\ Langle \ phi | \ hat {A} | \ psi \ rangle ^ * = \ langle \ psi | \ hat {A} ^ * | \ phi \ rangle,

cioè, calcoliamo il complesso coniugato dell’integrale precedente, e questo risultato ci dirà quale è l’operatore Hermitiano associato all’originale.

5. Nel caso in cui sia verificato \ langle \ psi | \ hat {A} | \ phi \ rangle = \ langle \ phi | \ hat {A} | \ psi \ rangle ^ * diremo che l’operatore è Hermitiano.

Operatori rilevanti in meccanica quantistica. Principio di corrispondenza

Per ora abbiamo fornito solo un linguaggio . A questo punto definiremo alcuni degli operatori che usiamo in meccanica quantistica.

a) Posizione x \ rightarrow \ hat {x}.

\ hat {x} \ psi (x, t) = x \ psi (x, t).

b) Inpulso: p = mv \ rightarrow \ p.

\ p {p} \ psi (x, t) = - i \ hbar \ frac {d} {dx} \ psi (x, t)

c) Energia totale: E \ rightarrow \ E {E}.

\ hat {E} \ psi {xt} = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi (x, t)

Il resto degli operatori saranno combinazioni di questi.

PROBLEMI DI VALORI PROPRI O AUTOVALORI

Come abbiamo già sottolineato, se un operatore agisce su una funzione di stato, otteniamo un’altra funzione. Tuttavia, per ogni operatore possiamo trovare una serie di funzioni che rispondono in modo molto caratteristico alle loro azioni. Vale a dire, dette funzioni rispondono all’operatore restituendo la stessa funzione moltiplicata per un numero, in generale complesso.

Questo insieme di funzioni è chiamato Autofunzioni. I numeri che moltiplicano queste funzioni appropriate dopo l’azione dell’operatore saranno chiamati Autovalori. La rappresentazione matematica di questo fatto è riassunta nella seguente espressione: Dato un operatore \ hat {A} ci sarà un insieme di funzioni \ {f_a \} i cui autovalori a sono numeri complessi che identificano il valore che prende la funzione che stiamo considerando, in modo che:

\ hat {A} f_a = af_a

Proprietà delle funzioni e autovalore :

1.- A \ psi_a = a \ psi_a

2.- A ^ n \ psi_a = a ^ n \ psi_a

3.- F (A) \ psi_a = F (a) \ psi_a

L’ultima proprietà merita una spiegazione, a volte gli operatori compaiono nelle funzioni, ad esempio supponiamo di avere l’operatore \ hat {A}e che stiamo lavorando con una funzione specifica per quell’operatore \ psi_3. Ciò significa che:

\ hat {A} \ psi_3 = 3 \ psi_3

Ora ci dicono che usiamo l’operatore  sen (\ hat {A}). Bene, le prestazioni di questo operatore, che è il seno dell’operatore originale, \ psi_3non sono altro che sin (\ hat {A}) \ psi_3 = sin (3) \ psi_3.

Queste proprietà devono essere acquisite molto bene poiché semplificano i calcoli in cui sono applicate.Un’altro tema centrale in riferimento ai problemi dei propri valori, è quello relativo ai seguenti teoremi.

Teorema I : Gli autovalori di un operatore Hermitiano sono reali.

Teorema II : le autofunzioni corrispondenti a diversi autovalori di un operatore eremitiano sono ortogonali (il loro prodotto interno è zero per il teorema precedente).

Non dimostreremo questi teoremi ma è sufficiente sapere che esistono e usarli.

Nota sulle funzioni appropriate :

Le funzioni di un osservabile sono un insieme di funzioni ortonormali. Ciò implica che possono essere intesi come una base delle funzioni di stato, cioè qualsiasi funzione che rappresenta uno stato può essere scritta come una combinazione lineare delle funzioni di un osservabile. (Ricorda che un osservabile è un operatore lineare ed Hermitiano). Analizziamo cosa significa questo commento:

1.- Abbiamo un $ atex \ hat {A} $ osservabile.

