La notazione (Bra-Ket) di Dirac in meccanica quantistica

La notazione Bra-Ket di Dirac unifica in una simbologia e descrive operatori e quantità osservabili che possono essere eseguite sulla meccanica della matrice (con matrici in qualità di vettori), la descrizione può essere eseguita in meccanica ondulatoria (con operatori differenziali che agiscono come operatori).

Si consideri la seguente rappresentazione del vettore x = (x 1 , x 2 , x 3 ) che possiamo utilizzare usando i vettori unità di base (gli apici non sono esponenti)

x = x 1 (1, 0, 0) + x 2 (0, 1, 0) + (0, 0, x 3 )

Supponiamo ora di utilizzare la stessa rappresentazione per i vettori colonna anziché i vettori riga, identificando successivamente ciascun vettore colonna nel seguente modo:

La rappresentazione che abbiamo evidenziato il colore giallo formato da una linea verticale sulla sinistra e una parentesi angolata sulla destra è essenzialmente ciò che chiamiamo ket . Manterremo la convenzione in base alla quale viene data una quantità complessa z qualsiasi:

z = x + iy

il complesso coniugato di detta quantità è rappresentato con un asterisco posto come superindice:

* = x – iy

La notazione delle parentesi graffe di Dirac si basa su due simboli fondamentali, uno dei quali è il bra :

e l’altro il ket :

L’uso più semplice di entrambi i simboli è unirli per rappresentare il prodotto interno di due vettori o due funzioni. Quando questo è fatto, il bra si trova sempre a sinistra, e il ket  sempre a destra, essendo così racchiuso tra due parentesi angolate (le parole bra e ket derivano dalla parentesi inglese ). L’operazione più semplice che può essere eseguita è la somma di due ket:

Due ket possono essere sommati se sono dello stesso tipo, il che significa che non possiamo in generale sommare funzioni tipiche della meccanica ondulatoria a vettori e matrici. Ad esempio, se consideriamo le seguenti funzioni d’onda:

e rappresentiamo queste funzioni d’onda come kets:

possiamo fare la somma dei kets nella notazione di Dirac nel seguente modo:

PROBLEMA : aggiungi tutti i ket che possono essere sommati tra quelli mostrati di seguito:

Dal momento che per aggiungere due kets questi devono essere dello stesso tipo, le uniche somme di ket che possono essere eseguite qui sono le seguenti:

Ogni ket può essere moltiplicata per una costante numerica il cui quadrato dà la probabilità di avere lo stato rappresentato dal ket, in modo che possiamo creare combinazioni lineari come la seguente:

in cui la probabilità che lo stato simboleggiato dal primo ket sia dato in un esperimento è | a | ² e la probabilità che lo stato simboleggiato dal secondo ket sia dato è | b | ². In generale, quando vengono aggiunti due o più ket, ciò che abbiamo è una sovrapposizione di stati che dà origine a una nuova situazione, come mostra la figura seguente in cui abbiamo una somma di due stati possibili:

Avendo solo due possibili stati nell’esempio appena dato, la relazione sottostante indica che la somma delle probabilità di ottenere uno dei due stati deve essere uguale all’unità, alla certezza.

Sia l’analisi vettoriale che l’algebra lineare hanno familiarità con il concetto di prodotto scalare o prodotto scalare di due vettori a e b definito nella sua quintessenza nello spazio tridimensionale euclideo come il prodotto del modulo di questi vettori moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso.

a · b = | a | | b | cos (θ)

Sotto un sistema di coordinate cartesiane in cui ciascuno dei vettori a e b è specificato dalle tre componenti che sono uguali alle loro proiezioni su ciascuno degli assi delle coordinate:

a = (a 1 , a 2 , a 3 )
b = (b 1 , b 2 , b 3 )

dove le componenti vettoriali sono numeri reali, non è difficile verificare che il prodotto interno dei vettori a e b in funzione delle loro componenti sugli assi delle coordinate sia dato dalla seguente relazione:

a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Se vogliamo definire un concetto simile all’interno della Meccanica Quantistica, il problema che ci si presenta immediatamente è che le componenti dei vettori non possono essere solo numeri reali, possono anche essere numeri complessi o immaginari. Prima di tutto dobbiamo nuovamente definire, dal punto di vista strettamente matematico senza entrare nei dettagli, il concetto di prodotto interno di due quantità quando uno o entrambi possono essere numeri complessi. È stato dimostrato in pratica che uno dei modi più convenienti per farlo è il seguente:

dove l’asterisco per le componenti del vettore a (evidenziato in rosso) indica che il complesso coniugato dell’elemento deve essere inteso (invertendo il segno del fattore immaginario i ). Si noti che qui è stato fatto un passo importante, è stato assunto che la definizione sarà valida per i vettori con una dimensione maggiore di tre, che sebbene non molto percepita dal punto di vista fisico può essere adottata dal punto di vista matematico senza alcun problema. Si noti inoltre che l’ordine in cui è specificato il prodotto dei vettori a e b è importante, poiché se viene seguito un ordine inverso, in base alla definizione che è stata appena data, il prodotto interno sarà:

Sottolinea il fatto che, in base a questa definizione, il prodotto interno di due vettori non è commutativo. Tuttavia, osservando il fatto che prendendo il complesso coniugato in entrambi i membri della precedente uguaglianza (considerando che il coniugato della somma di numeri complessi è uguale alla somma dei suoi complessi coniugati e il complesso coniugato di un prodotto è uguale al prodotto dei coniugati):

Ciò significa che:

Nelle meccanica delle matrici , rappresentiamo il prodotto interno di due vettori x i e x j con la notazione bra-ket simboleggiato nel seguendo modo:

Si noti che quando si unisce un bra con un ket la doppia linea verticale che si forma con la linea verticale proveniente dal bra e la linea verticale proveniente dal ket si “mescolano” in un’unica linea verticale (“|”). Questo è qualcosa che viene sempre fatto quando si verificano doppie linee verticali nelle operazioni eseguite con bra e ket. Poiché il prodotto interno di due vettori è un numero, quello che abbiamo sopra è essenzialmente un numero.

Sulla base della conclusione che è stata ottenuta per due vettori con componenti complessi:

procedendo per analogia possiamo stabilire una relazione fondamentale per la definizione del prodotto interno tra un bra e un ket come segue:

Il caso più frequente in meccanica quantistica è che le componenti sono utilizzati come vettori che devono essere ortogonali (indipendenti tra loro) essendo ciascuno standard (con lunghezza pari all’unità) quindi devono essre vettori ortonormali . In questo caso i vettori normalizzati si possono indicare come segue:

In questo caso, quando i vettori u i e u j sono vettori ortogonali e normalizzati, cioè ortonormali, il prodotto interno deve essere il seguente:

In questa definizione utilizziamo la delta di Kronecker per il quale δ ij =  1 quando i  = . j δ ij  =  0 quando ho i ≠  j. Il bra assegnato mediante il vettore u i dà esso una rappresentazione matriciale come vettore riga , mentre ket assegnato al vettore u j conferisce una rappresentazione matriciale come vettore colonna. Se è lo stesso vettore, con i  =  j la lunghezza del vettore è 1 poichè si presume che il vettore sia normalizzato e se si tratta di due vettori diversi presi dalla stessa base, quindi con i  ≠  j il prodotto interno è uguale a zero, riflettendo il fatto che i due vettori sono ortogonali.

A tutti i ket possiamo assegnare un bra corrispondente al suo doppio. Dato un ket possiamo ottenere il suo doppio bra prendendo il complesso coniugato del ket, che significa cambiare il segno in tutti i casi in cui appare il numero immaginario .

PROBLEMA : dato il seguente ket:

prendi un bra che è il suo doppio in modo che il prodotto interno di entrambi i risultati sia uguale all’unità .

