La costante cosmologica, come Einstein cambiò idea

Einstein introdusse la costante cosmologica nelle sue equazioni di campo della Relatività Generale al fine di modellare un universo statico omogeneo con simmetria sferica. A quel tempo l’espansione dell’universo non era ancora nota, quindi Einstein fu costretto a introdurre un effetto repulsivo (talvolta chiamato “antigravità”) che compensava la tendenza gravitazionale al collasso. Si verificherebbe in un universo statico. Con la scoperta dell’espansione dell’universo da Hubble, il termine sembrava non significativo per Einstein, che lo considerava “il più grande errore” del suo lavoro scientifico. Tuttavia, alcuni teorici hanno continuato ad accettare il risultato, perché era l’unico termine coerente che può essere aggiunto alle equazioni di campo della relatività generale senza perdere la coerenza. 

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Con le teorie quantistiche dei campi l’interesse per la costante cosmologica è tornato a riemergere, perché prevedono una densità di energia del vuoto che può comportarsi, a tutti gli effetti, come una costante cosmologica efficace. Durante i primi anni del decennio degli anni ’80, gli scenari inflazionistici prendevano sempre più interesse, dei primi istanti dell’universo che propongono un valore piuttosto elevato della densità di energia del vuoto. Vediamo come funziona:

Il principio di indeterminazione di Heisenberg consente la formazione di coppie virtuali di particelle di massa antiparticella durante intervalli di tempo dell’ordine di h / (mc 2), dove h è la costante di Planck ec è la velocità della luce. Questi processi implicano che il vuoto deve avere una densità di energia diversa da zero che a volte viene chiamata “energia del punto zero”. C’è una prova sperimentale indiretta dell’esistenza di questa densità di energia del vuoto attraverso ciò che è noto come effetto Casimir.

Ma come si può pesare il vuoto? Se abbiamo un pistone “pieno di vuoto” e tiriamo lo stantuffo, creeremo più vuoto che conterrà quindi una maggiore “energia del vuoto” che potrebbe essere stata sostituita solo con la forza che ha mosso il pistone. Nel processo, la densità di energia del vuoto deve ovviamente essere una costante, poiché non può dipendere da alcun parametro, dal momento che nel vuoto non c’è nulla che possa dipendere! Quando facciamo l’esperimento più abituale con un gas all’interno del pistone, la pressione del gas diminuisce. In questo processo “abbassare la pressione” implica il raffreddamento e quindi “la diminuzione dell’energia interna del gas”. Nel caso di un gas all’interno di un pistone situato nel vuoto, il gas esegue il lavoro sul pistone e quindi perde energia interna.

La pressione relativistica in questo caso può essere calcolata come 

P = – r vuoto 2

Dove vuoto è la densità di massa del vuoto calcolata dalla relazione relativistica

E = mc 2

Ma in Relatività Generale, l’energia ha “peso” e quindi pressione. Quindi l’accelerazione g (nell’approssimazione newtoniana) sarà data da:

g = 4/3 p G ( r materia r vuoto + 3 P / c ) R  2

Il fattore 3 può essere inteso come il fatto che possiamo avere un flusso di moto che esercita pressione in ciascuna delle tre direzioni dello spazio.

Per un modello statico dell’universo come proposto da Einstein, g = 0 e quindi

vuoto = 0,5 materia

A parte il fatto che come osserviamo l’universo si espande, l’universo statico di Einstein è instabile al collasso o espansione, nello stesso modo in cui una matita in piedi sulla sua punta è in una posizione di equilibrio instabile (unpanalisi recente suggerisce che la situazione è un po ‘più complessa, Barrow et al., 2003 ).

Calcoli quantistici e aspettative

È matematicamente un po ‘complesso dimostrare che il livello fondamentale di un sistema di particelle virtuali come il vuoto ha un’energia finita (si veda, come citazione Carrol, Press & Turner 1992 ), e non esiste un meccanismo noto che conduce questa energia a zero, anche se ci sono alcune alternative come la supersimmetria . 
Approssimativamente possiamo dare un ordine di grandezza della densità di energia del vuoto, se pensiamo a una particella in un volume corrispondente alla sua lunghezza d’onda Compton, cioè:

r vuoto = M4c3/ h3 = 1013 [M / massa protonica]4 g / cm3

Per una particella più massiccia ci aspettiamo una massa di Planck, di circa 20 microgrammi, questa energia è di circa 1091 g / cm 3. Il contrasto osservativo dell’universo su larga scala pone un limite superiore dell’ordine della densità critica (circa 10 -29 g / cm ). Osservando questi numeri, si dice spesso che ci dovrebbe essere un meccanismo di soppressione molto efficace che ne ridurrebbe il valore di almeno 120 ordini di grandezza! Ma se consideriamo che la densità del vuoto è proporzionale alla quarta potenza di una massa, forse sarebbe più appropriato inserirla

    vuoto (previsto) / M vuoto (osservato) ~ 10 30

un fattore diverso dal precedente ma abbastanza interessante da considerarlo il problema più serio della fisica teorica contemporanea.