2.- proprio insieme di funzioni \ hat {A}è \ {\ psi_a \}, cioè \ hat {A} \ psi_a = a \ psi_a.

3. Abbiamo una funzione \ Phi, che non è tipico di \ hat {A}, cioè \ phi \ neq c \ Phi.

4.- Ma possiamo sempre esprimere nel \ Phimodo seguente:  \ Phi = \ sum_ {a} C_a \ psi_a

Si osserva subito una cosa molto importante: La combinazione lineare di autofunzioni di un osservabile non è in generale una sua autofunzione. E un’altra proprietà importante, su cui ci soffermeremo nella prossima voce è che ogni volta che due osservabili commutano, possono avere una base comune delle proprie autofunzioni.

 

Un universo bianco o/e nero di stati

Immagina di essere in un universo che contiene solamente una particella e che questa particella abbia una proprietà fisica osservabile che chiameremo colore. Il colore ha in questo universo due valori che, dal punto di vista classico, si escludono a vicenda. Il nero e il bianco. Noi rappresentiamo gli stati con il simbolo Ket | \ phantom {a} \ rangle.  Gli stati sono:

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Ciò significa che la nostra particella, se si trova nello stato up, stà nello stato quantico che ha un colore bianco. Se è nello stato down, il suo colore quantico è nero. Dobbiamo sapere che accanto agli stati come quelli che abbiamo definito ci sono oggetti matematici che sono i suoi compagni Bra che sorgono immediatamente.

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Per cominciare possiamo dire che giocare con i simboli Ket | \ phantom {a} \ rangle e Bra \ langle \ phantom {a} |  può avere due diverse combinazioni:

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Cosa significa? La prima opzione genera un numero. Ci metti due stati quantici e il risultato è un numero. La seconda opzione genera un operatore. Un operatore perché opera e agisce sugli stati come vedremo in seguito.

Cosa sono gli stati che si escludono a vicenda?

Lo stato nero e lo stato bianco si possono escludere a vicenda, significa che:estadobn4

Questo è ciò che “stati reciprocamente esclusivi” significano in questo contesto. Il tuo prodotto (l’ordine delle parentesi che genera un numero) è nullo. Un’altra proprietà importante che ci sarà utile è che il prodotto di uno stato per se stesso è esattamente uguale a 1.

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Con questo abbiamo dato le principali caratteristiche degli stati.

Osservabile

In generale per studiare uno stato fisico dobbiamo prima decidere quale aspetto di esso vogliamo investigare. Nel nostro universo di colori la scelta è facile da definire abbiamo il colore e quali stati speciali devo avere per questo operatore.

Rappresenteremo l’aspetto fisico dei colori osservabili di \ C {C}. Il cappelletto in cima a una lettera maiuscola significa che si tratta di un operatore. Quello che sappiamo è che quando ci si trova di fronte all’operatore \ C {C} sullo stato bianco o nero, il risultato è lo stesso stato, bianco o nero, moltiplicato per un numero. Nel nostro caso risulta:

estadobn5Da dove vengono questi numeri? Per rispondere, dobbiamo sapere come l’operatore agisce \ C {C} sui nostri stati, quindi dobbiamo costruire quell’operatore. La domanda è: come viene costruito l’operatore? Da dove lo prendo?  Da un lato abbiamo stati in bianco e nero.

estadobn

D’altra parte sappiamo che possiamo definire le parentesi in modo che agiscano sugli stati (seconda configurazione delle parentesi nella figura):

estadobn2

Quindi assumiamo che il nostro operatore \ C {C}abbia la seguente forma:estadobn6

Proviamo a calcolare quello che esce quando \ C {C} agisce sullo stato bianco?

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Nel primo step abbiamo applicato una legge distributiva e nel secondo abbiamo utilizzato i prodotti degli stati in bianco e nero tra quelli indicati prima.

