Tutorial sulla funzione Zeta di Rienmann

In matematica pura, l’ ipotesi di Riemann, formulata per la prima volta da Bernhard Riemann nel 1859, è una congettura sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta. A causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi nell’insieme dei numeri naturali, è uno dei problemi aperti più importanti nella matematica contemporanea.

Il Clay Institute of Mathematics ha offerto un primo premio di un milione di dollari alla prima persona per sviluppare una corretta dimostrazione della congettura. La maggior parte della comunità matematica pensa che la congettura sia corretta. In un articolo di Salberg del 1989 è stato suggerito che un analogo deve essere vero per una classe di funzioni molto più ampia (classe di Selberg).
Una trama polare di zeta, cioè Re (zeta) vs. Im (zeta), lungo la linea critica s=it + 1/2, con t con valori da 0 a 34.
Una trama polare di zeta, cioè Re (zeta) vs. Im (zeta), lungo la linea critica s = it +1/2, con t con valori da 0 a 34.

Definizione

La funzione zeta di Riemann ζ ( s ) è definita nei numeri complessi come la somma di una serie infinita:

ed è convergente quando la parte reale è strettamente superiore a 1. Leonhard Euler  dimostrò che questa serie è equivalente al prodotto di Eulero :

dove il prodotto infinito estende sopra l’insieme di tutti i numeri primi p, e converge ancora per complesso s la cui parte reale è maggiore di 1. La convergenza del prodotto di Eulero mostra che ζ ( s ) non ha zeri in questa regione , poiché nessuno dei fattori ha zero. L’ipotesi di Riemann si occupa di zeri al di fuori della regione di convergenza della somma delle serie sopra descritte e del prodotto Eulero associato. Per preservare il significato di questa ipotesi è necessario prolungare analiticamente la funzione zeta di Riemann ζ ( s) in modo che abbia senso per qualsiasi valore di s. In particolare, può essere espresso attraverso la seguente equazione funzionale:

valido per tutti i numeri complessi ad eccezione di s = 1, dove la funzione ha un polo. Come affermato in precedenza, l’ipotesi di Riemann riguarda gli zeri di questa versione della funzione zeta estesa analiticamente. Ha determinati valori, chiamati “zero”, per i quali la funzione zeta viene annullata. Dall’equazione si può vedere che s = -2, s = -4, s = -6, … (tutti gli interi pari negativi) sono zeri banali. Allo stesso modo ci sono altri valori complessi s , che soddisfano la condizione 0 <Re ( s) <1, per il quale anche la funzione zeta è cancellata, sono chiamate zeri “non banali”. La congettura di Riemann fa riferimento a questi zeri non banali affermando:

La parte reale di tutto lo zero non banale della funzione zeta di Rienmann è 1/2

Perciò gli zeri non banali dovrebbero essere trovati nella linea critica s = 1/2 +. La funzione zeta di Riemann, lungo la linea critica, è stata studiata in termini di funzione Z , i cui zeri corrispondono agli zeri della funzione zeta sulla linea critica

Storia

La congettura fu menzionata da Rienmann nel 1859, che sarebbe stata chiamata l’ipotesi di Riemann, nella sua tesi di dottorato su numeri primi più piccoli di una data grandezza , sviluppando una formula esplicita per calcolare il numero di cugini inferiore a x . Poiché non era essenziale per lo scopo centrale del suo articolo, non ha tentato di dare una dimostrazione. Sapeva che non – zeri banali della funzione zeta sono distribuiti intorno alla linea di s = 1/2 + esso e che tutti i non – zeri banali dovrebbero essere nel range 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1.Nel 1896, Hadamard e de la Vallée-Poussin testati indipendentemente non nullo potrebbe essere sulla linea D ( s ) = 1. Insieme ad altre proprietà di zeri non banali dimostrate da Riemann, questo dimostra che tutti gli zeri non banali devono essere all’interno della banda critica 0 <Re ( s ) <1. Questo è stato un passo fondamentale per le prime dimostrazioni del teorema dei numeri primi .Nel 1900, Hilbert incluse l’ipotesi di Riemann nella sua famosa lista dei 23 problemi irrisolti – fa parte del problema 8 della lista di Hilbert insieme alla congettura di Goldbach . Quando gli fu chiesto cosa avrebbe fatto se si fosse svegliato dopo aver dormito cinquecento anni, Hilbert rispose che la sua prima domanda sarebbe stata se l’ipotesi di Riemann fosse stata provata. L’ipotesi di Riemann è l’unico problema di quelli proposti da Hilbert che si trova nel premio del millennio del Clay Institute of Mathematics.Nel 1914, Hardy mostrò che c’è un numero infinito di zeri sulla linea critica Re ( s ) = 1/2. Tuttavia, era ancora possibile che un numero infinito (e forse la maggior parte) degli zeri non banali potesse essere trovato da qualche altra parte sulla banda critica. In opere successive di Hardy e Littlewood nel 1921 e di Selberg nel 1942, furono fornite stime per la densità media di zeri sulla linea critica.I lavori recenti si sono concentrati sul calcolo esplicito della posizione di un gran numero di zeri (nella speranza di trovare qualche controesempio) e sull’istituzione di livelli più alti nella proporzione di zeri che potrebbero essere lontani dalla linea critica (con la speranza per ridurli a zero).

