Cosa significa spazio piatto?

Si sente parlare di terra piatta … universo piatto … vediamo di cosa si tratta. Localmente la geometria dell’universo sarebbe piatta, cioè con curvatura nulla, oppure aperta, con curvatura leggermente negativa. Il risultato di  un nuovo lavoro teorico, basato sulle ultime misurazioni del satellite Planck, che studia le anomalie di temperatura della radiazione cosmica di fondo. Queste anomalie sarebbero da collegare alle fluttuazioni quantistiche della radiazione che permeava l’universo pochi istanti dopo il big bang e anche alla densità della materia dell’universo, il cui valore è intrinsecamente correlato alla curvatura dello spazio e alla sua geometria, secondo le leggi stabilite dalla teoria della relatività generale.

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Piatta, forse leggermente aperta, con una forma simile a quella di una sella: forse è così la geometria del nostro universo, secondo un nuovo studio apparso sulla rivista “Physical Review Letters” a firma di Andrew R. Liddle dell’Istituto di Astronomia dell’Università di Edinburgo a Blackford Hill, nel Regno Unito, e Marina Cortês, del Centro di astronomia e astrofisica dell’Università di Lisbona, in Portogallo. I due ricercatori sono arrivati a questa conclusione analizzando dati della missione spaziale Planck dell’ESA, l’agenzia spaziale europea, che hanno confermato quelli registrati precedentemente dalla Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) della NASA.

Lo scopo delle due missioni è stato quello di studiare la radiazione cosmica di fondo, o CMB (cosmic microwave background), l’eco elettromagnetica nello spettro delle microonde dell’esplosione del big bang. Quando fu scoperta nel 1964, questa radiazione appariva isotropa, cioè identica in qualunque direzione dello spazio, un risultato rimasto valido per decenni, finché i progressi della tecnologia hanno permesso di rilevare anche minime variazioni nella sua temperatura, in media pari a 2,7 kelvin.

Cosa intendiamo per universo piatto?

L’universo sembra essere omogeneo e isotropico a scale più grandi di qualche centinaio di megaparsec . Esistono solo tre tipi di geometrie compatibili con questa funzione.

Analogia bidimensionale dei tre tipi di geometrie possibili per un universo omogeneo e isotropico

  • Uno spazio iperbolico o curvo negativamente dove i tre angoli di un triangolo aggiungono meno di 180º e le linee parallele divergono.
  • Uno spazio piatto o euclideo in cui le regole geometriche apprese a scuola sono soddisfatte (i tre angoli di un triangolo si sommano a 180º e le linee parallele non convergono o divergono)
  • Uno spazio ipersferico o curvo positivamente in cui gli angoli di un triangolo sono superiori a 180º e le linee parallele convergono

Da un punto di vista più pratico possiamo capire un universo piatto come quello in cui due raggi di luce che iniziano paralleli seguono sempre traiettorie parallele. In un universo ipersferico entrambi i raggi luminosi finirebbero per convergere e in un universo iperbolico diverranno alla fine.

Un avvertimento al lettore. La geometria dello spazio e la geometria dello spazio-tempo sono solitamente confuse. Quando parliamo di un universo piano ci riferiamo alla geometria dello spazio. La geometria dello spaziotempo è essenzialmente diversa da quella dello spazio. L’equivalente di uno “spaziotempo piatto” è ciò che chiamiamo uno spazio-tempo di Minkowski. Quando c’è lo spazio-tempo gravitazionale cessa di essere Minkowskiano e talvolta viene chiamato spazio-tempo curvo. La geometria dello spaziotempo di un universo omogeneo e isotropico è di quest’ultimo tipo. Diciamo che sebbene lo spazio possa essere piatto, lo spaziotempo è sempre curvo in un universo omogeneo e isotropico.

Secondo la teoria della relatività, lo spazio e il tempo formano un unico complesso con quattro dimensioni reali (detto spazio-tempo), il quale è deformato dalla presenza di massa (o di energia).

Metriche in spazi bidimensionali

Quando in uno spazio euclideo bidimensionale, come potrebbe essere un foglio di carta, calcoliamo la distanza tra due punti di coordinate cartesiane (x 0 , y 0 ) e (x 1 , y 1 ) usando il teorema di Pitagora

12 = (x 1 – x 0 ) 2 + (y 1 – y 0 ) 2

Cosa può essere espresso in modo differenziale (nel limite dei punti molto vicini) come

ds 2 = dx 2 + dy 2

Questa è la distanza euclidea o elemento di linea dello spazio euclideo. A volte è chiamato metrica , ma la metrica in senso tecnico è un oggetto matematico più astratto: un tensore.