Operando \ C {C} sullo stato bianco scopriamo che non cambia, è quindi ancora lo stato bianco, solo che è moltiplicato per un numero che in questo caso è +1. Diciamo che lo stato bianco è uno stato dell’operatore del colore. Analogamente, di fronte \ C {C} allo stato nero:

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E questo è tutto, abbiamo che lo stato nero è un altro stato proprio dell’operatore di colore. Quando agisce il colore su di esso rimane lo stesso, uno stato nero, ma moltiplicato per -1.

Gli stati propri

Il nostro esempio riguarda un sistema quantistico che ha una proprietà che abbiamo chiamato colore, rappresentata matematicamente da \ C {C}. Gli autostati non cambiano in modulo ma solo di segno + e -1:

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L’importanza degli autostati è che si escludono a vicenda, o che sono tipici dell’osservabile con cui stiamo lavorando, in questo caso \ C {C}, è che sono la base per costruire tutti gli stati possibili del sistema. Mettiamo questi stati sugli assi, come se fossero vettori:

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Se ora ci chiediamo, quali sono tutti gli stati quantici possibili? La risposta che la meccanica quantistica ci dà è la seguente: Tutte le combinazioni che possiamo fare di quegli stati considerandoli come vettori base. Una combinazione lineare o sovrapposizione di stati significa aggiungere (o sottrarre) quegli stati base moltiplicati per opportuni coefficienti:

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I coefficienti aB possono essere un qualsiasi numero (in generale saranno numeri complessi). Ricordiamo ora due proprietà degli stati che abbiamo introdotto prima.

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Si è detto che gli stati possono essere considerati come vettori. Le prime due relazioni possono essere interpretate come vettori in bianco e nero con modulo (lunghezza) al quadrato che vale 1. Pertanto, la loro lunghezza è unitaria. La seconda coppia di relazioni indica che i vettori in bianco e nero sono perpendicolari tra loro.

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Prendiamo lo stato sovrapposto:

estadobn11

Per semplificazione gli daremo un nome. Si è scelto questo simbolo:

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Per calcolare il modulo quadrato di quel vettore si fa quanto segue:

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Espresso in termini di sovrapposizione è:

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Nota:  se i coefficienti a e b sono numeri complessi quando si invertono le parentesi, i coefficienti degli stati devono trasformarsi nei loro complessi coniugati. A questo punto devi applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione.

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Sembra complicato… ma conosciamo i risultati dei prodotti  degli stati

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Il modulo quadrato della composizione lineare di stati non è altro che la somma dei quadrati dei coefficienti.

Quindi il quanto ha una proprietà, la somma dei quadrati di tutti i coefficienti di una combinazione lineare deve sempre valere 1. Dal punto di vista dei vettori, si scopre che le combinazioni lineari sono sempre contenute dentro una circonferenza di raggio 1 che definisce gli stati di base, nel nostro caso bianco e nero:

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Qualsiasi combinazione di stati sovrapposti i cui coefficienti al quadrato valgono 1 rappresentano una circonferenza. Abbiamo appena identificato tutti gli stati possibili di questo sistema rispetto a questa caratteristica che abbiamo chiamato colore.

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La ragione di proprietà, sarà chiara successivamente.

Non tutti sono appropriati

All’inizio avevamo identificato gli stati dell’operatore che rappresentano la grandezza di colore del nostro sistema:

estadobn5

La domanda quindi è se la sovrapposizione di un osservabile (operatore) sia ancora uno stato a sé. Più esplicitamente:

estadobn28.jpg

Cioè, lo stato sovrapposto rimane esattamente lo stesso ad eccezione di una moltiplicazione per un numero di fronte all’operatore di colore?