L’ipotesi di Rienmann e i numeri primi

La formulazione tradizionale dell’ipotesi di Riemann oscura in qualche modo la reale importanza della congettura. La funzione zeta di Riemann ha una profonda connessione con i numeri primi e Helge von Koch ha dimostrato nel 1901 che l’ipotesi di Riemann è equivalente alla notevole raffinatezza del teorema dei numeri primi: esiste una costante C> 0 tale che

per tutti x sufficientemente grande, dove π ( x ) è la funzione di conteggio dei primi e ln ( x ) è il logaritmo naturale di x . Lowell Schoenfeld ha dimostrato che è possibile prendere C = 1 / (8 π) per tutti x ≥ 2657.

Gli zeri della funzione zeta e i numeri primi soddisfano certe proprietà della dualità, note come formule esplicite, che mostrano, utilizzando l’analisi di Fourier , che gli zeri della funzione zeta di Riemann possono essere interpretati come frequenze armoniche nella distribuzione dei numeri primi .

Inoltre, se la congettura di Hilbert-Polya è vera, allora ogni operatore che ci dà le parti immaginarie degli zeri come valori propri deve soddisfare:

dove tr è la traccia dell’operatore (somma dei suoi autovalori), è un numero immaginario ed è la funzione di Chebyshov che aggiunge il log (x) ai numeri primi e ai loro interi poteri, questa è una conclusione della formula esplicito “di V. Mangoldt. Diversi operatori proposti da C. Perelman , J. Macheca e J. García sembrano corroborare i risultati della congettura di Hilbert sull’operatore, riproducendo la parte immaginaria degli zeri. 

Calcolo numerico

Valore assoluto della funzione ζ.
 Valore assoluto della funzione ζ.
  • Nel 2004 Xavier Gourdon verificò la congettura di Riemann numericamente durante i primi dieci trilioni di zeri non banali della funzione. Comunque questa non è propriamente una dimostrazione, numericamente è più interessante trovare un controesempio, cioè un valore di zero che non rispetti il ​​fatto che la sua parte reale è 1/2, poiché ciò invaliderebbe la validità della congettura.
  • Fino al 2005, il tentativo più serio di esplorare gli zeri della funzione è ZetaGrid, un progetto di calcolo distribuito con la possibilità di verificare miliardi di zeri al giorno. Il progetto si è concluso nel dicembre 2005 e nessuno degli zeri poteva essere identificato come un contro-esempio dell’ipotesi di Riemann.
La funzione Zeta Riemann è uno degli oggetti della matematica moderna che, nonostante sia ampiamente diffusa, può essere davvero difficile da capire.

Molte persone conoscono questa funzione perché c’è un premio di un milione di dollari per chiunque scopra in quali circostanze questo è uguale a zero. La soluzione a questo approccio rimane un problema aperto chiamato Ipotesi di Riemann. Alcune persone hanno anche sentito parlare di questa funzione nel contesto in cui la somma divergente 1 + 2 + 3 + 4 … è pari a -1/12, che sembra essere priva di significato o completamente sbagliata. Questo risultato assurdo e molti altri risultati controversi sono raggiunti attraverso “Estensione analitica”, ovvero utilizzando valori complessi per estendere i loro possibili risultati. In questo articolo ci concentreremo a mostrare come vengono viste alcune descrizioni grafiche di questa funzione, oltre a spiegare l’idea alla base del processo di estensione analitica in modo visivo e intuitivo.