Ovviamente, la scelta delle coordinate cartesiane è un fatto arbitrario. Potremmo aver scelto coordinate polari (r, q) in modo tale che l’elemento linea possa essere scritto nella forma

ds 2 = dr 2 + r 2q  2

C’è un modo per riconoscere che un elemento di linea espresso in qualsiasi tipo di coordinate appartiene a un particolare tipo di superficie o spazio? Cioè, c’è un modo per decidere che i due elementi precedenti appartengono a un foglio di carta (uno spazio bidimensionale piatto)? La risposta è fortunatamente un SI. Esiste una funzione K delle coordinate nota come curvatura gaussiana che può essere calcolata dall’elemento di linea e che determina la geometria locale della superficie considerata. Nel caso di un normale spazio euclideo, è vero che K = 0, ed è per questo che diciamo che è uno spazio di curvatura nulla. Ci riferiamo concretamente alla geometria locale, poiché, ad esempio, sebbene la superficie di un cilindro sia una superficie di curvatura zero (K = 0) e localmente uguale a un piano, entrambi ovviamente differiscono da un punto di vista globale (o topologico).

Vediamo cosa succede in un diverso tipo di superficie. Come possiamo, per esempio, dare una misura della lunghezza tra due punti situati su una sfera (come accade sul nostro pianeta)? Scegliamo le solite coordinate di longitudine e latitudine ( q, j ). Per due punti arbitrariamente vicini ( q, j ) e 
q  + d , j + d ) possiamo spostare in latitudine lungo un meridiano una distanza R d q   e lungo un parallelo una distanza sin   j  fino a raggiungere l’altro punto. La distanza da percorrere tra i due punti seguendo la circonferenza massima che li unisce direttamente è quindi

ds 2 = R 2 d 2 + R 2 sin 2 q 2

È il fattore sin q  è   il fare in modo diverso da una zona di un aereo. Integrando l’elemento di linea ds tra due punti separati da una distanza finita, abbiamo la lunghezza di un cerchio massimo, che rappresenta la distanza più breve tra questi due punti ( geodetica ) in una sfera. Nella figura 1 puoi vedere una geodetica che potrebbe rappresentare perfettamente la traiettoria di un aereo che vola tra due città del pianeta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1

Questo è l’elemento di linea di una sfera in appropriate coordinate sferiche. Un modo per rappresentare una sfera è attraverso una proiezione su un piano, nota come proiezione stereografica (vedi Figura 2 ), per ovvi motivi

Figura 2

Le coordinate (x, y) nel piano proiettato di un punto di coordinate sferico ( q, j ) saranno correlate come segue

x = 2 tag R ( / 2) cos j

y = 2 tag R ( / 2) sin j

L’elemento di linea della sfera in queste coordinate sarebbe quindi

ds 2 = [dx 2 + dy 2 ] [1+ (x 2 + y 2 ) / 4] -2

La proiezione stereografica rappresenta la superficie finita di una sfera su una mappa piana di dimensioni infinite. Ha l’interessante proprietà di non distorcere le figure. Pertanto, i cerchi nella sfera diventano cerchi nella mappa, e non per esempio in ellissi.

Esistono altri tipi di proiezioni ben noti in geografia. Forse il più famoso è Mercator. La proiezione di Mercatore è una proiezione cilindrica modificata in modo che sia possibile che una linea di direzione (ad esempio il Sud-Est) sia una linea retta, che ha facilitato il lavoro dei marinai quando guardavano una mappa. Conosciamo tutti l’effetto di distorsione prodotto da questo tipo di proiezione (non ci sembra così ovvio perché siamo così abituati a utilizzare le mappe nella vita quotidiana). In figura 3 è mostrato alla superficie sferica sinistro della Terra e verso destra una proiezione di Mercatore stessa.

Figura 3

In una mappa piana della superficie terrestre, le geodetiche (o cerchi massimi) sulla superficie terrestre assumono la forma che può essere vista nella figura 4 per due di esse. Ciò significa che, per esempio, un aereo che vuole viaggiare tra due punti della superficie terrestre che copre la distanza più breve possibile dovrebbe farlo seguendo una di quelle linee geodetiche, proprio come quelle rosse indicate in figura 4 .

Figura 4

Esiste un tipo di metrica di una varietà più astratta di spazio bidimensionale che ha la forma seguente nelle coordinate precedenti (x, y)

ds 2 = [dx 2 + dy 2 ] [1- (x 2 + y 2 ) / 4] -2

che differisce da quello della sfera solo nel segno che appare nel denominatore. Questo porta ad una possibile generalizzazione

ds 2 = [dx 2 + dy 2 ] [1+ k (x 2 + y 2 ) / 4] -2

 

Figura 5

dove per K = 0 viene riprodotto lo spazio euclideo piatto, per k = 1 abbiamo la sfera, e per K = -1 il tipo di spazio sopra menzionato. Per ovvie ragioni, lo spazio euclideo è chiamato spazio di curvatura zero, la sfera di curvatura positiva e gli spazi dell’ultimo tipo di curvatura negativa. Uno spazio che di solito viene messo come esempio di spazio di curvatura negativo è una sella (vedi figura 5 ).

 

 

 

 

 

 

 

Referenze

[1] Le Scienze La geometria dell’universo? Piatta o a forma di sella 28 settembre 2013

[2] Andrew R. Liddle e Marina Cortês Phys. Rev. Lett. 111, 111302 9 settembre 2013