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L’operatore \ C {C} agisce su ogni termine:

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L’operatore \ C {C} e in generale tutti gli operatori quantistici non vedono i numeri: questi operatori sono trasparenti ai numeri e agiscono solo sugli stati quantici. Come si nota:

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Quindi propagando l’azione:

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Oramai sappiamo come agisce \ C {C} sugli stati in bianco e nero poiché questi sono specifici per quell’operatore. Quello che abbiamo:

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Questo risultato è abbastanza istruttivo, si noti che nessuno dei modi può essere scritto come la sovrapposizione originale (che tra le altre cose aveva una somma invece di una sottrazione di stati). Pertanto, lo stato che risulta dall’applicare \ C {C} a una sovrapposizione dei suoi stati non è in generale uno stato a sé, non può essere scritto come lo stesso stato moltiplicato per un numero come risultato finale. E questa è una conclusione molto importante.estadobn45

I valori attesi

A questo punto  dovremmo essere in grado di fare i calcoli che verranno indicati successivamente. Come abbiamo visto, quando un operatore agisce su uno stato, cambia irrimediabilmente. Bene, non tutti gli stati hanno questo comportamento, per ogni operatore puoi trovare una classe di stati che non cambiano sotto la loro azione.

Ma questo è fatto fisico, quindi sarebbe bello poter confrontare i risultati teorici e sperimentali. Per raggiungere questo scopo, che vedremo in tutto il suo splendore successivamente, introdurremo il valore atteso dell’operatore \ C {C} in un determinato stato. Il valore atteso dipende dallo stato con cui viene calcolato. Rappresenteremo il valore previsto per  \ langle \ hat {C} \ rangle. I valori attesi calcolati con autostati sono semplicemente i numeri che moltiplicano lo stato dopo l’azione dell’operatore corrispondente. Nel nostro caso, quindi, avremo:estadobn46

Sviluppiamolo, naturalmente, perché non è necessario, uno di essi, il valore atteso del colore nello stato bianco.

estadobn47.jpgestadobn48.jpg

Hai il coraggio di calcolarlo per lo stato nero correttamente? È facile, che ne dici di questo?

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È importante calcolare il valore atteso rispetto lo stato sovrapposto. Spiegheremo ora perché abbiamo fatto tutto questo e cosa significano queste cose, ma prima di addentrarci nelle spiegazioni.

Ora faremo due cose:

  1. Faremo passo dopo passo il calcolo di prima
  2. Spiegheremo il significato fisico di ciò che abbiamo discusso e calcolato.
Valori di colore attesi

Abbiamo un operatore indicato con il colore: \ C {C}. Questo operatore ha due autovalori, stato bianco e stato nero. Questi stati sono appropriati perché quando l’operatore agisce su di loro, li lascia uguali e moltiplicati per un numero:estadobn9

Per semplificare riscriveremo queste relazioni:

\\ {C} | b \ rangle = + 1 | b \ rangle

\ hat {C} | n \ rangle = -1 | n \ rangle

dove | b \ rangle, | n \ rangle rappresentano, rispettivamente, gli stati in bianco e nero.

Ora calcoliamo il valore atteso dell’operatore del colore sullo stato bianco:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| b \ rangle} = \ langle b | \ hat {C} | b \ rangle

Passaggio 1:

Gli operatori agiscono sempre sull’oggetto che hanno alla loro destra. Come sappiamo \\ {C} | b \ rangle = + 1 | b \ rangle e otteniamo:

\ langle b | \ hat {C} | b \ rangle = \ langle b | (+1) | b \ rangle

Passaggio 2:

I numeri reali, come +1, lasciano la parentesi senza nulla all’interno:

\ langle b | (+1) | b \ rangle = (+ 1) \ langle b | b \ rangle

Passaggio 3:

Sappiamo quanto vale il prodotto  \ langle b | b \ rangle = 1 Pertanto:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| b \ rangle} = (+ 1) \ langle b | b \ rangle = (+ 1) 1 = + 1

Questo è il risultato del valore atteso dell’operatore di colore per lo stato bianco.