Per comprendere questo contenuto, assumeremo che sia noto in precedenza su:

  1. Quali sono i numeri complessi?
  2. Come lavorare con numeri complessi.
  3. Derivati ​​(facoltativo).

Iniziamo definendo che la funzione Zeta Riemann è, per qualsiasi valore di sin ζ ( s ), la seguente :

Cioè, ζ ( s ) è la somma di n = 1 all’infinito di 1 / nˢ

Per osservare un esempio, diciamo che s ha un valore di due . Avremmo che la funzione zeta sarebbe la somma di 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 all’infinito. Quando aggiungiamo termini, il valore che aggiungiamo è più volte più piccolo del precedente, quindi la somma converge in un numero. In questo caso si avvicina a π² / 6 – intorno a 1,645:

Possiamo fare lo stesso per altri valori di s, ad esempio:

 

Il comportamento di questa funzione sembra essere abbastanza ragionevole. Somme di frazioni infinite che sono sempre più piccole finché alla fine non riescono a fare cambiamenti significativi nel valore finale. Allora, com’è che ci sono quelli che dicono che ζ (-1) è uguale al famigerato -1/12? Se vediamo questo come una somma di frazioni, non ha senso. Quando aumenti ogni denominatore a -1, ogni frazione viene capovolta, in modo da ottenere una somma di valori positivi:

Ovviamente non ha alcuna approssimazione, e se lo è, non può essere -1/12.

Oltre a ciò, quando procediamo ad investigare sulla funzione Zeta di Riemann, otteniamo che – assumiamo – che risulti in zero di forme banali quando s è uguale a qualsiasi numero di coppia negativo ( ζ ( -2n ) = 0), anche questo non sembra avere senso. Ad esempio, se consideriamo ζ (-2), il risultato dovrebbe essere positivo e infinitamente lontano da zero:

Si scopre che la funzione Zeta non converge in valori inferiori o uguali a 1, quindi ignoriamoli per il momento. Continuiamo quindi a lavorare con s solo fino a quando è maggiore di 1, e diciamo semplicemente che la funzione non è definita per altri valori.

Bernard Riemann, 1863

Bernard Riemann, oltre ad essere famoso per la funzione Zeta, era il padre di analisi complesse , cioè lo studio di funzioni che lavorano con numeri complessi e risultano in numeri complessi. Il suo obiettivo principale sulla funzione Zeta era capire i possibili risultati quando i valori di input avevano una parte reale e una parte immaginaria. Ad esempio, invece di dire che s = 2, cosa succederebbe se s = 2 + i?

Se non hai mai dovuto elevare un numero alla potenza di un valore complesso, può essere estremamente strano, perché la base non può essere moltiplicata da sola tante volte quante l’esponente dice. Ma i matematici hanno trovato un modo molto naturale di estendere la definizione di esponenti oltre il territorio familiare dei numeri reali al regno di valori complessi. L’idea è che, elevando un numero a un valore complesso, il calcolo è diviso in due parti: una con la base elevata al valore reale e un’altra con la base elevata al valore complesso.

La parte reale è facile da capire, ma cosa succede quando elevi qualcosa ad un numero puramente immaginario? Il risultato sarà un numero complesso all’interno del cerchio unitario

Il valore risultante attraversa la circonferenza più velocemente quando la base è più lontana da 1. Pertanto, una base di 1/9 percorre il cerchio più velocemente di una base di 1/2. Il problema con l’innalzamento di una base pari a 1/2 all’esponente 2 + i, è che mentre la parte reale (1/2) ² si troverà sulla linea orizzontale con un valore di 0,25, la parte immaginaria (1/2) ⁱ va essere nel cerchio unitario con un valore assoluto di | 1 |. Il suo effetto è semplicemente la rotazione della parte reale nel piano immaginario.

Con questa informazione, possiamo pensare a un modo di lavorare con la funzione Z per valori complessi, comprendendo che la parte reale dell’espressione converge e che la parte immaginaria ruota ciascuno dei valori nel piano immaginario. Ad esempio, per ζ (2 + i), la parte reale sarebbe ζ (2):

D’altra parte, per considerare la parte immaginaria della somma, ogni segmento della linea deve essere ruotato in base alla posizione del risultato nel cerchio unitario. La lunghezza di questi segmenti non cambia, quindi la somma continuerà a convergere, solo che formerà una spirale nel piano immaginario.

Ecco alcune rappresentazioni di diversi valori complessi della funzione Zeta:

È importante notare che qualsiasi valore complesso maggiore di uno è in grado di convergere. Questo è, ancora una volta, dal fatto che la parte reale esprime solo un valore reale positivo, e la parte immaginaria semplicemente lo fa ruotare in una certa misura. Proviamo ora a visualizzare questa funzione per tutti i valori positivi sopra uno.