Poiché la lunghezza del ket fornita non è uguale all’unità, moltiplichiamo il ket per una costante di normalizzazione A:

Il bra corrispondente a questo ket si ottiene prendendo il complesso coniugato del ket:

Affinché il prodotto di questo bra con il suo ket che è il suo doppio sia uguale all’unità, la condizione di normalizzazione richiede che:

Con questa condizione possiamo ottenere la costante di normalizzazione A:

In questo modo, sia il bra standard che il ket  formano una doppia coppia come segue:

Analogamente a quanto abbiamo fatto con i vettori della meccanica delle matrici, nella meccanica ondulatoria viene rappresentato il prodotto interno di due funzioni dello stesso tipo ma con un numero quantico diverso nel modo seguente:

In generale, date due funzioni ψ e φ, la notazione bra-ket:

rappresenta qualcosa come:

Sebbene abbiamo due diverse funzioni ψ (x) e φ (x), queste devono essere definite sullo stesso spazio vettoriale (della stessa dimensione), e per realizzare il prodotto interno di esse prendiamo il complesso coniugato della funzione che appare nel bra, in questo caso ψ * (x) , in modo che il risultato finale sia un numero reale, perché se il risultato finale fosse un numero immaginario o complesso la base matematica non ci aiuta a rappresentare quantità fisiche in Meccanica quantistica .

PROBLEMA : Dimostriamo che:

La dimostrazione può essere eseguita nel modo seguente:

In generale, possiamo ricavare delle costanti da un prodotto bra-ket, a patto che si presti attenzione a osservare in quale parte del prodotto bra-ket si trova la costante che verrà estratta, sia nel bra che nel ket. Se una costante K è nel bra, allora quando è estratta deve uscire come il complesso coniugato di K, cioè come K * ; e se la costante è nel ket, allora quando viene estratta dovrebbe uscire come se stessa, cioè come K , senza che il suo complesso coniugato ne venga estratto.

In termini che i matematici puri riconoscono come uno spazio funzionale, possiamo pensare al bra come un’istruzione per eseguire la seguente operazione :

su qualcosa che viene messo sul bra sul lato destro, dove il “buco” simboleggia o rappresenta lo spazio vuoto che aspetta di essere riempito dalla funzione che il bra trova sul lato destro, ad esempio il ket che rappresenta la funzione m :

PROBLEMA : Dimostrare, usando la notazione bra-ket, il seguente insieme di funzioni:

è un insieme ortonormale. Quale sarà la dimensione dello spazio vettoriale in questo problema? Valuteremo innanzitutto il prodotto interno della funzione ψ 0 per se stessa:

Poiché il prodotto interno della funzione ψ 0 per se stessa è uguale all’unità, possiamo vedere che la funzione è normalizzata. Ora valuteremo il prodotto interno della funzione ψ 1 per se stessa:

Poiché anche il prodotto interno della funzione ψ 1 per se stessa è uguale all’unità, possiamo vedere che la funzione è anche normalizzata. In generale, per una qualsiasi funzione ψ n , avremo:

È chiaro che tutte le funzioni sono normalizzate.

Resta da vedere se le funzioni sono ortogonali tra loro, per le quali dobbiamo valutare il seguente prodotto interno:

Se m ≠ n . Si ricorre alla formula di Eulero:

allora avremo due integrali da valutare:

Effettuando entrambe le integrazioni:

Il secondo termine (evidenziato in rosso), essendo una funzione pari, quando è valutata tra i limiti -1 e +1 diventa zero, lasciandoci solo con il primo termine, che dopo aver fatto i limiti diventa:

Per ipotesi, se consideriamo che m e n sono due numeri interi diversi. In tal caso, l’argomento della funzione sinusoidale sarà un multiplo intero di π. Ma il seno di un multiplo intero di π sarà sempre uguale a zero. Quindi, quando m e n sono diversi, il prodotto interno delle due funzioni d’onda sarà zero, cioè saranno ortogonali.

Concludiamo che l’insieme di funzioni dato è ortonormale, cioè ortogonale l’un l’altro e normalizzato all’unità, che possiamo esprimere con l’aiuto della delta di Kronecker:

soddisfacendo così la condizione in modo che un insieme di funzioni possa essere considerato una base ortonormale.

Dato che abbiamo un totale di 9 funzioni indipendenti l’una dall’altra, la dimensione dello spazio vettoriale in questo problema è pari a 9. Se usiamo un numero addizionale di funzioni simili, poiché per un sottoindice N massimo abbiamo 2N + 1 vettori linearmente indipendenti (funzioni) la dimensione dello spazio vettoriale sarà uguale a 2N + 1.