Se vogliamo calcolare il valore atteso dell’operatore di colore per lo stato nero, dobbiamo solo seguire i passaggi:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| n \ rangle} = \ langle n | \ hat {C} | n \ rangle

\ langle n | \ hat {C} | n \ rangle = \ langle n | (-1) | n \ rangle

\ langle n | (-1) | n \ rangle = (- 1) \ langle n | n \ rangle = (- 1) 1

Resta quindi:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| n \ rangle} = - 1

Questo è il valore atteso dell’operatore C che agisce sullo stato nero.

Cosa succede se abbiamo uno stato che è una sovrapposizione in bianco e nero, cioè una somma e una sottrazione degli stati in bianco e nero moltiplicati per determinati coefficienti:

| \ psi \ rangle = a | b \ rangle + b | n \ rangle

Il valore atteso dell’operatore C su questo stato sarà:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| \ psi \ rangle} = \ langle \ psi | \ hat {C} | \ psi \ rangle

\ langle \ psi | \ hat {C} | \ psi \ rangle = (a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle)

A questo punto assumeremo per semplicità che a e b siano coefficienti numerici reali (con i complessi l’unica cosa che cambia è che passando da un | \ phantom {ab} \ rangle  a a ^ * \ langle \ phantom {ab} | dobbiamo passare il numero al suo complesso coniugato ). Ora facciamo tutti i raggruppamenti possibili usando la legge distributiva.

(a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle) =

= a ^ 2 \ langle b | \ hat {C} | b \ rangle +

+ ab \ langle b | \ hat {C} | n \ rangle +

+ ba \ langle n | \ hat {C} | b \ rangle +

+ b ^ 2 \ langle n | \ hat {C} | n \ rangle =

Procediamo come prima … vedendo qual è l’azione dell’operatore sullo stato della sua destra, cioè l’ordine di azione naturale degli operatori:

(a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle) =

= a ^ 2 \ langle b | (+1) | b \ rangle +

+ ab \ langle b | (-1) | n \ rangle +

+ ba \ langle n | (+1) | b \ rangle +

+ b ^ 2 \ langle n | (-1) | n \ rangle =

Raccogliamo i numeri dalle parentesi:

(a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle) =

= (+ 1) a ^ 2 \ langle b | b \ rangle +

+ (- 1) ab \ langle b | n \ rangle +

+ (+1) ba \ langle n | b \ rangle +

+ (- 1) b ^ 2 \ langle n | n \ rangle =

Ricordando i prodotti tra gli stati:

estadobn3

estadobn4

Le espressioni precedenti sono:

(a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle) =

= (+ 1) a ^ 2 \ volte (1) +

+ (- 1) ab \ volte (0) +

+ (+1) ba \ times (0) +

+ (- 1) b ^ 2 \ times (1) =

Quindi:

(a \ langle b | + b \ langle n |) \ hat {C} (a | b \ rangle + b | n \ rangle) =

(+1) a ^ 2 \ volte (1) +

+ (- 1) b ^ 2 \ times (1) =

Pertanto, il valore atteso dell’operatore C nello stato sovrapposto | \ psi \ rangle vale:

\ langle \ hat {C} \ rangle_ {| \ psi \ rangle} = a ^ 2-b ^ 2

Quanto vale tutto questo?

Immaginiamo di avere un dispositivo per misurare il colore:

medida1.jpg

Che cosa ci risponderà il dispositivo se introduciamo un sistema quantistico nello stato bianco? Immagino che la risposta sia facile:

medida2.jpg

Questo perché lo stato bianco è lo stato proprio dell’operatore di colore \ C {C}. Questo operatore rappresenta in un certo senso la grandezza che vogliamo misurare. La meccanica quantistica ci dice che misurando il proprio stato otterremo come risultato della misura il valore del coefficiente che moltiplica lo stato stesso dopo che l’operatore ha agito.