Un ottimo modo con cui le funzioni complesse possono essere comprese si ottiene se le visualizziamo come trasformazioni, cioè, se cerchiamo tutti i valori di input della funzione e li trasferiamo ai loro valori risultanti. Per capire meglio questo modo di fare le trasformazioni, usiamo prima un esempio più semplice.

Se abbiamo una funzione f (s) = s², qualsiasi valore naturale sarà espanso su se stesso, il che estenderà effettivamente l’aereo orizzontalmente. D’altra parte, se usiamo un valore complesso, il risultato conterrà rotazioni. Ad esempio, se usiamo il valore nel piano immaginario di i, il risultato della funzione sarà i² = -1, ruotando il punto contro le acque dell’orologio. Per osservare questo fenomeno, abbiamo aggiunto linee di colore che dividono il piano bidimensionale che osserviamo e che, rappresentando le trasformazioni di più punti, ci aiuteranno a vedere i cambiamenti nell’intera area osservabile.

Nel caso in cui la visualizzazione sia complicata da comprendere, cerca di concentrarti sui punti gialli che sono prima di effettuare la trasformazione e vedere dove finiscono.

Ora proviamo a portare quella visualizzazione alla funzione Zeta. Prenderemo in considerazione solo l’area dei numeri naturali e complessi al di sopra del naturale 1 e aggiungeremo ancora più divisioni al piano verso gli assi delle coordinate per vedere meglio il cambiamento che si verifica con quei punti:

Questa visualizzazione sembra non richiedere di essere estesa a sinistra? Per fare un esempio, abbiamo posizionato due linee gialle nel piano originale, puntando ai valori di i e -i. Dopo la trasformazione, queste due linee creano un paio di bellissimi archi e si fermano. Non dovremmo forse continuare questi archi? In effetti, potremmo quindi immaginare una versione modificata della funzione il cui dominio si estendeva a sinistra del piano, in modo tale da completare la figura che appare. Questo è esattamente ciò che hanno fatto i matematici che lavorano su funzioni complesse. Continuano la funzione oltre il dominio originale in cui è stata definita.

Ora, quando si inizia a usare termini pari o inferiori a uno, la somma infinita che definisce la funzione smette di avere un senso. Otteniamo cose assurde, come provare ad aggiungere uno, più due, più tre, più quattro, più ciascuno dei numeri successivi infinitamente. Il grafico che siamo riusciti a fare con le trasformazioni dei valori che hanno senso sembrerebbe indicare che c’è una metà a sinistra. Quindi, ci sarà un modo per definire Zeta in modo che possiamo ottenere il resto dei valori?

Quando estendiamo la definizione di Zeta, potremmo modificarla in qualsiasi modo. Potremmo definirlo per darci un valore specifico quando utilizziamo valori di input negativi, ma allo stesso modo potremmo farlo convergere in qualsiasi punto che volevamo.

Tuttavia, se limitiamo queste alterazioni per trovare un risultato che può essere derivabile in qualsiasi punto, otterremmo solo una soluzione. Analizziamo questa possibilità usando la geometria per un esempio più semplice. Per la funzione f (s) = s², se disegniamo due linee, intercedendo in un piano cartesiano bidimensionale (ad esempio, x e la dimensione immaginaria), l’angolo che separa entrambe le linee rimarrà lo stesso anche quando trasformeremo tutto matrice basata sulla funzione esponenziale:

Questa regola si applica a qualsiasi punto all’interno del dominio di f (s). Quindi, quando diciamo che una trasformazione di una funzione ha un derivato in tutti i suoi punti, possiamo confermarla se vediamo che tutti questi angoli sono preservati. Per qualsiasi due linee all’interno del piano originale, l’angolo all’intersezione tra di esse deve essere mantenuto dopo aver effettuato le trasformazioni. Questo sarà più facile da apprezzare se osserviamo come tutte le curve finali, che risultano dalle rette originali, conservano un angolo retto (90 °):

Le funzioni complesse i cui risultati sono derivati ​​in tutti i loro punti sono chiamate “Analytics”. Vale a dire, conservano tutti i loro angoli. In queste funzioni esiste un’eccezione alla regola: per i valori di input la cui derivata della funzione è zero, l’angolo originale non viene mantenuto, ma viene moltiplicato per un valore specifico.