L’evoluzione di un universo con una costante cosmologica

L’equazione dinamica di un universo con un termine cosmologico lambda può essere scritta come:

2 = [1 / a da / dt] 2 = 8/3 p G r + l / 3 – K c 2 / 2

È normale definire i seguenti parametri di densità:

  • parametro di densità del materiale m = 8/3 r / H 2
  • parametro di densità di energia del vuoto l = l / (3H 2 )
  • parametro di densità dovuto alla curvatura k = – K c 2 / H 2

Tali che  + W l + W k = 1

La soluzione per il parametro di espansione in funzione del tempo a(t) richiede un’integrazione numerica. La figura seguente ci mostra alcuni casi:

  • Linea nera: universo di Einstein-de-Sitter m = 1, l = 0
  • Linea rossa: universo chiuso m = 2, l = 0
  • Linea viola: attuale modello preferito con l = 0,75, m = 0,25
  • Linea verde: l = 0, m = 0
  • Linea blu: universo di de Sitter senza Big Bang l = 1, m = 0

L’età dell’universo viene modificata a seconda dei parametri di densità che attualmente sono W m0 L0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappresentazione di contorni della stessa età dell’universo per diversi parametri di densità. La linea blu separa gli universi chiusi (K>0) dagli universi aperti (K£0). Gli universi della linea verde che finiranno per collassare in una grande implosione (Big Crunch) di universo in espansione eterna. La linea rossa separa gli universi eterni senza il Big Bang. La linea rossa è una linea critica si chiama “universi indecisi” che sono ora espansione esponenziale ma in un momento del passato erano “incerto” tra il collasso a causa del suo contenuto o materia espandono a causa l’ effetto della costante cosmologica, cosa hanno soggiornato per un po ‘con un parametro di espansione costante. Il punto in basso sulla linea blu corrisponde al modello a cui le attuali osservazioni sembrano puntare.

Limiti di osservazione

Sistema solare

Per cercare una densità di energia del vuoto diversa da zero un modo è studiare le orbite delle particelle che si muovono in un campo gravitazionale di cui si conosce la massa. Il Sistema Solare è il più grande sistema gravitazionale in cui sappiamo con sufficiente accuratezza quali sono le masse, quindi possiamo verificare attentamente come la terza legge di Keplero si adatta alle osservazioni. Per una densità di energia del vuoto molto piccola, abbiamo, che la variazione relativa del periodo orbitale di un pianeta è

dP / P = (4 p / 3) R r vuoto / M Sol

Questo può essere verificato e misurato solo per i pianeti con una misura indipendente di distanza dal Sole. La missione Voyager ci ha permesso di misurare con precisione la distanza da Urano e Nettuno, e i lavori di Anderson et al. 1995, ApJ, 448,885 ) hanno rilevato che dP / P è inferiore a circa 2 parti per milione alla distanza di Nettuno. Da ciò segue ciò

r vuoto <2 10 -17 g / cm 3

La costante cosmologica genera anche una precessione del perielio del pianeta ( Cardona & Tejeiro 1998 ApJ, 493 , 52 ) di  (4 p / 3) R Rvuoto / M Sol  cicli per orbita. Poiché i dati Viking sono molto precisi, è possibile ottenere con buona approssimazione il valore della densita del vuoto:

r vuoto <2 10 -19 g / cm 3

Via Lattea

In sistemi più grandi non si possiamo effettuare osservazioni su alcune parti per milione. Nel caso dell’orbita solare attorno al centro galattico, si può solo dire che la densità di energia del vuoto deve essere inferiore alla metà della densità media della materia in una sfera centrata nel Centro Galattico che si estende alla distanza a cui si trova il Sole. Se la densità energetica del vuoto fosse maggiore di questa, non ci sarebbe alcuna accelerazione centripeta del Sole verso il Centro Galattico. Ma dal momento che si calcola la densità media della materia assumendo che la densità di energia del vuoto sia zero:

r vuoto <(3 / (4 p G)) (v / R) 2 = 3 10 -24 g / cm 3

per una velocità di rotazione v = 220 km / sec e una distanza R = 8.5 kpc

Geometria su larga scala dell’universo

Il miglior limite superiore per la densità di energia del vuoto proviene dal più grande sistema possibile: l’intero universo. La densità energetica del vuoto porta ad un’accelerazione nell’espansione dell’universo. Se questo fosse maggiore della densità critica, l’universo non avrebbe attraversato una fase di alta densità e temperatura quando il fattore di scala era zero: il Big Bang. Quindi l’universo osservabile doveva essere almeno un miliardo di volte più piccolo in passato di quanto lo sia ora. Questo limita la densità di energia del vuoto a