Un altro aspetto importante è che lo stato rimane invariato nella misura, ne esce fuori esattamente come è entrato. Ciò implica che se concateniamo una serie di misure sul colore avremo in questo caso:

misura3

Un caso analogo lo avremmo con lo stato nero. Cosa succede se facciamo una misura su uno stato sovrapposto? Ci darà il bianco o il nero ma non possiamo predire quale dei due otterremo in una singola misura. Se esce bianco o nero è puramente casuale.

medida4

Ricordiamo che lo stato sovrapposto ha la forma:

estadobn15

Proviamo a prevedere il risultato della misura. Forse l’ago del dispositivo di misurazione rimarrà in un punto intermedio tra il bianco e nero. Supponiamo che il coefficiente dello stato bianco è maggiore del coefficiente dello stato nero, l’ago rimarrà tra entrambi i risultati, bianco e nero, ma un po ‘più vicino al bianco rispetto al nero. Questa è quello che ci aspettiamo.

Ma questa non è una lettura corretta degli stati quantici. Il motivo principale è che in meccanica quantistica gli unici risultati possibili per la misura di uno stato di sovrapposizione sono i valori associati agli autostati che fanno parte della sovrapposizione. Cioè il risultato di qualsiasi misurazione del colore ci darà bianco o nero cioè +1 o -1 e niente via di mezzo. Pertanto, se entriamo nello stato |? \ rangle nel dispositivo di misurazione, cosa otterremo? La risposta è:

measurement6

oppure:

medida7

Non abbiamo idea di ciò che otterremo mediante una sola misura. Quindi qual’è l’utilità della meccanica quantistica se alla fine della giornata non possiamo predire il risultato di una misura. Un fiasco totale di teoria per quello che sembra. Ma le cose non stanno così. Se ripetiamo le misure su un numero enorme di stati identici |? \ rangle, in ogni misura non possiamo prevedere il risultato ottenuto ma …

medida8

Si scopre che la proporzione in cui esce il bianco è a ^ 2  e quella in cui esce il nero è b ^ 2rispetto al centro. Ecco perché è necessario che:

a ^ 2 + b ^ 2 = 1

Perché questi coefficienti di sovrapposizione ci dicono la probabilità con cui appaiono i valori delle misure. Quindi ciò che facciamo è calcolare il valore atteso dell’operatore con un dato stato, per esempio:

|? rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} | b \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2}} | n \ rangle

o in questo:

|? \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {4}} | b \ rangle + \ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {4}} | n \ rangle

Quanto è il valore atteso dell’operatore di colore in questi stati? A livello sperimentale ciò che viene fatto è ripetere le misurazioni molte volte e vedere come ci verrà fornito il valore teorico atteso calcolato sullo stato con cui stiamo lavorando.

Complicando la questione

Complichiamo il dispositivo sperimentale che abbiamo progettato sopra. Ora il nostro dispositivo di misurazione ha due uscite possibili, schermo 1 e schermo 2. Questi schermi sono rilevatori di colore su diverse facce del nostro dispositivo. Come al solito, visto che misureremo il colore, rappresentato dall’operatore \ C {C}, abbiamo due possibili risultati della misurazione, BIANCO o NERO. (Questa volta useremo un misuratore digitale invece di uno analogico con aghi).

TWO3

Ma c’è un divieto … non possiamo misurare simultaneamente in entrambe le direzioni. Quindi dobbiamo decidere se vogliamo vedere il risultato sullo schermo 1 o sullo schermo 2. Decideremo al volo ma una volta che decidiamo uno schermo l’altro si blocca (questa è una caratteristica della meccanica quantistica).