Sebbene questa proprietà possa sembrare piuttosto restrittiva, la stragrande maggioranza delle funzioni documentate nel campo della matematica si rivelano analitiche, tra cui eˣ, sin (x), qualsiasi polinomio, log (x), tra gli altri. Il campo delle funzioni complesse (che Riemann ha contribuito a fondare) ha avuto origine nell’analizzare praticamente l’estensione delle funzioni basate su questa regola derivata, per cercare schemi rispetto ad altri rami della matematica e delle scienze in generale.

La funzione Zeta, definita dalla somma infinita di frazioni che convergono per valori di s maggiori di 1, è anche una funzione analitica. Possiamo osservare come tutte le curve ottenute dalle linee originali del piano uguale mantengano i loro angoli di 90 °:

La sorpresa è che se vogliamo estendere il dominio di questa funzione oltre la sua definizione originale, c’è solo un modo per farlo che riesce a conservare tutti i suoi angoli (in modo che rimanga una funzione analitica). È più o meno come un puzzle continuo e infinito, in cui cerchiamo di estendere la funzione, ma cerchiamo di mantenere le sue proprietà analitiche. Questo processo è chiamato: estensione analitica.

È così che continuiamo la padronanza della funzione Zeta di Riemann. Per valori positivi superiori a uno, eseguiamo semplicemente la somma sul suo punto di convergenza e prendiamo in considerazione l’inclinazione fornita dai valori immaginari, come abbiamo fatto prima. Per valori uguali o inferiori a 1, sappiamo che esiste un solo modo per estendere questa definizione in modo che i suoi risultati rimangano analitici. Diremo quindi che, per definizione, i risultati della funzione Zeta per il dominio in cui non sembra convergere, è piuttosto ciò che indica la sua estensione analitica. Questa limitazione è semplice da assumere, ma non è davvero facile da ottenere. I matematici hanno una buona idea di come dovrebbe essere definita questa funzione (vedi immagine sotto),

Parte dei misteri che questa estensione analitica nasconde, è capire in quali circostanze questo risulta essere zero per valori reali inferiori o uguali a 1. È noto che quando numeri negativi sono usati nel piano reale, questa estensione dà zero. Questi zeri sono chiamati “zeri banali”. In questo caso, banali non perché siano evidenti a occhio nudo, ma perché il comportamento di questi risultati è ben compreso dai matematici. Sappiamo anche che il resto dei punti che risultano in zero deve essere compreso tra zero e uno, in una striscia chiamata: striscia critica. La posizione di questi zeri “non banali” nasconde informazioni sorprendenti sui numeri primi. In effetti, è molto interessante il motivo per cui questa funzione ha così tante informazioni sui numeri primi, ma questa sarà analizzata in un altro momento.

Bernard Riemann ha ipotizzato che tutti gli zeri non banali della funzione Zeta si troverebbero esattamente al centro di questo intervallo critico, cioè per tutti i numeri di cui la parte reale era 1/2. Questa linea è chiamata: la linea critica. Se ciò dovesse essere vero, la posizione di questi zeri potrebbe darci un’approssimazione abbastanza accurata della posizione di tutti i numeri primi, così come molti altri modelli che in matematica potrebbero essere dedotti da questa deduzione.

Quando abbiamo analizzato come viene osservata la funzione Zeta, ci siamo limitati a ciò che appare sullo schermo. Questo è forse un modo per apprezzare quanto sia complesso in sé. Tuttavia, se evidenziamo solo la linea critica di questa funzione, nella rappresentazione che abbiamo fatto finora, non sembra che converga a zero, finché non prendiamo in considerazione valori superiori a quelli che originariamente potremmo individuare sullo schermo. Qui sotto possiamo vedere come questa trasformazione cercherebbe sempre più valori della linea critica:

Nota come questa linea passa tante volte dal valore zero. Se dovessi verificare che tutti gli zeri non banali dell’estensione analitica della funzione zeta siano in effetti in questa linea critica, guadagneresti un milione di dollari e controllerai anche molte altre ipotesi matematiche.

Un’altra cosa importante da notare su questa estensione analitica è che rende il risultato della funzione Zeta per il valore reale -1 è -1/12. Se si utilizza il valore reale -1 nella funzione Zeta originale, sembrerebbe che stiamo aggiungendo 1 + 2 + 3 + 4 … all’infinito. Ora, se ci permettiamo di sfuggire al concetto di somma, di osservare l’estensione analitica di questo nel regno dei numeri immaginari, dove prendiamo in considerazione solo il valore possibile che preserva gli angoli che il piano originale offriva in relazione a tutti i suoi punti, quindi il valore risulta essere -1/12.

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Visualizzazione della funzione zeta di Riemann e continuazione analitica

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