Se abbiamo una funzione ψ espandibile su una rappresentazione in serie ortogonali come nel caso della serie di Fourier, in cui la funzione periodica in fase di espansione è uguale alla somma di un infinitamente grande quantità delle ampiezze di una frequenza fondamentale e la sua armoniche, possiamo selezionare una delle componenti della serie (ψ i ) in particolare prendendo il prodotto interno come segue:

L’espansione di una ψ funzione in una serie infinita di componenti ψ i separati l’uno dall’altro con le componenti u i prese da una base ortonormale è rappresentata come segue:

Nella notazione bra-ket abbiamo anche operatori. Di norma, un operatore O agisce su un ket posto alla sua destra. Nella meccanica delle matrici l’operatore è solitamente una matrice che agisce su un vettore u :

mentre nella meccanica ondulatoria l’operatore può essere un operatore differenziale che agisce su una funzione d’onda ψ:

Un operatore, dopo aver agito su un ket, di solito produce un altro ket, che può essere utilizzato per formare successivamente un prodotto con un bra:

In meccanica ondulatoria abbiamo visto che una quantità osservabile come l’energia che può essere rappresentata come un operatore che agisce su una funzione d’onda e che restituisce la funzione d’onda moltiplicato per una quantità λ che è a sua volta il autovalore da misurare in laboratorio relativo a tale osservabile:

ψ essendo l’ autofunzione dell’onda associata all’autovalore. Con la notazione bra-ket, la rappresentazione di qualcosa di simile viene eseguita usando i kets su cui agisce l’operatore che li ha preceduti:

Quindi un’equazione di autenticità è scritta come segue:

In un sistema con stati collegati, ci saranno determinati kets di particolare importanza, gli eigenkets del sistema, che possiamo denotare come:

con la proprietà che:

dove a , b , c , … sono numeri semplici (le quantità osservabili da misurare con qualche strumento). L’insieme di numeri:

è l’insieme degli autovalori dell’operatore.

Avendo visto che c’è una dualità importante tra bra e kets, questo suggerisce che un operatore non solo dovrebbe essere in grado di agire sui kets, ma dovrebbe anche essere in grado di agire sui bra, che risulta essere vero qui, tranne che per un operatore può agire su un bra deve farlo sul bra che si trova immediatamente alla sua sinistra .

Un operatore agisce sempre sul ket che si trova alla sua destra , e il prodotto risultante è un altro ket:

Un operatore agisce sempre sul bra che si trova alla sua sinistra e il prodotto risultante è un altro bra:

Adattarsi a questa nuova simbologia richiede una certa pratica, nello stesso modo in cui una persona che è stata abituata a scrivere con la mano destra per tutta la vita non inizierà necessariamente a scrivere con la mano sinistra con la stessa facilità. L’equazione agli autovalori in cui un bra è usato al posto di un ket è la seguente:

Questo dettaglio ci consente di realizzare in modo semplice alcune dimostrazioni che altrimenti ci confonderebbero facilmente poiché i dettagli vengono oscurati dalla notazione.

Se l’operatore O è una matrice e se ciò che vogliamo fare è selezionare una determinata componente della matrice, lo facciamo prendendo il prodotto della matrice tripla mostrato di seguito:

In questa rappresentazione, il bra è usato per simboleggiare un vettore di riga u i e il ket per simboleggiare un vettore di colonna u j . Il prodotto matrice di O con u j selezioniamo una colonna completa della matrice O, colonna j, mentre il prodotto successivo di u i con O selezioniamo l’elemento situato nella riga i del vettore colonna ottenuto dall’operazione precedente, dando così l’elemento O ij della matrice O .

PROBLEMA : Definire il bra  e il ket richiesto per selezionare la seguente matrice:

l’elemento situato nella seconda riga e nella terza colonna .

L’elemento situato nella seconda riga e nella terza colonna è il numero 2. Possiamo estrarlo nel modo seguente con il prodotto a matrice tripla mostrato:

La moltiplicazione della seconda matrice con la terza matrice produrrà un vettore colonna i cui elementi saranno tutti gli elementi della terza colonna della seconda matrice, tra cui il numero 2 che vogliamo selezionare. E la moltiplicazione della prima matrice mediante la matrice risultante dall’operazione precedente produrrà una matrice di un singolo elemento, che è il numero 2. Quindi i bra e i ket richiesti per l’estrazione sono i seguenti:

Nelle espressioni mostrate di seguito:

abbiamo un operatore di matrice X a cui, con l’espressione nella prima riga, viene selezionato l’elemento situato nella prima riga e la prima colonna della matrice, nella seconda riga l’elemento si trova nella seconda riga e nella seconda colonna della matrice, nella terza riga abbiamo l’elemento situato nella terza riga e nella terza colonna della matrice, e così via. Poiché, per definizione, la somma degli elementi di una matrice situata lungo la sua diagonale principale è definita come la traccia della matrice, questo ci consente di definire la traccia di un operatore nel modo seguente:

Nella notazione delle parentesi, rappresentiamo un’espansione di Fourier (su qualsiasi base delle funzioni ortonormali, non necessariamente trigonometrica) come segue:

PROBLEMA : Quando il commutatore di due operatori è uguale a zero, ci sono osservabili compatibili che possono essere misurati simultaneamente senza limiti teorici di precisione delle misure simultanee che vengono eseguite. Supponiamo di avere due osservabili compatibili i cui operatori associati sono B , e supponiamo che gli autovalori di non siano degeneri, formando una matrice diagonale. Dimostrare che anche gli elementi della matrice dell’operatore sono tutti diagonali (cioè, la matrice associata all’operatore sarà anche una matrice diagonale).

La condizione di Born per due osservabili compatibili è la seguente:

“Incapsulando” entrambi i lati del commutatore tra un bra e un ket, abbiamo quindi il seguente sviluppo:

Si noti che nella sesta linea di sviluppo, mentre nel secondo termine l’operatore A è stato fatto per agire sul ket che è alla sua destra restituendo il ket e l’autovalore a (un numero) a cui è associato il ket, il primo termine è stato fatto per agire sull’operatore sul bra che è a sinistra restituendoci un ket e l’autovalore b con cui è associato il ket. Dalla settima linea possiamo vedere quello per  ≠  b L’unico modo in cui l’espressione ottenuta può essere vera sarà:

che è la proprietà principale di una matrice diagonale. E per  =  b, l’espressione sarà valida anche se nessuno degli elementi dell’operatore B è uguale a zero. Quindi la matrice B è una matrice diagonale. Questo riflette qualcosa che avevamo visto prima: se due matrici commutano (in generale, tralasciando i casi banali) entrambe le matrici devono essere diagonali, oppure devono essere diagonalizzate simultaneamente.

Ora, quando si agisce con un operatore O su un ket si ottiene una funzione che può essere espansa in una serie finita o infinita di funzioni di base ortonormali, la notazione bra-ket che consente all’operatore O nella sommatoria di agire direttamente sulle funzioni base usato per l’espansione di una funzione ψ:

Possiamo fare operazioni con bra e kets facendo le sostituzioni necessarie, come ad esempio applicare un bra alla precedente espansione di Fourier per ottenere quanto segue:

Supponiamo ora che abbiamo un set di funzioni ψ j  ortonormale e completo accertandosi che rientra nella definizione di ortonormalità:

Poiché ψ j formano un insieme completo, qualsiasi funzione d’onda ammissibile ψ può essere espansa (espansione di Fourier) su detto insieme di funzioni ortonormali:

Allo stesso modo:

Supponiamo ora un operatore Q che agisca su tale funzione d’onda:

Moltiplicando entrambi i membri per il complesso coniugato ψ * di ψ k e integrando soprattutto lo spazio:

Nell’espressione che abbiamo sul lato destro dell’uguaglianza, possiamo estrapolare il simbolo della somma dall’integrale, poiché in generale i segni dell’integrazione e della somma sono intercambiabili, così come le costanti a ‘ j :

Ma ciò che abbiamo sul lato destro dell’eguaglianza è già stato definito come qualcosa che soddisfa la condizione dell’ortonormalità perché è l’insieme di funzioni ψ j che soddisfa la definizione di ortonormalità, cioè:

Si noti che nel passaggio intermedio è stata applicata la proprietà della delta di Kronecker, che elimina tutti i termini della sommatoria eccetto quel termine per il quale j  =  k. Quindi questo ci riporta alla nostra relazione iniziale:

Possiamo compattarlo usando la notazione della parentesi di Dirac quindi:

Si noti che nella seconda riga il prodotto bra-ket è stato sostituito da Q kj , definito come un elemento matrice dell’operatore Q:

Nella notazione matriciale  ciò che abbiamo ottenuto possiamo riscriverlo nel seguente modo:

Qa = a ‘

Abbiamo smesso di lavorare con la meccanica ondulatoria e stiamo già lavorando pienamente con la meccanica matriciale? Non esattamente, perché quando si parla di un elemento di matrice Q kj dell’operatore Q stiamo parlando di un operatore Q che non è necessariamente una matrice convenzionale. L’elemento Q kj dell’operatore Q, nello sviluppo utilizzato per ottenerlo, non dipende da altre matrici o vettori ma dalle funzioni d’onda che non sono certamente matrici. In ogni caso, la potenza della notazione di Dirac è che i risultati ottenuti attraverso di essa possono essere estesi a entrambi i meccanismi della meccanica delle matrici e ondulatoria senza alcun cambiamento, il che conferma ancora una volta il fatto innegabile che entrambi i rami della meccanica quantistica usano diverse tecniche matematiche in background riflette la stessa filosofia strutturale, perché se così non fosse la  meccanica delle matrici e la meccanica ondulatoria predirebbero risultati diversi per lo stesso esperimento, che sarebbe una vera calamità per coloro che credono nell’unificazione teorica della fisica.

Dato che bra e kets non sono operatori, è chiaro che se due ket vengono scritti in successione uno dopo l’altro all’interno di un’espressione possono essere scambiati di posizione senza che ciò si traduca in conseguenze importanti, un fatto che può essere utilizzato vantaggiosamente nella semplificazione delle espressioni. Possiamo chiamare questa proprietà la commutatività dei kets:

Similmente  se due bra sono scritti in successione uno dopo l’altro all’interno di un’espressione, possono scambiarsi posizione senza che ciò comporti gravi conseguenze, un fatto che può essere utilizzato vantaggiosamente nel semplificare espressioni. Possiamo chiamare questa proprietà la commutatività dei bra:

A rigor di termini, due ket in successione uno dopo l’altro rappresentano una circostanza che potremmo considerare non legale, come due bra in successione uno dopo l’altro. Tuttavia, questa è una situazione che può sorgere (e in effetti si pone) in una fase intermedia di alcuni sviluppi che stiamo portando avanti. Se il lettore prova un certo disagio con quello che abbiamo detto è possibile aggiungere delle parentesi per restituire una “legalità” espressiva:

Ora, se formiamo un prodotto matrice con un bra a sinistra e un ket a destra, abbiamo già visto che otterremo un numero come risultato di quel prodotto interno. Ma se formiamo un prodotto con un ket messo a sinistra e un bra messo a destra  allora il risultato di quell’operazione sarà indubbiamente una matrice. Se questi vettori sono usati per formare una matrice, sarà ortonormale e il risultato è senza dubbio la matrice identità I . È consuetudine rappresentarlo nel modo seguente:

Se stiamo pensando alla u k come vettori ortonormali, la seconda forse può sembrare un po ‘sconcertante, dal momento che a quanto pare abbiamo il numero 1 invece che la matrice identità di sinistra io , mentre sul lato sinistro abbiamo una sommatoria. È in questi casi in cui, all’interno di Matrix Mechanics, si comprende che l’1 rappresenta effettivamente la matrice di identità (qualcosa che purtroppo molti testi non chiariscono). E la sommatoria sul lato sinistro è il risultato logico della somma dei vettori per formare una matrice. In ogni caso, all’interno di Wave Mechanics , l’1 non rappresenta la matrice di identità ma è in realtà il numero 1.

PROBLEMA: Dimostra che:

Espandendo la sommatoria, vediamo che dobbiamo valutare quanto segue:

Prendendo i vettori di base:

1 = (1, 0, 0)

2 = (0, 1, 0)

3 = (0, 0, 1)

iniziamo scrivendo u 1 in notazione ket come vettore colonna e in notazione bra come vettore riga:

Così, il bra si può prendere come matrice 3×1 e il ket lo possiamo prendere come matrice 1×3 , secondo le regole di moltiplicazione per matrici nell’ordine KET-BRA il numero di colonne corrispondenti ai KET (che è 1) uguale al numero di righe corrispondenti al bra (che sarà 1), il cui risultato è una matrice 3×3 . In questo modo, il prodotto di entrambi nell’ordine del ket-bra genera la seguente matrice:

Ora scriviamo u 2 in notazione ket come vettore colonna e in notazione bra come vettore riga:

In questo caso, il prodotto di entrambi nell’ordine del ket-bra genera la seguente matrice:

Infine, si scrive u 3 in ket notazione come vettore colonna e notazione bra come vettore riga:

In questo caso, il prodotto di entrambi nell’ordine del ket-bra genera la seguente matrice:

Dobbiamo solo eseguire la somma dei termini per ottenere il risultato finale:

Deve essere chiaro che questo risultato sarà valido sia per uno spazio vettoriale finito sia per uno spazio vettoriale infinito, purché le funzioni di base rimangano ortonormali.

PROBLEMA : supponiamo che l’operatore di energia Hamiltoniana di un sistema a due stati sia definito come segue:

dove ξ è una costante con unità di energia. Trova per questo sistema gli autovalori della sua energia così come le autofunzioni che corrispondono a questi valori espressi come una combinazione lineare dei kets | 1 > e | 2 > .

Iniziamo semplificando un po ‘l’espressione fornita per l’Hamiltoniana:

Definiremo ora la base ket come segue:

Così definiti i ket di base, quindi i bra che sono duali a questi kets saranno logicamente:

Quello che c’è tra le parentesi nell’espressione per l’Hamiltoniana è semplicemente la somma di quattro prodotti esterni, che, valutati come abbiamo visto prima, ci danno la seguente espressione:

L’equazione essenziale, cioè l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, corregge l’equivoco dell’hamiltoniano nel modo seguente:

Poiché stiamo considerando che si tratta di un sistema a due stati, possiamo rappresentare la funzione d’onda come:

L’equazione matriciale agli autovalori può essere scritta come segue:

Mettendo insieme nell’equazione sopra, arriviamo al seguente determinante:

La soluzione del determinante ci porta agli autovalori che sono possibili per questo sistema a due stati:

Ripetendo meccanicamente gli stessi passi che abbiamo fatto all’inizio di questo lavoro nelle in”Vettori e matrici”, arriviamo alla seguente soluzione per l’autovalore con un segno positivo:

Osservare come, per mantenere la consistenza nella notazione, la funzione d’onda (evidenziata con il colore magenta) è stata rappresentata come una ket . Questa funzione d’onda non è normalizzata. Normalizzando nel solito modo, otteniamo:

Per quanto riguarda la soluzione per l’autovalore con un segno negativo, abbiamo:

che una volta standardizzato è ancora:

In questo modo, le equazioni agli autovalori per questo sistema a due stati, nella notazione delle parentesi, sono le seguenti:

Riflettendo sul fatto che nell’algebra della parentesi si lavora con operatori che possono rappresentare matrici, forse ciò che può essere considerata come la proprietà più importante delle operazioni di matrice, l’ assioma associativo della moltiplicazione, appare anche quando si eseguono le operazioni ” moltiplicazione all’interno del bra-ket:

A · B ) · C = A · ( B · C )

Ciò significa che il seguente prodotto, che rappresenta un operatore che agisce su un ket:

può essere considerato uguale al seguente dopo un riarrangiamento delle parentesi secondo l’assioma associativo della moltiplicazione:

perché:

Con ciò confermiamo che un operatore che agisce su un ket sarà uguale ad un altro ket (senza tener conto della costante numerica moltiplicativa che appare come risultato dell’operazione). Ciò significa che, se omettiamo le parentesi, possiamo interpretare la seguente espressione:

in due modi, o come operatore | α > < β | agendo sul ket | γ > , o equivalentemente come il numero < β | γ > moltiplicando il ket | α > . Sebbene ciò possa sembrare ambiguo, in realtà la situazione non è così grave come sembra, poiché questo semplice fatto consente di effettuare semplificazioni abbreviate.