Costruiamo operatori

Come abbiamo detto vogliamo misurare il colore \ C {C} di un sistema. Ma abbiamo due modi di misurare che si escludono a vicenda, o misuriamo nella direzione 1, o misuriamo nella direzione 2. In questa situazione dobbiamo costruire due diversi operatori:

\ C {C} _1

\ C {C} _2

Supponiamo che tutto quello che abbiamo fatto fin’ora corrisponda alla misura nella direzione 1. Pertanto ora avremo già informazioni sulla direzione della misura. Quindi sarà facile definire gli stati base di colore, stato bianco e stato nero, nella direzione 1, nel modo seguente:

two4

E naturalmente l’azione del colore nella direzione 1 sugli stati in quella direzione ritorna a dare lo stesso che avevamo assunto in precedenza. Quindi possiamo concludere che l’azione \ C {C} _1  sui loro stati saranno della forma:

DOS5Gli stati nella direzione 1 saranno i nostri stati preferiti, quindi cercheremo di scrivere tutto in termini di questi stati.

Naturalmente potremmo fare esattamente la stessa cosa nella direzione 2. Basta cambiare tutti gli 1 nelle espressioni precedenti con i 2.

dos6.jpg

Come può essere?

Quello che stiamo per esporre ora è ciò che accade negli esperimenti reali  sulle misure dello spin.

Passaggio 1

Abbiamo scoperto un modo per predisporre le particelle nello stato sovrapposto:

dos7.jpg

Passaggio 2

Lanciamo un fascio di particelle nello stato sovrapposto per un dispositivo di misura. Come sappiamo, secondo i coefficienti della combinazione in ogni singola misura abbiamo una probabilità del 50% di ottenere bianco o nero come risultato sperimentale. Quindi se il nostro campione contiene molte particelle vedremo come il 50% delle volte il dispositivo indica che c’è un colore bianco e il 50% delle volte che c’è un colore nero.

dos8

Questo è ciò che ci aspettavamo.

Passaggio 3

Ma andiamo un po a fondo. Sappiamo che in una singola misura sullo stato sovrapposto otteniamo il risultato nella direzione 1 quindi lo stato iniziale passa allo stato bianco nella direzione 1. Lo stato collassa allo stato dell’operatore che corrisponde al risultato della misura. Analogamente se otteniamo il risultato nero nella direzione 1.

Ora lasciamo solo i risultati che appaiono quando si esegue una misurazione di colore in direzione 1

dos9.jpg

Passaggio 4

In questo passaggio esploreremo diverse alternative.

Passaggio 4.1

Le particelle che rimangono in gioco sono passate attraverso un altro dispositivo sperimentale in condizioni identiche a quella precedente. Quindi quando misuriamo nuovamente il colore nella direzione 1, otterremo:

dos10.jpg

Se misuriamo il colore nella direzione 1  il 100% delle volte non diventa bianco. Logico, ciò che viene fuori è lo stato dell’operatore di colore.

Passaggio 4.2

La seconda opzione che vogliamo studiare è fare una misura nella direzione 2 subito dopo aver selezionato le particelle che sono diventate bianche nella direzione 1 in una prima misura. Possiamo prevedere cosa si ottiene con le informazioni che abbiamo a disposizione? Qui la cosa inizia a essere interessante. Il risultato è:

dos11.jpg

Si scopre che lo stato bianco nella direzione 1 non dà un singolo risultato nella direzione 2, ma otteniamo che il 50% delle misure del colore nella direzione 2 darà bianco e l’altro 50% darà nero.

Accade esattamente lo stesso se invece di bloccare le particelle nere dopo la prima misurazione avremmo bloccato quelle bianche nella direzione 1. Ciò significa che gli stati corretti in bianco e nero nella direzione 1 non sono corretti nella direzione 2 per l’operatore di colore \ C {C} _2. Quindi gli stati nell’indirizzo 2 dell’operatore \ C {C} _2 devono essere scritti come combinazioni lineari degli stati dell’operatore \ C {C} _1.

Una domanda per completare le cose …

Immaginiamo di complicare ulteriormente la cosa sommando tre misure sul colore secondo questo schema:

dos12.jpg

Ora si potrebbe intuire il risultato di una terza misura nella direzione 1 … Ora cercheremo di spiegare il formalismo che sta alla base in un modo sintetico

Cos’è uno stato quantico?

