La sequenza di Fibonacci

Il matematico italiano Leonardo da Pisa detto Fibonacci Con il suo Liber Abaci (1202), fu uno dei primi studiosi a introdurre nel mondo occidentale il sistema numerico decimale (chiamato nel libro “modus indorum”, dato che fu utilizzato originariamente da matematici indiani). Oltre ad aver contribuito a questo fondamentale cambiamento nella storia della Matematica, in questo corposo trattato di aritmetica vengono studiate le proprietà delle quattro operazioni e alcune caratteristiche di numeri “particolari”, come i numeri perfetti o i numeri primi. Nel dodicesimo capitolo, Fibonacci introduce inoltre un metodo per ricavare una successione numerica: in seguito, questa successione verrà ricordata proprio con il nome di successione di Fibonacci. La sequenza di Fibonacci è la serie di numeri:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Il prossimo numero si trova sommando i due numeri precedenti.

  • Il 2 viene trovato aggiungendo i due numeri precedenti (1 + 1)
  • Il 3 si trova aggiungendo i due numeri precedenti (1 + 2),
  • E il 5 è (2 + 3),
  • e così via!

Esempio: il numero successivo nella sequenza sopra è 21 + 34 = 55

Ecco una lista più lunga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

Facciamo una spirale

Quando creiamo quadrati con queste larghezze, otteniamo una bella spirale:

Fibonacci Spiral

I quadrati si allineano perfettamente.
Ad esempio 5 e 8 fanno 13, 8 e 13 fanno 21, e così via.

La regola

La Sequenza di Fibonacci può essere scritta come una “Regola”. Innanzitutto i termini sono numerati da 0 in poi in questo modo:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
n = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Quindi il termine numero 6 è chiamato 6 (che equivale a 8).

Esempio: l’ ottavo termine è
il settimo termine più il sesto termine:

8 = x 7 + x 6

regola fibonacci x_8=x_7 + x_6

Quindi possiamo scrivere la regola:

La regola è n = x n-1 + x n-2

dove:

  • n è il numero di termine “n”
  • n-1 è il termine precedente (n-1)
  • n-2 è il termine precedente (n-2)

Esempio: il termine 9 è calcolato in questo modo:

9= x 9-1 + x 9-2
 = x 8 + x 7
 = 21 + 13
 = 34

Rapporto aureo

rettangolo d'oro

E qui c’è una sorpresa. Quando prendiamo due numeri Fibonacci successivi (uno dopo l’altro), il loro rapporto è molto vicino al rapporto aureo ” φ ” che è approssimativamente 1.618034 … Infatti, più grande è la coppia di numeri di Fibonacci, più vicina è l’approssimazione. Proviamo alcuni:

UN
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1,666,666666 millions …
5
8
1.6
8
13
1.625
144
233
1,618,055556 millions …
233
377
1,618,025751 millions …

Nota: questo funziona anche quando selezioniamo due numeri interi casuali per iniziare la sequenza, come 192 e 16 (otteniamo la sequenza 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984 , 19392, 31376, … ):

UN
B
B / A
192
16
0.08333333 …
16
208
13
208
224
1.07692308 …
224
432
1.92857143 …
7408
11984
1.61771058 …
11984
19392
1.61815754 …

Ci vuole più tempo per ottenere buoni valori, ma dimostra che non solo la Sequenza di Fibonacci può farlo

Utilizzando il Golden Ratio per calcolare i numeri di Fibonacci

E ancora più sorprendente è che possiamo calcolare qualsiasi numero di Fibonacci usando il rapporto aureo:

formula di fibonacci phi

La risposta viene sempre fuori come un numero intero , esattamente uguale all’aggiunta dei due termini precedenti.

Esempio:

formula di fibonacci phi 6

La successione ottenuta considerando la somma dei termini presenti su ciascuna “diagonale” del triangolo di Tartaglia corrisponde proprio alla successione di Fibonacci.

tartagliawiki.png

Illustrazione dei numeri di Fibonacci come somme delle diagonali del triangolo di Pascal.

Alcune cose interessanti

Ecco di nuovo la sequenza di Fibonacci:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n= 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

C’è un modello interessante:

  • Guarda il numero 3 = 2 . Ogni 3 ° numero è un multiplo di 2 (2, 8, 34, 144, 610, …)
  • Guarda il numero 4 = 3 . Ogni 4 ° numero è un multiplo di 3 (3, 21, 144, …)
  • Guarda il numero 5 = 5 . Ogni 5 ° numero è un multiplo di 5 (5, 55, 610, …)

E così via (ogni n numero è un multiplo di n ).