r vuoto r critico ~ 8 10 -30  g / cm 3

Nel marzo 1998, è uscito un articolo nella rivista (Science 1998, 279, 651-652 e 1298; Perlmutter et al. 1997 , AG Kim 1998 , Schmidt et al 1998 , Riess et al. 1998 ). I risultati di entrambi convergevano coerentemente ad un valore della densità di energia del vuoto pari a:

r vuoto ~ 0,75 r critico = 6 10  30 g / cm 3

Una recensione di tutte le misure che indicano l’esistenza di una costante cosmologica può essere vista in questo articolo qui .

Il problema della costante cosmologica

Per il problema della costante cosmologica oggi ci possiamo porre due domande fondamentali che tutt’oggi non hanno ancora risposta nell’ambito della fisica e della cosmologia standard. Queste due domande sono:

1. Perché l’aspettativa dei calcoli quantistici per l’energia del vuoto è di circa 10 91 g / cm mentre il valore osservato pone un limite superiore di circa 10 -30 g / cm ? Potrebbe esserci un meccanismo sconosciuto (del tipo di supersimmetria ) di soppressione molto efficace che diminuisce il suo valore di almeno 120 ordini di grandezza?

2. Perché il valore osservato della costante cosmologica contribuisce a una densità di energia cosmica dello stesso ordine di grandezza del contributo della materia? Perché dovremmo vivere in un tempo nell’universo dove viene data questa (a priori) improbabile coincidenza?

A queste due domande principali ci sono attualmente solo due risposte possibili. Gli ingredienti di questa risposta sono da un lato lo scenario dell’inflazione caotica e dall’altro il controverso principio antropico debole.

La costante cosmologica nella gravitazione di Newton

La legge di gravitazione universale di Newton implica due proprietà:

I. L’attrazione gravitazionale di una massa sferica su una particella situata al di fuori di quella sfera è indistinguibile da quella prodotta da una massa puntiforme della stessa magnitudine situata al centro della sfera. 
II. La forza di attrazione su una particella situata all’interno di una sfera è uguale a quella prodotta dalla sfera all’interno della situazione della particella. In altre parole, una distribuzione sferica di massa non influenza i punti al suo interno 

Più precisamente, si può dire che considerando un guscio sferico di raggio R , di larghezza infinitesimale e messa densità superficiale s, abbiamo un punto esterno ad una distanza r è sottoposto ad un potenziale gravitazionale f(r). Perché questo potenziale gravitazionale sia esattamente uguale a quello di una massa di punti M(R) posta al centro della sfera, deve essere soddisfatto (vedi ad esempio Feynman Vol I. §13-4 )

M (R) f (r) + L (R) = 2 ps R / r  ò r-R r + R     f (x) dx

Dove L(R) è una costante possibile aggiunta al potenziale che non cambia la legge delle forze. La proprietà I implica che M(R) = 4 p s R solo se il potenziale ha la forma generale

f (r) = A / r + B r + C

con 2CR + 2BR = L(R)

Quindi si recupera solo il potenziale classico newtoniano (B=0) imponendo la condizione II. Il secondo termine B r è l’equivalente newtoniano di una costante cosmologica e come la vediamo, sorge nella gravitazione classica naturalmente semplicemente nella condizione di rilassamento II. 

Naturalmente, Newton non arrivò mai a questo risultato poiché la sua forma di ragionamento veniva eseguita in modo inverso. In realtà, non ha pubblicato la sua teoria fino a quando non è stata dimostrata così.

Referenze:
  1. Carroll, Press & Turner 1992. La costante cosmologica. 
  2. Sean Caroll 2001. “The Cosmological Constant”, Living Rev. Relativity, 4 , (2001). 
  3. La costante cosmologica da Sean M. Carroll 
  4. Il Cosmo l ogical costante da Eli Michael 
  5. Cos’è questa “anti-gravità”? [La costante cosmologica] appartenente al tutorial di cosmologia di Ned Wright
Note:

* Le equazioni di Einstein con costante cosmologica sono le equazioni più generali che possono essere scritte che soddisfano i seguenti criteri:

1. Sono covarianti, ovvero la loro forma è indipendente dal sistema di riferimento scelto (con o senza accelerazione) e dalle coordinate selezionate.
2. Sono ridotti alla teoria newtoniana della gravità quando i campi gravitazionali sono deboli e le velocità implicite sono basse rispetto alla velocità della luce.
3. Introdurre solo derivati ​​dell’ordine 0, 1 e 2 della metrica. Vedi Weinberg, S. ” Gravitation and Cosmology “. Wiley. 1972 p. 153