Poiché la moltiplicazione di un vettore (o matrice) dalla matrice identità ci restituisce lo stesso vettore (o la stessa matrice) senza alterare nulla quello che abbiamo avuto, questo può essere vantaggiosamente utilizzato per i simboli di un prodotto interno bra-ket ci consente un ulteriore sviluppo, come mostrato dal seguente esempio in cui abbiamo il prodotto di due operatori O e P all’interno di un prodotto interno bra-ket:

Si noti che ogni volta che un prodotto di parentesi viene innestato (in questo ordine) utilizzando funzioni di base standardizzate, è necessario anche precedere una somma per ciascun prodotto. Se avessimo inserito due prodotti bra-ket usando funzioni base standard, avremmo dovuto precedere tutto con due sommatorie e così via. Quello che abbiamo in giallo è qualcosa che abbiamo inserito nel prodotto interno originale, ed essendo l’unità, non dovremmo cambiare nulla di ciò che otteniamo in seguito. Ma osservando più da vicino, possiamo vedere che avendo fatto l’operazione che abbiamo fatto essenzialmente abbiamo due nuove operazioni all’interno della somma; uno di questi selezioniamo l’elemento O ik dell’operatore matrice O, mentre quello che segue preleva l’elemento P kj dall’operatore di matrice P , come abbiamo visto sopra.

Se con le operazioni definite sopra selezioniamo un elemento ( O † ) ij dal transconiugato di una matrice O, allora questo può essere rappresentato nella prima riga del seguente sviluppo come mostrato di seguito:

Si noti che nella seconda linea di sviluppo abbiamo usato la proprietà di cui la matrice è essenzialmente una matrice hermitiana O, piuttosto, un operatore Hermitiano . Nella terza riga, abbiamo invertito l’ordine dei bra e dei kets, prendendo allo stesso tempo il complesso coniugato dell’elemento. E nella quarta linea, quello che abbiamo è il complesso coniugato della trasposta della matrice O, che è essenzialmente la definizione di una matrice Hermitiana.

La notazione delle parentesi di Dirac, oltre ad essere elegante, è estremamente versatile, permettendoci di esprimere in una forma compatta situazioni che con le parole ci richiederebbero una vita e la definizione può essere estesa per comprendere non solo una funzione d’onda per una particella ma anche due o di più particelle, come mostra il seguente esempio:

dove viene eseguita la valutazione di una aspettativa matematica tra due stati, il primo stato è il prodotto di due funzioni d’onda A e B assegnate rispettivamente alla particella 1 e alla particella 2, e il secondo stato è il prodotto delle stesse due funzioni d’onda A e B ma assegnate rispettivamente alla particella 2 e alla particella 1. Come dovrebbe essere basato dalla definizione per gli integrali multipli rappresentati da questa espressione di bra-ket dobbiamo prendere il complesso coniugato di ciò che viene messo sul lato del bra, in questo caso φ (1) φ (2) .

PROBLEMA :Si consideri il caso di una particella in una scatola confinata per muoversi in moto unidimensionale all’interno di una scatola di lunghezza L. Supponiamo che la particella sia inizialmente nello stato fondamentale. Improvvisamente, una delle pareti viene spostata verso l’esterno, dando alla lunghezza della scatola una dimensione pari a 3L. Qual è la probabilità che la particella si trovi nello stato fondamentale nella nuova configurazione?

Identificare la funzione d’onda di una particella in una scatola di lunghezza L nello stato fondamentale come ψ (L) e la funzione d’onda di una particella in una scatola di lunghezza 3L nello stato fondamentale come ψ (3L), la probabilità che la particella rimanga nello stato fondamentale nella nuova casella dopo aver avuto lo stesso stato precedente è data da:

Le funzioni d’onda per una particella racchiusa in una scatola che si muovono in moto unidimensionale nello stato fondamentale in entrambi i casi di una scatola di lunghezza L e una di lunghezza 3L saranno:

Prendendo il prodotto interno di entrambe le funzioni lungo la lunghezza iniziale L della scatola:

Semplificando e tirando fuori dall’integrale le costanti:

Per valutare l’integrale, useremo la seguente identità trigonometrica:

Eseguendo l’integrazione, prendendo i limiti e valutando, abbiamo quindi le seguenti caratteristiche per il prodotto interno delle due funzioni d’onda:

Il quadrato di questo importo sarà quindi la probabilità che stiamo cercando:

La valutazione numerica di questa probabilità ci dà un valore di 0,1282, o una probabilità del 12,82%.

Licenza Creative Commons  Questo lavoro è concesso in licenza in base a una licenza internazionale Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 .