1/89 = 0,011235955056179775 …

Si noti che le prime cifre (0,1,1,2,3,5) sono la sequenza di Fibonacci? In un certo modo sono tutti , tranne i numeri a più cifre (13, 21, ecc.) Che si sovrappongono , come questo:

0.0
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
,000,000021 millions
0,011235955056179775 …   = 1/89

 

Termini sotto zero

Anche la sequenza funziona sotto lo zero, in questo modo:

n = -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n = -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8

(Ogni numero si trova sommando i due numeri prima)

Infatti la sequenza sotto zero ha gli stessi numeri della sequenza sopra lo zero, eccetto che seguono un modello + – + – …. Può essere scritto così:

-n = (-1) n + 1 n

Il che dice che il termine “-n” è uguale a (-1) n + 1 volte il termine “n”, e il valore (-1) n + 1rende esattamente il corretto 1, -1,1, -1, .. modello.

In questa presentazione, illustro la serie di Fibonacci e mostro come questa strana sequenza di numeri abbia un legame profondo con tutto ciò che esiste. Video di Alessandro Gelain Pubblicato il 15 feb 2017

Storia e bibliografia

Fibonacci non fu il primo a sapere della sequenza, era conosciuto in India centinaia di anni prima

ritratto di fibonacci

Il suo vero nome era Leonardo Pisano Bogollo, e visse tra il 1170 e il 1250 in Italia. “Fibonacci” era il suo soprannome, che significa grosso modo “Figlio di Bonacci”. Oltre ad essere famoso per la sequenza di Fibonacci, ha contribuito a diffondere i numeri indù-arabi (come i nostri numeri attuali 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 con l’introduzione dello zero) attraverso l’Europa al posto dei numeri romani ( I, II, III, IV, V ….).  Assieme al padre Guglielmo dei Bonacci (l’appellativo “Fibonacci” deriva da filius Bonacci), facoltoso mercante pisano e rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa (publicus scriba pro pisanis mercatoribus) nella zona di Bugia in Cabilia (regione dell’odierna Algeria), passò alcuni anni in quella città, dove studiò i procedimenti aritmetici che studiosi musulmani stavano diffondendo nelle varie parti del mondo arabo. Qui ebbe anche precoci contatti con il mondo dei mercanti e apprese tecniche matematiche sconosciute in Occidente. Alcuni di tali procedimenti erano stati introdotti per la prima volta dagli indiani, portatori di una cultura molto diversa da quella mediterranea. Proprio per perfezionare queste conoscenze Fibonacci viaggiò molto, arrivando a Costantinopoli, alternando il commercio con gli studi matematici.

Molto dovette ai trattati di Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu Kamil e ai maestri arabi, senza però essere mero diffusore della loro opera. Ritornato in Italia, la sua notorietà giunse anche alla corte dell’imperatore Federico II, soprattutto dopo aver risolto alcuni problemi del matematico di corte. Per questo motivo gli fu assegnato un vitalizio che gli permise di dedicarsi completamente ai suoi studi, che potrebbero aver ispirato il disegno architettonico della porta di Capua ovvero quello del federiciano Castel del Monte.

A partire dal 1228 non si hanno più notizie del matematico, tranne per quanto concerne il Decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di “Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo“. Fibonacci morì qualche anno dopo presumibilmente a Pisa.

350px-Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg

Un foglio del manoscritto su pergamena del Liber abbaciconservato nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (Codice magliabechiano Conv. Soppr. C 1, 2616, fol. 124r), contenente nel riquadro a destra le prime tredici cifre, in numeri arabi, della cosiddetta “successione di Fibonacci”.
Referenze 
[2]  Ernst Kantorowicz, Federico I l’imperatore, Milano, 1976, tav 3.
[3] Giuseppe Fallacara, Ubaldo Occhinegro, Manoscritto Voynich e Castel del Monte: Nuova chiave interpretativa, Gangheri Editore, 2015.
[4] Crediti immagibi Rabbit Icon: created by Dream Icons from the Noun Project
“PascalTriangleFibanacci” by RDBury – Own work.  Licensed under CC BY-SA 3.0 via WikimediaCommons  http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PascalTriangleFibanacci.svg#/media/File:PascalTriangleFibanacci.svg