Uno stato quantico è tutto ciò che sintetizza l’informazione che possiamo ottenere su un sistema fisico. In termini formali è un oggetto matematico (un vettore in uno spazio di Hilbert dal quale possiamo ottenere i valori delle osservabili fisiche). Gli stati quantici rappresentati da vettori (in uno spazio di Hilbert) contengono tutte le informazioni che possiamo estrarre dal sistema.

Cos’è una osservabile?

Un osservabile è un oggetto matematico chiamato operatore. Si chiama operatore perché agisce sugli stati e opera su di essi. In realtà, non tutti gli operatori rappresentano un osservabile, in modo che gli operatori possano soddisfare due condizioni. Devono essere lineari e devono essere ermitiani.

Determina gli stati

La cosa essenziale per determinare gli stati di un sistema è scegliere quale osservabile vogliamo specificare. Per esempio operatori di posizioni,  momento,  giri su diversi assi, ecc. Nel nostro esempio, le particelle hanno una proprietà chiamata colore. Questa proprietà può essere misurata e osservata fisicamente, quindi sarà rappresentata da un operatore che indichiamo con \ C {C}.

medida1.jpg

Se questi sono i risultati sperimentali dobbiamo accettare che abbiamo due stati base di colore, lo stato bianco e lo stato nero. Quindi l’operatore \ C {C} agisce su questi stati. Ciò significa che matematicamente dobbiamo avere:

estadobn5

Da queste equazioni possiamo intuire la forma dell’operatore \ C {C}. La domanda è: come costruiamo matematicamente l’operatore? Non c’è molta scelta a questo punto, abbiamo solo gli stati quantici a nostra disposizione, bianco e nero. Quindi la forma dell’operatore deve essere:

estadobn6L’operatore deve \ C {C} rappresentare una osservabile fisica  lineare ed ermitiana. Vediamo che significa ermitiano

Operatore ermitiano

Dato un operatore \ C {C}, possiamo calcolare un altro operatore che chiamiamo Hermitiano associato. L’Hermitiano associato di un operatore \ C {C} viene indicato da \ da {C} ^ pugnale. Si dice che un operatore è ERMITIANO se è uguale al suo Hermitiano associato. Cioè \ hat {C} = \ hat {C} ^ \ dagger. Per fissare le idee:

hermit1.jpg

Come viene calcolato l’Hermitiano associato di un operatore \ O {O}? Andiamo per i casi. Da un lato possiamo avere:

hermit2.jpg

Ora sappiamo già come calcolare gli aggiunti:

hermit3.jpg

Nota: Le osservabili sono rappresentate da operatori Hermitiani, ma non tutti gli operatori di Hermitiani sono una osservabile fisica. Quindi supponendo che il nostro operatore sia ermetiano \ hat {C} = \ hat {C} ^ \ dagger perché è importante che sia così? Ci sono due ragioni importanti (e sono importanti teoremi matematici):

1.- Gli autostati degli operatori Hermitiani sono vettori con modulo unitario e sono perpendicolari tra loro. Questo si traduce nelle condizioni matematiche che abbiamo usato:

estadobn14

2.- Un operatore ermitiano che agisce su uno dei suoi stati restituisce sempre lo stesso stato moltiplicato per un numero (questo numero è chiamato autovalore). Gli autovalori degli operatori ermitiani sono sempre numeri reali. Questo vale anche per il nostro esempio dell’operatore di colore:

estadobn5I valori degli operatori Hermitiani sono quindi reali.  Sappiamo che in meccanica quantistica gli unici risultati possibili sono gli autovalori dell’operatore che rappresenta l’osservabile e sono reali. Quindi è positivo che vengano fuori numeri reali, non sappiamo come misurare altri tipi di numeri, per esempio i complessi.

 

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